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  • 2021-05-14 发布

高考数学复习平面向量易错题选及解析

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高考数学复习平面向量易错题选及解析 一、选择题:‎ ‎1.在中,,则的值为 ( )‎ A 20 B C D ‎ 错误分析:错误认为,从而出错.‎ 答案: B 略解: 由题意可知,‎ 故=.‎ ‎2.关于非零向量和,有下列四个命题:‎ ‎ (1)“”的充要条件是“和的方向相同”;‎ ‎ (2)“” 的充要条件是“和的方向相反”;‎ ‎ (3)“” 的充要条件是“和有相等的模”;‎ ‎ (4)“” 的充要条件是“和的方向相同”;‎ 其中真命题的个数是 ( )‎ A 1 B 2 C 3 D 4‎ 错误分析:对不等式的认识不清.‎ 答案: B.‎ ‎3.已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(0,3),是P线段AB上且 =t (0≤t≤1)则· 的最大值为 ( )‎ ‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ 正确答案:C 错因:学生不能借助数形结合直观得到当|OP|cosa最大时,· 即为最大。‎ ‎4.若向量 =(cosa,sina) , =, 与不共线,则与一定满足( )‎ ‎ A. 与的夹角等于a-b B.∥ ‎ C.(+)^(-) D. ⊥‎ 正确答案:C 错因:学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点,用四边形法则来处理问题。‎ ‎5.已知向量 =(2cosj,2sinj),jÎ(), =(0,-1),则 与 的夹角为( )‎ ‎ A.-j B.+j C.j- D.j 正确答案:A 错因:学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0,p]。‎ ‎6.O为平面上的定点,A、B、C是平面上不共线的三点,若( -)·(+-2)=0,则DABC是( )‎ ‎ A.以AB为底边的等腰三角形 B.以BC为底边的等腰三角形 C.以AB为斜边的直角三角形 D.以BC为斜边的直角三角形 正确答案:B 错因:学生对题中给出向量关系式不能转化:2不能拆成(+)。‎ ‎7.已知向量M={ | =(1,2)+l(3,4) lÎR}, N={|=(-2,2)+ l(4,5) lÎR },则MÇN=( )‎ A {(1,2)} B C D ‎ 正确答案:C 错因:学生看不懂题意,对题意理解错误。‎ ‎8.已知,,若,则△ABC是直角三角形的概率是( C )‎ A. B. C. D.‎ 分析:由及知,若垂直,则;若与垂直,则,所以△ABC是直角三角形的概率是.‎ ‎9.设a0为单位向量,(1)若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;(2)若a与a0平行,则a=|a|·a0;(3)若a与a0平行且|a|=1,则a=a0。上述命题中,假命题个数是( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 正确答案:D。‎ 错误原因:向量的概念较多,且容易混淆,注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。‎ ‎10.已知|a|=3,|b|=5,如果a∥b,则a·b= 。‎ 正确答案:。±15。‎ 错误原因:容易忽视平行向量的概念。a、b的夹角为0°、180°。‎ ‎11.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足 ‎,则P的轨迹一定通过△ABC的( ) ‎ ‎(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 正确答案:B。‎ 错误原因:对理解不够。不清楚 与∠BAC的角平分线有关。‎ ‎12.如果,那么 ( ) A. B. C. D.在方向上的投影相等 正确答案:D。‎ 错误原因:对向量数量积的性质理解不够。‎ ‎13.向量=(3,4)按向量a=(1,2)平移后为 ( )‎ A、(4,6) B、(2,2) C、(3,4) D、(3,8)‎ 正确答案: C 错因:向量平移不改变。‎ ‎14.