高中数学基础知识重点归纳及高考压轴题型 31页

第一篇章：高中数学基础知识重点归纳 第一部分 集合 ‎1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；‎ ‎2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；‎ ‎3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n－2；‎ ‎（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。‎ ‎4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。‎ 第二部分 函数与导数 ‎1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。‎ ‎2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；‎ ‎⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法 ‎3．复合函数的有关问题 ‎（1）复合函数定义域求法：‎ ‎① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出 ‎② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。‎ ‎（2）复合函数单调性的判定：‎ ‎①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；‎ ‎②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；‎ ‎③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。‎ ‎4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。‎ ‎5．函数的奇偶性 ‎⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；‎ ‎⑵是奇函数f(－x)=－f(x)；是偶函数f(－x)= f(x)‎ ‎⑶奇函数在原点有定义，则；‎ ‎⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；‎ ‎⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；‎ ‎6．函数的单调性 ‎⑴单调性的定义：‎ ‎①在区间上是增函数当时有；‎ ‎②在区间上是减函数当时有；‎ ‎⑵单调性的判定 ① 定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；‎ ‎②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。‎ 注：证明单调性主要用定义法和导数法。‎ ‎7．函数的周期性 ‎(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。‎ 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。‎ ‎（2）三角函数的周期 ‎① ；② ；③；‎ ‎④ ；⑤；‎ ‎(3)与周期有关的结论 或的周期为；‎ ‎8．基本初等函数的图像与性质 ‎⑴幂函数： （ ；⑵指数函数：；‎ ‎⑶对数函数:；⑷正弦函数:；‎ ‎⑸余弦函数： ；（6）正切函数：；⑺一元二次函数：；‎ ‎⑻其它常用函数：‎ ① 正比例函数：；②反比例函数：；③函数；‎ ‎9．二次函数：‎ ‎⑴解析式：‎ ‎①一般式：；②顶点式：，为顶点；‎ ‎③零点式： 。‎ ‎⑵二次函数问题解决需考虑的因素：‎ ‎①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。‎ 二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。10．函数图象： ‎ ‎⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ‎⑵图象变换：‎ ① 平移变换：ⅰ)，———左“+”右“－”；‎ ‎ ⅱ)———上“+”下“－”；‎ ② 对称变换：ⅰ；ⅱ；‎ ⅲ ； ⅳ；‎ ③ 翻转变换：‎ ⅰ)———右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；‎ ⅱ)———上不动，下向上翻（||在下面无图象）；‎ ‎11．函数图象（曲线）对称性的证明 ‎(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；‎ ‎（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；‎ 注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;‎ ‎②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x, y)=0; ‎ 曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x, －y)=0;‎ 曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y, x)=0‎ ‎③f(a+x)=f(b－x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=对称；‎ 特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=a对称；‎ ‎12．函数零点的求法：‎ ‎⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.‎ ‎(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。‎ ‎13．导数 ‎ ‎⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；‎ ‎⑵常见函数的导数公式: ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ 。‎ ‎⑶导数的四则运算法则：‎ ‎⑷（理科）复合函数的导数：‎ ‎⑸导数的应用： ‎ ‎①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？‎ ‎②利用导数判断函数单调性：‎ ‎①是增函数；②为减函数；③为常数； ‎ ‎③利用导数求极值：ⅰ）求导数；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得极值。‎ ‎④利用导数最大值与最小值：ⅰ）求的极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值。‎ 第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 ‎1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度 ‎⑵弧长公式：；扇形面积公式：。‎ ‎2．三角函数定义:角α中边上任意一P点为,设则：‎ ‎3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；‎ ‎4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；‎ ‎5．⑴对称轴：；对称中心：； ‎ ‎⑵对称轴：；对称中心：； ‎ ‎6．同角三角函数的基本关系：；‎ ‎7．三角函数的单调区间：‎ 的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，的递减区间是。‎ ‎8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①‎ ‎②③ 。‎ ‎9．二倍角公式：①；‎ ‎②；③。‎ ‎10．正、余弦定理：‎ ‎⑴正弦定理： （是外接圆直径 ）‎ 注：①；②；③。‎ ‎⑵余弦定理：等三个；等三个。‎ ‎11。几个公式:‎ ‎⑴三角形面积公式：；‎ ‎⑵内切圆半径r=；外接圆直径2R=‎ 第四部分 立体几何 ‎1．三视图与直观图：‎ ‎2．表（侧）面积与体积公式：‎ ‎⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h ‎ ‎⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：‎ ‎⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧=;③体积：V=（S+）h；‎ ‎⑷球体：①表面积：S=；②体积：V= 。‎ ‎3．位置关系的证明（主要方法）：‎ ‎⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。‎ ‎⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。‎ ‎⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。