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  • 2021-05-14 发布

上海市嘉定区高考数学一模试卷理科Word版含解析

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‎2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分.‎ ‎1.=      .‎ ‎2.设集合A={x|x2﹣2x>0,x∈R},,则A∩B=      .‎ ‎3.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(3,﹣1),则a=      .‎ ‎4.已知一组数据6,7,8,9,m的平均数是8,则这组数据的方差是      .‎ ‎5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为棱A1B1的中点,则异面直线AM与B1C所成的角的大小为      (结果用反三角函数值表示).‎ ‎6.若圆锥的底面周长为2π,侧面积也为2π,则该圆锥的体积为      .‎ ‎7.已知,则cos(30°+2α)=      .‎ ‎8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的S值是      .‎ ‎9.过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=4相切,且与直线ax﹣y+1=0垂直,则实数a的值为      .‎ ‎10.甲、乙、丙三人相互传球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人.经过3次传球后,球仍在甲手中的概率是      .‎ ‎11.已知直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°.AD=2,BC=1,P是腰AB上的动点,则的最小值为      .‎ ‎12.已知n∈N*,若,则n=      .‎ ‎13.对一切实数x,令[x]为不大于x的最大整数,则函数f(x)=[x]称为取整函数.若,n∈N*,Sn为数列{an}的前n项和,则=      .‎ ‎14.对于函数y=f(x),若存在定义域D内某个区间[a,b],使得y=f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],则称函数y=f(x)在定义域D上封闭.如果函数(k≠0)在R上封闭,那么实数k的取值范围是      .‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎15.“函数y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ=”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎16.下列四个命题:‎ ‎①任意两条直线都可以确定一个平面;‎ ‎②若两个平面有3个不同的公共点,则这两个平面重合;‎ ‎③直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c共面;‎ ‎④若直线l上有一点在平面α外,则l在平面α外.‎ 其中错误命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎17.已知圆M过定点(2,0),圆心M在抛物线y2=4x上运动,若y轴截圆M所得的弦为AB,则|AB|等于(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎18.已知数列{an}的通项公式为,则数列{an}(  )‎ A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项 ‎ ‎ 三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19.如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm的正方形,高为30cm,内有20cm深的溶液.现将此容器倾斜一定角度α(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面).‎ ‎(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角α的最大值是多少;‎ ‎(2)现需要倒出不少于3000cm3的溶液,当α=60°时,能实现要求吗?请说明理由.‎ ‎20.已知x∈R,设,,记函数.‎ ‎(1)求函数f(x)取最小值时x的取值范围;‎ ‎(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=2,,求△ABC的面积S的最大值.‎ ‎21.设函数f(x)=k•ax﹣a﹣x(a>0且a≠1)是奇函数.‎ ‎(1)求常数k的值;‎ ‎(2)若,且函数g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在区间[1,+∞)上的最小值为﹣2,求实数m的值.‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy内,动点P到定点F(﹣1,0)的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)若轨迹C上的动点N到定点M(m,0)(0<m<2)的距离的最小值为1,求m的值.