高考模拟试题分类解析—立体几何 29页

‎1．（2007年安徽宿州第二次质量检测文9）设l,m,n表示三条直线,表示三个平面, ‎ ① 若m ，n是l在内的射影, m⊥l,则m⊥n ‎ ② 若m⊥,n∥且∥，则m⊥n ‎ ③ 若⊥, ⊥，则∥‎ ④ 若l⊥,m⊥则l∥m 其中正确命题的个数是 A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ N M S C B A ‎2、（2007年皖北协作区联考理科4)已知直线m、n和平面α,则m∥n的一个必要不充分条件是 A. m∥α,n∥α B. m⊥α,n⊥α C. m∥α,nα D.m,n与α成等角 ‎3、（2007年皖北协作区联考理科9)如图,在正三棱锥S-ABC中,M,N分别为棱SC,BC的中 点,并且AM⊥MN,若侧棱长SA=则正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为 A.9 B‎.12‎ C.16 D.32‎ ‎4(安徽省“江南十校”2007年高三素质测试理科)如图，已知正方形的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱上运动，点N在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹的面积是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5．(安徽省三市2007年第二次联合质量检测4月理科7)已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题： ‎ ‎ ①若 ②若 ‎ ③若 其中真命题的个数是 ‎ ‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎6．(安徽省三市2007年第二次联合质量检测4月理科10)已知正方体ABCD—A1B‎1C1D1的棱长为1，P∈BC1，Q∈BC，则D1P+PQ的最小值是 ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎7．(安徽省淮南市部分重点中学2007年高三数学素质测试7)球面上有三个点，其中任意两个点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆周长为，那么这个球的半径为 （ ）‎ ‎ A． B． C．2 D．‎ ‎8、10．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D—AE—B为60°则四棱锥D—ABCE的体积为（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎9．(安徽省合肥市2007年第三次教学质量检测数学3)已知a、b为直线，为平面，① ② ③ ④‎ ‎ 以上结论正确的是 ‎ ‎ A．①④ B．①② C．③④ D．③②‎ ‎10、(安徽淮南2007年一模6)半径为R的球内接正四面体的全面积为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎11．(安徽巢湖2007届3月联考3)如左图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD内的一动点，且满足MP＝MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为右图中的（O为正方形ABCD的中心） A ‎12．(安徽巢湖2007届3月联考9)如左图所示，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能是右图中的 A ‎13．(安徽合肥工大附中2007届第四次月考理8）长方体的长、宽、高分别为‎3cm、‎2cm、‎1cm，若该长方体的各顶点都在球的表面上，则球的表面积为 （ ）‎ ‎ A．7 B．‎14‎ C．28 D．56‎ ‎14．(安徽合肥2007二检理7)已知正方体ABCD—A1B‎1C1D1的顶点在一个球面上，且棱长为1，则球的表面积为（ ）‎ ‎ A．12π B．4π C．3π D．π ‎15.(安徽巢湖2007二模3)已知、是不同的两个平面，直线，直线，命题：与没有公共点；命题：，则是的( )‎ ‎ A.充分不必要的条件 B.必要不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 ‎16、(安徽六校2007届4月联考文12)若正四面体S-ABC的面ABC内有一动点P到平面SAB、平面SBC、平面SAC的距离成等差数列，则点P的轨迹是（ ）。‎ A.一条线段 B.一个点 C.一段圆弧 D.抛物线的一段 ‎17（安徽宿州三中2007年三模5.）“a,b为异面直线”是指 ( )‎ ‎(1)a∩b＝,且a与b不平行, (2) a平面,b平面,且 ‎ ‎(3) a平面,b平面,且 (4) a平面, b平面 ‎ ‎(5) 不存在平面,能使a 且b成立,‎ 上述结论中,正确的是( )‎ A.(2) (4) B.