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- 2021-05-14 发布
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导数及其应用
一、知识网络
二、高考考点
1、导数定义的认知与应用;
2、求导公式与运算法则的运用;
3、导数的几何意义;
4、导数在研究函数单调性上的应用;
5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;
6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点
(一)导数
1、导数的概念
(1)导数的定义
(Ⅰ)设函数 在点 及其附近有定义,当自变量x在 处有增量△x(△x可正可负),则函数y相应地有增量 ,这两个增量的比 ,叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时, 有极限,则说函数 在点 处可导,并把这个极限叫做 在点 处的导数(或变化率),记作 ,即
。
(Ⅱ)如果函数 在开区间( )内每一点都可导,则说 在开区间( )内可导,此时,对于开区间( )内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间( )内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做 在开区间( )内的导函数(简称导数),记作 或 , 即 。
认知:
(Ⅰ)函数 的导数 是以x为自变量的函数,而函数 在点 处的导数 是一个数值; 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。
(Ⅱ)求函数 在点 处的导数的三部曲:
①求函数的增量 ;
②求平均变化率 ;
③求极限
上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。
(2)导数的几何意义:
函数 在点 处的导数 ,是曲线 在点 处的切线的斜率。
(3)函数的可导与连续的关系
函数的可导与连续既有联系又有区别:
(Ⅰ)若函数 在点 处可导,则 在点 处连续;
若函数 在开区间( )内可导,则 在开区间( )内连续(可导一定连续)。
事实上,若函数 在点 处可导,则有 此时,
记 ,则有 即 在点 处连续。
(Ⅱ)若函数 在点 处连续,但 在点 处不一定可导(连续不一定可导)。
反例: 在点 处连续,但在点 处无导数。
事实上, 在点 处的增量
当 时, , ;
当 时, ,
由此可知, 不存在,故 在点 处不可导。
2、求导公式与求导运算法则
(1)基本函数的导数(求导公式)
公式1 常数的导数: (c为常数),即常数的导数等于0。
公式2 幂函数的导数: 。
公式3 正弦函数的导数: 。
公式4 余弦函数的导数:
公式5 对数函数的导数:
(Ⅰ)
;
(Ⅱ)
公式6 指数函数的导数:
(Ⅰ) ;
(Ⅱ) 。
(2)可导函数四则运算的求导法则
设 为可导函数,则有
法则1 ;
法则2 ;
法则3 。
3、复合函数的导数
(1)复合函数的求导法则
设 , 复合成以x为自变量的函数 ,则复合函数 对自变量x的导数 ,等于已知函数对中间变量 的导数 ,乘以中间变量u对自变量x的导数 ,
即 。
引申:设 , 复合成函数 , 则有
(2)认知
(Ⅰ)认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序,即从外向内分析:首先由最外层的主体函数结构设出 ,由第一层中间变量 的函数结构设出 ,由第二层中间变量 的函数结构设出 ,由此一层一层分析,一直到最里层的中间变量 为自变量x的简单函数 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条:
;
(Ⅱ)运用上述法则求复合函数导数的解题思路
①分解:分析所给函数的复合关系,适当选定中间变量,将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数;
②
求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法则和基本公式求;
③还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数,并作以适当化简或整理。
二、导数的应用
1、函数的单调性
(1)导数的符号与函数的单调性:
一般地,设函数 在某个区间内可导,则若 为增函数;若 为减函数;若在某个区间内恒有 ,则在这一区间上为常函数。
(2)利用导数求函数单调性的步骤