‎ ‎(3)设点A、B是轨迹C上两个动点,直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1,且直线OA、OB的斜率之积等于,问四边形ABA1B1的面积S是否为定值?请说明理由.‎ ‎23.设复数zn=xn+i•yn,其中xnyn∈R,n∈N*,i为虚数单位,zn+1=(1+i)•zn,z1=3+4i,复数zn在复平面上对应的点为Zn.‎ ‎(1)求复数z2,z3,z4的值;‎ ‎(2)是否存在正整数n使得∥?若存在,求出所有满足条件的n;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)求数列{xn•yn}的前102项之和.‎ ‎ ‎ ‎2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分.‎ ‎1.=  .‎ ‎【考点】极限及其运算.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;导数的概念及应用.‎ ‎【分析】分式的分子分母同时除以n2,利用极限的性质能求出结果.‎ ‎【解答】解:‎ ‎=‎ ‎=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查极限的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意极限性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎2.设集合A={x|x2﹣2x>0,x∈R},,则A∩B= {x|﹣1≤x<0,x∈R}(或[﹣1,0)) .‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【专题】对应思想;转化法;不等式的解法及应用;集合.‎ ‎【分析】化简集合A、B,再计算A∩B.‎ ‎【解答】解:集合A={x|x2﹣2x>0,x∈R}={x|x<0或x>2,x∈R},‎ ‎={x|﹣1≤x<1,x∈R},‎ ‎∴A∩B={x|﹣1≤x<0,x∈R}(或[﹣1,0)).‎ 故答案为:{x|﹣1≤x<0,x∈R}(或[﹣1,0)).‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题,也考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.‎ ‎ ‎ ‎3.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(3,﹣1),则a=  .‎ ‎【考点】反函数.‎ ‎【专题】方程思想;转化思想;函数的性质及应用.‎ ‎【分析】利用互为反函数的性质即可得出.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(3,﹣1),‎ ‎∴3=a﹣1,‎ 解得a=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了互为反函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.已知一组数据6,7,8,9,m的平均数是8,则这组数据的方差是 2 .‎ ‎【考点】极差、方差与标准差.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.‎ ‎【分析】由一组数据6,7,8,9,m的平均数是8,先求出m=10,由此能求出这组数据的方差.‎ ‎【解答】解:∵一组数据6,7,8,9,m的平均数是8,‎ ‎∴,解得m=10,‎ ‎∴这组数据的方差S2= [(6﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查一组数据的方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平均数、方差计算公式的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为棱A1B1的中点,则异面直线AM与B1C所成的角的大小为 arccos (结果用反三角函数值表示).‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;向量法;空间角.‎ ‎【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AM与B1C所成的角.‎ ‎【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2,‎ 则A(2,0,0),M(2,1,2),B1(2,2,2),C(0,2,0),‎ ‎=(0,1,2),=(﹣2,0,2),‎ 设异面直线AM与B1C所成的角为θ,‎ cosθ===.‎ ‎∴θ=.‎ ‎∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎6.若圆锥的底面周长为2π,侧面积也为2π,则该圆锥的体积为  .‎ ‎【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).‎ ‎【专题】数形结合;综合法;立体几何.‎ ‎【分析】根据底面周长计算底面半径,根据侧面积计算母线长,再根据勾股定理求出圆锥的高,代入体积公式计算体积.