(1) (5) C. (1) (4) (5) D . (1) (3) (4)‎ ‎18．（安徽宿州三中2007年三模5）设l，m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是（ ）‎ A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥α ‎ C．若m∥α，则m⊥l D．若m∥l，则m⊥α ‎19.（安徽宿州三中2007年三模10）一个三棱锥S-ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两垂直,且长度分别为1,,3,则这个三棱锥外接球的表面积为( )‎ A. 16π B. 32π C. 36π D. 64π ‎ ‎20、(2007年安徽高考仿真一6)在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ 　）‎ A、1∶　　 B、1∶9　　　　 ‎ C、1∶　　　 D、1∶‎ ‎21、(2007年安徽高考仿真一6)已知l,m,表示直线，表示平面，下列条件中能推出结论的正确的是：‎ 条件：①l⊥m, l⊥, m⊥; ②∥, ∥; ③l⊥, ∥; ④ l⊥, m⊥‎ 结论：a: l ⊥ b: ⊥ c: l∥m d: ∥‎ A、①a,②b,③c,④d B、①c,②d,③a,④b ‎ C、①b,②d,③a,④c D、①d,②b,③a,④c ‎22．(安徽合肥2007年一模文12）如图正方体ABCD—A1B‎1C1D1，在它的12条 棱及12条面的对角线所在的直线中，选取若 干条直线确定平面，在所有的这些平面中：‎ ‎ （1）过B‎1C且与BD平行的平面有且只有一个；‎ ‎ （2）过B‎1C且与BD垂直的平面有且只有一个；‎ ‎ （3）存在平面α，过B‎1C且与直线BD所成的 角等于30°。‎ ‎ 其中是真命题的个数是 （ ）‎ ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎23．(安徽巢湖2007届3月联考12)设球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，A与B、A与C的球面距离都为，B与C的球面距离为，则球O在二面角B－OA－C内的那一部分的体积是______．‎ ‎24．(安徽淮南2007年一模16)如图甲所示，棱长均相等的三棱锥A-BCD，E是AC的中点，F是AD靠近A的三等分点，△BEF在各个面上的射影可能是图形乙中的 （1）（3）(4) .‎ ‎（1） （2） （3） （4） ‎ ‎ ‎ ‎（图甲） （图乙） ‎ ‎25．(安徽淮南2007年文科一模16)如图甲所示，正方体ABCD-A1B‎1 C1D1中，E、F分别是A A1、C1D1的中点，G是正方形BC C1B1的中心，则空间四边形 AGEF在该正方体的各个面上的射影可能是图形乙中的 （1）（3）(4) .‎ ‎ （1） （2） （3） （4） ‎ ‎（图乙）‎ ‎（图甲）‎ N M F E D C B A ‎26、（2007年皖北协作区联考理科14)如图,空间有两个正方形ABCD和ADEF,M,N分别 为BD,AE的中点,则以下结论中正确的是 ①③ .‎ ‎(填上所有正确结论对应的序号)‎ ‎① MN⊥AD ② MN与BF是异面直线 ‎③ MN∥平面ABF ④ MN与AB所成的角为60°‎ ‎27(安徽省“江南十校”2007年高三素质测试理科)如图，正方体的棱长为1，E为的中点。则下列五个命题 ‎①点E到平面的距离为；‎ ‎②直线BC与平面所成的角等于；‎ ‎③空间四边形在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为；‎ ‎④BE与所成角为；‎ ‎⑤二面角的大小为；‎ 其中真命题是____②③④__。（写出所有真命题的序号）‎ ‎28．(安徽省合肥市2007年第三次教学质量检测数学16)平面几何的很多性质可以推广到空间，如“两条对角线相等的平行四边形是矩形”推广到空间是“对角线相等的平行六面体是长方体”，请你把性质“平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和”推广到空间的命题是“ 平行四面体的四条对角线长的平方和等于12条棱长的平方和或平行六面体的六个对角面的面积的平方和等于六个面的面积平方和的两倍等 ”、‎ ‎29 （2007年安徽宿州第二次质量检测文16.）一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，且它的五个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为______ ___. ‎ ‎30．(2007届安徽皖南八校高三数学第二次联考13)已知一平面与正方体的12条棱的夹角均为，那么sin= .‎ ‎31．(安徽合肥工大附中2007届第四次月考理16） 如图，空间有两个正方形ABCD和ADEF，M、N分别为BD、AE的中点，则以下结论中正确的是 ① ③ （填写所‎100080‎ 有正确结论对应的序号）‎ ‎①MN⊥AD； ‎ ‎②MN与BF是对异面直线；‎ ‎③MN//平面ABF ‎ ‎④MN与AB所成角为60°‎ ‎32．