已知向量则向量的夹角范围是( )‎ ‎ A、[π/12,5π/12] B、[0,π/4] C、[π/4,5π/12] D、 [5π/12,π/2] ‎ 正确答案:A 错因:不注意数形结合在解题中的应用。‎ ‎15.将函数y=2x的图象按向量 平移后得到y=2x+6的图象,给出以下四个命题:① 的坐标可以是(-3,0) ②的坐标可以是(-3,0)和(0,6) ③的坐标可以是(0,6) ④的坐标可以有无数种情况,其中真命题的个数是 ( )‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ 正确答案:D 错因:不注意数形结合或不懂得问题的实质。‎ ‎16.过△ABC的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若 ,(),则的值为( )‎ A 4 B 3 C 2 D 1‎ 正确答案:A 错因:不注意运用特殊情况快速得到答案。‎ ‎17.设平面向量=(-2,1),=(λ,-1),若与的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )‎ A、 B、‎ C、 D、‎ 答案:A 点评:易误选C,错因:忽视与反向的情况。‎ ‎18.设=(x1,y1),=(x2,y2),则下列与共线的充要条件的有( )‎ ‎① 存在一个实数λ,使=λ或=λ; ② |·|=|| ||;‎ ‎③ ; ④ (+)//(-)‎ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 答案:C 点评:①②④正确,易错选D。‎ ‎19.以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使,则的坐标为( )。‎ A、(2,-5) B、(-2,5)或(2,-5) ‎ ‎ C、(-2,5) D、(7,-3)或(3,7)‎ 正解:B 设,则由 ①‎ 而又由得 ②‎ 由①②联立得。‎ 误解:公式记忆不清,或未考虑到联立方程组解。‎ ‎20.设向量,则是的( )条件。‎ A、充要 B、必要不充分 ‎ ‎ C、充分不必要 D、既不充分也不必要 正解:C 若则,若,有可能或为0,故选C。‎ 误解:,此式是否成立,未考虑,选A。‎ ‎21.在OAB中,,若=-5,则=( )‎ A、 B、 C、 D、‎ 正解:D。‎ ‎∵∴(LV为与的夹角)‎ ‎∴∴∴‎ 误解:C。将面积公式记错,误记为 ‎22.在中,,,有,则的形状是 (D)‎ A、 锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 错解:C 错因:忽视中与的夹角是的补角 正解:D ‎23.设平面向量,若与的夹角为钝角,则的取值范围是 (A)‎ A、 B、(2,+ C、(— D、(-‎ 错解:C 错因:忽视使用时,其中包含了两向量反向的情况 正解:A ‎24.已知A(3,7),B(5,2),向量平移后所得向量是 。‎ ‎ A、(2,-5), B、(3,-3), C、(1,-7) D、以上都不是 ‎ 答案:A ‎ 错解:B ‎ 错因:将向量平移当作点平移。‎ ‎25.已知中, 。‎ ‎ A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 ‎ 答案:C ‎ 错解:A或D 错因:对向量夹角定义理解不清 ‎26.正三角形ABC的边长为1,设,那么的值是 ( )‎ A、 B、 C、 D、‎ 正确答案:(B)‎ 错误原因:不认真审题,且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清。‎ ‎27.已知,且,则 ( )‎ A、相等 B、方向相同 C、方向相反 D、方向相同或相反 正确答案:(D)‎ 错误原因:受已知条件的影响,不去认真思考可正可负,易选成B。‎ ‎28.已知是关于x的一元二次方程,其中是非零向量,且向量不共线,则该方程 ( )‎ A、至少有一根 B、至多有一根 C、有两个不等的根 D、有无数个互不相同的根 正确答案:(B)‎ 错误原因:找不到解题思路。‎ ‎29.设是任意的非零平面向量且互不共线,以下四个命题:‎ ‎① ②‎ ‎③ ④若不平行 其中正确命题的个数是 ‎ ‎ ( )‎ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 正确答案:(B)‎ 错误原因:本题所述问题不能全部搞清。‎ 二填空题:‎ ‎1.若向量=,=,且,的夹角为钝角,则的取值范围是______________.