- 675.50 KB
- 2021-05-14 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷(理科)
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分.
1.= .
2.设集合A={x|x2﹣2x>0,x∈R},,则A∩B= .
3.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(3,﹣1),则a= .
4.已知一组数据6,7,8,9,m的平均数是8,则这组数据的方差是 .
5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为棱A1B1的中点,则异面直线AM与B1C所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示).
6.若圆锥的底面周长为2π,侧面积也为2π,则该圆锥的体积为 .
7.已知,则cos(30°+2α)= .
8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的S值是 .
9.过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=4相切,且与直线ax﹣y+1=0垂直,则实数a的值为 .
10.甲、乙、丙三人相互传球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人.经过3次传球后,球仍在甲手中的概率是 .
11.已知直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°.AD=2,BC=1,P是腰AB上的动点,则的最小值为 .
12.已知n∈N*,若,则n= .
13.对一切实数x,令[x]为不大于x的最大整数,则函数f(x)=[x]称为取整函数.若,n∈N*,Sn为数列{an}的前n项和,则= .
14.对于函数y=f(x),若存在定义域D内某个区间[a,b],使得y=f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],则称函数y=f(x)在定义域D上封闭.如果函数(k≠0)在R上封闭,那么实数k的取值范围是 .
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得5分,否则一律得零分.
15.“函数y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ=”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
16.下列四个命题:
①任意两条直线都可以确定一个平面;
②若两个平面有3个不同的公共点,则这两个平面重合;
③直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c共面;
④若直线l上有一点在平面α外,则l在平面α外.
其中错误命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
17.已知圆M过定点(2,0),圆心M在抛物线y2=4x上运动,若y轴截圆M所得的弦为AB,则|AB|等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
18.已知数列{an}的通项公式为,则数列{an}( )
A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项
C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm的正方形,高为30cm,内有20cm深的溶液.现将此容器倾斜一定角度α(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面).
(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角α的最大值是多少;
(2)现需要倒出不少于3000cm3的溶液,当α=60°时,能实现要求吗?请说明理由.
20.已知x∈R,设,,记函数.
(1)求函数f(x)取最小值时x的取值范围;
(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=2,,求△ABC的面积S的最大值.
21.设函数f(x)=k•ax﹣a﹣x(a>0且a≠1)是奇函数.
(1)求常数k的值;
(2)若,且函数g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在区间[1,+∞)上的最小值为﹣2,求实数m的值.
22.在平面直角坐标系xOy内,动点P到定点F(﹣1,0)的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)若轨迹C上的动点N到定点M(m,0)(0<m<2)的距离的最小值为1,求m的值.
(3)设点A、B是轨迹C上两个动点,直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1,且直线OA、OB的斜率之积等于,问四边形ABA1B1的面积S是否为定值?请说明理由.
23.设复数zn=xn+i•yn,其中xnyn∈R,n∈N*,i为虚数单位,zn+1=(1+i)•zn,z1=3+4i,复数zn在复平面上对应的点为Zn.
(1)求复数z2,z3,z4的值;
(2)是否存在正整数n使得∥?若存在,求出所有满足条件的n;若不存在,请说明理由;
(3)求数列{xn•yn}的前102项之和.
2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分.
1.= .
【考点】极限及其运算.
【专题】计算题;转化思想;综合法;导数的概念及应用.
【分析】分式的分子分母同时除以n2,利用极限的性质能求出结果.
【解答】解:
=
=.
故答案为:.
【点评】本题考查极限的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意极限性质的合理运用.
2.设集合A={x|x2﹣2x>0,x∈R},,则A∩B= {x|﹣1≤x<0,x∈R}(或[﹣1,0)) .
【考点】交集及其运算.
【专题】对应思想;转化法;不等式的解法及应用;集合.
【分析】化简集合A、B,再计算A∩B.
【解答】解:集合A={x|x2﹣2x>0,x∈R}={x|x<0或x>2,x∈R},
={x|﹣1≤x<1,x∈R},
∴A∩B={x|﹣1≤x<0,x∈R}(或[﹣1,0)).
故答案为:{x|﹣1≤x<0,x∈R}(或[﹣1,0)).