(Ⅰ)确定函数 的定义域;
(Ⅱ)求导数 ;
(Ⅲ)令 ,解出相应的x的范围
当 时, 在相应区间上为增函数;当 时 在相应区间上为减函数。
(3)强调与认知
(Ⅰ)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式 确定的x的取值集合为A,由 确定的x的取值范围为B,则应用 ;
(Ⅱ)在某一区间内 (或 )是函数 在这一区间上为增(或减)函数的充分(不必要)条件。因此方程 的根不一定是增、减区间的分界点,并且在对函数划分单调区间时,除去确定 的根之外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点,它们也可能是增、减区间的分界点。
举例:
(1) 是R上的可导函数,也是R上的单调函数,但是当x=0时, 。
(2) 在点x=0处连续,点x=0处不可导,但 在(-∞,0)内递减,在(0,+∞)内递增。
2、函数的极值
(1)函数的极值的定义
设函数 在点 附近有定义,如果对 附近的所有点,都有 ,则说 是函数 的一个极大值,记作
;
如果对 附近的所有点,都有 ,则说 是函数 的一个极小值,记作 。
极大值与极小值统称极值
认知:由函数的极值定义可知:
(Ⅰ)函数的极值点 是区间 内部的点,并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得;
(Ⅱ)极值是一个局部性概念;一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值,并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值;
(Ⅲ)当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时,函数 在 内的极大值点,极小值点交替出现。
(2)函数的极值的判定
设函数 可导,且在点 处连续,判定 是极大(小)值的方法是
(Ⅰ)如果在点 附近的左侧 ,右侧 ,则 为极大值;
(Ⅱ)如果在点 附近的左侧 ,右侧 ,则 为极小值;
注意:导数为0的不一定是极值点,我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点。
(3)探求函数极值的步骤:
(Ⅰ)求导数 ;
(Ⅱ)求方程 的实根及 不存在的点;
考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号:若左正右负,则 在这一点取得极大值,若左负右正,则 在这一点取得极小值。
3、函数的最大值与最小值
(1)定理
若函数 在闭区间上连续,则 在 上必有最大值和最小值;在开区间 内连续的函数
不一定有最大值与最小值。
认知:
(Ⅰ)函数的最值(最大值与最小值)是函数的整体性概念:最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值;最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。
(Ⅱ)函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的(具有相对性),极值只能在区间内点取得;函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的(具有绝对性),最大(小)值可能是某个极大(小)值,也可能是区间端点处的函数值。
(Ⅲ)若 在开区间 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值。
(2)探求步骤:
设函数 在 上连续,在 内可导,则探求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下:
( I )求 在 内的极值;
( II )求 在定义区间端点处的函数值 , ;
( III )将 的各极值与 , 比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值。
引申:若函数 在 上连续,则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此,如果仅仅是求函数的最值,则可将上述步骤简化:
( I )求出 的导数为0的点及导数不存在的点(这两种点称为可疑点);
( II )计算并比较 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求最大值与最小值。
(3)最值理论的应用
解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为:
