2017年江苏省高考数学试卷 31页

‎2017年江苏省高考数学试卷 ‎　‎ 一.填空题 ‎1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为　 　．‎ ‎2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是　 　．‎ ‎3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取　 　件．‎ ‎4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是　 　．‎ ‎5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=　 　．‎ ‎6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是　 　．‎ ‎7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是　 　．‎ ‎8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是　 　．‎ ‎9．（5分）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn，已知S3=，S6=，则a8=　 　．‎ ‎10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是　 　．‎ ‎11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=　 　．‎ ‎13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是　 　．‎ ‎14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是　 　．‎ ‎　‎ 二.解答题 ‎15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；‎ ‎（2）AD⊥AC．‎ ‎16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．‎ ‎（1）若∥，求x的值；‎ ‎（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ ‎17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．‎ ‎18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）‎ ‎（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；‎ ‎（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．‎ ‎19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．‎ ‎（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；‎ ‎（2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．‎ ‎20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）‎ ‎（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）证明：b2＞3a；‎ ‎（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．‎ ‎　‎ 二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）‎ ‎21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．‎ 求证：（1）∠PAC=∠CAB；‎ ‎（2）AC2 =AP•AB．‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．已知矩阵A=，B=．‎ ‎（1）求AB；‎ ‎（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．‎ ‎　‎ ‎［选修4-5：不等式选讲］‎ ‎24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．‎ ‎　‎ ‎【必做题】‎ ‎25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．‎ ‎（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．‎ ‎26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ m+n ‎（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；‎ ‎（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．‎ ‎　‎ ‎2017年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题 ‎1．（5分）（2017•江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为　1　．‎ ‎【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【分析】利用交集定义直接求解．‎ ‎【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，‎ ‎∴a=1或a2+3=1，‎ 解得a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2017•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是　　．‎ ‎【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 ‎【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，‎ ‎∴|z|==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取　18　件．‎ ‎【考点】B3：分层抽样方法．菁优网版权所有 ‎【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．‎ ‎【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，‎ 则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，‎ 故答案为：18‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是　﹣2　．‎ ‎【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 ‎【分析】直接模拟程序即得结论．‎ ‎【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，‎ 所以y=2+log2=2﹣=﹣2，‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=　　．‎ ‎【考点】GR：两角和与差的正切函数．菁优网版权所有 ‎【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可 ‎【解答】解：∵tan（α﹣）===‎ ‎∴6tanα﹣6=tanα+1，‎ 解得tanα=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是　　．‎ ‎【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 ‎【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．‎ ‎【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，‎ 圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．‎ 则==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2017•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]‎ 上随机取一个数x，则x∈D的概率是　　．‎ ‎【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有 ‎【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，‎ 则D=[﹣2，3]，‎ 则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是　　．‎ ‎【考点】KC：双曲线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x，‎ 所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．‎ 则四边形F1PF2Q的面积是：=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2017•江苏）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn，已知S3=，S6=，则a8=　32　．‎ ‎【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，‎ ‎∵S3=，S6=，∴=，=，‎ 解得a1=，q=2．‎ 则a8==32．‎ 故答案为：32．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是　30　．‎ ‎【考点】7F：基本不等式．菁优网版权所有 ‎【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．‎ 当且仅当x=30时取等号．‎ 故答案为：30．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是　[﹣1，]　．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣的导数为：‎ f′（x）=3x2﹣2+ex+≥﹣2+2=0，‎ 可得f（x）在R上递增；‎ 又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣=0，‎ 可得f（x）为奇函数，‎ 则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，‎ 即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），‎ 即有2a2≤1﹣a，‎ 解得﹣1≤a≤，‎ 故答案为：[﹣1，]．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=　3　．‎ ‎【考点】9R：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 ‎【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．‎ 由与的夹角为α，且tanα=7．‎ ‎∴cosα=，sinα=．‎ ‎∴C．‎ cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．‎ sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．