(安徽合肥2007二检理15)如图，在四棱锥P—ABCD中，O为CD上的动点，VP—OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是 60° .‎ ‎33. (安徽巢湖2007二模15)如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为 ；‎ ‎34．（安徽宿州三中2007年三模15）球面上三点A，B，C，且AB=AC=BC=3，若球心到截面ABC的距离等于球半径的一半，则球的表面积为 16π 。‎ ‎35、(2007年安徽高考仿真二16)下表给出了四组命题：‎ ‎①‎ 直线∥平面 上两点到的距离相等 ‎②‎ 直线⊥平面 垂直于内无数条直线 ‎③‎ 平面∥平面 直线，且∥‎ ‎④‎ 平面内任一直线平行于平面 平面∥平面 其中满足是的充分必要条件的序号是__________①②③④_______。‎ ‎36、(2007年安徽高考仿真二14)如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于 60o ．‎ ‎37．(安徽合肥2007年一模文15）若半径为R的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比为 ‎ D C A B P D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ ‎38、（2007年皖北协作区联考理科20)（本小题满分12分） ‎ ‎ 如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B‎1C1D1是正方体，‎ 其中AB＝2，PA=‎ ‎(1)求证：PA⊥B1D1；‎ ‎(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角θ的大小；‎ ‎（3）求B1到平面PAD的距离。‎ 解法一：（1）连结AC，交BD于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD 又∵AC⊥BD ∴PA⊥BD ， ∵BD∥⊥B1D1………………………4分 ‎（2）∵AO⊥BD，AO⊥PO ∴AO⊥面PBD，‎ 过点O作OM⊥PD于点M，连结AM，则AM⊥PD，‎ 则∠AMO就是二面角A—PD—O的平面角。‎ ‎∵AB=2，PA= ∴AO=，PO==2，OM=‎ ‎∠AMO=，即二面角的大小为arctan……………8分 ‎(3) 分别取AD、BC的中点E、F，作平面PEF，延长PE、PF交底面于两点S、S1，平面PEF交B‎1C1于点B2，‎ 过点B2作B2B3⊥PS于点B3，则B2B3⊥平面PAD，‎ 又因为B‎1C1∥AD， 所以B2B3的长就是点B1到平面PAD的距离。‎ ‎∠PSS1=tan∠PEO= ‎ ‎ sin∠PSS1=而SB2=3，…………………………12分 解法二：‎ ‎ 以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A‎1A为z轴建立空间直角坐标系。‎ ‎（1）设E为BD的中点，P—ABCD是正四棱锥∴PE⊥平面ABCD ‎ ‎ 即PA⊥B1D1；‎ ‎（2）设平面PAD的法向量是m=(x,y, z)‎ ‎ 取z=1,得m=(-2,0,1)‎ 又∵平面BDD1B1的法向量是n=(1,1,0)‎ ‎39(安徽省“江南十校”2007年高三素质测试理科)（本大题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，对角线AC,BD的交点为O，为等边三角形，棱,M为EF的中点，‎ ‎①求证：；‎ ‎②求二面角E-CD-A的大小；‎ ‎③求点A到平面CDE的距离。‎ 解：①设P，Q分别为AB，CD的中点，连接PQ，EQ，FP，‎ 显然：P，O，Q共线；四边形EFPQ为等腰梯形；‎ MOPQ 又DCPQ,DCEQ DC平面PQEF CDMO 则MO平面ABCD………(6分)‎ ②由①知：二面角E-CD-A的平面角EQP，‎ 作ENPQ交PQ于N，‎ 则N为OQ的中点；…………………………(12分)‎ ③AB//平面CDE，A,P两点到平面CDE的距离相等，‎ 作PREQ于R，由 PR＝…………………………(12分)‎ 若用坐标法解答，参照评分标准相应给分。‎ ‎40、(安徽省三市2007年第二次联合质量检测4月理科21．)如图，在四棱锥中，底面是一直角梯形，，，，，且平面，与底面成角．‎ ‎(Ⅰ) 求证：平面平面；(Ⅱ) 求二面角的大小；‎ ‎(Ⅲ) 若，为垂足，求异面直线与 所成角的大小．‎ 解：(Ⅰ) 证明：∵，∴．……………………………1分 ‎∵底面，∴．………………………………………2分 又∵，∴平面．…………………………………3分 ‎∵平面，∴平面平面．…………………………4分 ‎(Ⅱ) 解：作，垂足为．‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面．‎ 作，垂足为，连结，由三垂线定理，得，‎ ‎∴是二面角的平面角．