高考数学易错题解题方法大全 68页

高考数学易错题解题方法大全（1） 一.选择题 【范例1】已知集合A={x|x=2n—l，n∈Z}，B={x|x2一4x<0}，则A∩B=（ ） A． B． C． D．{1，2，3，4} 答案：C 【错解分析】此题容易错选为B，错误原因是对集合元素的误解。 【解题指导】集合A表示奇数集，集合B={1，2，3，4}. 【练习1】已知集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【范例2】若A、B均是非空集合，则A∩B≠φ是A B的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案：B 【错解分析】考生常常会选择A，错误原因是混淆了充分性，与必要性。 【解题指导】考查目的：充要条件的判定。 【练习2】已知条件 ： ，条件 ： ，且 是 的充分不必要条件，则 的取值范围可以是（ ） A． ； B． ； C． ； D． ； 【范例3】定义在R上的偶函数 满足 ，且在[-1，0]上单调递增，设 ， ， ，则 大小关系是（ ） A． B． C． D． 答案：D 【错解分析】此题常见错误A、B，错误原因对 这样的条件认识不充分，忽略了函数的周期性。 【解题指导】 由 可得， 是周期为2 的函数。利用周期性 转化为[-1，0]的函数值，再利用单调性比较. 【练习3】设函数f (x)是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，若 ， ，则 的取值范围是（ ） A.(－∞, 0) B.(0, 3) C.(0, +∞) D.(－∞, 0)∪(3, +∞) { }xyyxA sin),( == { }xyyxB tan),( == =BA  { })0,0( { })0,0(),0,(π { })0,( πk ∅ }1{ }41{ << xx { }1 3, ⊆ p 2|1| >+x q ax > p¬ q¬ a 1≥a 1≤a 1−≥a 3−≤a )(xf )()1( xfxf −=+ )3(fa = )2(fb = )2(fc = cba ,, cba >> bca >> acb >> abc >> )()1( xfxf −=+ )()1( xfxf −=+ )(xf cba ,, 1)2( >f 3 3)2008( − += a af a x y O P1 P0 P2 【范例4】 的值为（ ） A．－4 B．4 C．2 D．－2 答案：D 【错解分析】此题常见错误A、C，错误原因是对两倍角公式或对对数运算性质不熟悉。 【解题指导】结合对数的运算性质及两倍角公式解决. 【练习4】式子 值是（ ） A．－4 B．4 C．2 D．－2 【范例5】设 是方程 的解，且 ，则 （ ） A．4 B．5 C．7 D．8 答案：C 【错解分析】本题常见错误为D，错误原因没有考虑到函数y=8-x与y=lgx图像的结合。 【解题指导】考查零点的概念及学生的估算能力. 【练习5】方程 的实数根有( )个． A．0 B．1 C．2 D．3 【范例6】已知∠AOB=lrad，点Al，A2，…在OA上， B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和 虚线段氏均为1个单位，一个动点M从O点 出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速 运动，速度为l单位／秒，则质点M到达A10 点处所需要的时间为( ) 秒。 A．62 B．63 C．65 D．66 答案：C 【错解分析】本题常见错误B、D，这样的错误常常由于是信息图片信息把握力不强。 【解题指导】本题综合考察等差数列求和，及扇形的弧长公式。要细读题，理解动点的运动规 律。 【练习6】如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标 签： 原点处标0，点（1，0）处标1，点（1，-1）处 标2，点（0，-1）处标3，点（-1，-1）处标4， 点（-1，0）标5，点（-1，1）处标6，点（0，1） 处标7，以此类推，则标签 的格点的坐标 为( ) A．(1005,1004) B．(1004.1003) C．(2009,2008) D．(2008,2007) 【范例7】如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置 开 4 3 3 2 loglog ⋅ 12coslog12sinlog 22 ππ + 0x xx lg8 =− 0 ( , 1)( )x k k k∈ + ∈Z =k lg( 2) 1x x + = 22009 0P •• • • • •• • • • •• • • • •• • • • •• • • • x y 1 2 13 34 5 6 7 8 9 10 11 12 0 始沿单位圆按逆时针方向运动角 （ ）到达点 ， 然后继续沿单位圆逆时针方向运动 到达点 ，若点 的横 坐标为 ，则 的值等于 . 答案： 【错解分析】本题常见错误写成 的相反数，这样的错误常常是忽略角度所在的象限。 【解题指导】本题主要考察三角函数的定义，及对两角和与差公式的理解。 【练习7】已知 . 【范例8】已知向量 ，其中 、 均为非零向量，则 的取值范围是 . 答案： 【错解分析】本题常见错误五花八门，错误原因是没有理解向量的模的不等式的性质。 【解题指导】 分别表示与 、 同向的单位向量, 【练习8】△ABC中， ， ，则 的最小值是 . 【范例9】若不等式 恒成立，则实数a的取值范围是 . 答案： 【错解分析】解含绝对值不等式也是考生常常出现错误的，错误原因有解法单一，比如只会运 用去绝对值的方法，这样会导致计算量较多，易错。通常简捷的方法可以是利用绝对值的几何 意义。 【解题指导】由绝对值的几何意义知 的最小值为3. 【练习9】不等式｜x＋1｜(2x－1)≥0的解集为 . 【范例10】圆 被直线 分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为 . 答案：1∶3 【错解分析】圆与直线的位置关系的错误点通常是考生找错了圆的圆心，判断不了圆的位置， 在花函数图像是产生了偏差。 【解题指导】对 α 0 2 πα< < 1P 3 π 2P 2P 4 5 − cosα 3 3 4 10 − 3 3 4 10 − ==+= xxx 2cos,cossincos,cossinsin 则αααα | | | | a bp a b = +     a b | |p [0,2] b b a a     , a b b b a a b b a a b b a a             +≤+≤− π 2C = 1, 2AC BC= = ( ) 2 (1 )f CA CBλ λ λ= + −  Rxaxx ∈≥−++ 对|1||2| ]3,(−∞ |1||2| −++ xx ( )2 2 11 yx + =− 0x y− = 【练习10】已知直线 与圆 交于A、B两点，O是坐标原点，向量OA→ 、OB→ 满足|OA→ +OB→ |=|OA→ OB→ |，则实数 的值是 . 【范例11】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为 ，则球的表面积为__________. 答案：8π 【错解分析】球体是近年高考通常所设计的集合体，通常也是考生容易 出错的一个地方，通常的错误是对球体的与题目结合时候空间想象力缺乏 导致，或者计算的时候计算不出球的半径等。 【解题指导】过球心与小圆圆心做球的截面，转化为平面几何来解决. 【练习11】如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方 体和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是 ． 【范例12】已知过点 的直线 与 轴正半轴、 轴正半轴分别交于 、 两点，则 的面积最小为 . 答案：4【错解分析】本题考查均值不等式和数形结合，也是考生容易错误的地方，例如不会利 用均值不等式，或者没有看出均值不等式中隐含的“面积”。 【解题指导】设直线方程为 ,代点得: .由于 ,所以 ,所以 【练习12】函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为 . 【范例13】已知点P（4，4），圆C： 与椭圆E： 有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切． （1）求m的值与椭圆E的方程； （2）设Q为椭圆E上的一个动点，求 的取值范围． 