‎ ‎∴B．‎ ‎∵=m+n（m，n∈R），‎ ‎∴=m﹣n，=0+n，‎ 解得n=，m=．‎ 则m+n=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是　[﹣5，1]　．‎ ‎【考点】9R：平面向量数量积的运算；7B：二元一次不等式（组）与平面区域．菁优网版权所有 ‎【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，‎ ‎=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，‎ 化为：12x0﹣6y0+30≤0，‎ 即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，‎ 联立，解可得x0=﹣5或x0=1，‎ 结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，‎ 故答案为：[﹣5，1]．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是　8　．‎ ‎【考点】54：根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有 ‎【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，‎ 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，‎ 又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，‎ ‎∴在区间[1，2）上，f（x）=‎ ‎，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 同理：‎ 区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；‎ 故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；‎ 即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，‎ 故答案为：8‎ ‎　‎ 二.解答题 ‎15．（14分）（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；‎ ‎（2）AD⊥AC．‎ ‎【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；‎ ‎（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥‎ AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．‎ ‎【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，‎ 所以AB∥EF，‎ 又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，‎ 所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；‎ ‎（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，‎ 因为BC⊥BD，所以FG∥BC，‎ 又因为平面ABD⊥平面BCD，‎ 所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，‎ 又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，‎ 所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，‎ 故AD⊥AC．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．‎ ‎（1）若∥，求x的值；‎ ‎（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ ‎【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，‎ ‎（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出 ‎【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，‎ ‎∴﹣cosx=3sinx，‎ ‎∴tanx=﹣，‎ ‎∵x∈[0，π]，‎ ‎∴x=，‎ ‎（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），‎ ‎∵x∈[0，π]，‎ ‎∴x+∈[，]，‎ ‎∴﹣1≤cos（x+）≤，‎ 当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，‎ 当x=时，f（x）有最小值，最大值﹣2．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．‎ ‎【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；‎ 方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①‎ 椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②‎ 由①②解得：a=2，c=1，‎ 则b2=a2﹣c2=3，‎ ‎∴椭圆的标准方程：；‎ ‎（2）方法一：设P（x0，y0），则直线PF2的斜率=，‎ 则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），‎ 直线PF1的斜率=，‎ 则直线l2的斜率k1=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），‎ 联立，解得：，则Q（﹣x0，），‎ 由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，‎ ‎∴y02=x02﹣1，‎ 则，解得：，则，‎ 又P在第一象限，所以P的坐标为：‎ P（，）．‎ 方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，‎ 当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，‎ 当m≠1时，=，=，‎ 由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，‎ 直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②‎ 联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），‎ 由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，‎ 即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，‎ 由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，‎ 又P在第一象限，所以P的坐标为：‎ P（，）．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2017•江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）‎ ‎（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；‎ ‎（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．‎ ‎【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．‎ ‎（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．‎ ‎【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，‎ 在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，‎ ‎∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，‎ 又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，‎ ‎∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，‎ ‎∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，‎ ‎∴=，，得AN=16cm．‎ ‎∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．‎ ‎（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，‎ 在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，‎ 过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，‎ ‎∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，‎ EG≠E1G1，‎ ‎∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，‎ ‎∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，‎ ‎∴E1Q=24cm，‎ 由勾股定理得：E1E=40cm，‎ ‎∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos，‎ 根据正弦定理得：=，∴sin，cos，‎ ‎∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，‎ ‎∴EN===20cm．‎ ‎∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2017•江苏）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．‎ ‎（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；‎ ‎（2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．‎ ‎【考点】8B：数列的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”；‎ ‎（2）由“P（k）数列”的定义，则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，变形整理即可求得2an=an﹣1+an+1，即可证明数列{an}是等差数列．‎ ‎【解答】解：（1）证明：设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，‎ 则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，‎ ‎=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），‎ ‎=2an+2an+2an，‎ ‎=2×3an，‎ ‎∴等差数列{an}是“P（3）数列”；‎ ‎（2）证明：由数列{an}是“P（2）数列”则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，①‎ 数列{an}是“P（3）数列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，②‎ 由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1，③‎ an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，④‎ 由②﹣（③+④）：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1，‎ 整理得：2an=an﹣1+an+1，‎ ‎∴数列{an}是等差数列．