( I )认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的函数关系;
( II )探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值;
( III )检验、作答:利用实际意义检查(2)的结果,并回答所提出的问题,特殊地,如果所得函数在区间内只有一个点 满足 ,并且 在点 处有极大(小)值,而所给实际问题又必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值。
四、经典例题
例1、设函数 在点 处可导,且
,试求
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ( 为常数)。
解:注意到
当 )
(1) ;
(2)
=A+A=2A
(3)令 ,则当 时 ,
∴
(4)
点评:注意 的本质,在这一定义中,自变量x在 处的增量 的形式是多种多样的,但是,不论 选择哪一种形式,相应的 也必须选择相应的形式,这种步调的一致是求值成功的保障。
若自变量x在 处的增量为 ,则相应的 ,
于是有 ;
若令 ,则又有
例2、
(1)已知 ,求 ;
(2)已知 ,求
解:
(1)令 ,则 ,且当 时, 。
注意到这里
∴
(2)∵
∴
①
注意到 ,
∴由已知得 ②
∴由①、②得
例3、求下列函数的导数
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6)
解:
(1)
(2) ,
∴
(3) ,
∴
(4) ,
∴
(5) ,
∴
(6)
∴当 时, ;
∴当 时,
∴
即 。
点评:为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算,首先对函数式进行化简或化整为零,而后再实施求导运算,特别是积、商的形式可以变为代数和的形式,或根式可转化为方幂的形式时,“先变后求”的手法显然更为灵巧。
例4、在曲线C: 上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线C关于该点对称。
解:
(1)
∴当 时, 取得最小值-13
又当 时,
∴斜率最小的切线对应的切点为A(2,-12);
(2)证明:设 为曲线C上任意一点,则点P关于点A的对称点Q的坐标为
且有 ①
∴将 代入 的解析式得
,
∴点 坐标为方程 的解
∴
注意到P,Q的任意性,由此断定曲线C关于点A成中心对称。
例5、已知曲线 ,其中 ,且均为可导函数,
求证:两曲线在公共点处相切。
证明:注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合,
设上述两曲线的公共点为 ,则有
, ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴
于是,对于 有 ; ①
对于 ,有 ②
∴由①得 ,
由②得
∴
,即两曲线在公共点处的切线斜率相等,
∴两曲线在公共点处的切线重合
∴两曲线在公共点处相切。
例6、
(1)是否存在这样的k值,使函数 在区间(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增,若存在,求出这样的k值;
(2)若 恰有三个单调区间,试确定 的取值范围,并求出这三个单调区间。
解:
(1)
由题意,当 时 ,当x∈(2,+∞) 时 ,
∴由函数 的连续性可知 ,
即
整理得
解得 或
验证:
(Ⅰ)当 时,
∴若 ,则 ;若 , 则 , 符合题意;
(Ⅱ)当 时,
,
显然不合题意。
于是综上可知,存在 使 在(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增。
(2)
若 ,则 ,此时 只有一个增区间 ,与题设矛盾;
若 ,则 ,此时 只有一个增区间
,与题设矛盾;
若 ,则
并且当 时, ;
当 时,
∴综合可知,当 时, 恰有三个单调区间:
减区间 ;增区间
点评:对于(1),由已知条件得 ,并由此获得k的可能取值,进而再利用已知条件对所得k值逐一验证,这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。
例7、已知函数 ,当且仅当 时, 取得极值,并且极大值比极小值大4.
(1)求常数 的值;
(2)求 的极值。
解:
(1) ,
令 得方程
∵ 在 处取得极值
∴ 或 为上述方程的根,
故有
∴ ,即 ①
∴
又∵ 仅当 时取得极值,
∴方程 的根只有 或
,
∴方程 无实根,
∴ 即
而当 时, 恒成立,
