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- 2021-05-14 发布
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高考数学复习平面向量易错题选及解析
一、选择题:
1.在中,,则的值为 ( )
A 20 B C D
错误分析:错误认为,从而出错.
答案: B
略解: 由题意可知,
故=.
2.关于非零向量和,有下列四个命题:
(1)“”的充要条件是“和的方向相同”;
(2)“” 的充要条件是“和的方向相反”;
(3)“” 的充要条件是“和有相等的模”;
(4)“” 的充要条件是“和的方向相同”;
其中真命题的个数是 ( )
A 1 B 2 C 3 D 4
错误分析:对不等式的认识不清.
答案: B.
3.已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(0,3),是P线段AB上且 =t (0≤t≤1)则· 的最大值为 ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
正确答案:C 错因:学生不能借助数形结合直观得到当|OP|cosa最大时,· 即为最大。
4.若向量 =(cosa,sina) , =, 与不共线,则与一定满足( )
A. 与的夹角等于a-b B.∥
C.(+)^(-) D. ⊥
正确答案:C 错因:学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点,用四边形法则来处理问题。
5.已知向量 =(2cosj,2sinj),jÎ(), =(0,-1),则 与 的夹角为( )
A.-j B.+j C.j- D.j
正确答案:A 错因:学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0,p]。
6.O为平面上的定点,A、B、C是平面上不共线的三点,若( -)·(+-2)=0,则DABC是( )
A.以AB为底边的等腰三角形 B.以BC为底边的等腰三角形
C.以AB为斜边的直角三角形 D.以BC为斜边的直角三角形
正确答案:B 错因:学生对题中给出向量关系式不能转化:2不能拆成(+)。
7.已知向量M={ | =(1,2)+l(3,4) lÎR}, N={|=(-2,2)+ l(4,5) lÎR },则MÇN=( )
A {(1,2)} B C D
正确答案:C 错因:学生看不懂题意,对题意理解错误。
8.已知,,若,则△ABC是直角三角形的概率是( C )
A. B. C. D.
分析:由及知,若垂直,则;若与垂直,则,所以△ABC是直角三角形的概率是.
9.设a0为单位向量,(1)若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;(2)若a与a0平行,则a=|a|·a0;(3)若a与a0平行且|a|=1,则a=a0。上述命题中,假命题个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
正确答案:D。
错误原因:向量的概念较多,且容易混淆,注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。
10.已知|a|=3,|b|=5,如果a∥b,则a·b= 。
正确答案:。±15。
错误原因:容易忽视平行向量的概念。a、b的夹角为0°、180°。
11.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
,则P的轨迹一定通过△ABC的( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
正确答案:B。
错误原因:对理解不够。不清楚
与∠BAC的角平分线有关。
12.如果,那么 ( ) A. B. C. D.在方向上的投影相等
正确答案:D。
错误原因:对向量数量积的性质理解不够。
13.向量=(3,4)按向量a=(1,2)平移后为 ( )
A、(4,6) B、(2,2) C、(3,4) D、(3,8)
正确答案: C
错因:向量平移不改变。
14.已知向量则向量的夹角范围是( )
A、[π/12,5π/12] B、[0,π/4] C、[π/4,5π/12] D、 [5π/12,π/2]
正确答案:A
错因:不注意数形结合在解题中的应用。
15.将函数y=2x的图象按向量 平移后得到y=2x+6的图象,给出以下四个命题:① 的坐标可以是(-3,0) ②的坐标可以是(-3,0)和(0,6) ③的坐标可以是(0,6) ④的坐标可以有无数种情况,其中真命题的个数是 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
正确答案:D
错因:不注意数形结合或不懂得问题的实质。
16.过△ABC的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若 ,(),则的值为( )
A 4 B 3 C 2 D 1
正确答案:A
错因:不注意运用特殊情况快速得到答案。
17.设平面向量=(-2,1),=(λ,-1),若与的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )
A、 B、
C、 D、
答案:A
点评:易误选C,错因:忽视与反向的情况。
18.设=(x1,y1),=(x2,y2),则下列与共线的充要条件的有( )
① 存在一个实数λ,使=λ或=λ; ② |·|=|| ||;
③ ; ④ (+)//(-)
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