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题,也考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.
3.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(3,﹣1),则a= .
【考点】反函数.
【专题】方程思想;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】利用互为反函数的性质即可得出.
【解答】解:∵函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(3,﹣1),
∴3=a﹣1,
解得a=.
故答案为:.
【点评】本题考查了互为反函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
4.已知一组数据6,7,8,9,m的平均数是8,则这组数据的方差是 2 .
【考点】极差、方差与标准差.
【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.
【分析】由一组数据6,7,8,9,m的平均数是8,先求出m=10,由此能求出这组数据的方差.
【解答】解:∵一组数据6,7,8,9,m的平均数是8,
∴,解得m=10,
∴这组数据的方差S2= [(6﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查一组数据的方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平均数、方差计算公式的合理运用.
5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为棱A1B1的中点,则异面直线AM与B1C所成的角的大小为 arccos (结果用反三角函数值表示).
【考点】异面直线及其所成的角.
【专题】计算题;转化思想;向量法;空间角.
【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AM与B1C所成的角.
【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2,
则A(2,0,0),M(2,1,2),B1(2,2,2),C(0,2,0),
=(0,1,2),=(﹣2,0,2),
设异面直线AM与B1C所成的角为θ,
cosθ===.
∴θ=.
∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos.
故答案为:.
【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
6.若圆锥的底面周长为2π,侧面积也为2π,则该圆锥的体积为 .
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【专题】数形结合;综合法;立体几何.
【分析】根据底面周长计算底面半径,根据侧面积计算母线长,再根据勾股定理求出圆锥的高,代入体积公式计算体积.
【解答】解:∵圆锥的底面周长为2π,∴圆锥的底面半径r=1,设圆锥母线为l,则πrl=2π,∴l=2,
∴圆锥的高h==.∴圆锥的体积V=πr2h=.
故答案为:.
【点评】本题考查了圆锥的结构特征,侧面积与体积计算,属于基础题.
7.已知,则cos(30°+2α)= .
【考点】二阶矩阵;三角函数的化简求值.
【专题】计算题;转化思想;综合法;矩阵和变换.
【分析】由二阶行列式展开式得到cos(75°﹣α)=,再由诱导公式得cos(30°+2α)=cos[180°﹣2(75°﹣α)],由此利用二倍角公式能求出结果.
【解答】解:∵,
∴cos75°cosα+sin75°sinα=cos(75°﹣α)=,
cos(30°+2α)=cos[180°﹣2(75°﹣α)]
=﹣cos[2(75°﹣α)]
=﹣[2cos2(75°﹣α)﹣1]
=﹣[2×﹣1]
=.
故答案为:.
【点评】本题考查三角函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意二阶行列式展开式、诱导公式、倍角公式的性质的合理运用.
8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的S值是 .
【考点】程序框图.
【专题】计算题;图表型;数学模型法;算法和程序框图.
【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的S,k的值,当k=2016时,不满足条件k≤2015,退出循环,输出S的值,从而得解.
【解答】解:模拟执行程序,可得
k=1,S=0
满足条件k≤2015,S=,k=2
满足条件k≤2015,S=+,k=3
…
满足条件k≤2015,S=++…+,k=2015
满足条件k≤2015,S=++…++,k=2016
不满足条件k≤2015,退出循环,输出S的值.
由于S=++…++=1﹣﹣…+=1﹣=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了程序框图和算法,考查了循环结构和条件语句,用裂项法求S的值是解题的关键,属于基本知识的考查.
9.过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=4相切,且与直线ax﹣y+1=0垂直,则实数a的值为 ﹣ .
【考点】圆的切线方程.
【专题】分类讨论;转化思想;综合法;直线与圆.
【分析】先判断a≠0,可得要求的直线的方程为 y﹣2=(x﹣1),即 x﹣ay+2a﹣1=0,再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2,求得a的值.
【解答】解:当a=0时,直线ax﹣y+1=0,即直线y=1,根据所求直线与该直线垂直,且过点P(1,2),
故有所求的直线为x=1,此时,不满足所求直线与圆x2+y2=4相切,故a≠0.