‎ ‎ 错误分析:只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.‎ ‎ 正确解法: ,的夹角为钝角, ‎ ‎ 解得或 (1)‎ ‎ 又由共线且反向可得 (2)‎ ‎ 由(1),(2)得的范围是 答案: .‎ ‎2.有两个向量,,今有动点,从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动,速度为;另一动点,从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动,速度为.设、在时刻秒时分别在、处,则当时, 秒.正确答案:2‎ ‎1、设平面向量若的夹角是钝角,则的范围是 。‎ ‎ 答案:‎ ‎ 错解:‎ ‎ 错因:“”与“的夹角为钝角”不是充要条件。‎ ‎3.是任意向量,给出:,方向相反, 都是单位向量,其中 是共线的充分不必要条件。‎ ‎ 答案: ‎ 错解: ‎ 错因:忽略方向的任意性,从而漏选。‎ ‎4.若上的投影为 。‎ 正确答案:‎ 错误原因:投影的概念不清楚。‎ ‎5.已知o为坐标原点,集合,且 。‎ 正确答案:46‎ 错误原因:看不懂题意,未曾想到数形结合的思想。‎ 三、解答题:‎ ‎1.已知向量,且求 ‎ (1) 及;‎ ‎ (2)若的最小值是,求实数的值.‎ ‎ 错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度;‎ ‎ (2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论.‎ ‎ 答案: (1)易求, = ;‎ ‎(2) ==‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ 从而:当时,与题意矛盾, 不合题意;‎ ‎ 当时, ;‎ ‎ 当时,解得,不满足;‎ ‎ 综合可得: 实数的值为.‎ ‎2.在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值.‎ 错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.‎ 答案: (1)若即 ‎ 故,从而解得;‎ ‎ (2)若即,也就是,而故,解得;‎ ‎ (3)若即,也就是而,故,解得 ‎ 综合上面讨论可知,或或 ‎3.已知向量m=(1,1),向量与向量夹角为,且·=-1,‎ ‎(1)求向量;‎ ‎(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为,向量=(cosA,2cos2),其中A、C为DABC的内角,且A、B、C依次成等差数列,试求|+|的取值范围。‎ 解:(1)设=(x,y)‎ ‎ 则由<,>=得:cos<,>== ①‎ ‎ 由·=-1得x+y=-1 ②‎ 联立①②两式得或 ‎ ∴=(0,-1)或(-1,0)‎ ‎(2) ∵<,>=‎ ‎ 得·=0‎ 若=(1,0)则·=-1¹0‎ 故¹(-1,0) ∴=(0,-1)‎ ‎ ∵2B=A+C,A+B+C=p ‎ ÞB= ∴C=‎ ‎ +=(cosA,2cos2)‎ ‎ =(cosA,cosC)‎ ‎ ∴|+|===‎ ‎=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎∵00‎ ‎ ∴当m>0时,2mcos2q>0,即f()>f()‎ ‎ 当m<0时,2mcos2q<0,即f()为锐角,求实数x的取值范围.‎ ‎ 解:要满足<>为锐角 ‎ 只须>0且()‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ ‎ =‎ ‎ 即 x (mx-1) >0‎ ‎ 1°当 m > 0时 ‎ x<0 或 ‎ 2°m<0时 ‎ x ( -mx+1) <0 ‎ ‎ ‎ ‎ 3°m=0时 只要x<0‎ ‎ 综上所述:x > 0时,‎ ‎ x = 0时,‎ ‎ x < 0时,‎ ‎7.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b之间有关系|ka+b|=|a-kb|,其中k>0,‎ ‎(1)用k表示a·b;‎ ‎(2)求a·b的最小值,并求此时a·b的夹角的大小。