‎ ‎【解答】解:∵圆锥的底面周长为2π,∴圆锥的底面半径r=1,设圆锥母线为l,则πrl=2π,∴l=2,‎ ‎∴圆锥的高h==.∴圆锥的体积V=πr2h=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的结构特征,侧面积与体积计算,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.已知,则cos(30°+2α)=  .‎ ‎【考点】二阶矩阵;三角函数的化简求值.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;矩阵和变换.‎ ‎【分析】由二阶行列式展开式得到cos(75°﹣α)=,再由诱导公式得cos(30°+2α)=cos[180°﹣2(75°﹣α)],由此利用二倍角公式能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴cos75°cosα+sin75°sinα=cos(75°﹣α)=,‎ cos(30°+2α)=cos[180°﹣2(75°﹣α)]‎ ‎=﹣cos[2(75°﹣α)]‎ ‎=﹣[2cos2(75°﹣α)﹣1]‎ ‎=﹣[2×﹣1]‎ ‎=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查三角函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意二阶行列式展开式、诱导公式、倍角公式的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的S值是  .‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【专题】计算题;图表型;数学模型法;算法和程序框图.‎ ‎【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的S,k的值,当k=2016时,不满足条件k≤2015,退出循环,输出S的值,从而得解.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序,可得 k=1,S=0‎ 满足条件k≤2015,S=,k=2‎ 满足条件k≤2015,S=+,k=3‎ ‎…‎ 满足条件k≤2015,S=++…+,k=2015‎ 满足条件k≤2015,S=++…++,k=2016‎ 不满足条件k≤2015,退出循环,输出S的值.‎ 由于S=++…++=1﹣﹣…+=1﹣=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查了程序框图和算法,考查了循环结构和条件语句,用裂项法求S的值是解题的关键,属于基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎9.过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=4相切,且与直线ax﹣y+1=0垂直,则实数a的值为 ﹣ .‎ ‎【考点】圆的切线方程.‎ ‎【专题】分类讨论;转化思想;综合法;直线与圆.‎ ‎【分析】先判断a≠0,可得要求的直线的方程为 y﹣2=(x﹣1),即 x﹣ay+2a﹣1=0,再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2,求得a的值.‎ ‎【解答】解:当a=0时,直线ax﹣y+1=0,即直线y=1,根据所求直线与该直线垂直,且过点P(1,2),‎ 故有所求的直线为x=1,此时,不满足所求直线与圆x2+y2=4相切,故a≠0.‎ 故要求的直线的斜率为,要求的直线的方程为 y﹣2=(x﹣1),即 x﹣ay+2a﹣1=0.‎ 再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2,可得=2,求得a=﹣,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.甲、乙、丙三人相互传球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人.经过3次传球后,球仍在甲手中的概率是  .‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.‎ ‎【分析】利用列举法求出所有的传球方法共有多少种,找出第3次球恰好传回给甲的情况,由此能求出经过3次传球后,球仍在甲手中的概率.‎ ‎【解答】解:用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法 所有传球方法共有:‎ 甲→乙→甲→乙;甲→乙→甲→丙;甲→乙→丙→甲;甲→乙→丙→乙;‎ 甲→丙→甲→乙;甲→丙→甲→丙;甲→丙→乙→甲;甲→丙→乙→丙;‎ 则共有8种传球方法.‎ 第3次球恰好传回给甲的有两种情况,‎ ‎∴经过3次传球后,球仍在甲手中的概率是p=. ‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎11.已知直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°.AD=2,BC=1,P是腰AB上的动点,则的最小值为 3 .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【专题】应用题;数形结合;向量法;平面向量及应用.