高考冲刺数学专题5 9页

数学应用性问题怎么解 特级教师安振平 ‎ ‎ ‎ 数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视.‎ ‎ 例1某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？‎ 讲解: 引入字母,转化为递归数列模型.‎ 设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则.‎ ‎.‎ ‎，于是 即 .‎ ‎.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.‎ 上述解法中提炼的模型, 使我们联想到了课本典型习题（代数下册P.132第34题）‎ 已知数列的项满足 ‎ ‎ 其中，证明这个数列的通项公式是 有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别, 2002年全国高考解答题中的应用题(下文例9)就属此类模型.‎ ‎ 例2 某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时（4≤V≤20）从A港出发前往50千米处的B港，然后乘汽车以匀速W千米/小时（30≤W≤100）自B港向300千米处的C市驶去，在同一天的16时至21时到达C市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费 元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.‎ ‎ 讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解.‎ 由于又 则z最大时P最小.‎ 作出可行域，可知过点（10，4）时, z有最大值38，‎ ‎ ∴P有最小值93，这时V=12.5，W=30.‎ ‎ 视这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.‎ ‎ 例3 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.‎ 讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.‎ 由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，…, a25小时，依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且 ‎，化简可得. ‎ 解得.‎ 可见a1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.‎ 对照此题与2002年全国高考文科数学解答题中的应用题, 你一定会感觉二者的解法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具, 这要求你不断的联想, 力求寻找恰当的解题方案.‎ ‎ 例4 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.‎ 讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?‎ 设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，楼层建筑费用为 ‎[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]·元，从而 ‎（元）‎ 当且仅当 , n=20（层）时，总费用y最少.‎ 故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.‎ 实际应用题的数列模型是近两年高考命题的热门话题, 涉及到等差数列, 等比数列, 递归数列等知识点, 化归转化是解答的通性同法.‎ ‎ 例5 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为‎2.5km/h，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为‎4km/h，在水中游的速度为‎2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？‎ 讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型.‎ 设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用 时间O A B vt ‎2(1－k)t ‎4kt ‎15°‎ 为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间 为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.‎ 由余弦是理得 即 整理得.‎ 要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且 解得.‎ ‎ 故当船速在 内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为‎2.5km/h时, 人可以追上小船.‎ ‎ 涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注.‎ ‎ 例6 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度 d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.‎ ‎ （1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？‎ ‎ （2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？‎ a d l ‎ 讲解:（1）安全负荷为正常数） 翻转 ‎，安全负荷变大.…4分当 ，安全负荷变小.‎ ‎（2）如图，设截取的宽为a，高为d，则. ‎ ‎ ∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大.‎ ‎ ‎ ‎，当且仅当，即取，‎ 取时，u最大， 即安全负荷最大.‎ 三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解, 如果学过导数知识, 其解法就更为方便, 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.‎ ‎ 例7 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用 甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物 内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.‎ 甲 乙 丙 维生素A（单位/千克）‎ ‎600‎ ‎700‎ ‎400‎ 维生素B（单位/千克）‎ ‎800‎ ‎400‎ ‎500‎ 成本（元/千克）‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎ （1）用x，y表示混合食物成本c元；‎ ‎ （2）确定x，y，z的值，使成本最低.‎ ‎ 讲解:（1）依题意得 .‎ ‎（2）由 , 得 ‎ ，‎ ‎ ‎ 当且仅当时等号成立., ‎ ‎ ∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元.‎ 线性规划是高中数学的新增内容, 涉及此类问题的求解还可利用图解法, 试试看.‎ 例8 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（140<<420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？‎ ‎ 讲解 设裁员人，可获得的经济效益为万元,则 ‎ ‎ ‎ =‎ 依题意 ≥‎ ‎ ∴0<≤.‎ 又140<<420, 70<<210.‎ ‎(1)当0<≤,即70<≤140时， , 取到最大值;‎ ‎(2)当>,即140<<210时， , 取到最大值;‎ ‎ 综上所述，当70<≤140时，应裁员人；当140<<210时，应裁员人.‎ ‎ 在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？‎ ‎ 例9 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?‎ 讲解 设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则 ‎ ，‎ 所以，当时，，两式相减得：‎ ‎（1）显然，若，则，即，此时 ‎（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.‎ ‎（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，，此时，‎ ‎（ii）当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，‎ 由，得 ‎，‎ 要使对于任意正整数，均有恒成立，‎ 即 ‎ 对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 , 得 ‎,‎ 上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，. ‎ ‎ 本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.‎ ‎ 例10 为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：‎ 贷款期(年数)‎ 公积金贷款月利率(‰)‎ 商业性贷款月利率(‰)‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎……‎ ‎4.365‎ ‎4.455‎ ‎4.545‎ ‎4.635‎ ‎4.725‎ ‎……‎ ‎5.025‎ ‎5.025‎ ‎5.025‎ ‎5.025‎ ‎5.025‎ ‎……‎ ‎ 汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元? (2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少? (参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)‎ ‎ 讲解 设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月 　　第1月末欠款数　A(1＋r)－a 　　第2月末欠款数　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a 第3月末欠款数　[A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a 　　　　　　　　　　　＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a 　　…… 　　第n月末欠款数　 得： ‎ ‎　　对于12年期的10万元贷款，n＝144，r＝4.455‰ 　　∴ 　　对于15年期的15万元贷款，n＝180，r＝5.025‰ 　　∴ 　　由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元． 　　(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款 　　　 　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰ ∴X＝41669.53 再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元． ‎ ‎ 需要提及的是，本题的计算如果不许用计算器，就要用到二项展开式进行估算，这在2002年全国高考第（12）题中得到考查.‎ ‎ 例11 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．‎ ‎（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）‎ ‎（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）‎ 天数t 病毒细胞总数N ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎32‎ ‎64‎ ‎…‎ ‎ 已知：lg2=0.3010．‎ 讲解 （1）由题意病毒细胞关于时间n的函数为, 则由 两边取对数得 n27.5,‎ ‎ 即第一次最迟应在第27天注射该种药物.‎ ‎（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为,‎ 再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为,‎ 由题意≤108，两边取对数得 ‎，‎ ‎ 故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．‎ ‎ 本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的.‎ ‎ 例12 有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)= +［g(0)- ］·e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.‎ ‎（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； ‎ ‎（2）求证：当g(0)< 时，湖泊的污染程度将越来越严重； ‎ ‎（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？‎ ‎ 讲解（1）∵g(t)为常数, 有g(0)-=0, ∴g(0)= . ‎ ‎(2) 我们易证得0e,‎ ‎∴g(t1)