答案:C
点评:①②④正确,易错选D。
19.以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使,则的坐标为( )。
A、(2,-5) B、(-2,5)或(2,-5)
C、(-2,5) D、(7,-3)或(3,7)
正解:B
设,则由 ①
而又由得 ②
由①②联立得。
误解:公式记忆不清,或未考虑到联立方程组解。
20.设向量,则是的( )条件。
A、充要 B、必要不充分
C、充分不必要 D、既不充分也不必要
正解:C
若则,若,有可能或为0,故选C。
误解:,此式是否成立,未考虑,选A。
21.在OAB中,,若=-5,则=( )
A、 B、 C、 D、
正解:D。
∵∴(LV为与的夹角)
∴∴∴
误解:C。将面积公式记错,误记为
22.在中,,,有,则的形状是 (D)
A、 锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
错解:C
错因:忽视中与的夹角是的补角
正解:D
23.设平面向量,若与的夹角为钝角,则的取值范围是 (A)
A、 B、(2,+ C、(— D、(-
错解:C
错因:忽视使用时,其中包含了两向量反向的情况
正解:A
24.已知A(3,7),B(5,2),向量平移后所得向量是 。
A、(2,-5), B、(3,-3), C、(1,-7) D、以上都不是
答案:A
错解:B
错因:将向量平移当作点平移。
25.已知中, 。
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
答案:C
错解:A或D
错因:对向量夹角定义理解不清
26.正三角形ABC的边长为1,设,那么的值是 ( )
A、 B、 C、 D、
正确答案:(B)
错误原因:不认真审题,且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清。
27.已知,且,则 ( )
A、相等 B、方向相同 C、方向相反 D、方向相同或相反
正确答案:(D)
错误原因:受已知条件的影响,不去认真思考可正可负,易选成B。
28.已知是关于x的一元二次方程,其中是非零向量,且向量不共线,则该方程 ( )
A、至少有一根 B、至多有一根
C、有两个不等的根 D、有无数个互不相同的根
正确答案:(B)
错误原因:找不到解题思路。
29.设是任意的非零平面向量且互不共线,以下四个命题:
① ②
③ ④若不平行
其中正确命题的个数是
( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
正确答案:(B)
错误原因:本题所述问题不能全部搞清。
二填空题:
1.若向量=,=,且,的夹角为钝角,则的取值范围是______________.
错误分析:只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.
正确解法: ,的夹角为钝角,
解得或 (1)
又由共线且反向可得 (2)
由(1),(2)得的范围是
答案: .
2.有两个向量,,今有动点,从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动,速度为;另一动点,从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动,速度为.设、在时刻秒时分别在、处,则当时, 秒.正确答案:2
1、设平面向量若的夹角是钝角,则的范围是 。
答案:
错解:
错因:“”与“的夹角为钝角”不是充要条件。
3.是任意向量,给出:,方向相反,
都是单位向量,其中 是共线的充分不必要条件。
答案:
错解:
错因:忽略方向的任意性,从而漏选。
4.若上的投影为 。
正确答案:
错误原因:投影的概念不清楚。
5.已知o为坐标原点,集合,且 。
正确答案:46
错误原因:看不懂题意,未曾想到数形结合的思想。
三、解答题:
1.已知向量,且求
(1) 及;
(2)若的最小值是,求实数的值.
错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度;
(2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论.
答案: (1)易求, = ;
(2) ==
=
从而:当时,与题意矛盾, 不合题意;
当时, ;
当时,解得,不满足;
综合可得: 实数的值为.
2.在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值.
错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.
答案: (1)若即
故,从而解得;
(2)若即,也就是,而故,解得;
(3)若即,也就是而,故,解得
综合上面讨论可知,或或
3.已知向量m=(1,1),向量与向量夹角为,且·=-1,
(1)求向量;
(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为,向量=(cosA,2cos2),其中A、C为DABC的内角,且A、B、C依次成等差数列,试求|+|的取值范围。
解:(1)设=(x,y)
则由<,>=得:cos<,>== ①
由·=-1得x+y=-1 ②
联立①②两式得或
∴=(0,-1)或(-1,0)
(2) ∵<,>=
得·=0
若=(1,0)则·=-1¹0
故¹(-1,0) ∴=(0,-1)
∵2B=A+C,A+B+C=p
ÞB= ∴C=
+=(cosA,2cos2)
=(cosA,cosC)
∴|+|===
=
=
=
=
∵00
∴当m>0时,2mcos2q>0,即f()>f()
当m<0时,2mcos2q<0,即f()为锐角,求实数x的取值范围.