………………………………6分 ‎∵与底面成角，∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 在中，，……………………7分 在中，，………………8分 ‎∴在中，．‎ 因此，二面角的平面角为．…………………9分 ‎(Ⅲ) 设、分别为、的中点，连结、、，则．‎ ‎∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．‎ ‎∴或它的补角就是异面直线与所成角．……………11分 ‎∵，∴平面．‎ 又∵，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵，‎ ‎，12分 ‎∴在中，．…………13分 因此，异面直线与所成角为．……………………14分 ‎41．(2007届安徽皖南八校高三数学第二次联考20)（本小题满分12分）‎ 如图，已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0）,PA⊥平面—ABCD.‎ ‎100080‎ ‎ Ⅰ．问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由 ‎ Ⅱ．若PA=1，且BC边上有且只有一个点Q，使得 PQ⊥QD，求这时二面角Q—PD—A的大小.‎ 解：（Ⅰ）由三垂线定理得故当时，BC边上有两个眯，即以AD为直径的圆与BC有两个交点满足；当，BC边上存在一个点Q满足时，BC边上不存在点Q满足。……6分 ‎ （Ⅱ）O此时BC=2，Q为BC中点，设G为AD中点，作于H连QH、GQ，由题意得出是二面角的平面角，在中，，‎ 故 所求二面角大小为……………………12分 ‎42. （2007年安徽宿州第二次质量检测文20）（本题满分12分）‎ 如图：在多面体中，为中点，面，，‎ 且， ‎ Ｆ C D E A B （1） 求证：平面；‎ （2） 求二面角的大小；‎ （3） 求到平面的距离.‎ 解：法一：（1）取的中点，连结，由题意，四边形为矩形，面，，面. ………4分 ‎（2）连接，则，由（1）知，面， 过作于，连，则为二面角的平面角；由题意，，=，在中，，又=，在中，，二面角的大小为. ………8分 ‎（3），平面，到平面的距离等于到平面的距离，由（1）知，过作于，则为到平面的距离，，到平面的距离为.‎ ‎（也可用等积法） ………12分 法二：（1）同一（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，‎ D E A C B x z y 设分别为平面与平面的法向量，则 ‎；‎ ‎，‎ 二面角的余弦值为，‎ 二面角的大小为 ‎（3）到平面的距离为.‎ ‎43．(安徽省淮南市部分重点中学2007年高三数学素质测试19)（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.‎ ‎（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；‎ ‎（2）求点A到平面PBD的距离；‎ ‎（3）求二面角D—PB—C的大小.‎ 解法一：如图建立空间直角坐标系.‎ ‎ （1）平面PAC即XOZ平面的一个法向量（0，1，0），设平面PBD的一个法向量为 ‎ ，‎ ‎ 由 ‎ 由 ‎ 所以平面PBD⊥平面PAC …………4分 ‎ （2），点A到平面PBD的距离 ‎ …………8分 ‎ （3）平面PBD的法向量平面PBC的法向量 ‎ ‎ ‎ ∴二面角D—PB—C的大小为 …………12分 ‎ 解法二 ‎ （1）……4分 ‎ （2）连结PO，过A作AE⊥PO，平面PAC平面PBD=PO，‎ ‎ ∴AE⊥平面PBD，AE就是所求的距离，计算得AE= …………8分 ‎ （3）过C作CM⊥PO于M，则CM⊥平面PBD，过M作MN⊥PB于N，连CN，由三垂线定理，CN⊥PB，∴∠CNM为二面角C—PB—D的平面角.‎ ‎ 由（2）知CM=AE=，易知PB=2，AC=2，PC=4，‎ ‎ 利用面积关系，‎ ‎ 在△PCB中，由余弦定理，得 ‎ ，故所求的二面角为……12分 ‎44．(安徽省合肥市2007年第三次教学质量检测数学17)（本小题满分12分）‎ ‎ 已知，在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M为AD的中点。‎ ‎ （1）证明：EM⊥AB；‎ ‎ （2）求直线BM和平面ADE所成角的大小。‎ 解法一：‎ ‎ （1）如图，以C为原点，CA、CB、CE所在的射线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.‎ ‎ ………………1分 不妨设BD=1，则E（0，0，2），A（2，0，0），D（0，2，1），B（0，2，0）‎ 由M是AD的中点，得M……………………………………………………3分 ‎ （2）‎ 设面ADE的法向量n=（x，y，z）‎ 由……………8分 又…………………………………………10分 ‎∴直线BM和平面ADE所成角为……………………………………12分 解法二：‎ ‎（1）如图，过M作MN⊥AB，由DB⊥面ABC……2分 ‎∵M是AD中点，N是AB中点，CA=CB，‎ ‎∴CN⊥AB……………………………………4分 由三垂线定理，得EM⊥AB………………6分 ‎（2）设CB和ED延长线交于F，不妨设BD=1‎ 易求…………7分 ‎……………………………………9分 设B到面AEF的距离为h，由……………………11分 设直线BM和平面ADE所成角为 ‎………………………………………………………………12分 ‎45．