【错解分析】本题易错点（1）在于计算椭圆的方程的量本 身就大，方法和计算技巧的运用很重要。 解：（1）点A代入圆C方程，得 ． ∵m＜3，∴m＝1．圆C： ． 设直线PF1的斜率为k，则PF1： ， 即 ．∵直线PF1与圆C相切，∴ ．解得 ． ayx =+ 422 =+ yx a π )2,1(P l x y A B AOB∆ 1=+ b y a x 121 =+ ba abba 2221 ≥+ 8,4 12 ≥≤ abab 即 42 1 ≥=∆ abS AOB 1)3(log −+= xy a )1,0( ≠> aa 且 A A 02 =++ nymx 0>mn nm 21 + 2 2( ) 5 ( 3)x m y m− + = < 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b + = > > AP AQ⋅  2(3 ) 1 5m− + = 2 2( 1) 5x y− + = ( 4) 4y k x= − + 4 4 0kx y k− − + = 2 | 0 4 4 | 5 1 k k k − − + = + 11 1,2 2k k= =或 当k＝ 时，直线PF1与x轴的交点横坐标为 ，不合题意，舍去． 当k＝ 时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）． 2a＝AF1＋AF2＝ ， ，a2＝18，b2＝2． 椭圆E的方程为： ． （2） ，设Q（x，y）， ， ． ∵ ，即 而 ，∴－18≤6xy≤18． ∴ 的取值范围是[0，36]， 即 的取值范围是[－6，6]． ∴ 的取值范围是[－12，0]． 【练习13】已知圆 上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足 . （1）求点G的轨迹C的方程； （2）过点（2，0）作直线 ，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线 ，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线 的方程；若不存在，试说明理由. 【范例14】如图，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），点P在BC边上移动，线段OP的 垂直平分线交y轴于点E，点M满足 （1）求点M的轨迹方程； （2）已知点F（0， ），过点F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点，且 求实数 的取值范围. 【错解分析】向量的综合题型考察的范围可以很广，这样的 题型容易产生画图不准确，题意模糊的错误，导致考生无法作答，因此要理解题意，把握条件 ，学会精确画图。 解:（1）依题意，设P（t,2）（－2≤t≤2），M（x，y）. 当t=0时，点M与点E重合，则M=（0，1）， .EPEOEM += 2 1 ,FRQF λ= λ 11 2 36 11 1 2 5 2 2 6 2+ = 3 2a = 2 2 118 2 x y+ = (1, 3)AP = ( 3, 1)AQ x y= − − ( 3) 3( 1) 3 6AP AQ x y x y⋅ = − + − = + −  2 2 118 2 x y+ = 2 2(3 ) 18x y+ = 2 2(3 ) 2 | | | 3 |x y x y+ ⋅≥ 2 2 2( 3 ) (3 ) 6 18 6x y x y xy xy+ = + + = + 3x y+ 3 6AP AQ x y⋅ = + −  MPNyxM 为圆点定点 ),0,5(,36)5(: 22 =++ 0,2 =⋅= NPGQNQNP l ,OBOAOS += l l 当t≠0时，线段OP的垂直平分线方程为： 显然，点（0，1）适合上式 .故点M的轨迹方程为x2=－4(y－1)( －2≤x≤2) （2）设 得x2+4k－2=0. 设Q（x1,y1）、R（x2,y2），则 , .消去x2，得 . 解得 【练习14】已知抛物线C的一个焦点为F（ ，0），对应于这个焦点的准线方程为x=- . （1）写出抛物线C的方程； （2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程； （3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x- 3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值. 【范例15】如图：在三棱锥 中， 面 ， 是直角三角形， ， ， ，点 分别为 的中点。 ⑴求证： ； ⑵求直线 与平面 所成的角的大小； ⑶求二面角 的正切值。 【错解分析】立体几何是高考的必考内容，容易错误的地方通常 是求二面角的大小，因此要归纳总结通常寻找二面角的平面角的 方法。 解：⑴连结 。在 中， ，点 为 的中点， ).2(21 txty −−== )1(4,. 4 42 )4 42,()4 4,0()4 4,( )4 4,0(,4 4,0 22 222 22 −−=    +−= = ∴ +−++−⋅+−+= ++== yxtty tx ttttyxEPEOEM tEtyx 得消去 得由 即得令 ),1(4),4 1 4 1(2 1: 2 −−=≤≤−+= yxkkxyl 代入    −= −=+ >+=∆ 2 4 0816 21 21 2 xx kxx k 21, xxFRQF λλ −== 得    −=− −=− ∴ 2 4)1( 2 2 2 x kx λ λ 2 2 8)1( k=− λ λ ).0(0252,2 1)1(0,16 10 2 2 2 >≤+−≤−≤∴≤≤ λλλλ λ 即k 22 1 ≤≤ λ 2 1 2 1 P ABC− PB ⊥ ABC ABC∆ 90ABC∠ =  2AB BC= = 45PAB∠ =  D E F、 、 AC AB BC、 、 EF PD⊥ PF PBD E PF B− − BD ABC∆ 90ABC∠ =   AB BC= D AC ∴ BD AC⊥ P M O F E D C B A D C A B B1A1 C1 又 面 ，即 为 在平面 内的射影 分别为 的中点 ⑵ 面 ， 连结 交 于点 ， ， 平面 为直线 与平面 所成的角，且 面 ， ，又 ， ， 在 中， ， ⑶过点 作 于点 ，连结 ， ， 面 ，即 为 在平面 内的射影 ， 为二面角 的平面角 中， ， 【练习15】如图所示，正三棱柱 的底面边长是2，侧棱长是 3，D是AC的中点。 (1)求证： 平面 ； (2)求二面角 的大小； (3)求直线 与平面 所成的角的正弦值。 练习题参考答案： 1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A  PB ⊥ ABC BD PD ABC ∴ PD AC⊥  E F、 AB BC、 ∴ //EF AC ∴ EF PD⊥  PB ⊥ ABC ∴ PB EF⊥ BD EF O  ,EF PB EF PD⊥ ⊥ ∴ EF ⊥ PBD ∴ FPO∠ PF PBD EF PO⊥  PB ⊥ ABC ∴ ,PB AB PB BC⊥ ⊥  45PAB∠ =  ∴ 2PB AB= =  1 2 4 2OF AC= = ∴ 2 2 5PF PB BF= + = ∴ Rt FPO∆ 10sin 10 OFFPO PF ∠ = = ∴ 10arcsin 10FPO∠ = B BM PF⊥ F EM  ,AB PB AB BC⊥ ⊥ ∴ AB ⊥ PBC BM EM PBC ∴ EM PF⊥ ∴ EMB∠ E PF B− −  Rt PBF∆ 2 5 PB BFBM PF ⋅= = ∴ 5tan 2 EBEMB BM ∠ = = 111 CBAABC − //1CB BDA1 ABDA −−1 1AB BDA1 7. －1 8. 9. 10. 2或2 11. 2 6 12. 413. 解：（1） Q为PN的中点且GQ⊥PN GQ为PN的中垂线 |PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长 ，半焦距 ，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是 。 （2）因为 ，所以四边形OASB为平行四边形 若存在l使得| |=| |，则四边形OASB为矩形 若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由 矛盾，故l的斜率存在. 