‎ 解 (1)要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a-kb|,故采用两边平方,得 ‎|ka+b|2=(|a-kb|)2‎ k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2-2ka·b)‎ ‎∴8k·a·b=(3-k2)a2+(3k2-1)b2‎ a·b =‎ ‎∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),‎ ‎∴a2=1, b2=1,‎ ‎∴a·b ==‎ ‎(2)∵k2+1≥2k,即≥=‎ ‎∴a·b的最小值为,‎ 又∵a·b =| a|·|b |·cos,|a|=|b|=1‎ ‎∴=1×1×cos。‎ ‎∴=60°,此时a与b的夹角为60°。‎ 错误原因:向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同,有时可以在含有向量的式子左右两边平方,且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·b。‎ ‎8.(一中)已知向量,,.‎ ‎ (Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若,,且,求的值.‎ 解(Ⅰ),‎ ‎. ‎ ‎, ,‎ 即 . . ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎ , ‎ ‎ , ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 例1、若二次函数满足,且,求函数解析式。‎ 例2、已知开口向下二次函数满足条件:,‎ 试比较、、的大小。‎ 例3、已知二次函数同时满足下列条件:‎ ‎⑴;⑵的最大值为;‎ ‎⑶的两根立方和等于;求函数的解析式。‎ 例4、已知二次函数的最小值为,又当时二次函数有最大值,‎ 且,,,‎ ‎⑴求的值;⑵求的解析式。‎ 例5、已知 函数和的图像有相同的对称轴,‎ 求 函数()的值域。‎ 例6、求函数在区间上的最大值与最小值。‎ 例1、设(),,‎ 依题意,,得到,有,解得,‎ 又得到,则。‎ 例2、依题意,由可知函数对称轴为,又开口向下,‎ 则函数在区间上单调递减,而,‎ 则有。‎ 例3、依题意,设且,由得,‎ 有,,则,‎ 解得符合题意,所以。‎ 例4、⑴依题意有且,得到,解得或,而,所以。‎ ‎⑵依题意及,可知且,则 ‎,即,而的最小值为(已由保证),则,求得,因此。‎ 例5、易知函数的对称轴是、函数的对称轴是,则,求得,此时(),‎ 而,且由得到,不难求得函数 的最小值,最大值,‎ 故值域为所求。‎ 例6、依题意(),函数开口向上,但对称轴变化, ⑴当时,,‎ ‎;⑵当时,函数在区间上单调递增,,;⑶当时,函数在区间上单调递减,,;‎ 综上所述,;。1、为椭圆的左右顶点,点是椭圆上异于的动点,直线分别交直线于两点.证明:以线段为直径的圆恒过轴上的定点 解:由题可得.设,直线的方程为, ‎ 令,则,即;直线的方程为, ‎ 令,则,即;‎ 证法一:设点在以线段为直径的圆上,则, 即, ‎ ‎, 而,即,‎ ‎,或. ‎ 所以以线段为直径的圆必过轴上的定点或. ‎ ‎9、一动圆与圆外切,与圆内切.‎ ‎(I)求动圆圆心M的轨迹方程.(II)试探究圆心M的轨迹上是否存在点,使直线与的斜率?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).‎ 解:(1)设动圆圆心为,半径为.‎ 由题意,得,‎ ‎, 由椭圆定义知在以为焦点的椭圆上 且,. 动圆圆心M的轨迹方程为.‎ ‎(II) 由(I)知动圆圆心M的轨迹是椭圆,它的两个焦点坐标分别为和 ‎ 设是椭圆上的点,由得 ‎ 即,这是实轴在轴,顶点是椭圆的两个焦点的双曲线,它与椭圆的交点即为点P。由于双曲线的两个顶点在椭圆内,根据椭圆和双曲线的对称性可知,它们必有四个交点.‎ 即圆心M的轨迹上存在四个点,使直线与的斜率. ‎ ‎10、已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足(为坐标原点),记点的轨迹为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程 (Ⅱ)若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,求直线的方程.‎ 解:(1)、设点的坐标为,则点的坐标为.‎ ‎ ∵, ∴. 当时,得,化简得. ‎ 当时, 、、三点共线,不符合题意,故. ∴曲线的方程为. ‎ ‎(2)∵ 直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.‎ ‎ 设直线的方程为, ‎