‎ ‎⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。‎ ‎⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。‎ 注：理科还可用向量法。‎ ‎4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）‎ ‎⑴异面直线所成角的求法：‎ ‎①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法:‎ ‎⑵直线与平面所成的角：‎ ‎①直接法（利用线面角定义）；②用向量法:‎ ‎5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）‎ 点到平面的距离：①等体积法；②向量法：。‎ ‎6．结论：‎ ‎⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则对角线长为，全面积为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。‎ ‎⑵正方体的棱长为a，则对角线长为，全面积为6a2，体积V=a3。‎ ‎⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。‎ ‎⑷正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的：‎ ① 高：；②对棱间距离：；③内切球半径：；④外接球半径：。‎ 第五部分 直线与圆 ‎1．直线方程 ‎⑴点斜式： ；⑵斜截式： ；⑶截距式： ；‎ ‎⑷两点式： ；⑸一般式：，（A，B不全为0）。‎ ‎2．求解线性规划问题的步骤是：‎ ‎（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。‎ ‎3．两条直线的位置关系：‎ 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 有斜率 已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。‎ ‎4．几个公式 ‎⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（）；‎ ‎⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：；‎ ‎⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是；‎ ‎5．圆的方程：‎ ‎⑴标准方程：① ；② 。‎ ‎⑵一般方程： （‎ 注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；‎ ‎6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。‎ ‎7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）‎ ‎⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）‎ ‎①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。‎ ‎⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）‎ ‎①相切；②相交；③相离。‎ ‎⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）‎ ‎①相离；②外切；③相交；‎ ‎④内切；⑤内含。‎ ‎8、直线与圆相交所得弦长 第六部分 圆锥曲线 ‎1．定义：⑴椭圆：；‎ ‎⑵双曲线：；⑶抛物线：|MF|=d ‎2．结论 ‎ ‎⑴焦半径：①椭圆：（e为离心率）； （左“+”右“-”）；‎ ‎②抛物线：‎ ‎⑵弦长公式：‎ 注：⑴抛物线：＝x1+x2+p；⑵通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：；②抛物线：2p。‎ ‎⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；当点与椭圆短轴顶点重合时最大； ‎ ‎⑷双曲线中的结论：‎ ‎①双曲线（a>0,b>0）的渐近线：； ‎ ‎②共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；‎ ‎③双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；‎ ‎⑸焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。‎ ‎3．直线与圆锥曲线问题解法：‎ ‎⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。‎ 注意以下问题：‎ ‎①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？‎ ‎②直线斜率不存在时考虑了吗？‎ ‎③判别式验证了吗？‎ ‎⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得；③解决问题。‎ ‎4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。‎ 第七部分 平面向量 ‎⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ① a∥b(b≠0)a=b （x1y2－x2y1=0；‎ ‎② a⊥b(a、b≠0)a·b=0x1x2+y1y2=0 ⑵a·b=|a||b|cos=x2+y1y2； ‎ 注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；‎ ① a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。‎ ‎⑶cos=；‎ ‎⑷三点共线的充要条件：P，A，B三点共线；‎ ‎（理科）P，A，B，C四点共面。‎ 第八部分 数列 ‎1．定义：‎ ‎⑴等差数列 ；‎ ‎⑵等比数列 ‎ ‎2．等差、等比数列性质 ‎ 等差数列 等比数列 通项公式 ‎ 前n项和 ‎ 性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m; ‎ ‎ ②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq ‎③成AP ③成GP ‎ ④成AP, ④成GP,‎ ‎3．数列通项的求法：‎ an=‎ S1 (n=1)‎ Sn－Sn-1 (n≥2)‎ ‎⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（型）；⑶公式法： ‎ ‎⑷累乘法（型）；⑸构造法（型）； ‎ ‎⑺间接法（例如：）；⑻（理科）数学归纳法。‎ ‎4．前项和的求法：⑴分组求和法；⑵裂项法；⑶错位相减法。‎ ‎5．等差数列前n项和最值的求法：‎ ‎⑴ ；⑵利用二次函数的图象与性质。‎ ‎ 第九部分 不等式 ‎1．均值不等式：‎ 注意：①一正二定三相等；②变形，。‎ ‎2．绝对值不等式：‎ ‎3．不等式的性质：‎ ‎⑴；⑵；⑶；‎ ‎；⑷；；‎ ‎;⑸;⑹‎ 第十部分 复数 ‎1．概念：‎ ‎⑴z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z2≥0；⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；‎ ‎⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0；‎ ‎⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；‎ ‎2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：‎ ‎（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;‎ ‎3．几个重要的结论：‎ ‎；⑶；⑷‎ ‎⑸性质：T=4；；‎ ‎4．模的性质：⑴；⑵；⑶。‎ 第十一部分 概率 ‎1．事件的关系：‎ ‎⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作；‎ ‎⑵事件A与事件B相等：若，则事件A与B相等，记作A=B；‎ ‎⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作（或）；‎ ‎⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作（或） ；‎ ‎⑸事件A与事件B互斥：若为不可能事件（），则事件A与互斥；‎ ‎﹙6﹚对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。‎ ‎2．概率公式：‎ ‎⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；‎ ‎⑵古典概型：；‎ ‎⑶几何概型： ；‎ 第十二部分 统计与统计案例 ‎1．