设l的方程为 ① ② 把①、②代入 ∴存在直线 使得四边形OASB的对角线相等. 14. 解：（1）抛物线方程为：y2=2x. （2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x- )，代入y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+ . 2       ≥−= 2 11 xxx 或 ⇒    =⋅ = 0 2 PNGQ NQNP ⇒ ⇒ 3=a 5=c 149 22 =+ yx OBOAOS += OS AB 0=⋅∴ OBOA    ±= =    =+ = 3 52 2 149 2 22 y x yx x 得 0,09 16 =⋅>=⋅∴ OBOAOBOA 与 ),(),,(),2( 2211 yxByxAxky −= 0)1(3636)49( 149 )2( 222222 =−+−+⇒    =+ −= kxkxkyx xky 由 49 )1(36,49 36 2 2 212 2 21 + −=+=+∴ k kxxk kxx )]2()][2([ 2121 −−= xkxkyy 49 20]4)(2[ 2 2 2121 2 +−=++−= k kxxxxk 2 302121 ±==+ kyyxx 得 06230623: =−+=−− yxyxl 或 2 1 04 2 =k PM D C A B B1A1 C1 设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2= ，y1+y2=k(x1+x2-1)= . 设△AOB的重心为G（x，y）则 ，消去k得y2= 为所求， ②当直线垂直于x轴时，A（ ，1），B（ ，-1），△AOB的重心G（ ，0）也满足上述方程. 综合①②得，所求的轨迹方程为y2= ， （3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r= ， 根据圆的性质有：|MN|=2 . 当|PQ|2最小时，|MN|取最小值， 设P点坐标为(x0，y0)，则y =2x0.|PQ|2=（x0-3）2+ y = x -4x0+9=(x0-2)2+5， ∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5， 故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值 . 15. 解法一：（1）设 与 相交于点P，连接PD，则P为 中点， D为AC中点， PD// . 又 PD 平面 D， //平面 D （2） 正三棱住 ， 底面ABC。 又 BD AC BD 就是二面角 的平面角。 = ，AD= AC=1 tan = = , 即二面角 的大小是 （3）由（2）作AM ，M为垂足。 BD AC，平面 平面ABC，平面 平面ABC=AC 2 2 2 k k + k 2       =++= +=++= k yyy k kxxx 3 2 3 0 3 2 3 0 21 2 2 21 9 2 3 2 −x 2 1 2 1 3 1 9 2 3 2 −x 2 22 22 || 2122 || ||2|| |||| PQPQ rPQrPQ MQMP −•=−= 2 0 2 0 2 0 5 302 1AB BA1 1AB  ∴ CB1  ⊂ BA1 ∴ CB1 BA1  111 CBAABC − ∴ 1AA ⊥  ⊥ ∴ DA1 ⊥ ∴ DAA1∠ ABDA −−1  1AA 3 2 1 ∴ DAA1∠ 3AD AA1 = ∴ DAA1∠ 3 π ABDA −−1 3 π ⊥ DA1  ⊥ 11ACCA ⊥ 11ACCA ∩ BD 平面 ， AM 平面 ， BD AM BD = D AM 平面 ，连接MP，则 就是直线 与平面 D所成的角。 = ，AD=1， 在Rt D中， = ， ， , 直线 与平面 D所成的角的正弦值为 解法二：（1）同解法一（2）如图建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A（1，0，0）， （1，0， ），B（0， ，0）， （0， ， ） =（-1， ，- ）， =（-1，0，- ） 设平面 的法向量为n=（x，y，z） 则n n 则有 ，得n=（ ，0，1） 由题意，知 =（0，0， ）是平面ABD的一个法向量。 设n与 所成角为 ，则 ， 二面角 的大小是 （3）由已知，得 =（-1， ， ），n=（ ，0，1）则 直线 与平面 D所成的角的正弦值为 . ∴ ⊥ 11ACCA  ⊂ 11ACCA ∴ ⊥  DA1 ∩ ∴ ⊥ B1DA APM∠ BA1 BA1  1AA 3 ∴ ∆ 1AA DAA1∠ 3 π ∴ 2 3sin601AM =×=  2 7AB2 1AP 1 == ∴ .7 21 2 7 2 3 AP AMAPMsin ===∠ ∴ 1AB BA1 7 21 1A 3 3 1B 3 3 ∴ B1A 3 3 D1A 3 BDA1 0z3y3xBA1 =−+−=• 0z3xDA1 =−−=•    = −= 0 3zx y 3− 1AA 3 1AA θ 2 1 AAn AAncos 1 1 = ⋅ •=θ ∴ 3 πθ = ∴ ABDA −−1 3 π 1AB 3 3 3− 7 21 nAB nABcos 1 1 =•=α ∴ 1AB BA1 7 21 高考数学易错题解题方法大全（2） 一.选择题 【范例1】已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1， 其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积 ( ) A． B． 1 C． D． 答案： A 【错解分析】此题容易错选为D，错误原因是对棱锥的体积公式记忆不牢。 【解题指导】将展开图还原为立体图，再确定上面棱锥的高。 【练习1】一个圆锥的底面圆半径为 ，高为 ，则这个圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【范例2】设 是 展开式的中间项，若 在区间 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：D 【错解分析】此题容易错选为C，错误原因是对恒成立问题理解不透。 注意区别不等式有解与恒成立： ； ； ； 【解题指导】∵ ，∴ 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，∴ . 【练习2】若 的展开式中第三项系数等于6，则n等于（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【范例3】一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距 离都大于1的地方的概率为（ ） A. B. C. D. 答案：C )(xf 62 )2 1( xx + mxxf ≤)(       2,2 2 m [ )+∞,0      +∞,4 5     5,4 5 [ )+∞,5 333623 6 2 5)2 1()()( xxxCxf == − mxx ≤3 2 5       2,2 2 mx ≤2 2 5       2,2 2 5≥m V = 21 6 + 6 2 2 21+ 3 4 15 2 π 10π 15π 20π max( ) ( )a f x a f x> ⇔ >恒 成 立 min( ) ( )a f x a f x< ⇔ <恒成立 min( ) ( )a f x a f x> ⇔ >有解 max( ) ( )a f x a f x< ⇔ <有解 1( ) 11 nx − 5 4 5 3 60 π 3 π 【错解分析】此题容易错选为A，错误原因是没有看清蚂蚁在三角形区域内随机爬行，而不是 在三边上爬。 【解题指导】考查几何概型的计算，满足条件部分的面积与三角形面积之比. 【练习3】设 在区间[0，5]上随机的取值，则方程 有实根的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【范例4】方程 在[0，1]上有实数根，则m的最大值是（ ） A.0 B.-2 C. D. 1 答案：A 【错解分析】此题容易错选为B，错误原因是不能利用导数准确地求最值。 【解题指导】转化为求函数 在[0，1]上的最值问题. 