‎ ‎【分析】先建立坐标系,以直线AD,AB分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设P(0,b)(0≤b≤1),根据向量的坐标运算和模的计算得到, =≥3,问题得以解决.‎ ‎【解答】解:如图,以直线AD,AB分别为x,y轴建立平面直角坐标系,‎ 则A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(2,0)‎ 设P(0,b)(0≤b≤1)‎ 则=(1,1﹣b),=(2,﹣b),‎ ‎∴+=(3,1﹣2b),‎ ‎∴=≥3,当且仅当b=时取等号,‎ ‎∴的最小值为3,‎ 故答案为:3.‎ ‎【点评】此题是个基础题.考查向量在几何中的应用,以及向量模的求法,同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力.‎ ‎ ‎ ‎12.已知n∈N*,若,则n= 4 .‎ ‎【考点】二项式定理的应用.‎ ‎【专题】转化思想;综合法;二项式定理.‎ ‎【分析】由题意可得•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2,即(1+2)n﹣1=80,由此求得n的值.‎ ‎【解答】解:∵n∈N*,若,‎ 则•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2,‎ 即(1+2)n﹣1=80,∴n=4,‎ 故答案为:4.‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎13.对一切实数x,令[x]为不大于x的最大整数,则函数f(x)=[x]称为取整函数.若,n∈N*,Sn为数列{an}的前n项和,则= 100 .‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【专题】转化思想;分类法;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】=,n∈N*,当n=1,2,…,9时,an=0;当n=10,11,12,…,19时,an=1;…,即可得出S2009.‎ ‎【解答】解: =,n∈N*,‎ 当n=1,2,…,9时,an=0;‎ 当n=10,11,12,…,19时,an=1;…,‎ ‎∴S2009=0+1×10+2×10+…+199×10+200×10‎ ‎=10×=201000,‎ 则=100.‎ 故答案为:100.‎ ‎【点评】本题考查了取整函数、等差数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎14.对于函数y=f(x),若存在定义域D内某个区间[a,b],使得y=f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],则称函数y=f(x)在定义域D上封闭.如果函数(k≠0)在R上封闭,那么实数k的取值范围是 (1,+∞) .‎ ‎【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法.‎ ‎【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.‎ ‎【分析】由题意便知方程组至少有两个解,从而可得到至少有两个解,从而有k=1+|x|>1,这样即求出k的取值范围.‎ ‎【解答】解:根据题意知方程至少有两个不同实数根;‎ 即至少有两个实数根;‎ ‎∴;‎ ‎∴k=1+|x|>1;‎ ‎∴实数k的取值范围为(1,+∞).‎ 故答案为:(1,+∞).‎ ‎【点评】考查对一个函数在定义域上封闭的理解,清楚函数y=x的定义域和值域相同.‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎15.“函数y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ=”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【专题】简易逻辑.‎ ‎【分析】根据三角函数的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.‎ ‎【解答】解:若φ=时,y=sin(x+φ)=cosx 为偶函数;‎ 若y=sin(x+φ)为偶函数,则φ=+kπ,k∈Z;‎ ‎∴“函数y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ=”的必要不充分条件,‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用三角函数的性质是解决本题的关键,难度不大.‎ ‎ ‎ ‎16.下列四个命题:‎ ‎①任意两条直线都可以确定一个平面;‎ ‎②若两个平面有3个不同的公共点,则这两个平面重合;‎ ‎③直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c共面;‎ ‎④若直线l上有一点在平面α外,则l在平面α外.‎ 其中错误命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】两条异面直线不能确定一个平面;若两个平面有3个共线的公共点,则这两个平面相交;若a与b共面,b与c共面,则a与c不一定共面;若直线l上有一点在平面α外,则由直线与平面的位置关系得l在平面α外.