(安徽淮南2007年一模20)（本小题满分12分）‎ A A1‎ B C C1‎ B1‎ 如图，已知斜三棱柱ABC-A1B‎1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为，且侧面ABB‎1 A1垂直底面ABC .‎ ‎（1）求二面角C-AB1-B的大小；‎ ‎（2）判定B‎1C与C‎1A是否垂直，并证明你的结论.‎ 解：简解：由三余弦公式易知cos∠B1BC= ‎ 设=a, = b, =c ，以{ a, b, c }为基底. 则a·b = a·c =2，b ·c =1‎ 以下两个大写字母向量不带箭头，以加粗表示）‎ ‎（1）取AB1中点M，则BM⊥AB1，2BM= a +c，|BM |=‎ 设m=xCA+yCB1=x(a－b)+y(c－b)=xa+yc－(x+y) b , x>0, y>0, 则在平面CAB1内， 令m⊥AB1‎ m ·AB1=[ xa+yc－(x+y) b] ·(c－a)=0‎ ‎∴2x+4y－x－y－4x－2y+2x+2y=0，即x=3y ‎∴m=y(‎3a－4 b+c), | m |=2y ‎< m , BM >即为所求，‎ cos< m , BM >=…==‎ ‎∴所求的角的大小为arccos ‎（2）B‎1C=b－c， C‎1A =a－b－c.‎ B‎1C ·C‎1A=b·a－b2－b·c－c·a+b·c+c2=0‎ ‎∴B‎1C⊥ C‎1A ‎46．(安徽巢湖2007届3月联考18)（本小题满分12分）‎ 如图，斜三棱柱ABC—A1B‎1C1，已知侧面BB‎1C1C与底面ABC 垂直，且，，BC＝BB1＝2，若二面角A－B1B－C为．‎ ‎（1）求证：AC⊥平面BB‎1C1C；‎ ‎（2）求AB1与平面BB‎1C1C所成角的正切值；‎ C A A1‎ B B1‎ C1‎ ‎（3）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P－BB‎1C为正三棱锥，并求点P到平面BB‎1C的距离．‎ 解：（1）∵面BB‎1C1C⊥面ABC,交线为BC，AC⊥BC，∴AC⊥面BB‎1C1C（4分）‎ ‎（2）连B‎1C，由（1）知AC⊥平面BB‎1C1C，‎ ‎∴∠CB‎1A就是AB1与平面BB‎1C1C所成的角。‎ 取BB1中点E，连CE，AE，在△CBB1中，BB1＝BC＝2，∠B1BC＝60°，‎ ‎∴△CBB1是正三角形，∴CE⊥BB1‎ 又AC⊥平面BB‎1C1C，∴AE⊥BB1，‎ ‎∴∠CEA为二面角A－BB1－C的平面角，∠CEA＝30° （6分）‎ 在Rt△CEA中，AC＝CEtan30°＝1‎ ‎∴在Rt△AB‎1C中， （8分）‎ ‎（3）在CE上取点P1，使，则P1为△B1BC的重心即中心 作P1P∥AC交AE于P ‎∵AC⊥平面BB‎1C1C，∴PP1⊥面BB‎1C1C，‎ 即P在平面B‎1C1C上的射影是△BCB1中心 ‎∴P－BB‎1C为正三棱锥，且 ‎∴，即P到平面BB‎1C的距离为 （12分）‎ ‎47．(安徽合肥工大附中2007届第四次月考理18）在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，英才苑M是棱AB的中点 ‎ （1）求证：BC∥平面A1MD1；‎ ‎ （2）求二面角A1－D‎1M－C的大小.‎ 解：（1）∥B‎1C1，B‎1C1∥A1D1，∴BC∥A1D1.‎ 又A1D1平面A1MD1，BC平面A1MD1‎ ‎ ∥平面A1MD1；………………………………………………5分 ‎ （2）设平面A1MD1与棱DC相交于点N，连结D1N，则点N是DC的中点.‎ ‎ ∵A1D1⊥平面D1DCC1，A1D1平面A1MND1‎ ‎ ∴平面A1MND1⊥平面D1DCC1，且D1N是交线.‎ 过点C作CH⊥D1N于H点，则CH⊥平面A1MND1，‎ 再过H作HO⊥D‎1M于O点，连结CO，根据三垂线定理得CO⊥D‎1M，‎ 从而∠COH是二面角C－D‎1M－N，也就是所求二面角A1－D‎1M－C的补二面角的平面角.…………………………………………………………………8分 设正方体的棱长为2，则在Rt△DND1中，由于DD1=2，DN=，所以有 在Rt△CHN中，由于所以有.‎ 又由于可求得 所以在△MD‎1C中有 进而有 根据三角形面积公式得 从而在Rt△CHO中，‎ 因此所求的二面角A1－D‎1M－C的大小为…………12分 向量作法：分别以直线DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系 D－xyz，并设正方体的棱长为2，则相关点的坐标分别为 A1（2，0，2），D1（0，0，2），C（0，2，0），M（2，1，0）………6分 设是平面A1MD1的法向量，则 而且所以有 ‎，即 令z=1，则y=2，x=0，从而…………………………8分 再设是平面CMD1的法向量，则 而且，所以有 ‎，即 令，则，从而……………………10分 设是所求二面角的平面角，则是钝角，并且有 即为所求.