【练习4】已知函数 ，若直线 对任意的 都不是曲线 的切线，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【范例5】已知 ，则 =（ ） A．10 B．8 C．6 D． 答案：A 【错解分析】此题容易错选为C，错误原因是对复数的代数形式化简不到位。 【解题指导】 ∴ ∴ 【练习5】复数 的值是（ ） A． B． C．4 D．－4 【范例6】从2006名学生中选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从20 06名学生中剔除6名，再从2000名学生中随机抽取50名. 则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别是 （ ） A． B． C． D． 答案：C 【错解分析】此题容易错选为B，错误原因是对抽样的基本原则理解不透。 a 02 1 4 2 =+++ aaxx 5 4 5 3 5 2 033 =−− mxx 8 11− xxm 33 −= )(3)( 3 Raaxxxf ∈−= 0=++ myx Rm ∈ )(xfy = a 3 1≥a 3 1>a 3 1≤a 1 3a < 4 1 2 mi Ri + ∈+ | 6 |m i+ 8 3 4 (4 )(1 2 ) (4 2 ) ( 8) 1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 mi mi i m m i Ri i i + + − + + −= = ∈+ + − 8m = 2 2| 6 | |8 6 | 8 6 10m i i+ = + = + = 4)11( i + i4 i4− 40 1,0031 3 40 1,0001 3 0031 25,0031 3 0031 25,0001 3 【解题指导】法（一）学生甲被剔除的概率 则学生甲不被剔除的概率为 ,所以甲被选取的概率 故选C. 法（二）每位同学被抽到，和被剔除的概率是相等的，所以学生甲被剔除的概率 甲被选取的概率 【练习6】在抽查产品的尺寸过程中，将尺寸分成若干组， 是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则 =( ) A．hm B． C． D． 二.填空题 【范例7】已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm的钢球，则 球心到盒底的距离为 cm. 答案：10 【错解分析】此题容易错填11，错误原因是空间想象能力不到位。 【解题指导】作出截面图再分析每个量的关系. 【练习7】设 是球 表面上的四个点， 两两垂直，且 ，则球的表面积为 . 【范例8】已知直线 的充要条件是 = . 答案： 【错解分析】此题容易错填为-1，3，主要是没有注意到两直线重合的情况。 【解题指导】 的充要条件是 且 . 【练习8】已知平面向量 ， ，且 ，则 . 【范例9】已知双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线上一点，且 ,则双曲线的离心率是 . 答案： 【错解分析】此题容易漏掉圆锥曲线定义在解题中的应用。 【解题指导】求圆锥曲线的离心率值或范围时，就是寻求含 齐次方程或不等式，同时注意. 找全 的几个关系，（1） （2） ,0031 3 006 6 2 005 5 2 1 == C CP 1003 1000 1003 31 =− 49 1 999 2 50 2 000 1000 25 ,1003 1003 CP C = × = 1 6 3 ,2006 1003P = = 2 50 25 .2006 1003P = = [ )ba, ba − m h h m mh + , , ,P A B C O , ,PA PB PC 1PA PB PC= = = 2121 //,023)2(:6: llayxalayxl 则和 =++−=++ a 1a = − 21 //ll 01221 =− BABA 01221 ≠− CACA ),1( ma = → )3,2( −= → mb a b⊥  =m 22 2 2 1yx a b − = ( 0, 0)a b> > PFF 又点,, 21 abPFPFPFPF 4, 2121 =⋅⊥ 5 ca, 1 2,PF PF 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2, 4 ,PF PF PF PF FF c⊥ ∴ + = = ，（3） 。 将（2）式平方可得 所以 所以 。 【练习9】若双曲线 － =1的渐近线与方程为 的圆相切，则此双曲线的离心率为 ． 【范例10】点 在直线 上，则 最小值为 . 答案：9 【错解分析】此题主要考查学生对均值不等式的应用，及指数的四则运算。一定要牢记这些公 式。 【解题指导】 . 【练习10】已知 且 则 最大值为 . 【范例11】函数 满足条件 ,则 的值为 . 答案：6 【错解分析】此题主要考查二次函数的性质，主要易错在不能很好的应用性质解题。 【解题指导】（一）对称轴 所以 . （二）对称轴 所以 【练习11】已知二次函数 满足 ，且 ，若 在区间 上的值域是 ，则 ＝ ， ＝ . 【范例12】已知向量 ， ， =（ ），则向量 与 的夹角范围为 . 答案： 【错解分析】此题主要错在不能认识到点A的轨迹是一个圆. 【解题指导】 ∵ ， ∵ ， ∴点A的轨迹是以C（2，2）为圆心， 为半径的圆. 过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM、CN（∠MOB<∠NOB），则向量 与 1 2 2PF PF a− = 1 2 4PF PF ab⋅ = 2 2 2 1 2 1 22 4 ,PF PF PF PF a+ − = 2 24 8 4 ,c ab a− = 2b a= 2 2 a x 2 2 b y 3)2( 22 =+− yx ),( yx 023 =−+ yx 3 27 3x y+ + 3 27 3x y+ + 6322732273 3 ==•≥+ + yxyxyx 1,1 >> yx 4lglg =+ yx yxlglg 6)( 2 ++= bxaxxf )3()1( ff =− )2(f 1=x ab 2−= 2( ) 2 6, (2) 6.f x ax ax f∴ = − + = 1=x (2) (0) 6.f f= = )(xf f x f x( ) ( )1 1+ = − f f( ) ( )0 0 1 1= =， f x( ) [ ]nm, [ ]nm, m n )0,2(=OB )2,2(=OC CA αα sin2,cos2 OA OB     ππ 12 5 12 , )0,2(,)2,2( OBOC == )2,2(),0,2( CB∴ )sin2,cos2( αα CA = 2 OA OB 的夹角范围是 〈 〉 . ∵ ，∴ 知 ，但 . ∴ ，故 〈 〉 【练习12】如图，在正方形 中，已知 ， 为 的中点， 若 为正方形内（含边界）任意一点，则 的最大值是 . 三.解答题 【范例13】已知数列{ }的前 项和 , （1）求数列的通项公式 ； （2）设 ,且 ，求 . 【错解分析】（1）在求通项公式时容易漏掉对n=1的验证。 （2）在裂项相消求数列的和时，务必细心。 解:（1）∵Sn=n2+2n ∴当 时， 当n=1时，a1=S1=3， ,满足上式. 故 （2）∵ , ∴ ∴ ∴ 【练习13】已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 数列{ }的前n项和为 ，点 均在函数 的图像上. na n 2 2nS n n= + na 2 1n nb a= − 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 n n n T b b b b b b b b + = + + + nT 2≥n 121 +=−= − nSSa nnn 3112 =+×=na *,12 Nnnan ∈+= 2 1n nb a= + 1 1( 1) (2 1 1)2 2n nb a n n= − = + − = 1 1 1 1 1 ( 1) 1n nb b n n n n+ = = −+ + 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 n n n T b b b b b b b b + = + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 1 1n n n n = − + − + − + + − + −− + ≤∠MOB OBOA, NOB∠≤ 22=OC ||2 1|||| OCCNCM == 6 π=∠=∠ CONCOM 4 π=∠COB 12 5,12 π=∠π=∠ NOBMOB ≤π 12 OBOA, .12 5  π≤ ABCD 2=AB M BC N ANAM ⋅ )(xfy = .26)( −=′ xxf na nS ))(,( *NnSn n ∈ )(xfy = _A _D _C _B _M _N （1）求数列{ }的通项公式； （2）设 ， 的前 项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数 . 