‎ ‎【解答】解:在①中,两条异面直线不能确定一个平面,故①错误;‎ 在②中,若两个平面有3个不共线的公共点,则这两个平面重合,‎ 若两个平面有3个共线的公共点,则这两个平面相交,故②错误;‎ 在③中,直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c不一定共面,‎ 如四面体S﹣ABC中,SA与AB共面,AB与BC共面,但SA与BC异面,故③错误;‎ 在④中,若直线l上有一点在平面α外,则由直线与平面的位置关系得l在平面α外,故④正确.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎17.已知圆M过定点(2,0),圆心M在抛物线y2=4x上运动,若y轴截圆M所得的弦为AB,则|AB|等于(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【专题】计算题;数形结合;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】画出图形,可根据条件设,并可得出圆M的半径,从而得出圆M的方程为,这样令x=0便可求出y,即求出A,B点的坐标,根据A,B点的坐标便可得出|AB|.‎ ‎【解答】解:如图,圆心M在抛物线y2=4x上;‎ ‎∴设,r=;‎ ‎∴圆M的方程为:;‎ 令x=0,;‎ ‎∴;‎ ‎∴y=y0±2;‎ ‎∴|AB|=y0+2﹣(y0﹣2)=4.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】考查抛物线上的点和抛物线方程的关系,圆的半径和圆心,以及圆的标准方程,直线和圆的交点的求法,坐标轴上的两点的距离.‎ ‎ ‎ ‎18.已知数列{an}的通项公式为,则数列{an}(  )‎ A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项 ‎【考点】数列的函数特性.‎ ‎【专题】探究型.‎ ‎【分析】把数列的通项公式看作函数解析式,令,换元后是二次函数解析式,内层是指数函数,由指数函数的性质可以求出t的大致范围,在求出的范围内分析二次函数的最值情况.‎ ‎【解答】解:‎ 令,则t是区间(0,1]内的值,而=,‎ 所以当n=1,即t=1时,an取最大值,使最接近的n的值为数列{an}中的最小项,‎ 所以该数列既有最大项又有最小项.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查了数列的函数特性,考查了换元法,解答此题的关键是由外层二次函数的最值情况断定n的取值,从而说明使数列取得最大项和最小项的n都存在,属易错题.‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19.如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm的正方形,高为30cm,内有20cm深的溶液.现将此容器倾斜一定角度α(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面).‎ ‎(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角α的最大值是多少;‎ ‎(2)现需要倒出不少于3000cm3的溶液,当α=60°时,能实现要求吗?请说明理由.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【专题】转化思想;数形结合法;立体几何.‎ ‎【分析】(1)根据题意画出图形,结合图形,过C作CF∥BP,交AD所在直线于F,且点F在线段AD上,用tanα表示出DF、AF,求出容器内溶液的体积,列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值;‎ ‎(2)当α=60°时,过C作CF∥BP,交AB所在直线于F,则点F在线段AB上,溶液纵截面为Rt△CBF,由此能求出倒出的溶液量,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意,画出图形,如图a所示,‎ 过C作CF∥BP,交AD所在直线于F,‎ 在Rt△CDF中,∠FCD=α,CD=20cm,DF=20tanα,‎ 且点F在线段AD上,AF=30﹣20tanα,‎ 此时容器内能容纳的溶液量为:‎ S梯形ABCF•20=•20‎ ‎=(30﹣20tanα+30)•20•10‎ ‎=2000(6﹣2tanα)(cm3);‎ 而容器中原有溶液量为20×20×20=8000(cm3),‎ 令2000(6﹣2tanα)≥8000,‎ 解得tanα≤1,‎ 所以α≤45°,‎ 即α的最大角为45°时,溶液不会溢出;‎ ‎(2)如图b所示,当α=60°时,‎ 过C作CF∥BP,交AB所在直线于F,‎ 在Rt△CBF中,BC=30cm,∠BCF=30°,BF=10cm,‎ ‎∴点F在线段AB上,故溶液纵截面为Rt△CBF,‎ ‎∵S△ABF=BC•BF=150cm2,‎ 容器内溶液量为150×20=300cm3,‎ 倒出的溶液量为(8000﹣3000)cm3<3000cm3,‎ ‎∴不能实现要求.‎ ‎【点评】本题考查了棱柱的体积在生产生活中的实际应用问题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,是综合性题目.‎ ‎ ‎ ‎20.已知x∈R,设,,记函数.