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- 2021-05-14 发布
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高考数学圆锥曲线重要结论
一、 定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。
第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0b）作垂直于x轴的直线炮大圆于第一象限办点A，
OA交小圆于点B,设直线BF是小圆的切线。
⑴证明：c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；
解：⑴由题设条件知：Rt△OFA∽Rt△OBF
∴直线BF与y轴的交点. ∴直线BF与y轴交点为（0，a）点为M（0,a）
→（b2+a2k2）x2 +2a3kx+a4-a2b2=0 ④
由③消去x整理得：（b2+a2k2）y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0 ⑤
注意到：a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2
例⒊已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1,且过右焦点F交椭圆
于A,B两点， + 与 =（3，-1)共线。
⑴求椭圆的离心率：
⑵设M为椭圆上任意一点，且 =λ +μ （λ，μ∈R）
由 + =（x1+x2，y1+y2）, =（3，1）
且 + 与 共线得：3（y1+y2-2c）+（x1+x2）=0，又y1=x1-c，y2=x2-c。
⑵由⑴知a2=3b2 ∴椭圆方程为：x2+3y2=3b2，设 =（x，y）
由已知（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2）
又x21+3y21=3b2 x22+3y22=3b2 代入①得 λ2+μ2=1故所求为定值。
双曲线:
一、概念：
第一定义：到两定点F1（-c，0）、F2（c，0）的距离差为定值2a（小于两定点的距离）的
点的轨迹 叫做双曲线。两定点叫做双曲线的焦点，两点间的距离叫做焦距。
引申定义：
⒈与两个相离的非等定圆均外切的圆的圆心的轨迹为以这两定型圆圆心连线为实轴的 双曲线的一支;
⒉过两定点且相交的两条直线的斜率之积为正常数的点的轨迹（两定点除外）为双曲线。
⒊圆外一定点与圆上任意一点连线的垂直平分线和圆心与圆上动点连线的交点的轨迹为双曲线。圆半径为双曲线的实轴长，圆心与定点(为焦点)间的距离为焦距长。
二、⒈标准方程：(略)
三、相关运算：
注意直线是交在双曲线的同一支上还是交在两支上，特别是焦点弦交在同一支上，最短弦是垂直于过焦点
⒉焦半径公式：P（x0，y0）为双曲线右支上一点，与左右焦点之间的线段为焦半径。|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a
若点P在左支上时,|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a.
A.内切 B.外切 C.内切或外切 D.外切或相交
⒋在证明或解答相关双曲线的问题时，要注意运用设而不求的点差法。如直线y=kx+m，若焦点在x轴上的
⒌如果在进行直线与双曲线的相关求解时，若直线斜率需要考虑不存在时，可设直线为
x=my+c的形式，只不过这样求出的直线的斜率与所求的直线的斜率呈负倒数关系，若
是求的范围，a0)的左右顶点分别是A,B,双曲线在第一象限的图象上有一点P,∠PAB=α,∠PBA=β,∠APB=γ,试确定三个角之间的关系.
⒑双曲线上任一点到焦点的距离大于等于焦点到对应顶点的距离.即d≥c-a.
⒒若在双曲线外部有一点P,要在双曲线上求作一点M,使该点到P点与到对应焦点的距
离之和最小.其主要方法:过点P作准线的垂线与双曲线的交点就是所求作的点.
小题题例:
⒈A,F分别是双曲线9x2-3y2=1的左顶点和右焦点,P是双曲线右支上任一点,若∠PFA=λ∠PAF,则λ= 2 .(特值检验通径)
A. B.2 C. D. C
⒍设e1,e2分别为有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率,p为两曲线的一个公共点且
右准线l:x=1/2,|AF|=3,过F作直线交双曲线右支于P,Q两点,延长PB交右准线l于M点。
⑴求双曲线的方程； ⑵若·=-17，求△PBQ的面积S；
⑶若=λ，（λ≠0,λ≠-1),问是否存在实数μ=f（λ）的左右焦点，使得=μ,若存在，求出μ=f（λ）表达式，否则说明理由
⑶（题中=λ及所求μ=f（λ）其实都是两点P，Q之间的关系，故首当其冲就是求出两点的坐标之间的关系）
注：在求解与证明与圆锥曲线相关的问题时，如果是直线与圆锥曲线相交的问题时一定要注意该直线斜率是否存在的问题，应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当然有时也将该直线设成x=my+n的形式，但要注意求解后对相关斜率的对应处理，即式中的m与所求的斜率为负倒数关系；同时也要注意对图中相关面积的处理，尽量用较简化的方式处理，如利用题中相关线段的互相垂直关系，这时常常要利用某个三角形是由两个三角形组成的公共底来处理以简化运算。对相关点的处理：主要有两种，利用向量的关系；利用点差法处理。
例⒉（成都市07第二次毕业诊断性测试22）如图,与抛物线x2=-4y相切于A（-4,-4）的
（理）求⑴中切点T到直线PQ的距离的最小值；
抛物线
一、概念：平面内与定点F的距离和一定直线的距离相等的点的轨迹。定点为焦点,定直线为准线;与圆锥曲线的第二定义:到一定点与一定直线的距离比为定值(1)的点的轨迹.即 离心率为1.
注意:不能把抛物线看成双曲线的一支,它们是有本质区别的:当抛物线上的点趋于无穷大时,曲线 上点的切线趋近于和对称轴平行;而双曲线上的切线趋近于与渐近线平行.
e:设AB的中点为M,过M作MM'⊥l,连结AM',BM',M'F.则AM'平分∠A'AB,BM'平分∠ABB',
∠AM'B=90°,M'F⊥AMB(△M'B'B≌△M'FB).故以AB为直径的圆必与准线相切。
f:焦点在x轴上的抛物线y2=2px(p>0)时,设A(x1,y1),B(x2,y2),设过AB的直线为l;其斜率为k,则
A'F与AM',B'F与BM'均交于一点.故有：
以AB为直径的圆与准线相切，以A'B'为直径的圆与AB相切,以AF为直径的圆与x轴
相切,以BF为直径的圆与x轴相切.
例:过定点A(0,2)作与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线,共几条?
当x=0时,即斜率不存在时,符合题意,
g:最值问题:①利用抛物线的定义进行转化:
h:过抛物线的焦点弦的两端点作抛物线的切线,其交点的轨迹是该抛物线的准线;
例⒈⑴定长为3的线段AB端点在y2=x上移动,求AB中点到y轴的最小距离,并求出M
的坐标.(本题只需转化成A,B两点横坐标最小即可,即到准确性线的距离之和)
②建立目标函数:
⑵为y=x2上一动弦,且|AB|=a(00）上任一弦,F为抛物线的焦点,1为准确性线,m为
过A点且以=(0,-1)为方向向量的直线.
⑴若以A为切点的抛物线的切线1与y轴交于C点,求证:|AF|=|CF|;
⑵若*+p2=0,(A,B异于原点)直线OB与m相交于点P,求点P的轨迹方程;
⑶若AB为焦点弦分别过A,B的抛物线的两条切线相交于点T,求证:AT⊥BT,且点T∈l.
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