………………12分 ‎48．(安徽合肥2007二检理18)（本小题满分12分）‎ ‎ 直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，侧棱CC1 = 2，∠BAC = 90°，，M是棱BC的中点，N是CC1中点，求 ‎ （1）二面角B1—AN—M的大小；‎ ‎ （2）C1到平面AMN的距离.‎ 解：解法一：（1）建立坐标系如图所示，则 ‎…………………………1分 设平面AMN的法向量为，平面AB1N的 法向量为 …………………………2分 由，得，‎ 令，则，于是 …………………………3分 由，得，‎ 令，则，于是 ……………………………4分 ‎ ……………………………………………………5分 所以二面角B1—AN—M的大小 ……………………………………6分 ‎ （2），C1到平面AMN的距离：………12分 ‎ 解法二：∵∠BAC = 90°，AB = AC =，M是棱BC的中点.‎ ‎∴AM⊥BC，BC = 2，AM = 1，‎ ‎∴AM⊥平面BCC1B1，‎ ‎∴平面⊥AMN⊥平面BCC1B1.……………………………2分 ‎ （1）作B1H⊥MN于H，HR⊥AN于R，连B1R ‎∵平面AMN∩平面BCC1B1 = MN ‎∴B1H⊥平面⊥AMN，又由三垂线定理知，B1R⊥AN，‎ ‎∴∠B1RH是二面角B1—AN—M的平面角…………3分 由已知得 ‎ ‎，则 又Rt△AMN～Rt△HRN，‎ ‎ ……………………………………5分 所以二面角B1—AN—M的大小 ……………………………………6分 ‎ （2）∵N是CC1中点 ‎∴C1到平面AMN的距离等于C到平面AMN的距离 设C到平面AMN的距离为h，‎ 由VC—AMN = VN—AMC得 ‎ …………………………………………………………12分 ‎49、19.(12分）在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB＝，EF＝EC＝1， ‎ ⑴求证：平面BEF⊥平面DEF；‎ ⑵求二面角A－BF－E的大小。‎ 解法1：⑴ ①证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，‎ ‎∴EC⊥平面ABCD；连接BD交AC于点O，连接FO，‎ ‎∵正方形ABCD的边长为，∴AC＝BD＝2； ‎ 在直角梯形ACEF中，∵EF＝EC＝1，O为AC中点，‎ ‎∴FO∥EC，且FO＝1；易求得DF＝BF＝，‎ DE＝BE＝，由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF，‎ ‎∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角，‎ 由BF＝DF＝，BD＝2可知∠BFD＝，‎ ‎∴平面BEF⊥平面DEF ………………（6分）‎ ⑵取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，∵AB＝BF＝AF＝，∴AM⊥BF，‎ 又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。‎ 易求得，；‎ 在Rt△中，可求得，‎ ‎∴在△中，由余弦定理求得，‎ ‎∴ ……………………………（12分）‎ 解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；‎ 建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则 ‎,,,,‎ ‎∴，，…(2分)‎ 设平面BEF、平面DEF的法向量分别为 ‎，则 ‎ ①‎ ‎ ②， ③, ④.‎ 由①③③④解得,∴,…（4分）‎ ‎∴，∴，故平面BEF⊥平面DEF…………（6分）‎ ⑵设平面ABF的法向量为，∵，‎ ‎∴，，解得 ‎∴，………（8分）∴……（10分）‎ 由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，故所求二面角的大小为…（12分）‎ ‎50、(安徽六校2007届4月联考文18)如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=。‎ ‎ （1）求证：OA⊥平面BCD；‎ ‎（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；‎ ‎（3）求点E到平面ACD的距离；‎ ‎ 解：、（1）连结OC∵AB=AD且O为BD的中点∴AO⊥BD，AO=1，OC=∴OA2+OC2=AC2∴AO⊥OC∵BD∩OC=O∴AO⊥平面BCD。‎ ‎（2）取AC的中点F，连结EF、OF。∴OE=1=OF,EF=∴cos∠OEF= ∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.‎ ‎(3)利用体积法易求得点E到平面ACD的距离为。