∴ 的正负情况只取决于 的取值情况
当x变化时, 与 的变化情况如下表:
1
(1,+∞)
+
0
—
0
+
极大值
极小值
∴ 在 处取得极大值 ,在 处取得极小值 。
由题意得
整理得 ②
于是将①,②联立,解得
(2)由(1)知,
点评:循着求函数极值的步骤,利用题设条件与 的关系,立足研究 的根的情况,乃是解决此类含参问题的一般方法,这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法,突出了“导数 ”与“ 在 处取得极值”的必要关系。
例8、
(1)已知 的最大值为3,最小值为-29,求 的值;
(2)设 ,函数 的最大值为1,最小值为 ,求常数 的值。
解:
(1)这里 ,不然
与题设矛盾
令 ,解得 或x=4(舍去)
(Ⅰ)若 ,则当 时, , 在 内递增;
当 时, , 在 内递减
又 连续,故当 时, 取得最大值
∴由已知得
而
∴此时 的最小值为
∴由 得
(Ⅱ)若 ,则运用类似的方法可得 当 时 有最小值,故有 ;
又
∴当 时, 有最大值,
∴由已知得
于是综合(Ⅰ)(Ⅱ)得所求 或
(2) ,
令 得
解得
当 在 上变化时, 与 的变化情况如下表:
-1
(-1,0)
0
1
+
0
—
0
+
极大值
极小值
∴当 时, 取得极大值 ;当 时, 取得极小值
。
由上述表格中展示的 的单调性知
∴ 最大值在 与 之中, 的最小值在 和 之中,
考察差式 ,
即 ,
故 的最大值为
由此得
考察差式
,即 ,
∴ 的最小值为
由此得 ,解得
于是综合以上所述得到所求 。
五、高考真题
(一)选择题
1、设 , , ,…, , ,则 ( )。
A、 B、 C、 D、
分析:由题意得 ,
,
,
,
∴ 具有周期性,且周期为4,
∴
,应选C。
2、函数 有极值的充要条件为( )
A、 B、 C、 D、
分析:
∴当 时, 且 ;
当 时,令 得 有解,
因此 才有极值,故应选C。
3、设 , 分别是定义在R上的奇导数和偶导数,当 时, ,且 ,则不等式 的解集是( )
A、(-3,0)∪(3,+∞) B、(-3,0)∪(0,3)
C、(-∞,-3)∪(3,+∞) D、(-∞,-3)∪(0,3)
分析:为便于描述,设 ,则 为奇导数,当 时, ,且
∴根据奇函数图象的对称性知, 的解集为(-∞,-3)∪(0,3),应选D。
二、填空题
1 过原点作曲线 的切线,则切点坐标为 ,切线的斜率为 。
分析:设切点为M ,则以M为切点的切线方程为
∴由曲线过原点得 ,∴ ,
∴切点为 ,切线斜率为 。
点评:设出目标(之一)迂回作战,则从切线过原点切入,解题思路反而简明得多。
2 曲线 在点 处的切线与x轴,直线 所围成的三角形面积为 ,则 = 。
分析:
∴曲线 在点 处的切线方程为
即
切线与x轴交点 ,
又直线 与切线交点纵坐标为 ,
∴上述三角形面积 ,
由此解得 即
3 曲线 与 在交点处的切线夹角是 (以弧度数作答)
分析:设两切线的夹角为 ,将两曲线方程联立,解得交点坐标为
又 ,
即两曲线在点 处的切线斜率分别为-2,3
∴ ,
∴ ,应填 。
(三)解答题
1 已知 ,讨论导数 的极值点的个数。
解析:先将 求导, 即 。
当 时, 有两根,于是 有两极值点。
当 时, , 为增函数, 没极值点。
本题考查导数的应用以及二次方程根、“ ”等知识。
解答:
令 ,得
1、当
即 或 时,方程 有两个不同的实根 、
,
不防设 ,
于是 ,从而有下表:
+
0
—
0
+
↗
为极大值
↘
为极小值
↗
即此时 有两个极值点;
2、当 即 时,方程 有两个相同的实根 ,
于是 ,故当 时, ;当 时, ,因此 无极值;
3、当 即 时, ,
而 ,
故 为增函数。此时 无极值;
∴当 时, 有两个极值点;当 时, 无极值点。
2 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 。
(Ⅰ)求函数 的解析式;
(Ⅱ)求函数 的单调区间。
解析:
(1)由 在切线上,求得 ,再由 在函数图象上和 得两个关于 的方程。
(2)令 ,求出极值点, 求增区间,
求减区间。
此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。
解答
(Ⅰ)由函数 的图象在点 处的切线方程为 知:
,即 ,
∴
即
解得
所以所求函数解析式
(Ⅱ)
令 解得
当 或 时,
当 时,
所以 在 内是减函数,在 内是增函数。
3 已知 是函数 的一个极值点,其中
(Ⅰ)求 与 的关系表达式;
(Ⅱ)求 的单调区间;
(Ⅲ)当 时,函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求 的取值范围。