抽样方法 ‎⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。‎ 注：①每个个体被抽到的概率为；‎ ‎②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。‎ ‎⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的 规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。‎ 注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；‎ ‎④按预先制定的规则抽取样本。‎ ‎⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。‎ 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 ‎2．总体特征数的估计：‎ ‎⑴样本平均数；‎ ‎⑵样本方差 ；‎ ‎⑶样本标准差= ；‎ ‎3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：‎ 注：⑴>0时，变量正相关； <0时，变量负相关；⑵① 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；② 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。‎ ‎4．回归分析中回归效果的判定：‎ ‎⑴总偏差平方和：；⑵残差：；⑶残差平方和： ；‎ ‎⑷回归平方和：－；⑸相关指数 。‎ 注：①得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；‎ ‎②越接近于1，，则回归效果越好。‎ ‎5．独立性检验（分类变量关系）：‎ 随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。‎ 第十三部分 算法初步 ‎1．程序框图：‎ ‎⑴图形符号：‎ ‎① 终端框（起止况）；② 输入、输出框； ‎ ‎③ ‎ ‎ 处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；‎ ‎⑵程序框图分类:‎ ‎①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：‎ ‎ r=0? 否 求n除以i的余数 输入n 是 n不是质素 n是质数 i=i+1 ‎ ‎ i=2‎ ‎ in或r=0?否 ‎ 是 注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；‎ Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。‎ ‎2．基本算法语句：‎ ‎⑴输入语句： INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 ‎ 赋值语句： 变量=表达式 ‎⑵条件语句：① ②‎ ‎ IF 条件 THEN IF 条件 THEN ‎ 语句体 语句体1‎ ‎ END IF ELSE ‎ ‎ 语句体2‎ ‎ END IF ‎⑶循环语句：①当型： ②直到型: ‎ ‎ WHILE 条件 DO ‎ ‎ 循环体 循环体 ‎ WEND LOOP UNTIL 条件 第十四部分常用逻辑用语与推理证明 1． 四种命题：‎ ‎⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；‎ ‎⑶否命题：若p则q；⑷逆否命题：若q则p 注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。‎ ‎2．充要条件的判断：‎ ‎（1）定义法----正、反方向推理；‎ ‎（2）利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；‎ ‎3．逻辑连接词：‎ ‎⑴且(and) ：命题形式 pq； p q pq pq p ‎⑵或（or）：命题形式 pq； 真 真 真 真 假 ‎⑶非（not）：命题形式p . 真 假 假 真 假 ‎ 假 真 假 真 真 ‎ 假 假 假 假 真 ‎4．全称量词与存在量词 ‎⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；‎ ‎ 全称命题p：； 全称命题p的否定p：。‎ ‎⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；‎ ‎ 特称命题p：； 特称命题p的否定p：；‎ 第十五部分 推理与证明 ‎1．推理：‎ ‎⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。‎ ‎①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。‎ 注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。‎ ‎②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。‎ 注：类比推理是特殊到特殊的推理。‎ ‎⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。‎ 注：演绎推理是由一般到特殊的推理。‎ ‎“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；‎ ‎⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。‎ 二．证明 ‎⒈直接证明⑴综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。‎ ‎⑵分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。‎ ‎2．间接证明------反证法 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。‎ 附：数学归纳法（仅限理科）‎ 一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：‎ ‎⑴证明当取第一个值是命题成立；‎ ‎⑵假设当命题成立，证明当时命题也成立。‎ 那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。‎ 这种证明方法叫数学归纳法。‎ 注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；‎ ① 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。‎ 第十六部分 理科选修部分 1． 排列、组合和二项式定理 ‎⑴排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;‎ ‎⑵组合数公式：（m≤n）,；‎ ‎⑶组合数性质：；‎ ‎⑷二项式定理：‎ ‎①通项：②注意二项式系数与系数的区别；‎ ‎⑸二项式系数的性质：‎ ‎①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项（第＋1项）二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和＋1项）二项式系数最大；‎ ‎③‎ ‎(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。‎ ‎2.概率与统计 ‎⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…； p1+p2+…=1;‎ ‎②离散型随机变量：‎ X x1‎ X2‎ ‎…‎ xn ‎…‎ P P1‎ P2‎ ‎…‎ Pn ‎…‎ 期望：EX＝ x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ; ‎ 方差：DX＝ ;‎ 注：；‎ ‎③二项分布（独立重复试验）：‎ 若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（1- p）;注： 。‎ ‎⑵条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。‎ 注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。‎ ‎⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。‎ ‎⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；‎ ‎（6）正态曲线的性质：‎ ‎①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；‎ ‎③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；‎ ① 当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；‎ ② 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；‎ 越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。