‎ ‎51、（安徽宿州三中2007年三模20）（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD, ，，E是PB的中点.‎ P A B C D E ‎（Ⅰ）求证：EC//平面APD；‎ ‎（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角；‎ ‎(Ⅲ) 求二面角P-AB-D的大小.‎ 解法一：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF、FD，‎ ‎∵E是BP的中点，‎ ‎∵EF//AB且，‎ 又∵‎ ‎∴EFDC∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC//FD …………2分 又∵EC平面PAD，FD平面PAD ‎ ∴EC//平面ADE …………4分 P A B C D E F H G ‎（Ⅱ）取AD中点H，连结PH，因为PA=PD，所以PH⊥AD ‎∵平面PAD⊥平面ABCD于AD ‎ ∴PH⊥面ABCD ‎ ∴HB是PB在平面ABCD内的射影 ‎ ∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角 …………6分 ‎ ∵四边形ABCD中， ‎ ‎ ∴四边形ABCD是直角梯形 ‎ 设AB=‎2a，则，‎ 在中,易得,‎ ‎，‎ 又∵，‎ ‎∴是等腰直角三角形，‎ ‎∴‎ ‎ ∴在中， …………8分 ‎(Ⅲ)在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=‎2a …………11分 ‎，又∴‎ 在中， ‎ ‎ ∴二面角P-AB-D的大小为 …………12分 ‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一 4分 ‎（Ⅱ）设AB=‎2a，同解法一中的（Ⅱ）可得 ‎ 如图，以D点为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过D点且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系. …………5分 P A B C D E x y z 则，，则，平面ABCD的一个法向量为m=（0，0，1）， …………7分 所以，‎ 可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为 所以 PB与平面ABCD所成角的正切值为 …………8分 ‎(Ⅲ)易知，则，设平面PAB的一个法向量为 ‎，则 ，令，可得…‎ ‎ 得，所以二面角P-AB-D的大小为…………12分 ‎52．（安徽宿州三中2007年三模20）（本小题满分12分） 如图，正三棱柱ABC－A1B‎1C1的各棱长都等于2，D为AC1的中点，F为BB1中点， ‎ ‎（1）求证: FD⊥AC1‎ ‎（2）求二面角F－AC1－C的大小；‎ ‎（3）求点C1到平面AFC的距离.‎ ‎2,4,6‎ 解（解法一）（1）连AF，FC1，因为三棱柱ABC－A1B‎1C1是正三棱柱且各棱长都等于2，又F为BB1中点，‎ ‎ ∴Rt△ABF≌Rt△C1B‎1F，∴AF＝FC1.‎ ‎ 又在△AFC1中，D为AC1的中点，∴FD⊥AC1，‎ ‎ ……（4分）‎ ‎ （2）取AC的中点E，连接BE及DE，易得DE与FB平行且相等，所以四边形DEBF是平行四边形，所以FD与BE平行。‎ 因为三棱柱ABC－A1B‎1C1是正三棱柱，‎ 所以△ABC是正三角形，∴BE⊥AC，∴FD⊥AC，又∵FD⊥AC1，∴FD⊥平面ACC1，‎ 所以二面角F－AC1－C的大小为.　　　　（9分）‎ ‎ （3）运用等积法求解：AC＝2，AF＝CF＝，可求，‎ ‎，‎ ‎，得.　　　 …………（12分）‎ ‎（解法二）(1)取BC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系。‎ ‎ 由已知得 则D,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ 　（4分）‎ ‎ （2）设平面FAC1的一个法向量为 ‎ ，由得，‎ ‎ 又由，得，‎ ‎ ‎ ‎ 由上可得平面ACC1的一个法向量为.　　　 …………（6分）‎ ‎ .‎ ‎ 故二面角F－AC1－C的大小为.　（8分）‎ ‎ （3）设平面AFC的一个法向量为，‎ ‎ 由得，‎ ‎ 由得.‎ ‎ 解得 ‎ 所以C1到平面AFC的距离为 ‎ .‎ ‎53、(2007年安徽高考仿真二20)（本题满分12分）‎ Q B C P A D 如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.‎ ‎⑴ 证明PQ⊥平面ABCD; ‎ ‎ ⑵ 求异面直线AQ与PB所成的角;‎ ‎ ⑶ 求点P到平面QAD的距离.‎ 解法一：‎ ‎⑴ 连结AC、BD，设.由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，‎ 所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，‎ 所以PQ⊥平面ABCD.