高考数学专家讲坛（体验真题+把脉考向+典例展示+名师 9页

第一讲　函数的图象与性质 真题试做►———————————————————‎ ‎1．(2013·高考江西卷)函数y＝ln(1－x)的定义域为(　　)‎ A．(0，1)　　　　　　　　B．[0，1)‎ C．(0，1] D．[0，1]‎ ‎2．(2013·高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)‎ A．y＝ B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|‎ ‎3．(2013·高考四川卷)函数y＝的图象大致是(　　)‎ ‎4．(2013·高考湖南卷)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 考情分析►———————————————————‎ ‎　　　高考对函数图象和性质的考查多以选择题、填空题的形式出现，若是解答题，多与导数结合命题，试题难度较大．对函数图象性质的考查多考查函数的定义域、函数的周期性、奇偶性以及单调性的结合，而对图象的考查，一是识图；二是用图，即利用图象来解决问题．‎ 考点一　函数及其表示 ‎(1)给定函数解析式求定义域及值域；‎ ‎(2)给出分段函数表达式结合函数的性质求值，分段函数问题是近几年高考的一个热点．‎ ‎(1)(2013·高考安徽卷)函数y＝ln(1＋)＋的定义域为________；‎ ‎(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．‎ ‎【思路点拨】　(1)列出函数有意义的限制条件，解不等式组．‎ ‎(2)解题的关键是考虑f(1－a)和f(1＋a)需要代入解析式的哪一段，进而需讨论1－a和1＋a与1的大小关系，即a与0的大小关系，构造关于a的方程求解．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　(1)根据具体函数y＝f(x)求定义域时，只要构建使解析式有意义的不等式(组)求解即可．‎ ‎(2)根据抽象函数求定义域时：‎ ‎①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；‎ ‎②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．‎ ‎(3)求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．‎ 强化训练1　(1)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．‎ 新定义型试题的解题技巧——‎ 函数中的新定义问题 ‎“创新是一个民族进步的灵魂、是一个国家兴旺发达的不竭动力”；在这个充满挑战的年代里，创新也是机遇；做学生、迎高考，关注试题创新是应该的也是必须的；君不见年年高考有新题、岁岁选拔有新招．也正是“新题”、“新招”才将考生分出了三、六、九等；在命题中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，从定义型、多样型、发散型、研究型、探索型、开放型入手设计试题是近年命题创新的整体趋势，因此必须引起我们的重视，但对于考生来说，有些题目存在一定难度，解决此类问题要依据题目所给条件或提供的信息，结合所学知识选择合适方法求解．‎ ‎(2013·高考江西卷节选)已知函数f(x)＝a，a为常数且a>0.‎ ‎(1)证明：函数f(x)的图象关于直线x＝对称；‎ ‎(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围．‎ ‎(1)要证f(x)的图象关于直线x＝对称，只需证明f(＋x)＝f(－x)．‎ ‎(2)二阶周期点的定义给出了两个条件：一是x0满足f(f(x0))＝x0；二是f(x0)≠x0，求解时关键表示出f(f(x))，由于f(x)＝，再表示f(f(x))时，应确定2ax及2a－2ax的范围，从而对a要分类讨论．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎【解】　(1)证明：因为f＝a(1－2|x|)，‎ f＝a(1－2|x|)，有f＝f，‎ 所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称．‎ ‎(2)当0时，‎ 有f(f(x))＝ 所以f(f(x))＝x有四个解：0，，，.‎ 又f(0)＝0，f＝，f≠，f≠，‎ 故只有，是f(x)的二阶周期点．‎ 综上所述，所求a的取值范围为a>.‎ 跟踪训练　(2013·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)对于定义在区间D上的函数 f(x)，若满足对∀x1，x2∈D且 x10，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.‎ ‎4．【解析】选B.∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．‎ 又g(x)是偶函数，‎ ‎∴g(－1)＝g(1)．‎ ‎∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.①‎ 又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.②‎ 由①②，得g(1)＝3.‎ ‎_典例展示·解密高考_‎ ‎【例1】【解析】(1)要使函数有意义，需 即即解得00时，f(1－a)＝f(1＋a)⇔2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a⇔a＝－(舍去)，所以a＝－.‎ ‎【答案】(1)(0，1]　(2)－ ‎[强化训练1]【解析】(1)由题意知f(x)＝.当x∈[－2，1]时，f(x)∈[－4，－1]；当x∈(1，2]时，f(x)∈(－1，6]，∴当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－4，6]．‎ ‎(2)当a>0时，由f(1－a)≥f(1＋a)得：‎ ‎(2－2a)＋a≥－1－a－2a，解得a≥－.所以a>0；‎ 当a<0时，由f(1－a)≥f(1＋a)得：‎ ‎－1＋a－2a≥2＋2a＋a，解得a≤－，‎ 综上可知a的取值范围为(－∞，－]∪(0，＋∞)．‎ ‎【答案】(1)[－4，6]　(2)(－∞，－]∪(0，＋∞)‎ ‎【例2】【解析】(1)‎ g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝ln x与g(x)＝(x－2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．‎ ‎(2)依题意得，当0≤x≤π时，f(x)＝2x－2sin x；当π0，于是f(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝当x>0时，由x2－4x>x得x>5；当x<0时，由－x2－4x>x得－5