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  • 2021-05-14 发布

高考数学试题分类汇编概率

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‎2009年高考数学试题分类汇编——概率 ‎1、(湖北卷理) 3、投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎3.【答案】C ‎2、(江苏卷)5.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差‎0.3m的概率为 ▲ . ‎ ‎【解析】 考查等可能事件的概率知识。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 所求概率为0.2。‎ ‎3、(安徽卷理)(10)考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于高.考.资.源.网 ‎(A) (B) (C) (D)‎ A B C D E F ‎[解析] 如图,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 ‎6个点中任意选两个点连成直线,共有 种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 共12对,所以所求概率为,选D ‎4、(福建卷)8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,‎ 指定1,2,3,4表示命中,5,6,,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数:‎ ‎ 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683‎ ‎ 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989‎ 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A.0.35 B ‎0.25 C 0.20 D 0.15‎ ‎8.【答案】:B ‎5、(广东卷)12.已知离散型随机变量的分布列如右表.若,,则 , .‎ ‎【解析】由题知,,,解得,.‎ ‎6、(湖南卷) 13、一个总体分为A,B两层,其个体数之比为4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知B层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个数数位 。‎ ‎【答案】:40‎ ‎7、(上海)7.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望____________(结果用最简分数表示).‎ ‎8、(重庆卷)6.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为( C )‎ A. B. C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎9、(重庆卷)17.(本小题满分13分,(Ⅰ)问7分,(Ⅱ)问6分)‎ 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:‎ ‎(Ⅰ)两种大树各成活1株的概率;‎ ‎(Ⅱ)成活的株数的分布列与期望.w.w.‎ ‎(17)(本小题13分)‎ 解:设表示甲种大树成活k株,k=0,1,2‎ ‎  表示乙种大树成活l株,l=0,1,2‎ ‎  则,独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 ‎ , .‎ ‎ 据此算得 ‎   , , .‎ ‎ , , .‎ ‎ (Ⅰ) 所求概率为 ‎     .‎ ‎ (Ⅱ) 解法一:‎ ‎    的所有可能值为0,1,2,3,4,且 ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ = ,‎ ‎ .‎ ‎ .‎ 综上知有分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1/36‎ ‎1/6‎ ‎13/36‎ ‎1/3‎ ‎1/9‎ 从而,的期望为 ‎(株)‎ 解法二:‎ 分布列的求法同上 令分别表示甲乙两种树成活的株数,则 故有 从而知 ‎10、(四川卷)18. (本小题满分12分)‎ 为振兴旅游业,四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡。‎ ‎(I)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;‎ ‎(II)在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量,求的分布列及数学期望。‎ ‎(18)本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算,考察运用概率只是解决实际问题的能力。‎ ‎ 解:(Ⅰ)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”,‎ ‎ 事件为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”,‎ ‎ 事件为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。‎ ‎…………………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3‎ ‎ , ‎ ‎ ,,‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 所以, ……………………12分 ‎ ‎11、(天津卷)(18)(本小题满分12分)‎ 在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品。从这10件产品中任取3件,求:‎ ‎(I) 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(II) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。‎ ‎(Ⅰ)解:由于从10件产品中任取3件的结果为,从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望EX=‎ ‎(Ⅱ)解:设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2,”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3而 P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,‎ 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= ++=‎ ‎12、(浙江卷) ‎20090423‎ 19.(本题满分14分)在这个自然数中,任取个数.‎ ‎ (I)求这个数中恰有个是偶数的概率;‎ ‎ (II)设为这个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为,则有两组相邻的数 和,此时的值是).求随机变量的分布列及其数学期望.‎ 解析:(I)记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A,则;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(II)随机变量的取值为的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以的数学期望为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎13、(辽宁卷)(19)(本小题满分12分)‎ 某人向一目射击4次,每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1:3:6。击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比。