‎ ‎(1)求函数f(x)取最小值时x的取值范围;‎ ‎(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=2,,求△ABC的面积S的最大值.‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;余弦定理.‎ ‎【专题】综合题;转化思想;向量法;综合法;解三角形.‎ ‎【分析】(1)先根据向量的数量积的运算,以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f(x)=,再根据正弦函数的性质即可求出答案;‎ ‎(2)先求出C的大小,再根据余弦定理和基本不等式,即可求出ab≤3,根据三角形的面积公式即可求出答案.‎ ‎【解答】解:(1)=. ‎ 当f(x)取最小值时,,,k∈Z,‎ 所以,所求x的取值集合是. ‎ ‎(2)由f(C)=2,得,‎ 因为0<C<π,所以,‎ 所以,. ‎ 在△ABC中,由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC,‎ 得3=a2+b2﹣ab≥ab,即ab≤3,‎ 所以△ABC的面积,‎ 因此△ABC的面积S的最大值为.‎ ‎【点评】本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式和两角和的正弦公式,余弦定理和基本不等式,三角形的面积公式,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.设函数f(x)=k•ax﹣a﹣x(a>0且a≠1)是奇函数.‎ ‎(1)求常数k的值;‎ ‎(2)若,且函数g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在区间[1,+∞)上的最小值为﹣2,求实数m的值.‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义;函数奇偶性的性质.‎ ‎【专题】分类讨论;分析法;函数的性质及应用.‎ ‎【分析】(1)方法一、由奇函数的性质:f(0)=0,解方程可得k=1,检验成立;方法二、运用奇函数的定义,由恒等式的性质即可得到k=1;‎ ‎(2)求得a=3,即有g(x)=32x﹣3﹣2x﹣2m(3x﹣3﹣x),令t=3x﹣3﹣x,则t是关于x的增函数,可得,h(t)=t2﹣2mt+2=(t﹣m)2+2﹣m2,讨论对称轴和区间的关系,运用单调性,可得最小值,解方程可得m的值.‎ ‎【解答】(1)解法一:函数f(x)=k•ax﹣a﹣x的定义域为R,‎ f(x)是奇函数,所以f(0)=k﹣1=0,即有k=1. ‎ 当k=1时,f(x)=ax﹣a﹣x,f(﹣x)=a﹣x﹣ax=﹣f(x),‎ 则f(x)是奇函数,故所求k的值为1;‎ 解法二:函数f(x)=k•ax﹣a﹣x的定义域为R,‎ 由题意,对任意x∈R,f(﹣x)=﹣f(x),‎ 即k•a﹣x﹣ax=a﹣x﹣k•ax,(k﹣1)(ax+a﹣x)=0,‎ 因为ax+a﹣x>0,所以,k=1. ‎ ‎(2)由,得,解得a=3或(舍). ‎ 所以g(x)=32x﹣3﹣2x﹣2m(3x﹣3﹣x),‎ 令t=3x﹣3﹣x,则t是关于x的增函数,,‎ g(x)=h(t)=t2﹣2mt+2=(t﹣m)2+2﹣m2,‎ 当时,则当时,,‎ 解得; ‎ 当时,则当t=m时,,m=±2(舍去).‎ 综上,.‎ ‎【点评】本题考查奇函数的定义和性质的运用,考查可化为二次函数的最值的求法,注意运用换元法和二次韩寒说的对称轴和区间的关系,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy内,动点P到定点F(﹣1,0)的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)若轨迹C上的动点N到定点M(m,0)(0<m<2)的距离的最小值为1,求m的值.‎ ‎(3)设点A、B是轨迹C上两个动点,直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1,且直线OA、OB的斜率之积等于,问四边形ABA1B1的面积S是否为定值?请说明理由.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】(1)设P(x,y),由两点间距离公式和点到直线距离公式能求出动点P的轨迹C的方程.‎ ‎(2)设N(x,y),利用两点间距离公式能求出m.‎ ‎(3)法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得,由点A、B在椭圆C上,得,由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性,结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值. ‎ 法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则A1(﹣x1,﹣y1),B1(﹣x2,﹣y2),由,得,点A、B在椭圆C上,得.由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性,结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值. ‎ 法三:设A(x1,y1),B(x2,y2),则A1(﹣x1,﹣y1),B1(﹣x2,﹣y2),由,得,点A、B在椭圆C上,得.