【范例14】已知函数 ． （1）求函数 的单调增区间； （2）已知 ，且 ，求 的值． 【错解分析】在利用降幂公式两倍角公式时，本身化简就繁琐，所以仔细是非常重要的。 解：（1） ＝ ． 由 ，得 ． ∴函数 的单调增区间为 ． （2）由 ，得 ．∴ ． ∴ ，或 ， 即 或 ．∵ ，∴ ． 【练习14】在△ABC中， 依次是角 所对的边，且4sinB·sin2( π 4 + B 2)+cos2B=1+ 3. (1)求角B的度数； (2)若B为锐角， ， ，求边 的长． 【范例15】某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1 kg要用煤9吨，电力4 kw，劳力(按工作日计算)3个；制造乙产品1 kg要用煤4吨，电力5 kw，劳力10个.又知制成甲产品1 kg可获利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200 kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益 ？ 【错解分析】对于线性规划的题目，首先要认真审题，列出约束条件，及目标函数，这是 本题的重点及难点。 解：设此工厂应生产甲、乙两种产品x kg、y kg，利用z万元，则依题意可得约束条件：Error! 利润目标函数为z＝7x＋12y. 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如下图). na 1 3 + = nn n aab }{ nn bT 是数列 n 20 mTn < *Nn ∈ m ( ) 2 2sin 2 3sin cos 3cosf x x x x x= + + ( )f x ( ) 3f α = ( )0, πα ∈ α ( ) 3sin 2 cos2 2f x x x= + + π2sin(2 ) 26x + + π π π2 π 2 2 π2 6 2k x k− + + +≤ ≤ π ππ π3 6k x k− + +≤ ≤ ( )f x ( )π π[ π , π ]3 6k k k− + + ∈Z ( ) 3f α = π2sin(2 ) 2 36 α + + = π 1sin(2 )6 2 α + = 1 π π2 2 π6 6 kα + = + 2 π 5π2 2 π6 6 kα + = + ( )1 2,k k ∈Z 1πkα = 2 π π3 kα = + ( )1 2,k k ∈Z ( )0, πα ∈ π 3 α = cba ,, CBA ,, 4=a BC sin2 1sin = c 作直线l：7x＋12y＝0，把直线l向右上方平移至l1位置时，直线l经过可行域上的点M 时，此时z＝7x＋12y取最大值. 解方程组Error!得M点的坐标为(20,24). 答：应生产甲种产品20千克，乙种产品24千克，才能获得最大经济效益. 【练习15】某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0. 5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的 .动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg,问 饲料怎样混合,才使成本最低. 练习题参考答案： 1．C 2．C 3．B 4．D 5．D 6．C 7． 8． ， 9．2 10. 4 11. m=0 ，n＝1 12. 4 13. 解：（1）设这二次函数 ， 由于 ，得 . 又因为点 的图像上，所以 当 （2）由（1）得知 故 5 1 3π 1− 3 baxxfabxaxxf +=′≠+= 2)(),0()( 2 则 26)( −=′ xxf xxxfba 23)(,2,3 2 −=−== 所以 )())(,( * xfyNnSn n =∈ 均在函数 .23 2 nnSn −= )]1(2)1(3[)23(,2 22 1 −−−−−=−=≥ − nnnnSSan nnn时 .56 −= n ]5)1(6)[56( 33 1 −−−== + nnaab nn n ).16 1 56 1(2 1 +−−= nn )]16 1 56 1()13 1 7 1()7 11[(2 1 +−−++−+−= nnTn  ).16 11(2 1 +−= n 因此，要使 ，必须且仅须满足 即 ，所以满足要求的最小正整数 为10. 14. 解：（1）由4sinB · sin2 + cos2B = 1 + 得： ， 或 ． （2）法1： 为锐角 由已知得： ，角 为锐角 可得： 由正弦定理 得： ． 法2：由 得： ，由余弦定理知： 即： ． 15. 解:设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z元,那么 ,而z=0.28x+0.9y 如右图所示,作出以上不等式组 所表示的平面区域,即可行域. 作一组平行直线0.28x+0.9y =t, 其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x+y=35000和直线 的交点 ,即 , 时,饲料费用最低. 所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低. 高考数学易错题解题方法大全（3） 一.选择题 【范例1】集合 若 则 （ ） mNnm n 成立的)(20)16 11(2 1 *∈<+− ,202 1 m≤ 10≥m m      + 24 Bπ 3 2sin [1 cos( )] cos2 1 32B B B π− + + = + 22sin (1 sin ) 1 2sin 1 3B B B+ + − = + 3sin 2B = 0 B π< < 3B π∴ = 2 3 π B 3B π∴ = 1 3sin sin2 4C B= = 1 2c b b= < C 13cos 4C∴ = 2 3( 13 1)sin sin( )3 8A C π += − = sin sin a c A C = 2 13 2 3c −= 1sin sin2C B= 2b c= 2 2(2 ) 16 8 cos60c c c= + −  23 4 16 0c c+ − = 2 2 13 3c − ±= 0c > 2 13 2 3c −∴ =        ≥ ≤≤ ≥ ≥+ 0 500000 5 1 35000 y x xy yx xy 5 1= )3 17500,3 87500(A 3 87500=x 3 17500=y 2{3,log }, { , },A a B a b= = {2},A B = A B = A．{2,3,4} B．{2 ,4} C．{2,3} D．{1，2,3,4} 答案：A 【错解分析】此题主要考查对集合的交集的理解。 【解题指导】 ， . 【练习1】已知集合 ， ，则集合 的充要条件是（ ） A．a≤－3 B．a≤1 C．a＞－3 D．a＞1 【范例2】函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 答案：C 【错解分析】此题容易错选为A，容易漏掉 的情况。 【解题指导】求具体函数的定义域时要是式子每个部分都有意义. 【练习2】若函数 的定义域为 ，且 ， 则函数 的定义域是（ ） A． B. C. D. 【范例3】如果执行右面的程序框图，那么输出的 （ ） A．1275 B．2550 C．5050 D．2500 答案:B． 【错解分析】此题容易错选为C，应该认真分析流程图中的信息。 【解题指导】 【练习3】下面是一个算法的程序框图，当输 入的值 为8时，则其输出的结果是（ ） A． B． 1 C．2 D．4 【范例4】已知集合 ，集合 ，若命题“ ”是命题“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案: A 【错解分析】此题容易错选为B，请注意是充分不必要条件，而不是充要条件。 