高考文科数学试题汇编函数与导数教师用 17页

函数与导数 一、选择题 ‎（安徽文5）若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是 ‎（A）（，b） (B) (‎10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)‎ ‎【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.‎ ‎【解析】由题意，，即也在函数 图像上.‎ ‎0.5‎ ‎1‎ x y O ‎0.5‎ ‎(安徽文10) 函数在 ‎ 区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可 能是 ‎（A）1 (B) 2 ‎ ‎ (C) 3 (D) 4‎ ‎【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.‎ ‎【解析】代入验证，当时， ‎ ‎，则，‎ 由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选A.‎ ‎（北京文8）已知点,,若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为 ‎ A. 4 B. ‎3 ‎ C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎（福建文6）若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 A．（－1，1） B．（－2，2）‎ C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）‎ ‎【答案】C ‎（福建文8）已知函数f(x)＝，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 ‎ A．－3 B．－‎1 C．1 D．3‎ ‎【答案】A ‎（福建文10）若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于 A．2 B．‎3 ‎ C．6 D．9 ‎ ‎【答案】D ‎（广东文4）函数的定义域是 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎（湖南文7）曲线在点处的切线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，所以 ‎。‎ ‎（湖南文8）已知函数若有则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可知，，若有则，即，解得。‎ ‎（江西文3）若，则的定义域为( )‎ ‎ B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】 ‎ ‎（江西文4）曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）‎ A.1 B‎.2 C. D.‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】 ‎ ‎（辽宁文6）若函数为奇函数，则a= ‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎（全国Ⅰ文4）曲线在点（1,0）处的切线方程为 ‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎ (全国Ⅰ文9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则= ‎ ‎ （A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎（山东文4）曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ‎ （A）-9 （B）-3 （C）9 （D）15‎ ‎【答案】C ‎（陕西文4） 函数的图像是 （ ） ‎ ‎【答案】B ‎【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．‎ ‎【解析】 取，，则，，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．‎ ‎（上海文15）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎（四川文4）函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是 ‎【答案】A ‎【解析】图象过点，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点且单调递减，选A．‎ ‎（天津文4）函数的零点所在的一个区间是（　　）．‎ ‎　　Ａ．　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　Ｄ．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，，‎ ‎，所以函数的零点所在的一个区间是．故选Ｃ．‎ ‎（天津文6）设，，，则（　　　）．‎ ‎　　Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，，，‎ 所以，‎ 所以，故选Ｄ．‎ ‎(重庆文3)曲线在点,处的切线方程为 ‎ ‎(A)　　　　　　　　　　(B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(重庆文6)设,,,则,,的大小关系是 ‎(A)　　　　　　　　　　(B)‎ ‎(C)　　　　　　　　　　(D)‎ ‎【答案】B ‎ (重庆文7)若函数在处取最小值,则 ‎ ‎(A)　　　　　　　　　　　(B)‎ ‎(C)3　　　　　　　　　　　　 (D)4‎ ‎【答案】C 二、填空题 ‎（浙江文11）设函数 ,若,则实数=______________‎ ‎【答案】-1‎ ‎（天津文16）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是　　　　．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】解法1．显然，由于函数对是增函数，‎ 则当时，不恒成立，因此．‎ 当时，函数在 是减函数，‎ 因此当时，取得最大值，‎ 于是恒成立等价于的最大值，‎ 即，解得．于是实数的取值范围是．‎ 解法2．然，由于函数对是增函数，则当时，不成立，因此．‎ ‎，‎ 因为，，则，设函数，则当时为增函数，于是时，取得最小值．‎ 解得．于是实数的取值范围是．‎ 解法3．因为对任意，恒成立，所以对，不等式也成立，于是，即，解得．于是实数的取值范围是．‎ ‎（上海文3）若函数的反函数为，则 ‎ ‎【答案】‎ ‎（陕西文11）设，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】由算起，先判断的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．‎ ‎【解析】∵，∴，所以，即．‎ ‎（辽宁文16）已知函数有零点，则的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎（江苏2）函数的单调增区间是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在在大于零,且增.‎ 本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题 ‎（江苏8）在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________.‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】设经过原点的直线与函数的交点为，，则.‎ 本题主要考查幂函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等式，中档题.‎ ‎（江苏11）已知实数，函数，若，则a的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 .‎ ‎，不符合；‎ ‎ .‎ 本题主要考查函数概念，函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论，中档题.‎ ‎（湖南文12）已知为奇函数， ．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】，又为奇函数，所以 ‎。