2009高考数学解答题专题攻略——数列 11页

‎2009高考数学解答题专题攻略----数列 一、08高考真题精典回顾：‎ ‎1.（全国一22）．（本小题满分12分）‎ 设函数．数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）设，整数．证明：．‎ 解析：（Ⅰ）证明：，‎ 故函数在区间(0,1)上是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，‎ 由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得 ‎.而，则，‎ ‎，也就是说当时，也成立；‎ 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.‎ ‎ （Ⅲ）证明：由．可得 ‎1.若存在某满足，则由⑵知：‎ ‎2.若对任意都有，则 ‎，即成立.‎ ‎2.（全国二20）．（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为．已知，，．‎ ‎（Ⅰ）设，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）依题意，，即，‎ 由此得． 4分 因此，所求通项公式为 ‎，．① 6分 ‎（Ⅱ）由①知，，‎ 于是，当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎．‎ 又．‎ 综上，所求的的取值范围是． 12分 ‎3.（四川卷20）．（本小题满分12分）‎ ‎ 设数列的前项和为，已知 ‎（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式 解：由题意知，且 两式相减得 即 ①‎ ‎（Ⅰ）当时，由①知 于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即 ‎ 当时，由由①得 因此 得 二、09高考数列分析与预测：‎ 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.‎ 有关数列题的命题趋势　‎ ‎（1）有关数列的基本问题，这类题围绕等差、等比数列的基本知识、基本公式、基本性质命题，难度不大，考生应注意基本方法的训练，灵活运用相关性质。‎ ‎（2）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点　　‎ ‎（3）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。‎ ‎（4）与导数、平面向量、概率等新知识相结合也不可忽视。‎ 复习关键点：‎ ‎ (1)理解数列的概念，特别注意递推数列，熟练掌握等差数列、等比数列的性质、公式及公式的延伸，应用性质解题，往往可以回避求首项和公差或公比，使问题得到整体解决，能够减少运算量，应引起考生重视。‎ ‎(2)解决数列综合问题要注意函数思想、分类论思想、等价转化思想等。注重数列与函数、方程、不等式、解析几何等其他知识的综合。‎ ‎(3)重视递推数列和数列推理题的复习。‎ ‎(4)数列应用题注意增长率、银行信贷、养老保险、环保、土地资源等，首先要分析题意，建立数列模型，再利用数列知识加以解决。‎ 不管数列与哪一部分知识内容交汇，数列自身的内容仍是考生重点掌握的。对数列自身来讲，主要有以下体型：‎ 一、求数列的通项公式，主要方法有：（1）利用与的关系 ‎（2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造数列 二、求数列的前n项和，主要方法有：（1）倒序相加法（2）错位相减法（3）裂项法（4）分组法 三、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。‎ 这是解决好数列问题的重中之重.‎ 三、高考热点新题：‎ ‎1.设是正项数列的前项和，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在等比数列，使对一切正整数都成立？并证明你的结论．‎ ‎（3）设，且数列的前项和为，试比较与的大小．‎ ‎2.已知数列满足关系：‎ ‎， ‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）设是数列的前n项和，当时，是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由。‎ ‎3.已知正项数列满足对一切,有，其中.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ) 求证: 当时, .‎ ‎4．某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）. ‎ ‎（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；‎ ‎（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？‎ ‎5.已知数列满足：，且 ‎（1）设，证明数列是等差数列；‎ ‎（2）求数列、的通项公式；‎ ‎（3）设，为数列的前项和，证明.‎ ‎6.设等差数列前项和满足，且，S2=6；函数，且 ‎（1）求A； ‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）若 四、高考热点新题参考答案：‎ ‎1解：（1）得 ‎，相减并整理为 又由于，则，故是等差数列．‎ ‎，，故 ‎ ‎（2）当时，‎ 可解得，，猜想使 成立 ‎ 下面证明恒成立 令 ①‎ ‎ ② ②－①可得 ‎ ‎ ‎（3）‎ 则 ‎，故 ‎ 说明：本题主要考查数列通项公式的求法，数列和的求法以及不等式的内容。涉及运算能力，逻辑思维能力，猜想能力等。 ‎ ‎2解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ 故是等比数列。 ‎ ‎（2） ‎ 由及：‎ ‎ ‎ ‎（3）当时，‎ 相加得：‎ ‎ ‎ 故时，. ‎ ‎3解：(Ⅰ)对一切有，‎ 即 , ‎ ‎ () ‎ 由及两式相减,‎ 得: ‎ ‎ ‎ ‎∴是等差数列,且, . ‎ 说明:本小题也可以运用先猜后证(数学归纳法)的方法求解. ‎ ‎(Ⅱ) 由,知,因此,只需证明. ‎ 当或时,结论显然成立.当时,‎ 所以,原不等式成立.‎ ‎4.本题主要考查等差数列与等比数列、函数性质等基础知识，考查运算求解能力和数据处理能力，考查函数与方程思想和应用意识.‎ 解: (1)依题意知，数列是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以 ‎，‎ ‎＝‎ ‎＝＝ ‎ ‎(2)依题意得，，即，‎ 化简得，‎ 可设，‎ 又，可设是减函数，是增函数，‎ 又,‎ 则时 不等式成立，即4年 答：略 ‎ ‎5解：(1) ,‎ 为等差数列 ‎ ‎(2)由(1),从而 ‎ ‎(3)‎ ‎,当时,,不等式的左边=7,不等式成立 所有当时, ‎ 故只要证, ‎ 如下用数学归纳法给予证明:‎ ‎①当时,,时,不等式成立;‎ ‎②假设当时,成立 当时, ‎ 只需证: ,即证: ‎ 令,则不等式可化为:‎ 即 令,则 在上是减函数 又在上连续, ,故 当时,有 当时,所证不等式对的一切自然数均成立 综上所述,成立.‎ ‎6解：（1）由 而 ‎ 解得A=1‎ ‎（2）∵不是常数列∴令 ‎ 当n=1时，a1=S1=2,当n≥2时，an=Sn－Sn-1=n2+n 综合之：an=2n 由题意 ‎∴数列{cn+1}是为公比，以为首项的等比数列 ‎（3）当 ‎ ‎ 当 综合之：‎