解析:(1)本小题主要考查了导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想,第2小题要根据 的符号,分类讨论
的单调区间;第3小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题,用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号,体现出将一般性问题特殊化的数学思想。
解答:
(Ⅰ) , 是函数 的一个极值点
∴
∴ ;
(Ⅱ)
令 ,得
与 的变化如下表:
1
—
0
+
0
—
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
因此, 的单调递减区间是 和 ; 的单调递增区间是 ;
(Ⅲ)由(Ⅱ)
即
令 ,
且 ,
即m的取值范围是 。
4
已知函数 。
(Ⅰ)求
的单调区间和值域;
(Ⅱ)设 ,函数 ,若对于任意 ,总存在 ,使得 成立,求 的取值范围。
解析:本题考查导数的综合运用,考查综合运用数学知识解决问题能力,考查思维及推理能力以及运算能力,本题入手点容易,
(Ⅰ)中对分式函数定区间内单调性与值域问题,往往以导数为工具,
(Ⅱ)是三次函数问题,因而导数法也是首选,若 成立,则二次函数值域必满足 关系,从而达到求解目的。
解:
(Ⅰ)由 得 或 。
∵ ∴ (舍去)
则 , , 变化情况表为:
0
1
—
0
+
↘
↗
因而当 时 为减函数;当 时 为增函数;
当 时, 的值域为 ;
(Ⅱ)
因此 ,当 时
因此当 时 为减函数,从而当 时有
又 ,即当 时有
任给 , ,存在 使得
则
由(1)得 或 ,由(2)得
又
故 的取值范围为 。
5 已知 ,函数
(1)当 为何值时, 取得最小值?证明你的结论;
(2)设 在 上是单调函数,求 的取值范围。
解析:本题考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力,本题(Ⅰ)常规题型,方法求 ,解 的根,列表,确定单调性,并判断极值点,对(Ⅱ)由(Ⅰ) 在 上单调,而 ,因此只要 即满足题设条件,从中解出 的范围。
解答:(Ⅰ)
令 则
从而
,其中
当 变化时, , 的变化情况如下表
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴ 在 处取得极大值, 处取得极小值
当 时 , ,且 在 为减函数,在
为增函数
而当 时 ,当 时
∴当 时 取最小值;
(Ⅱ)当 时 在 上为单调函数的充要条件是
,解得
综上, 在 上为单调函数的充要条件为 ,
即 的取值范围为) 。
6.已知 ,函数
(Ⅰ)当 时,求使 成立的 成立的 的集合;
(Ⅱ)求函数 在区间 上的最小值。
答案:
(Ⅰ){0,1, }
(Ⅱ)
解答:
(Ⅰ)由题意, ,
当 时 ,解得 或 ,
当 时 ,解得
综上,所求解集为{0,1,1+ }
(Ⅱ)设此最小值为m
① 当 时,在区间[1,2]上,
,
因为 ),
则 是区间[1,2]上的增函数,所以
② 时,在区间[1,2],
由 知 ;
③ 当 时,在区间[1,2]上,
如果 在区间(1,2)内,
从而 在区间[1,2]上为增函数,由此得 ;
如果 则 。
当 时, ,从而 为区间[1, ]上的增函数;
当 时, ,从而 为区间[ ,2]上的减函数
因此,当 时, 或 。
当 时, 故
当 时 .
综上所述,所求函数的最小值
7、
(Ⅰ)设函数 求 的最小值;
(Ⅱ)设正数 满足 ,证明
。
解析:本题考查数学归纳法及导数应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力。(Ⅰ)已知函数为超越函数,若求其最小值,则采用导数法,求出 ,解 得 ,再判断 与 时 的符号,确定 为极小值点,也是函数的最小值,对(Ⅱ)直接利用数学归纳法证明,但由 到 过渡是难点。
解答:
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,1)
令
当 时,f′(x)<0, ∴f(x)在区间 是减函数;
当 时,f′(x)>0, ∴f(x)在区间 是增函数。
∴f(x)在 时取得最小值且最小值为
(Ⅱ)用数学归纳法证明
(i)当n=1时,由(Ⅰ)知命题成立;
(ii)假定当n=k时命题成立,即若正数
满足 ,则
当n=k+1时,若正数 满足
令 ,
则 为正数,且
由归纳假定知
①
同理,由 ,可得
≥(1-x)(-k)+(1-x)log2(1-x). ②
综合①、②两式
≥[x+(1-x)](-k)+xlog2x+(1-x)log2(1-x)
≥-(k+1).