故要求的直线的斜率为,要求的直线的方程为 y﹣2=(x﹣1),即 x﹣ay+2a﹣1=0.
再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2,可得=2,求得a=﹣,
故答案为:﹣.
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
10.甲、乙、丙三人相互传球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人.经过3次传球后,球仍在甲手中的概率是 .
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.
【分析】利用列举法求出所有的传球方法共有多少种,找出第3次球恰好传回给甲的情况,由此能求出经过3次传球后,球仍在甲手中的概率.
【解答】解:用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法
所有传球方法共有:
甲→乙→甲→乙;甲→乙→甲→丙;甲→乙→丙→甲;甲→乙→丙→乙;
甲→丙→甲→乙;甲→丙→甲→丙;甲→丙→乙→甲;甲→丙→乙→丙;
则共有8种传球方法.
第3次球恰好传回给甲的有两种情况,
∴经过3次传球后,球仍在甲手中的概率是p=.
故答案为:.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.
11.已知直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°.AD=2,BC=1,P是腰AB上的动点,则的最小值为 3 .
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】应用题;数形结合;向量法;平面向量及应用.
【分析】先建立坐标系,以直线AD,AB分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设P(0,b)(0≤b≤1),根据向量的坐标运算和模的计算得到, =≥3,问题得以解决.
【解答】解:如图,以直线AD,AB分别为x,y轴建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(2,0)
设P(0,b)(0≤b≤1)
则=(1,1﹣b),=(2,﹣b),
∴+=(3,1﹣2b),
∴=≥3,当且仅当b=时取等号,
∴的最小值为3,
故答案为:3.
【点评】此题是个基础题.考查向量在几何中的应用,以及向量模的求法,同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力.
12.已知n∈N*,若,则n= 4 .
【考点】二项式定理的应用.
【专题】转化思想;综合法;二项式定理.
【分析】由题意可得•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2,即(1+2)n﹣1=80,由此求得n的值.
【解答】解:∵n∈N*,若,
则•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2,
即(1+2)n﹣1=80,∴n=4,
故答案为:4.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题.
13.对一切实数x,令[x]为不大于x的最大整数,则函数f(x)=[x]称为取整函数.若,n∈N*,Sn为数列{an}的前n项和,则= 100 .
【考点】数列的求和.
【专题】转化思想;分类法;等差数列与等比数列.
【分析】=,n∈N*,当n=1,2,…,9时,an=0;当n=10,11,12,…,19时,an=1;…,即可得出S2009.
【解答】解: =,n∈N*,
当n=1,2,…,9时,an=0;
当n=10,11,12,…,19时,an=1;…,
∴S2009=0+1×10+2×10+…+199×10+200×10
=10×=201000,
则=100.
故答案为:100.
【点评】本题考查了取整函数、等差数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
14.对于函数y=f(x),若存在定义域D内某个区间[a,b],使得y=f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],则称函数y=f(x)在定义域D上封闭.如果函数(k≠0)在R上封闭,那么实数k的取值范围是 (1,+∞) .
【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】由题意便知方程组至少有两个解,从而可得到至少有两个解,从而有k=1+|x|>1,这样即求出k的取值范围.
【解答】解:根据题意知方程至少有两个不同实数根;
即至少有两个实数根;
∴;
∴k=1+|x|>1;
∴实数k的取值范围为(1,+∞).
故答案为:(1,+∞).
【点评】考查对一个函数在定义域上封闭的理解,清楚函数y=x的定义域和值域相同.
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得5分,否则一律得零分.
15.“函数y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ=”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】简易逻辑.
【分析】根据三角函数的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【解答】解:若φ=时,y=sin(x+φ)=cosx 为偶函数;
若y=sin(x+φ)为偶函数,则φ=+kπ,k∈Z;
∴“函数y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ=”的必要不充分条件,
故选B.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用三角函数的性质是解决本题的关键,难度不大.
16.下列四个命题:
①任意两条直线都可以确定一个平面;
②若两个平面有3个不同的公共点,则这两个平面重合;
③直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c共面;
④若直线l上有一点在平面α外,则l在平面α外.
