高考数学理一轮复习教案第九篇解析几何两条直线的位置关系 9页

第2讲　两条直线的位置关系 ‎【2013年高考会这样考】‎ ‎1．考查两直线的平行与垂直．‎ ‎2．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式．‎ ‎【复习指导】‎ ‎1．对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系．‎ ‎2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．‎ 基础梳理 ‎1．两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．‎ ‎(2)两条直线垂直 ‎①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1.‎ ‎②如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直．‎ ‎2．两直线相交 交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．‎ 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；‎ 平行⇔方程组无解；‎ 重合⇔方程组有无数个解．‎ ‎3．三种距离公式 ‎(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.‎ 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.‎ ‎(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.‎ ‎(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.‎ 一条规律 与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：‎ 一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.‎ 两个防范 ‎(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．‎ ‎(2)在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中的x，y系数化为分别相等．‎ 三种对称 ‎(1)点关于点的对称 点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．‎ ‎(2)点关于直线的对称 设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点P′(x′，y′)，‎ 则有可求出x′，y′.‎ ‎ (3)直线关于直线的对称 ‎①若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；②若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线．‎ 双基自测 ‎1．(人教A版教材习题改编)直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为(　　)．‎ A．－3 B．－ C．2 D．3‎ 解析　由×＝－1，得：a＝3.‎ 答案　D ‎2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)．‎ A．1 B.C．2 D. 解析　d＝＝.‎ 答案　D ‎3．(2012·银川月考)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)．‎ A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0‎ C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0‎ 解析　∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线斜率k＝，排除C、D.又直线过点(1,0)，排除B，故选A.‎ 答案　A ‎4．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是(　　)．‎ A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)‎ C．(－a，－b) D．(－b，－a)‎ 解析　设对称点为(x′，y′)，则 解得：x′＝－b－1，y′＝－a－1.‎ 答案　B ‎5．平行线l1：3x－2y－5＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为________．‎ 解析　直线l2变为：3x－2y＋＝0，由平行线间的距离公式得：d＝＝.‎ 答案　 考向一　两条直线平行与垂直的判定及应用 ‎【例1】►(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________.‎ ‎(2)“ab＝‎4”‎是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的(　　)．‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[审题视点] (1)利用k1·k2＝－1解题．(2)抓住ab＝4能否得到两直线平行，反之两直线平行能否一定得ab＝4.‎ 解析　(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1.‎ ‎(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－＝－且－≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝‎4”‎是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件．‎ 答案　(1)－1　(2)C ‎ (1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．‎ ‎(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.‎ ‎②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.‎ 则：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.‎ ‎(3)注意转化与化归思想的应用．‎ ‎【训练1】 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：‎ ‎(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合．‎ 解　(1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0，‎ 解得m≠－1且m≠3.‎ 故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交．‎ ‎(2)当1·(m－2)＋m·3＝0，即m＝时，l1⊥l2.‎ ‎(3)当1×3＝m(m－2)且1×‎2m≠6×(m－2)或m×‎2m≠3×6，即m＝－1时，l1∥l2.‎ ‎(4)当1×3＝m(m－2)且1×‎2m＝6×(m－2)，即m＝3时，‎ l1与l2重合．‎ 考向二　两直线的交点 ‎【例2】►求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．‎ ‎[审题视点] 可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．‎ 解　法一　先解方程组 得l1、l2的交点坐标为(－1,2)，‎ 再由l3的斜率求出l的斜率为－，‎ 于是由直线的点斜式方程求出l：‎ y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.‎ 法二　由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，‎ 故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，‎ 故l的方程为5x＋3y－1＝0.‎ 法三　由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，‎ 将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.‎ 其斜率－＝－，解得λ＝，‎ 代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.‎ ‎ 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：‎ ‎(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是：‎ Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；‎ ‎(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；‎ ‎(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.‎ ‎【训练2】 直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．‎ 解　法一　设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足 即解得 因此直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0.‎ 法二　设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.‎ 由得x＝.‎ 由得x＝.‎ 则＋＝－2，解得k＝－3.‎ 因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.‎ 法三　两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①‎ 将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)，‎ 整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程：‎ ‎(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.②‎ ‎①－②整理得3x＋y＋1＝0.‎ 考向三　距离公式的应用 ‎【例3】►(2011·北京东城模拟)若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.‎ ‎[审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a.‎ 解析　由题意，得＝，即4a－a2＋6＝±6，解之得a＝0或－2或4或6.‎ 检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6.‎ 答案　－2或4或6‎ ‎ 用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．‎ ‎【训练3】 已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为 ，求直线l1的方程．‎ 解　∵l1∥l2，∴＝≠，∴或 ‎(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0.∴＝，解得n＝－22或n＝18.‎ 所以，所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.‎ ‎(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0，∴＝，解得n＝－18或n＝22.‎ 所以，所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.‎ 考向四　对称问题 ‎【例4】►光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．‎ ‎[审题视点] 设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则直线A′D′经过点B与C.‎ 解　作出草图，‎ 如图所示．设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.‎ ‎ 解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．‎ ‎【训练4】 已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(　　)．‎ A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0‎ C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0‎ 解析　l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则 得即(1,0)、(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0.‎ 答案　B 难点突破19——两直线平行与垂直问题的求解策略 从近两年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有参数，问题的难点就是确定这些参数值，方法是根据两直线平行、垂直时所满足的条件列关于参数的方程(组)，通过解方程(组)求出参数值，但要使参数符合题目本身的要求，解题时注意直线方程本身的限制．‎ ‎【示例1】►(2011·浙江)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.‎ ‎【示例2】►(2010·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)．‎ A．1或3 B．1或‎5 C．3或5 D．1或2‎ ‎.精品资料。欢迎使用。‎ ‎.精品资料。欢迎使用。‎