即当n=k+1时命题也成立。
根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立。
8 函数 在区间 内可导,导函数 是减函数,且 ,设 , 是曲线 在点 处的切线方程,并设函数
(Ⅰ)用 、 、 表示m;
(Ⅱ)证明:当 时,
(Ⅲ)若关于x的不等式 在 上恒成立,其中a、b为实数,求b的取值范围及a与b所满足的关系。
解答:
( I ) 在点 处的切线方程为
即
因而 ;
(Ⅱ)证明:令 ,则
因为 递减,所以 递增,因此,当 时, ;当 时, ,
所以 是 唯一的极值点,且是极小值点,可知 的最小值为0
因此 0即 ;
(Ⅲ)
解法一:
是不等式成立的必要条件,以下设此条件成立。
,即 对任意 成立的充要条件是 ,
另一方面,由于 满足前述题设中关于 的条件,
利用(Ⅱ)的结果可知, 的充要条件是:过点 与曲线 相切的直线的斜率不大于 ,
该切线的方程为: ,
于是 的充要条件是
综上,不等式 对任意 成立的充要条件是
①
显然,存在 使①式成立的充要条件是:不等式 ②
有解,解不等式②得 ③
因此,③式即为 的取值范围,①式即为实数 与 所满足的关系。
(Ⅲ)
解法二: 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立。
,即 对任意 成立的充要条件是
令 ,于是 对任意 成立的充要条件是 。
由 得
当 时, ;当 时, ,所以,当 时,
取最小值。因此 成立的充要条件是 ,即
综上,不等式 对任意 成立的充要条件是 ①
显然,存在a、b使①式成立的充要条件是:不等式 ②
有解,解不等式②得 ③
因此,③式即为b的取值范围,①
式即为实数a与b所满足的关系。
点评:本题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系,考查考生的学习能力,抽象思维能力,以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。对(Ⅰ),曲线 在点 处切线斜率为 ,切线方程为 ,
即 ,因而 ;对(Ⅱ)即证明 在 时恒成立,构造函数 则
∵ ∴
∴ ,则
由 递减 ∴ 递增,则当 时 ,当 时, ,
则 是 的极值点,且为极小值点,
所以 极小值为 ,即 恒成立,
因而 ;对(Ⅲ)有两种思考方法,是该题难点,其求解过程比较详细。
9.设点 和抛物线 其中 由以下方法得到: ,点 在抛物线 上,点 到 的距离是 到 上点的最短距离,…,点 在抛物线 上,点 到 的距离是 到 上点的最短距离。
(Ⅰ)求 及 的方程;
(Ⅱ)证明 是等差数列。
解答:
(Ⅰ)由题意得
设点 是 上任一点
则
令
则
由题意得:
即
又 在 上,∴
解得
故 方程为:
(Ⅱ)设点 是 上任意一点。
则
令
由题意得
即
又∵点 在 上
∴
∴
即
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时, ,等式成立。
②假设n=k时,等号成立,即
则当n=k+1时,由(*)知:
又
∴
即当n=k+1时,等式成立
由①②知,等式
成立
∴ 是等差数列
点评:
(Ⅰ)设 为 上任一点
∵ ,换句话说:在点 处 取得最小值。
令
∴ 此为关键
(Ⅱ)方法同(Ⅰ)推导出: 然后用数学归纳法证明。
10. 已知函数
(Ⅰ)求函数 的反函数 及 的导数 ;
(Ⅱ)假设对任意 ,
不等式 成立,求实数m的取值范围。
解答:
(Ⅰ)解:由 ,得 ,
所以
(Ⅱ)
解法1 由 ,得
即对于 恒有 ①
设 ,于是不等式①
化为
②
当 , 、 时,
,
,
所以 都是增函数。
因此当 时, 的最大值为 的最小值为
而不等式②成立当且仅当 ,即 ,
于是得
解法2:由 ,得
,
设 ,
于是原不等式对于 恒成立等价于 ③
由 , ,
注意到 ,故有 , ,
从而可知 与 均在 上单调递增,
因此不等式③成立当且仅当 ,即