其中错误命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】两条异面直线不能确定一个平面;若两个平面有3个共线的公共点,则这两个平面相交;若a与b共面,b与c共面,则a与c不一定共面;若直线l上有一点在平面α外,则由直线与平面的位置关系得l在平面α外.
【解答】解:在①中,两条异面直线不能确定一个平面,故①错误;
在②中,若两个平面有3个不共线的公共点,则这两个平面重合,
若两个平面有3个共线的公共点,则这两个平面相交,故②错误;
在③中,直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c不一定共面,
如四面体S﹣ABC中,SA与AB共面,AB与BC共面,但SA与BC异面,故③错误;
在④中,若直线l上有一点在平面α外,则由直线与平面的位置关系得l在平面α外,故④正确.
故选:C.
【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.
17.已知圆M过定点(2,0),圆心M在抛物线y2=4x上运动,若y轴截圆M所得的弦为AB,则|AB|等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】计算题;数形结合;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】画出图形,可根据条件设,并可得出圆M的半径,从而得出圆M的方程为,这样令x=0便可求出y,即求出A,B点的坐标,根据A,B点的坐标便可得出|AB|.
【解答】解:如图,圆心M在抛物线y2=4x上;
∴设,r=;
∴圆M的方程为:;
令x=0,;
∴;
∴y=y0±2;
∴|AB|=y0+2﹣(y0﹣2)=4.
故选:A.
【点评】考查抛物线上的点和抛物线方程的关系,圆的半径和圆心,以及圆的标准方程,直线和圆的交点的求法,坐标轴上的两点的距离.
18.已知数列{an}的通项公式为,则数列{an}( )
A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项
C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项
【考点】数列的函数特性.
【专题】探究型.
【分析】把数列的通项公式看作函数解析式,令,换元后是二次函数解析式,内层是指数函数,由指数函数的性质可以求出t的大致范围,在求出的范围内分析二次函数的最值情况.
【解答】解:
令,则t是区间(0,1]内的值,而=,
所以当n=1,即t=1时,an取最大值,使最接近的n的值为数列{an}中的最小项,
所以该数列既有最大项又有最小项.
故选C.
【点评】本题考查了数列的函数特性,考查了换元法,解答此题的关键是由外层二次函数的最值情况断定n的取值,从而说明使数列取得最大项和最小项的n都存在,属易错题.
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm的正方形,高为30cm,内有20cm深的溶液.现将此容器倾斜一定角度α(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面).
(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角α的最大值是多少;
(2)现需要倒出不少于3000cm3的溶液,当α=60°时,能实现要求吗?请说明理由.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】转化思想;数形结合法;立体几何.
【分析】(1)根据题意画出图形,结合图形,过C作CF∥BP,交AD所在直线于F,且点F在线段AD上,用tanα表示出DF、AF,求出容器内溶液的体积,列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值;
(2)当α=60°时,过C作CF∥BP,交AB所在直线于F,则点F在线段AB上,溶液纵截面为Rt△CBF,由此能求出倒出的溶液量,即可得出结论.
【解答】解:(1)根据题意,画出图形,如图a所示,
过C作CF∥BP,交AD所在直线于F,
在Rt△CDF中,∠FCD=α,CD=20cm,DF=20tanα,
且点F在线段AD上,AF=30﹣20tanα,
此时容器内能容纳的溶液量为:
S梯形ABCF•20=•20
=(30﹣20tanα+30)•20•10
=2000(6﹣2tanα)(cm3);
而容器中原有溶液量为20×20×20=8000(cm3),
令2000(6﹣2tanα)≥8000,
解得tanα≤1,
所以α≤45°,
即α的最大角为45°时,溶液不会溢出;
(2)如图b所示,当α=60°时,
过C作CF∥BP,交AB所在直线于F,
在Rt△CBF中,BC=30cm,∠BCF=30°,BF=10cm,
∴点F在线段AB上,故溶液纵截面为Rt△CBF,
∵S△ABF=BC•BF=150cm2,
容器内溶液量为150×20=300cm3,
倒出的溶液量为(8000﹣3000)cm3<3000cm3,
∴不能实现要求.
【点评】本题考查了棱柱的体积在生产生活中的实际应用问题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,是综合性题目.