解:要满足<>为锐角
只须>0且()
=
=
=
即 x (mx-1) >0
1°当 m > 0时
x<0 或
2°m<0时
x ( -mx+1) <0
3°m=0时 只要x<0
综上所述:x > 0时,
x = 0时,
x < 0时,
7.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b之间有关系|ka+b|=|a-kb|,其中k>0,
(1)用k表示a·b;
(2)求a·b的最小值,并求此时a·b的夹角的大小。
解 (1)要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a-kb|,故采用两边平方,得
|ka+b|2=(|a-kb|)2
k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2-2ka·b)
∴8k·a·b=(3-k2)a2+(3k2-1)b2
a·b =
∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),
∴a2=1, b2=1,
∴a·b ==
(2)∵k2+1≥2k,即≥=
∴a·b的最小值为,
又∵a·b =| a|·|b |·cos,|a|=|b|=1
∴=1×1×cos。
∴=60°,此时a与b的夹角为60°。
错误原因:向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同,有时可以在含有向量的式子左右两边平方,且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·b。
8.(一中)已知向量,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,且,求的值.
解(Ⅰ),
.
, ,
即 . .
(Ⅱ)
,
,
.
例1、若二次函数满足,且,求函数解析式。
例2、已知开口向下二次函数满足条件:,
试比较、、的大小。
例3、已知二次函数同时满足下列条件:
⑴;⑵的最大值为;
⑶的两根立方和等于;求函数的解析式。
例4、已知二次函数的最小值为,又当时二次函数有最大值,
且,,,
⑴求的值;⑵求的解析式。
例5、已知 函数和的图像有相同的对称轴,
求 函数()的值域。
例6、求函数在区间上的最大值与最小值。
例1、设(),,
依题意,,得到,有,解得,
又得到,则。
例2、依题意,由可知函数对称轴为,又开口向下,
则函数在区间上单调递减,而,
则有。
例3、依题意,设且,由得,
有,,则,
解得符合题意,所以。
例4、⑴依题意有且,得到,解得或,而,所以。
⑵依题意及,可知且,则
,即,而的最小值为(已由保证),则,求得,因此。
例5、易知函数的对称轴是、函数的对称轴是,则,求得,此时(),
而,且由得到,不难求得函数
的最小值,最大值,
故值域为所求。
例6、依题意(),函数开口向上,但对称轴变化, ⑴当时,,
;⑵当时,函数在区间上单调递增,,;⑶当时,函数在区间上单调递减,,;
综上所述,;。1、为椭圆的左右顶点,点是椭圆上异于的动点,直线分别交直线于两点.证明:以线段为直径的圆恒过轴上的定点
解:由题可得.设,直线的方程为,
令,则,即;直线的方程为,
令,则,即;
证法一:设点在以线段为直径的圆上,则, 即,
, 而,即,
,或.
所以以线段为直径的圆必过轴上的定点或.
9、一动圆与圆外切,与圆内切.
(I)求动圆圆心M的轨迹方程.(II)试探究圆心M的轨迹上是否存在点,使直线与的斜率?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
解:(1)设动圆圆心为,半径为.
由题意,得,
, 由椭圆定义知在以为焦点的椭圆上
且,. 动圆圆心M的轨迹方程为.
(II) 由(I)知动圆圆心M的轨迹是椭圆,它的两个焦点坐标分别为和
设是椭圆上的点,由得
即,这是实轴在轴,顶点是椭圆的两个焦点的双曲线,它与椭圆的交点即为点P。由于双曲线的两个顶点在椭圆内,根据椭圆和双曲线的对称性可知,它们必有四个交点.
即圆心M的轨迹上存在四个点,使直线与的斜率.
10、已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足(为坐标原点),记点的轨迹为.
(Ⅰ)求曲线的方程 (Ⅱ)若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,求直线的方程.
解:(1)、设点的坐标为,则点的坐标为.
∵, ∴. 当时,得,化简得.
当时, 、、三点共线,不符合题意,故. ∴曲线的方程为.
(2)∵ 直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.
设直线的方程为,