‎ ‎ 由题设知，ABCD是正方形，所以．‎ ‎⑵ 由⑴，平面，故可以分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如上图），由题设条件，相关各点的坐标分别是，，,所以,,‎ 于是 从而异面直线AQ与PB所成的角是.‎ ‎⑶ 由⑵，点D的坐标是（0，－，0），，，‎ 设是平面QAD的一个法向量，‎ 由 得.取x=1，得.‎ 所以点P到平面QAD的距离.‎ 解法二：‎ ‎⑴ 取AD的中点M，连结PM，QM.因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，‎ 所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.‎ 又平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.‎ Q B C P A D O M ‎⑵ 连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及 正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四 点共面.取OC的中点N，连结PN．‎ 因为，所以，‎ 从而AQ∥PＮ.∠BPＮ（或其补角）是异面直线AQ 与PB所成的角.连接BN，‎ 因为．‎ 所以．‎ 从而异面直线AQ与PB所成的角是．‎ ‎⑶ 由⑴知，AD⊥平面PＱM，所以平面PＱM⊥平面QAD. 过Ｐ作ＰＨ⊥ＱＭ于Ｈ，‎ 则ＰＨ⊥平面QAD，所以ＰＨ的长为点P到平面QAD的距离．‎ 连结OM，则.所以，‎ 又ＰＱ＝ＰＯ＋ＱＯ＝３，于是.‎ 即点P到平面QAD的距离是.‎ ‎54、（(2007年安徽高考仿真一20)本题满分12分）‎ 如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点， ‎ ‎⑴ 求点E、F在该球面上的球面距离；‎ ‎⑵ 求平面OEF与平面OBC所成的锐二面角。（用反三角函数表示）‎ 解：⑴解法一：如图1，证明‎0M=0N=MN=AB=BC=AC,从而∠MON=‎ ‎∴点E、F在该球面上的球面距离为.‎ 解法二：如图2，补形易证：∠EOF=∠GOH =.‎ 解法三：其实，易证：∠EOF=.‎ 解法四：如图3，建立空间直角坐标系，易知E(,0, )、F(0,, )‎ ‎∴，从而∠EOF =. …………………6分 P Q ‎⑴ ⑵ ⑶‎ ‎⑵ 解法一：如图1，取BC中点P,连接AP交MN与Q,则易证，∠POQ就是所求二面角的平面角。‎ 在三角形OPQ中，OP=,PQ=OQ=AP=,可解得cos∠POQ=，‎ ‎∴∠POQ=arcos（=arctan）. ……………………………12分 解法二：如图2，补形成正方体去解决.‎ 解法三：如图3，建立空间直角坐标系去求解。‎ ‎55．(安徽合肥2007年一模文19）（本小题满分12分）‎ 如图，正四棱柱ABCD—A1B‎1C1D的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G分别为CC1、‎ DD1、AA1中点。‎ ‎ （1）求证：A‎1F⊥面BEF；‎ ‎ （2）求证：GC1//面BEF；‎ ‎ （3）求直线A1B与面BEF所成的角.‎ 证法一：以A为原点，分别以射线AB、AD、AA1为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立如图所示的坐标系。由已知得，B（1，0，0），E（1，1，1），F（0，1，1），A1（0，0，2），C1（1，1，2）G（0，0，1），‎ ‎ （1）‎ ‎ ‎ ‎ 又∵BE∩EF=E ∴A‎1F⊥面BEF ‎ （2）由（1）‎ ‎ ∵G（0，0，1），C1（1，1，2）‎ ‎∴ （1，1，1）， ‎ ‎∴//面BEF，且C1面BEF ‎ ‎∴GC1//面BEF………………………………8分 ‎ （3）由A‎1F⊥面BEF得A1B在面BEF上的射影为BF ‎ ∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角，由已知，A‎1F=‎ ‎ ∴sin∠A1BF= ∴∠A1BF=arcsin ………………………………12分 证明二：连接AF、AE ‎ （1）∵E、F分别为DD1、CC1的中点 ‎ ∴EF//AB且EF=AB ‎∴四边形ABEF为平行四边形 又在正四棱柱ABCD—A1B‎1C1D1中，AB⊥面AA1D1D，‎ ‎∴AB⊥A‎1F ∴EF⊥A‎1F 由已知得AF=，A‎1F=，AA1=2‎ ‎∴A‎1F2+AF2=AA12，∴AF⊥A‎1F 又AF∩EF=F ∴A‎1F⊥面ABEF 即A‎1F⊥面BEF…………………………4分 ‎ （2）∵G、E分别为AA1、CC1中点，‎ ‎∴AG//EC1且AG=EC1 ‎ ‎∴AE//GC1‎ 而AE面BEF，GC1面BEF ‎ ‎∴GC1//面BEF……………………………………………………………………8分 ‎ （3）（同证法一（3））‎ www.ks5u.com