20.已知x∈R,设,,记函数.
(1)求函数f(x)取最小值时x的取值范围;
(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=2,,求△ABC的面积S的最大值.
【考点】平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;余弦定理.
【专题】综合题;转化思想;向量法;综合法;解三角形.
【分析】(1)先根据向量的数量积的运算,以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f(x)=,再根据正弦函数的性质即可求出答案;
(2)先求出C的大小,再根据余弦定理和基本不等式,即可求出ab≤3,根据三角形的面积公式即可求出答案.
【解答】解:(1)=.
当f(x)取最小值时,,,k∈Z,
所以,所求x的取值集合是.
(2)由f(C)=2,得,
因为0<C<π,所以,
所以,.
在△ABC中,由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC,
得3=a2+b2﹣ab≥ab,即ab≤3,
所以△ABC的面积,
因此△ABC的面积S的最大值为.
【点评】本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式和两角和的正弦公式,余弦定理和基本不等式,三角形的面积公式,属于中档题.
21.设函数f(x)=k•ax﹣a﹣x(a>0且a≠1)是奇函数.
(1)求常数k的值;
(2)若,且函数g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在区间[1,+∞)上的最小值为﹣2,求实数m的值.
【考点】函数的最值及其几何意义;函数奇偶性的性质.
【专题】分类讨论;分析法;函数的性质及应用.
【分析】(1)方法一、由奇函数的性质:f(0)=0,解方程可得k=1,检验成立;方法二、运用奇函数的定义,由恒等式的性质即可得到k=1;
(2)求得a=3,即有g(x)=32x﹣3﹣2x﹣2m(3x﹣3﹣x),令t=3x﹣3﹣x,则t是关于x的增函数,可得,h(t)=t2﹣2mt+2=(t﹣m)2+2﹣m2,讨论对称轴和区间的关系,运用单调性,可得最小值,解方程可得m的值.
【解答】(1)解法一:函数f(x)=k•ax﹣a﹣x的定义域为R,
f(x)是奇函数,所以f(0)=k﹣1=0,即有k=1.
当k=1时,f(x)=ax﹣a﹣x,f(﹣x)=a﹣x﹣ax=﹣f(x),
则f(x)是奇函数,故所求k的值为1;
解法二:函数f(x)=k•ax﹣a﹣x的定义域为R,
由题意,对任意x∈R,f(﹣x)=﹣f(x),
即k•a﹣x﹣ax=a﹣x﹣k•ax,(k﹣1)(ax+a﹣x)=0,
因为ax+a﹣x>0,所以,k=1.
(2)由,得,解得a=3或(舍).
所以g(x)=32x﹣3﹣2x﹣2m(3x﹣3﹣x),
令t=3x﹣3﹣x,则t是关于x的增函数,,
g(x)=h(t)=t2﹣2mt+2=(t﹣m)2+2﹣m2,
当时,则当时,,
解得;
当时,则当t=m时,,m=±2(舍去).
综上,.
【点评】本题考查奇函数的定义和性质的运用,考查可化为二次函数的最值的求法,注意运用换元法和二次韩寒说的对称轴和区间的关系,考查运算能力,属于中档题.
22.在平面直角坐标系xOy内,动点P到定点F(﹣1,0)的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)若轨迹C上的动点N到定点M(m,0)(0<m<2)的距离的最小值为1,求m的值.
(3)设点A、B是轨迹C上两个动点,直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1,且直线OA、OB的斜率之积等于,问四边形ABA1B1的面积S是否为定值?请说明理由.
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)设P(x,y),由两点间距离公式和点到直线距离公式能求出动点P的轨迹C的方程.
(2)设N(x,y),利用两点间距离公式能求出m.
(3)法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得,由点A、B在椭圆C上,得,由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性,结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值.
法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则A1(﹣x1,﹣y1),B1(﹣x2,﹣y2),由,得,点A、B在椭圆C上,得.由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性,结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值.
法三:设A(x1,y1),B(x2,y2),则A1(﹣x1,﹣y1),B1(﹣x2,﹣y2),由,得,点A、B在椭圆C上,得.由此利用行列式性质及椭圆的对称性,能求出四边形ABA1B1的面积为定值.