‎ 注：P=0.6826；P=0.9544‎ P=0.9974 ‎ 第二篇章：经典训练题型及答案（高考压轴题型）‎ ‎1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。‎ 中元素各表示什么？‎ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。‎ 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。‎ ‎ 3. 注意下列性质：‎ ‎（3）德摩根定律：‎ ‎ 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）‎ 的取值范围。‎ ‎ 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？‎ ‎（互为逆否关系的命题是等价命题。）‎ 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。‎ ‎ 7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？‎ ‎（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）‎ ‎ 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？‎ ‎（定义域、对应法则、值域）‎ ‎ 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？‎ ‎ 10. 如何求复合函数的定义域？‎ 义域是_____________。‎ ‎ 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？‎ ‎ 12. 反函数存在的条件是什么？‎ ‎（一一对应函数）‎ 求反函数的步骤掌握了吗？‎ ‎（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）‎ ‎ 13. 反函数的性质有哪些？‎ ‎①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；‎ ‎②保存了原来函数的单调性、奇函数性；‎ ‎ 14. 如何用定义证明函数的单调性？‎ ‎（取值、作差、判正负）‎ 如何判断复合函数的单调性？‎ ‎∴……）‎ ‎ 15. 如何利用导数判断函数的单调性？‎ 值是（）‎ ‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎∴a的最大值为3）‎ ‎ 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？‎ ‎（f(x)定义域关于原点对称）‎ 注意如下结论：‎ ‎（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。‎ ‎ 17. 你熟悉周期函数的定义吗？‎ 函数，T是一个周期。）‎ 如：‎ ‎ 18. 你掌握常用的图象变换了吗？‎ 注意如下“翻折”变换：‎ ‎ 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？‎ 的双曲线。‎ 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 ‎②求闭区间［m，n］上的最值。‎ ‎③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。‎ ‎④一元二次方程根的分布问题。‎ 由图象记性质！（注意底数的限定！）‎ 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？‎ ‎ 20. 你在基本运算上常出现错误吗？‎ ‎ 21. 如何解抽象函数问题？‎ ‎（赋值法、结构变换法）‎ ‎ 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？‎ ‎（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）‎ 如求下列函数的最值：‎ ‎ 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？‎ ‎ 24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 ‎ 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？‎ ‎（x，y）作图象。‎ ‎ 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。‎ ‎ 28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？‎ ‎ 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？‎ ‎（平移变换、伸缩变换）‎ 平移公式：‎ 图象？‎ ‎ 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？‎ ‎“奇”、“偶”指k取奇、偶数。‎ ‎ A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值 ‎ 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？‎ 理解公式之间的联系：‎ 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）‎ 具体方法：‎ ‎（2）名的变换：化弦或化切 ‎（3）次数的变换：升、降幂公式 ‎（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。‎ ‎ 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？‎ ‎（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）‎ ‎ 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。‎ ‎ 34. 不等式的性质有哪些？‎ 答案：C ‎ 35. 利用均值不等式：‎ 值？（一正、二定、三相等）‎ 注意如下结论：‎ ‎ 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？‎ ‎（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）‎ 并注意简单放缩法的应用。‎ ‎（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）‎ ‎ 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 ‎ 39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 ‎ 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？‎ ‎（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）‎ 证明：‎ ‎（按不等号方向放缩）‎ ‎ 42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）‎ ‎ 43. 等差数列的定义与性质 ‎0的二次函数）‎ 项，即：‎ ‎ 44. 等比数列的定义与性质 ‎ 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？‎ 例如：（1）求差（商）法 解：‎ ‎［练习］‎ ‎（2）叠乘法 解：‎ ‎（3）等差型递推公式 ‎［练习］‎ ‎（4）等比型递推公式 ‎［练习］‎ ‎（5）倒数法 ‎ 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？‎ 例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。‎ 解：‎ ‎［练习］‎ ‎（2）错位相减法：‎ ‎（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。‎ ‎［练习］‎ ‎ 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？‎ ‎△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：‎ 若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：‎ ‎△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）‎ 若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足 ‎ p——贷款数，r——利率，n——还款期数 ‎ 49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。