高考试题及答案数学理科天津卷 14页

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 祝各位考生考试顺利!‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．‎ ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．‎ ‎3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．‎ 参考公式：‎ ‎·如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ ‎·如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 ‎ ‎ 一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．是虚数单位，（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（　　）‎ Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14‎ ‎3．“”是“”的（　　）‎ Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ‎4．设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线 的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎5．函数的反函数是（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎6．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）‎ Ａ．若与所成的角相等，则 Ｂ．若，，则 Ｃ．若，则 Ｄ．若，，则 ‎7．在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（　　）‎ Ａ．在区间上是增函数，在区间上是增函数 Ｂ．在区间上是增函数，在区间上是减函数 Ｃ．在区间上是减函数，在区间上是增函数 Ｄ．在区间上是减函数，在区间上是减函数 ‎8．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）‎ Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8‎ ‎9．设均为正数，且，，．则（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎10．设两个向量和，其中 为实数．若，中央电视台的取值范围是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．答案前将密封线内的项目填写清楚．‎ ‎2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．‎ ‎3．本卷共12小题，共100分．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．‎ ‎11．若的二项展开式中的系数为，则　　　　（用数字作答）．‎ ‎12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　　．‎ ‎13．设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　　　　．‎ ‎14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　．‎ ‎15．如图，在中，，是边上一点，，则　　　　　．‎ ‎16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．‎ ‎（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；‎ ‎（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；‎ ‎（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）证明平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 在数列中，，其中．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和；‎ ‎（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．‎ ‎1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ ‎ ‎6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．‎ ‎11．2 12． 13．3 ‎ ‎14． 15． 16．390‎ 三、解答题 ‎17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解：．‎ 因此，函数的最小正周期为．‎ ‎（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，‎ 故函数在区间上的最大值为，最小值为．‎ 解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：‎ y x O 由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为．‎ ‎18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，．‎ 故取出的4个球均为黑球的概率为．‎ ‎（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，‎ 且，．‎ 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．‎ ‎（Ⅲ）解：可能的取值为．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，‎ ‎．从而．‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望．‎ ‎19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．‎ ‎，平面．‎ 而平面，．‎ ‎（Ⅱ）证明：由，，可得．‎ 是的中点，．‎ 由（Ⅰ）知，，且，所以平面．‎ 而平面，．‎ 底面在底面内的射影是，，．‎ 又，综上得平面．‎ ‎（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．‎ 因此是二面角的平面角．‎ 由已知，得．设，‎ 可得．‎ 在中，，，‎ 则．‎ 在中，．‎ 所以二面角的大小是．‎ 解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．‎ 过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．‎ 由已知，可得，设，‎ 可得．‎ ‎，．‎ 于是，．‎ 在中，．‎ 所以二面角的大小是．‎ ‎20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解：当时，，，‎ 又，．‎ 所以，曲线在点处的切线方程为，‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）解：．‎ 由于，以下分两种情况讨论．‎ ‎（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 极大值 所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．‎ 函数在处取得极小值，且，‎ 函数在处取得极大值，且．‎ ‎（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．‎ 函数在处取得极大值，且．‎ 函数在处取得极小值，且．‎ ‎21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解法一：，‎ ‎，‎ ‎．‎ 由此可猜想出数列的通项公式为．‎ 以下用数学归纳法证明．‎ ‎（1）当时，，等式成立．‎ ‎（2）假设当时等式成立，即，‎ 那么 ‎．‎ 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．‎ 解法二：由，，‎ 可得，‎ 所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）解：设，　　　①‎ ‎　　　　　　　　②‎ 当时，①式减去②式，‎ 得，‎ ‎．‎ 这时数列的前项和．‎ 当时，．这时数列的前项和．‎ ‎（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：‎ ‎．　　　　③‎ 由知，要使③式成立，只要，‎ 因为 ‎．‎ 所以③式成立．‎ 因此，存在，使得对任意均成立．‎ ‎22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．‎ 解得，从而得到．‎ 直线的方程为，整理得．‎ 由题设，原点到直线的距离为，即，‎ 将代入上式并化简得，即．‎ 证法二：同证法一，得到点的坐标为．‎ 过点作，垂足为，易知，故．‎ 由椭圆定义得，又，‎ 所以，‎ 解得，而，得，即．‎ ‎（Ⅱ）解法一：设点的坐标为．‎ 当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．‎ 点的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，‎ 整理得，‎ 于是，．‎ 由①式得 ‎．‎ 由知．将③式和④式代入得，‎ ‎．‎ 将代入上式，整理得．‎ 当时，直线的方程为，的坐标满足方程组 所以，．‎ 由知，即，‎ 解得．‎ 这时，点的坐标仍满足．‎ 综上，点的轨迹方程为　．‎ 解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．‎ 记（显然），点的坐标满足方程组 由①式得．　　　　　　③‎ 由②式得．　　　④‎ 将③式代入④式得．‎ 整理得，‎ 于是．　　　⑤‎ 由①式得．　　　⑥‎ 由②式得．　　⑦‎ 将⑥式代入⑦式得，‎ 整理得，‎ 于是．　　　⑧‎ 由知．将⑤式和⑧式代入得，‎ ‎．‎ 将代入上式，得．‎ 所以，点的轨迹方程为．‎