【解题指导】由题意，画数轴易知 . 【练习4】已知下列三组条件： 2{2}, log 2, 4A B a a= ∴ = =  2b = { }21 ≤+= xxP { }axxQ <= φ≠∩ QP ( 1)( 2) 1y x x x= − − + − { }2≥xx { }1≥xx { } { }2 1x x ≥ ∪ { }12 ≤≥ xxx 或 1x = ( )f x [ , ]a b 0b a> − > ( ) ( ) ( )g x f x f x= − − [ , ]a b [ , ]b a− − [ , ]b b− [ , ]a a− S = 2550100642 =+++= S x 5.0 { | 5}A x x= > { | }B x x a= > x A∈ x B∈ a 5a 5≥a A B⊂ （1） ， ；（2） ， （ 为实常数）； （3） 定义域为 上的函数 满足 ， 定义域为 的函数 是单调减函数．其中A是B的充分不必要条件的有 （ ） A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【范例5】已知 为虚数单位，则复数 对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案:C 【错解分析】此题主要考查复数的四则运算，必须熟练掌握。 【解题指导】 【练习5】在复平面内，复数 对应的点与原点的距离是（ ） A. B. C. D. 【范例6】设函数 ，若 对于任意实数x恒成立，则实数b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：D 【错解分析】此题容易错选为B，错误原因是没有注意 是单调减函数。 【解题指导】由 即 可得 即 恒成立，由 ，解得 . 【练习6】已知 ,当 时，有 ,则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 二.填空题 【范例7】已知数列 的通项公式是 ,其前n项和是 ,则对任意的 （其中 *）， 的最大值是 . 答案：10 【错解分析】此题容易错选认为求最大项。 i 2 3 1 iz i −= + (2 3 )(1 )2 3 1 5 1 5 1 (1 )(1 ) 2 2 2 i ii iz ii i i − −− − −= = = = − −+ − + : 6A πα = 1:sin 2B α = : 1A x = 2 2 2: ( 1) 0B x a x a+ − − = a :A R ( )f x )2()1( ff > :B R ( )f x 2 1 i+ 1 2 2 2 2 652 22 2 1)(,2 1)( +++−     =    = xxbxx xgxf )()( xgxf < 12>b 12b 1( )2 xy = )()( xgxf < 652 22 2 1 2 1 +++−     <     xxbxx 652 22 ++>+− xxbxx 0662 >−+− bxx 0)6(436 <−−=∆ b 15>b )1()(),1()( >=>= bbxgaaxf xx 2)()( 21 == xgxf 21 xx > ba, ba > ba ≥ ba < ba ≤ { }na 32122 −+−= nnan nS mn > ∗∈ Nnm, mn SS − 【解题指导】由 得 ，即在数列 中，前三项以及从第9项起后的各项均为负且 ，因此 的最大值是 . 【练习7】已知等差数列 的前n项和是 ，且 ，且存在自然数 使得 ，则当 时， 与 的大小关系是 . 【范例8】函数 的最小值是 . 答案： 【错解分析】此题容易在化简上出错，对于三角变换的公式一定要熟练掌握，一定要化到三个 一的形式： 。 【解题指导】∵ ，此函数的最小值为 【练习8】已知 ， ，则 等于 . 【范例9】已知圆 上任一点 ，其坐标均使得不等式 ≥0恒成立，则实数 的取值范围是 . 答案： 【错解分析】此题容易忘记数形结合思想的使用。 【解题指导】求出圆的斜率为-1的两条切线，画图研究他们和 =0的关系. 【练习9】 为不共线的向量，设条件 ；条件 对一切 ，不等式 恒成立．则 是 的 条件． 【范例10】圆 的过点 的切线方程为 . 答案: 【错解分析】此题容易忘记判断点与圆的位置关系。 )3sin(cos2 π+= xxy 12 3 − )3sin(cos2 π+= xxy 2 32cos2 32sin2 1)cos2 3sin2 1(cos2 ++=+= xxxxx 2 3)32sin( ++= π x 12 3 − x∈R x− −≥a b a b 0)8)(4(32122 >−−−=−+−= nnnnan 84 << n { }na 084 == aa mn SS − 10343765 =++=++ aaa { }na nS 20081 =a ,10≥p pP aS = pn > nS na sin( )y A x= ω + φ 1cossin 2cos1 =− αα α 1tan( ) 3 β α- =- tan( 2 )β α− ( )22 1 2x y+ − = P ( ),x y x y m+ + m [ )1,+∞ x y m+ + →→ ba, )(: →→→ −⊥ babM :N M N 1122 =+ yx )7,2(− 01172 =+− yx 【解题指导】（一）易知点在圆上，故切线只有一条，且斜率为 ， （二）借助结论：过圆 上一点 的切线为 。 【练习10】过点P(4,2)作圆 的两条切线,切点分别为A、B,O为坐标原点，则 的外接圆方程为 . 【范例11】在平面直角坐标系中，椭圆 的焦距为 ，以 为圆心， 为半径的圆做圆 ，若过点 ，所作圆 的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 答案： 【错解分析】此题容易错在对图中椭圆，及圆的性质提取不全。 【解题指导】过点 作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形 是一个正方形，即圆心 到点 的距离等于圆的半径的 倍，即 ，故 . 【练习11】已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为L，若在L上存在点M，使线段OM的垂直平 分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【范例12】如图，正三角形P1P2P3，点A、B、C分别为 边P1P2，P2P3，P3P1的中点，沿AB、BC、CA 折起，使P1、P2、P3三点重合后为点P，则折起后二面角P—AB— C的余弦值为 . 答案： )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 2c O a M P       0, 2 c a M 2 2 ce a = =       0, 2 c a OAPB O P       0, 2 c a 2 2 2a ac = 2 2 ce a = = 3 1 7 72 2 2 2x y r+ = 0 0( , )x y 2 0 0x x y y r+ = 422 =+ yx OAB∆ 【错解分析】此题容易出现的错误有多种，主要原因是没有认真地画出折叠后的三棱锥。 【解题指导】取AB的中点D,连接CD,PD,则∠PDC为二面角P—AB—C的平面角. 【练习12】正方形 的夹角的余弦值是 . 三.解答题 【范例13】已知 的展开式中前三项的系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中系数最大的项． 【错解分析】此题容易错在：审题不清楚，误用前三项的二项式系数成等差。 解：（1）由题设，得 ， 即 ，解得n＝8，n＝1（舍去）． （2）设第r＋1的系数最大，则 即 解得r＝2或r＝3． 所以系数最大的项为 ， ． 说明：掌握二项式定理，展开式的通项及其常见的应用． 【练习13】函数 （ 为实数且是常数） （1）已知 的展开式中 的系数为 ，求 的值； （2）是否存在 的值，使 在定义域中取任意值时 恒成立？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由。 【范例14】已知函数 ，设 。 （1）求F（x）的单调区间； （2）若以 图象上任意一点 为切点的切线的斜率 恒成立，求实数 的最小值。 （3）是否存在实数 ，使得函数 的图象与 的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出 的取值范围，若不存在，说名理由。 【错解分析】（1）在F（x）的定义域 内才能求单调区间。 （2）对恒成立问题的解决理解不清楚 解:(1) BFADEABCABEFABCD 与，则的二面角构成与正方形 −−060 1( ) 2 nx x + 0 2 11 1C C 2 C4 2n n n + × = × × 2 9 8 0n n− + = 1 8 81 1 8 81 1 1C C2 2 1 1C C .2 2 r r r r r r r r + + − −     ≥ ， ≥ 1 1 8 2( 1) 1 1 .2 9 1 r r r   − +   − ≥ ， ≥ 5 3 7T x= 9 2 4 7T x= 9)()( xx axf += a )(xf 3x 4 9 a a x 27)( ≥xf a )0()(,ln)( <== ax axgxxf )()()( xgxfxF += ( ])3,0)(( ∈= xxFy ),( 00 yxP 2 1≤k a m 1)1 2( 2 −++= mx agy )1( 2xfy += m (0, )+∞ F 0(ln)()()( >+=+= xx axxgxfx )0(1)(' 22 >−=−= xx ax x a xxF ）上单调递增。在（由 +∞∴+∞∈⇒>′> ,)(),,(0)(,0 axFaxxFa 由 。 （2） 当 …………………………………………4分 （3）若 的图象与 的图象恰有四个不同交点， 即 有四个不同的根，亦即 有四个不同的根。 令 ， 则 。 当 变化时 的变化情况如下表： (-1,0) (0,1) (1, ) 的符号 + - + - 的单调性 ↗ ↘ ↗ ↘ 由表格知： 。 画出草图和验证 可知，当 时， 【练习14】已知 ． ⑴ 求函数 在 上的最小值； ）上单调递减在（ axFaxxF ,0)(),,0(0)( ∴∈⇒<′ ）），单调递增区间为（的单调递减区间为（ +∞∴ ,,0)( aaxF 恒成立)30(2 1)(),30()( 02 0 0 02 ≤<≤−=′=≤<−=′ x x axxFkxx axxF min0 2 0 )2 1( xxa +−≥ 2 1 2 11 0 2 00 取得最大值时， xxx +−= 2 1,2 1 =∴≥∴ nmnaa 2 1 2 11)1 2( 2 2 −+=−++= mxmx agy )1ln()1( 22 +=+= xxfy )1ln(2 1 2 1 22 +=−+ xmx 2 1 2 1)1ln( 22 +−+= xxm 2 1 2 1)1ln()( 22 +−+= xxxG 1 )1)(1( 1 2 1 2)( 22 3 2 + −+−=+ −−=−+=′ x xxx x xxxxx xxG x )().( xGxG′ x ），（ 1−∞− ∞+ )(xG′ )(xG 02ln)1()1()(,2 1)0()( >=−==== GGxGGxG 最大值最小值 2 1 2 125ln)2()2( <+−=−= GG )2ln,2 1(∈m 恰有四个不同的交点，与 myxGy == )( 的图象与时，当 2 1 2 11)1 2()2ln,2 1( 22 −+=−++=∈∴ mxmx agym 交点。的图象恰有四个不同的)1ln()1( 22 +=+= xxfy 2( ) ln , ( ) 3f x x x g x x ax= = − + − ( )f x [ , 2]( 0)t t t+ > ⑵ 对一切 ， 恒成立，求实数a的取值范围； ⑶ 证明对一切 ，都有 成立． 【范例15】某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有 、 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的 概率为 ，至少一项技术指标达标的概率为 ．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品. （1）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？ （2）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？ 【错解分析】遇到“至多”，“至少”问题我们通常求其对立事件的概率。 解：（1）设 、 两项技术指标达标的概率分别为 、 由题意得： 解得： 或 ，∴ . 即，一个零件经过检测为合格品的概率为 . （2）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为 【练习15】某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是 . 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响. （1）求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率； （2）求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通 过1次的概率； （3）工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率. (0, )x∈ +∞ 2 ( ) ( )f x g x≥ (0, )x∈ +∞ 1 2ln xx e ex > − A B 5 12 11 12 A B 1P 2P 1 2 1 2 1 2 5(1 ) (1 ) 12 111 (1 ) (1 ) 12 P P P P P P  ⋅ − + − ⋅ =  − − ⋅ − ⋅ = 1 2 3 2,4 3P P= = 1 2 2 3,3 4P P= = 1 2 1 2P PP= = 1 2 5 5 4 5 5 5 1 1 131 2 2 16C C   − − =       4 3 5 4 和 练习题参考答案： 1．C 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7． 8． 9．充要 10. 11. 12. 13. 解：（1） （2）依题意，得 ，而要 ，只要 对于 ， 时满足题意。 14．解：⑴ ， 当 ， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增． ① ，t无解； ② ，即 时， ； ③ ，即 时， 在 上单调递增， ； 所以 ． ⑵ ，则 ， 设 ，则 ， 当 ， ， 单调递增， ， ， 单调递减， 所以 ， 因为对一切 ， 恒成立，所以 ； ⑶ 问题等价于证明 ， 由⑴可知 的最小值是 ，当且仅当 时取到， 设 ，则 ， 2 2( 2) ( 1) 5x y− + − = nn Sa > 1− 2 ,12      2 4 4 1=a 0>x 27)( 9 ≥+ xx a 3 1 3≥+ xx a 0>a ∴ 3 1 3 1 3)4(322 ≥≥++ axx x a ∴ 9 4≥a '( ) ln 1f x x= + 1(0, )x e ∈ '( ) 0f x < ( )f x 1( , )x e ∈ +∞ '( ) 0f x > ( )f x 10 2t t e < < + < 10 2t te < < < + 10 t e < < min 1 1( ) ( )f x f e e = = − 1 2t te ≤ < + 1t e ≥ ( )f x [ , 2]t t + min( ) ( ) lnf x f t t t= = min 1 10 ( ) 1ln te ef x t t t e − < <=   ≥ ， ， 22 ln 3x x x ax≥ − + − 32lna x x x ≤ + + 3( ) 2ln ( 0)h x x x xx = + + > 2 ( 3)( 1)'( ) x xh x x + −= (0,1)x∈ '( ) 0h x < ( )h x (1, )x∈ +∞ '( ) 0h x > ( )h x min( ) (1) 4h x h= = (0, )x∈ +∞ 2 ( ) ( )f x g x≥ min( ) 4a h x≤ = 2ln ( (0, ))x xx x xe e > − ∈ +∞ ( ) ln ( (0, ))f x x x x= ∈ +∞ 1 e − 1x e = 2( ) ( (0, ))x xm x xe e = − ∈ +∞ 1'( ) x xm x e −= 易得 ，当且仅当 时取到， 从而对一切 ，都有 成立． 