‎ ‎（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一 ‎（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不 ‎ 50. 解排列与组合问题的规律是：‎ 相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。‎ 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩 则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）‎ ‎ A. 24 B. 15 C. 12 D. 10‎ 解析：可分成两类：‎ ‎（2）中间两个分数相等 相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。‎ ‎∴共有5＋10＝15（种）情况 ‎ 51. 二项式定理 性质：‎ ‎（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 表示）‎ ‎ 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？‎ 的和（并）。‎ ‎（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。‎ ‎（6）对立事件（互逆事件）：‎ ‎（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。‎ ‎ 53. 对某一事件概率的求法：‎ 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 ‎（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生 如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。‎ ‎（1）从中任取2件都是次品；‎ ‎（2）从中任取5件恰有2件次品；‎ ‎（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；‎ 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103‎ 而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”‎ ‎（4）从中依次取5件恰有2件次品。‎ 解析：∵一件一件抽取（有顺序）‎ 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。‎ ‎ 54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。‎ ‎ 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。‎ 要熟悉样本频率直方图的作法：‎ ‎（2）决定组距和组数；‎ ‎（3）决定分点；‎ ‎（4）列频率分布表；‎ ‎（5）画频率直方图。‎ 如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。‎ ‎ 56. 你对向量的有关概念清楚吗？‎ ‎（1）向量——既有大小又有方向的量。‎ 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。‎ ‎（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。‎ 规定零向量与任意向量平行。‎ ‎（7）向量的加、减法如图：‎ ‎（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）‎ 的一组基底。‎ ‎（9）向量的坐标表示 表示。‎ ‎ 57. 平面向量的数量积 数量积的几何意义：‎ ‎（2）数量积的运算法则 ‎［练习］‎ 答案：‎ 答案：2‎ 答案：‎ ‎ 58. 线段的定比分点 ‎※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？‎ ‎ 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？‎ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：‎ 线面平行的判定：‎ 线面平行的性质：‎ 三垂线定理（及逆定理）：‎ 线面垂直：‎ 面面垂直：‎ ‎ 60. 三类角的定义及求法 ‎（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°‎ ‎（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°‎ ‎（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）‎ 三类角的求法：‎ ‎①找出或作出有关的角。‎ ‎②证明其符合定义，并指出所求作的角。‎ ‎③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。‎ ‎［练习］‎ ‎（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。‎ ‎（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。‎ ‎①求BD1和底面ABCD所成的角；‎ ‎②求异面直线BD1和AD所成的角；‎ ‎③求二面角C1—BD1—B1的大小。‎ ‎（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。‎ ‎（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）‎ ‎ 61. 空间有几种距离？如何求距离？‎ 点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。‎ 将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。‎ 如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：‎ ‎（1）点C到面AB1C1的距离为___________；‎ ‎（2）点B到面ACB1的距离为____________；‎ ‎（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；‎ ‎（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；‎ ‎（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。‎ ‎ 62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？‎ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。‎ 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：‎ 它们各包含哪些元素？‎ ‎ 63. 球有哪些性质？‎ ‎（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！‎ ‎（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。‎ ‎（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。‎ 积为（）‎ 答案：A ‎ 64. 熟记下列公式了吗？‎ ‎（2）直线方程：‎ ‎ 65. 如何判断两直线平行、垂直？‎ ‎ 66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？‎ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。‎ 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。‎ ‎ 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？‎ ‎ 68. 分清圆锥曲线的定义 ‎ 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）‎ ‎ 71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？‎ 如：‎ 通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。‎ ‎ 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。‎ 答案：‎ ‎ 73. 如何求解“对称”问题？‎ ‎（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。‎ ‎ 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。‎ ‎（直接法、定义法、转移法、参数法）‎ ‎ 76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。‎