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）‎ ‎（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）证明：b2＞3a；‎ ‎（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．‎ ‎【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．‎ ‎（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；‎ ‎（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+‎ ‎2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．‎ ‎【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，‎ 所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，‎ 令g′（x）=0，解得x=﹣．‎ 由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；‎ 所以f′（x）的极小值点为x=﹣，‎ 由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，‎ 所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，‎ 所以b=+（a＞0）．‎ 因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，‎ 所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，‎ 所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，‎ 所以b=+（a＞3）．‎ ‎（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），‎ 由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；‎ ‎（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，‎ 设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，‎ 所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2‎ ‎=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2‎ ‎=﹣+2，‎ 又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，‎ 所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，‎ 因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，‎ 所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，‎ 所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，‎ 由于a＞3时2a2+12a+9＞0，‎ 所以a﹣6≤0，解得a≤6，‎ 所以a的取值范围是（3，6]．‎ ‎　‎ 二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）‎ ‎21．（2017•江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．‎ 求证：（1）∠PAC=∠CAB；‎ ‎（2）AC2 =AP•AB．‎ ‎【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．‎ ‎（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．‎ ‎【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．‎ ‎∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．‎ ‎∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．‎ ‎∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，‎ ‎∴∠PAC=∠CAB．‎ ‎（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，‎ ‎∴=．‎ ‎∴AC2 =AP•AB．‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．（2017•江苏）已知矩阵A=，B=．‎ ‎（1）求AB；‎ ‎（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．‎ ‎【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；‎ ‎（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．‎ ‎【解答】解：（1）AB==，‎ ‎（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，‎ 点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），‎ 则=，即x0=2y，y0=x，‎ ‎∴x=y0，y=，‎ ‎∴，即x02+y02=8，‎ ‎∴曲线C2的方程为x2+y2=8．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 ‎（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．‎ ‎【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 ‎【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．‎ ‎【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，‎ ‎∴P到直线l的距离d==，‎ ‎∴当s=时，d取得最小值=．‎ ‎　‎ ‎［选修4-5：不等式选讲］‎ ‎24．（2017•江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．‎ ‎【考点】7F：基本不等式；R6：不等式的证明．菁优网版权所有 ‎【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．‎ ‎【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，‎ 令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．‎ ‎∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．‎ 因此ac+bd≤8．‎ 另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．‎ ‎∴﹣8≤ac+bd≤8．‎ ‎　‎ ‎【必做题】‎ ‎25．（2017•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．‎ ‎（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．‎ ‎【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 ‎【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1 的坐标，进一步求出，，，的坐标．‎ ‎（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；‎ ‎（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．‎ ‎【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，‎ ‎∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，‎ ‎∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，‎ 以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．‎ ‎∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，‎ ‎∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），‎ D（0，2，0），‎ A1（0，0，），C1（）．‎ ‎=（），=（），，‎ ‎．‎ ‎（1）∵cos＜＞==．‎ ‎∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；‎ ‎（2）设平面BA1D的一个法向量为，‎ 由，得，取x=，得；‎ 取平面A1AD的一个法向量为．‎ ‎∴cos＜＞==．‎ ‎∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．‎ ‎　‎ ‎26．（2017•江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ m+n ‎（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；‎ ‎（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．‎ ‎【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．‎ ‎（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．‎ ‎【解答】解：（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，‎ 则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）‎ ‎=‎ ‎==．‎ 证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，‎ P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，‎ ‎∴E（X）=（）=‎ ‎=＜=‎ ‎=•（）‎ ‎==，‎ ‎∴E（X）＜．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；沂蒙松；whgcn；cst；qiss；maths；双曲线；danbo7801；豫汝王世崇；铭灏2016；zhczcb；sxs123（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2017年6月11日