由此利用行列式性质及椭圆的对称性,能求出四边形ABA1B1的面积为定值.‎ ‎【解答】解:(1)设P(x,y),‎ ‎∵动点P到定点F(﹣1,0)的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为,‎ ‎∴由题意,,…‎ 化简得3x2+4y2=12,…‎ ‎∴动点P的轨迹C的方程为. …‎ ‎(2)设N(x,y),‎ 则=,﹣2≤x≤2. …‎ ‎①当0<4m≤2,即时,当x=4m时,|MN|2取最小值3(1﹣m2)=1,‎ 解得,,此时,故舍去. …‎ ‎②当4m>2,即时,当x=2时,|MN|2取最小值m2﹣4m+4=1,‎ 解得m=1,或m=3(舍). …‎ 综上,m=1.‎ ‎(3)解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则由,得,,,‎ ‎∵点A、B在椭圆C上,∴,,‎ ‎∴=,化简得. …‎ ‎①当x1=x2时,则四边形ABA1B1为矩形,y2=﹣y1,则,‎ 由,得,解得,,‎ S=|AB|•|A1B|=4|x1||y1|=. …‎ ‎②当x1≠x2时,直线AB的方向向量为,‎ 直线AB的方程为(y2﹣y1)x﹣(x2﹣x1)y+x2y1﹣x1y2=0,‎ 原点O到直线AB的距离为 ‎∴△AOB的面积,‎ 根据椭圆的对称性,四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|,…‎ ‎∴‎ ‎=,∴.‎ ‎∴四边形ABA1B1的面积为定值. …‎ 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则A1(﹣x1,﹣y1),B1(﹣x2,﹣y2),‎ 由,得,…‎ ‎∵点A、B在椭圆C上,所以,,‎ ‎∴=,化简得. …‎ 直线OA的方程为y1x﹣x1y=0,点B到直线OA的距离,‎ ‎△ABA1的面积,…‎ 根据椭圆的对称性,四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|,…‎ ‎∴‎ ‎=,∴.‎ ‎∴四边形ABA1B1的面积为定值. …‎ 解法三:设A(x1,y1),B(x2,y2),则A1(﹣x1,﹣y1),B1(﹣x2,﹣y2)‎ 由,得,…‎ ‎∵点A、B在椭圆C上,所以,,‎ ‎∴=,化简得. …‎ ‎△ABA1的面积=|x1y2﹣x2y1|,…‎ 根据椭圆的对称性,四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|,…‎ ‎∴‎ ‎=,∴.‎ ‎∴四边形ABA1B1的面积为定值. …‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的实数值的求法,考查四边形面积是否为定值的求法与证明,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式、椭圆的对称性的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎23.设复数zn=xn+i•yn,其中xnyn∈R,n∈N*,i为虚数单位,zn+1=(1+i)•zn,z1=3+4i,复数zn在复平面上对应的点为Zn.‎ ‎(1)求复数z2,z3,z4的值;‎ ‎(2)是否存在正整数n使得∥?若存在,求出所有满足条件的n;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)求数列{xn•yn}的前102项之和.‎ ‎【考点】数列的求和;复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【专题】计算题;规律型;转化思想;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】(1)利用已知条件之间求解z2,z3,z4.‎ ‎(2)求出,利用复数的幂运算,求解即可.‎ ‎(3)通过,推出xn+4=﹣4xn,yn+4=﹣4yn,得到xn+4yn+4=16xnyn,然后求解数列的和即可.‎ ‎【解答】本题,第1小题,第2小题,第3小题.‎ 解:(1)z2=(1+i)(3+4i)=﹣1+7i,z3=﹣8+6i,z4=﹣14﹣2i.…‎ ‎(算错一个扣,即算对一个得,算对两个得3分)‎ ‎(2)若∥,则存在实数λ,使得,故zn=λ•z1,‎ 即(xn,yn)=λ(x1,y1),…‎ 又zn+1=(1+i)zn,故,即(1+i)n﹣1=λ为实数,…‎ 故n﹣1为4的倍数,即n﹣1=4k,n=4k+1,k∈N. …‎ ‎(3)因为,故xn+4=﹣4xn,yn+4=﹣4yn,…‎ 所以xn+4yn+4=16xnyn,…‎ 又x1y1=12,x2y2=﹣7,x3y3=﹣48,x4y4=28,‎ x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100‎ ‎=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)+(x5y5+x6y6+x7y7+x8y8)+…+(x97y97+x98y98+x99y99+x100y100)‎ ‎=,…‎ 而,,…‎ 所以数列{xnyn}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102.…‎ ‎【点评】本题考查复数的基本运算,复数的代数形式混合运算,考查数列求和,考查计算能力.‎ ‎ ‎