‎ ‎(Ⅰ)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;‎ ‎(Ⅱ)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(19)解:‎ ‎(Ⅰ)依题意X的分列为 ‎ ‎ ‎ ………………6分 ‎(Ⅱ)设A1表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.‎ ‎ B1表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.‎ 依题意知P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,‎ ‎,‎ 所求的概率为 ‎ ‎ ‎ ………12分 ‎14、(全国1)19.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ ‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲、乙各胜1局。‎ ‎ (I)求甲获得这次比赛胜利的概率;‎ ‎ (II)设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求得分布列及数学期望。‎ 分析:本题较常规,比08年的概率统计题要容易。‎ 需提醒的是:认真审题是前提,部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分,这是很可惜的,主要原因在于没读懂题。‎ 另外,还要注意表述,这也是考生较薄弱的环节。‎ ‎15、(山东卷) (19)(本小题满分12分)‎ ‎ 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次,某同学在A处的命中率q为0.25,在B处的命中率为q,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m p ‎ ‎0.03 ‎ ‎ P1 ‎ ‎ P2 ‎ P3 ‎ P4 ‎ (1) 求q的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ (2) 求随机变量的数学期望E;‎ (3) 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。‎ 解:(1)设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.‎ 根据分布列知: =0时=0.03,所以,q=0.8.‎ ‎(2)当=2时, P1= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24‎ 当=3时, P2 ==0.01,‎ 当=4时, P3==0.48,‎ 当=5时, P4=‎ ‎=0.24‎ 所以随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ ‎ p ‎ ‎0.03 ‎ ‎ 0.24 ‎ ‎ 0.01 ‎ ‎0.48 ‎ ‎0.24 ‎ 随机变量的数学期望 ‎(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为 ‎;‎ 该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.‎ 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.‎ ‎16、(全国卷2)20(本小题满分12分)‎ 某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。‎ ‎(I)求从甲、乙两组各抽取的人数; ‎ ‎(II)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;‎ ‎(III)记表示抽取的3名工人中男工人数,求的分布列及数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 分析:(I)这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。‎ ‎(II)在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难。‎ ‎ 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率 ‎(III)的可能取值为0,1,2,3‎ ‎,,‎ ‎,‎ 分布列及期望略。‎ 评析:本题较常规,比08年的概率统计题要容易。在计算时,采用分类的方法,用直接法也可,但较繁琐,考生应增强灵活变通的能力。‎ ‎(江西卷)18.(本小题满分12分)‎ 某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”,则给予10万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助,令表示该公司的资助总额.‎ ‎ (1) 写出的分布列; (2) 求数学期望.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解:(1)的所有取值为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2). ‎ ‎17、(湖南卷)17.(本小题满分12分)‎ 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、,现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;‎ ‎(II)记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数,求 的分布列及数学期望。‎ 解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,,i=1,2,3.由题意知相互独立,相互独立,相互独立,,,(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且P()=,P()=,P()=‎ (1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3!P()=6P()P()P()=6=‎ ‎(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由己已知,-B(3,),且=3。‎ 所以P(=0)=P(=3)==,‎ ‎ P(=1)=P(=2)= = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ P(=2)=P(=1)==‎ P(=3)=P(=0)= = ‎ 故的分布是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的数学期望E=0+1+2+3=2‎ 解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件,‎ i=1,2,3 ,由此已知,·D,相互独立,且 P()-(,)= P()+P()=+=‎ 所以--,既, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故的分布列是 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎18、(福建卷)16.(13分)‎ 从集合的所有非空子集中,等可能地取出一个。‎ (1) 记性质r:集合中的所有元素之和为10,求所取出的非空子集满足性质r的概率;‎ (2) 记所取出的非空子集的元素个数为,求的分布列和数学期望E ‎ ‎16、解:(1)记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A 基本事件总数n==31‎ 事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4}‎ 事件A包含的基本事件数m=3‎ 所以 ‎(II)依题意,的所有可能取值为1,2,3,4,5‎ 又, , ‎ ‎, ‎ 故的分布列为:‎ ‎ 1‎ ‎2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 从而E+2+3+4+5‎