‎ ‎（湖北文15）里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。‎ ‎【答案】6，10000‎ ‎（广东文12）设函数若，则 ．‎ ‎【答案】-9‎ ‎（安徽文13）函数的定义域是 . ‎ ‎【答案】（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.‎ ‎【解析】由可得，即，所以.‎ 三、解答题 ‎（北京文18）已知函数，（I）求的单调区间；‎ ‎（II）求在区间上的最小值。‎ 解：（I），令；所以在上递减，在上递增；‎ ‎（II）当时，函数在区间上递增，所以；‎ 当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；‎ 当时，函数在区间上递减，所以。‎ ‎（广东文19） 设,讨论函数 的单调性．‎ 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）‎ 综上所述，f(x)的单调区间如下表：‎ ‎（其中）‎ ‎（湖北文20）设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线。‎ ‎(I) 求a、b的值，并写出切线的方程；‎ ‎(II)若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。‎ 解：(I)，由于曲线曲线与在点（2,0）处有相同的切线，故有，由此解得：；‎ 切线的方程：‘‎ ‎(II)由(I)得，依题意得：方程有三个互不相等的根 ‎，故是方程的两个相异实根，所以 ‎；‎ 又对任意的，恒成立，特别地，取时，‎ 成立，即，由韦达定理知：，故，对任意的，有，则：‎ ‎；又 所以函数在上的最大值为0，于是当时对任意的，恒成立；综上：的取值范围是。‎ ‎（湖南文22）设函数 ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ 解析：（I）的定义域为 ‎ ‎ 令 当故上单调递增．‎ 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．‎ 当的两根为，‎ 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（II）由（I）知，．‎ 因为，所以 又由(I)知，．于是 若存在，使得则．即．亦即 再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得 ‎（江西文20）设.‎ ‎ （1）如果在处取得最小值，求的解析式；‎ ‎ （2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和 ‎ ‎ 的值．(注：区间的长度为）‎ ‎.解：（1）已知，‎ 又在处取极值，‎ 则，又在处取最小值-5.‎ 则，‎ ‎（2）要使单调递减，则 又递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b。即有：‎ b-a为区间长度。又 又b-a为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合。‎ ‎（辽宁文20）设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．‎ ‎（I）求a，b的值；（II）证明：≤2x-2．‎ 解：（I） ‎ 由已知条件得，解得 ‎ ‎ （II），由（I）知 设则 而 ‎ ‎（全国Ⅰ文21）设函数 ‎（Ⅰ）若a=，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围 ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）时，，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。‎ ‎（Ⅱ）。令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.‎ 若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0.综合得的取值范围为 ‎（全国Ⅱ文20）已知函数 ‎(Ⅰ)证明：曲线 ‎（Ⅱ）若,求的取值范围。‎ ‎【解析】(Ⅰ) ，，又 曲线的切线方程是：，在上式中令，得 所以曲线 ‎（Ⅱ）由得，（i）当时，没有极小值；‎ ‎(ii)当或时，由得 故。由题设知，当时，不等式 无解；‎ 当时，解不等式得 综合(i)(ii)得的取值范围是。‎ ‎（陕西文21）设，．‎ ‎（1）求的单调区间和最小值；‎ ‎（2）讨论与的大小关系；‎ ‎（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．‎ ‎【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意＞0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题．‎ ‎【解】（1）由题设知，∴令0得=1，‎ 当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。‎ 当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，‎ 因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为 ‎(2)，设，则，‎ 当时，，即，当时，，‎ 因此，在内单调递减，当时，，即 ‎（3）由（1）知的最小值为1，所以，，对任意，成立 即从而得。‎ ‎（上海文21）已知函数，其中常数满足 ‎（1）若，判断函数的单调性；‎ ‎（2）若，求时的的取值范围.‎ 解：⑴ 当时，任意，‎ 则 ‎∵ ，，‎ ‎∴ ，函数在上是增函数。当时，同理函数在上是减函数。‎ ‎⑵ ‎ 当时，，则；‎ 当时，，则。‎ ‎（四川文22）已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）设函数F(x)＝‎18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅱ）设，解关于x的方程；‎ ‎（Ⅲ）设，证明：．‎ 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎．‎ 令，得（舍去）．‎ 当时．；当时，，‎ 故当时，为增函数；当时，为减函数．‎ 为的极大值点，且．‎ ‎（Ⅱ）方法一：原方程可化为，‎ 即为，且 ‎①当时，，则，即，‎ ‎，此时，∵，‎ 此时方程仅有一解．‎ ‎②当时，，由，得，，‎ 若，则，方程有两解；‎ 若时，则，方程有一解；‎ 若或，原方程无解．‎ 方法二：原方程可化为，‎ 即，‎ ‎①当时，原方程有一解；‎ ‎②当时，原方程有二解；‎ ‎③当时，原方程有一解；‎ ‎④当或时，原方程无解．‎ ‎（Ⅲ）由已知得，‎ ‎．‎ 设数列的前n项和为，且（）‎ 从而有，当时，．‎ 又 ‎．‎ 即对任意时，有，又因为，所以．‎ 则，故原不等式成立．‎ ‎（天津文20）已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【解】（Ⅰ）当时，，．，．‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）．‎ 令，解得或．针对区间，需分两种情况讨论：‎ ‎(1) 若,则．‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 增 极大值 减 所以在区间上的最小值在区间的端点得到．因此在区间上，恒成立，等价于 ‎　　即解得，又因为，所以．‎ ‎(2) 若，则． 当变化时，的变化情况如下表：‎ 增 极大值 减 极小值 增 所以在区间上的最小值在区间的端点或处得到．‎ 因此在区间上，恒成立，等价于　　　即 解得或，又因为，所以．‎ 综合(1),(2), 的取值范围为.‎ ‎（浙江文21）设函数，‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．‎ ‎ 注：为自然对数的底数．‎ ‎（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。‎ ‎ （Ⅰ）解：因为，所以 ‎ 由于，所以的增区间为，减区间为 ‎ （Ⅱ）证明：由题意得，，由（Ⅰ）知内单调递增，‎ ‎ 要使恒成立，只要，解得 ‎(重庆文19)设的导数为,若函数的图象关于直线对称，且.](Ⅰ)求实数,的值;(Ⅱ)求函数的极值 解：(Ⅰ)，函数的图象关于直线 对称，‎ 所以，又；‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)，‎ 令；‎ 函数在上递增，在上递减，在上递增，所以函数在处取得极大值，在处取得极大值。 ‎