【解答】解:(1)设P(x,y),
∵动点P到定点F(﹣1,0)的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为,
∴由题意,,…
化简得3x2+4y2=12,…
∴动点P的轨迹C的方程为. …
(2)设N(x,y),
则=,﹣2≤x≤2. …
①当0<4m≤2,即时,当x=4m时,|MN|2取最小值3(1﹣m2)=1,
解得,,此时,故舍去. …
②当4m>2,即时,当x=2时,|MN|2取最小值m2﹣4m+4=1,
解得m=1,或m=3(舍). …
综上,m=1.
(3)解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则由,得,,,
∵点A、B在椭圆C上,∴,,
∴=,化简得. …
①当x1=x2时,则四边形ABA1B1为矩形,y2=﹣y1,则,
由,得,解得,,
S=|AB|•|A1B|=4|x1||y1|=. …
②当x1≠x2时,直线AB的方向向量为,
直线AB的方程为(y2﹣y1)x﹣(x2﹣x1)y+x2y1﹣x1y2=0,
原点O到直线AB的距离为
∴△AOB的面积,
根据椭圆的对称性,四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|,…
∴
=,∴.
∴四边形ABA1B1的面积为定值. …
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则A1(﹣x1,﹣y1),B1(﹣x2,﹣y2),
由,得,…
∵点A、B在椭圆C上,所以,,
∴=,化简得. …
直线OA的方程为y1x﹣x1y=0,点B到直线OA的距离,
△ABA1的面积,…
根据椭圆的对称性,四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|,…
∴
=,∴.
∴四边形ABA1B1的面积为定值. …
解法三:设A(x1,y1),B(x2,y2),则A1(﹣x1,﹣y1),B1(﹣x2,﹣y2)
由,得,…
∵点A、B在椭圆C上,所以,,
∴=,化简得. …
△ABA1的面积=|x1y2﹣x2y1|,…
根据椭圆的对称性,四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|,…
∴
=,∴.
∴四边形ABA1B1的面积为定值. …
【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的实数值的求法,考查四边形面积是否为定值的求法与证明,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式、椭圆的对称性的合理运用.
23.设复数zn=xn+i•yn,其中xnyn∈R,n∈N*,i为虚数单位,zn+1=(1+i)•zn,z1=3+4i,复数zn在复平面上对应的点为Zn.
(1)求复数z2,z3,z4的值;
(2)是否存在正整数n使得∥?若存在,求出所有满足条件的n;若不存在,请说明理由;
(3)求数列{xn•yn}的前102项之和.
【考点】数列的求和;复数代数形式的乘除运算.
【专题】计算题;规律型;转化思想;等差数列与等比数列.
【分析】(1)利用已知条件之间求解z2,z3,z4.
(2)求出,利用复数的幂运算,求解即可.
(3)通过,推出xn+4=﹣4xn,yn+4=﹣4yn,得到xn+4yn+4=16xnyn,然后求解数列的和即可.
【解答】本题,第1小题,第2小题,第3小题.
解:(1)z2=(1+i)(3+4i)=﹣1+7i,z3=﹣8+6i,z4=﹣14﹣2i.…
(算错一个扣,即算对一个得,算对两个得3分)
(2)若∥,则存在实数λ,使得,故zn=λ•z1,
即(xn,yn)=λ(x1,y1),…
又zn+1=(1+i)zn,故,即(1+i)n﹣1=λ为实数,…
故n﹣1为4的倍数,即n﹣1=4k,n=4k+1,k∈N. …
(3)因为,故xn+4=﹣4xn,yn+4=﹣4yn,…
所以xn+4yn+4=16xnyn,…
又x1y1=12,x2y2=﹣7,x3y3=﹣48,x4y4=28,
x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100
=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)+(x5y5+x6y6+x7y7+x8y8)+…+(x97y97+x98y98+x99y99+x100y100)
=,…
而,,…
所以数列{xnyn}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102.…
【点评】本题考查复数的基本运算,复数的代数形式混合运算,考查数列求和,考查计算能力.