15．解：（1）记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过”为事件A1， （2）记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次”为事件A2，“连续3个月参加技能测 试，乙工人恰好通过1次”为事件B1，则 两人各连续3月参加技能测试，甲工人恰好2次通过且乙工人恰好1次通过的概率为 （3）记“乙恰好测试4次后，被撤销上网资格”为事件A3， 高考数学易错题解题方法大全（4） 一.选择题 【范例1】掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为（ ） A． B． C． D． 答案：D 【错解分析】此题主要考查用枚举法计算古典概型。容易错在不细心而漏解。 【解题指导】求古典概型的概率常采用用枚举法，细心列举即可。 【练习1】矩形 中, ,在矩形内任取一点 ,则 的概率为（ ） A． B． C． D． 【范例2】将锐角为 且边长是2的菱形 ，沿它的对角线 折成60°的二面角，则（ ） ①异面直线 与 所成角的大小是 . ②点 到平面 的距离是 . A．90°， B．90°， C．60°， D．60°，2 max 1( ) (1)m x m e = = − 1x = (0, )x∈ +∞ 1 2ln xx e ex > − .125 61)5 4(1)(1)( 3 11 =−=−= APAP ,64 9)4 31()4 3()(,125 48)5 41()5 4()( 21 32 22 32 =−⋅⋅==−⋅⋅= CBPCAP .500 27 64 9 125 48)()()( 2222 =×== BPAPBAP .500 27 .64 3)4 1(4 3 4 1)4 1()4 3()( 222 3 =⋅⋅+⋅=AP 6 1 2 1 3 2 6 5 ABCD 7,6 == CDAB P π 2APB∠ > 28 31 π− 28 3π 14 3π 14 31 π− 060=∠BAD ABCD BD AC BD C ABD 2 3 2 2 3 答案：A 【错解分析】此题容易错选为C，错误原因是对空间图形不能很好的吃透。。 【解题指导】设 中点为 ，则有 ，则 .及平面 .且 是边长为 的正三角形，作 ，则 ，于是异面直线 所成的角是90°，点 到平面 的距离是 . 【练习2】长方体ABCD— A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与 AE所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【范例3】已知P为抛物线 上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是 ，则 的最小值是（ ） A 8 B C 10 D 答案：B 【错解分析】此题容易错选为C，在解决抛物线的问题时经常需要把到焦点的距离和到准线的 距离互相转化。 【解题指导】抛物线 的焦点为 ，点P到准线的距离为d。则 ，所以当P，A，F三点共线时最小为 . 【练习3】已知定点 ，点P为抛物线 上一动点，点P到直线 的距离为 ，则|PA|+d的最小值为（ ） A．4 B． C．6 D． 【范例4】函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：C BD O AOCBD 平面⊥ ACBD ⊥ AOCABD 平面⊥ AOC∆ 3 AOCE ⊥ ABDCE 面⊥ ACBD与 C ABD 2 3=CE 10 10 10 30 10 60 10 103 2 2 1 xy = )2 17,6( PMPA + 2 19 2 21 yx 22 =      − 2 1,0F 2 1 2 1 −+=−+=+ PFPAdPAPMPA 2 19 2 1 =−AF )4,3(A xy 42 = 1−=x d 52 328 − ]2,0[,sin2sin)( π∈+= xxxxf ky = k { }31 <<− kk { }31 ≤≤ kk { }31 << kk { }31 <≤ kk A BC D A1D1 C1 B1 【错解分析】此题容易错选为A，错误原因是对函数 不能合理的化为 。 【解题指导】作函数 和直线 的草图，借助数形结合，可得， . 【练习4】函数 在区间 上是增函数，且 则cos 的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. －1 【范例5】平面上有 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成 块区域，有 ，则 的表达式为（ ） A、 B、 C、 D、 答案：B 【错解分析】此题容易错选为A，错误原因是在作归纳猜想时没有认真审题只看到 导致结论太片面且不合理。 【解题指导】由 ， 利用累加法，得 . 【练习5】古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第3 0个三角数与第28个三角数的差为（ ） A. 20 B. 29 C. 30 D. 59 【范例6】函数f（x）=3x（x≤2）的反函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【错解分析】此题容易错选为D，错误原因是对原函数与反函数理解不透。 【解题指导】反函数的定义域即为原函数的值域，所以求原函数的值域即可。 【练习6】若函数f(x)的反函数 则 = （ ） A．1 B．－1 C．1或－1 D．5 二.填空题 【范例7】若 ，则 = . )(xf 3sin , [0, ]( ) sin 2 sin sin , ( ,2 ] x xf x x x x x ∈ π= + = − ∈ π π )(xf ky = 31 << k xxf sin)( = [ ]ba, ,1)(,1)( =−= bfaf 2 ba + 2 2 n )(nf (1) 2, (2) 4, (3) 8, (4) 14f f f f= = = = )(nf n2 22 +− nn )3)(2)(1(2 −−−− nnnn 4105 23 −+− nnn (1) 2, (2) 4, (3) 8,f f f= = = (2) (1) 2, (3) (2) 4, (4) (3) 6,f f f f f f− = − = − =  ( 1) ( ) 2f n f n n+ − =猜想 2)( 2 +−= nnnf ( ,9]−∞ [9, )+∞ (0,9] (0, )+∞ ),0(1)( 21 <+=− xxxf )2(f }1log|{},822|{ 2 >∈=≤≤∈= xRxBZxA x BA ∩ 答案： 【错解分析】此题容易错填为 ，错误原因是没有看清楚A中的元素要是整数。 【解题指导】 【练习7】已知集合 ，集合 的子集共有 个. 【范例8】给出下列命题 ① 向量 满足 ，则 的夹角为 ； ② ＞0，是 的夹角为锐角的充要条件； ③ 将函数y = 的图象按向量 =(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y = ； ④ 若 ，则 为等腰三角形； 以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上） 答案：③④ 【错解分析】此题容易错选为①②，错误原因是对一些特殊情况考虑不周到。 【解题指导】利用向量的有关概念，逐个进行判断切入， 对于 ① 取特值零向量错误，若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确； 对②取特值夹角为直角错，认识数量积和夹角的关系，命题应为 ＞0，是 的夹角为锐角的必要条件； 对于③，注意按向量平移的意义，就是图象向左移1个单位，结论正确； 对于④；向量的数量积满足分配率运算，结论正确. 【练习8】已知 ， ，则 的最小值等于 . 【范例9】已知抛物线 到其焦点的距离为5，双曲线 的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线 垂直，则实数 . 答案： 【错解分析】此题容易错在抛物线不能求对，下面就无法解决了。 【解题指导】抛物线为 ， ，渐进线为 . )1)0(22 mMppxy ，（上一点>= 1 2 2 =− a yx 1 4 { }3 ( ]13， { } { }2,3,2,1 >== xxBA   ∈−∈= NxNxA 6 8| A a b 、 a b a b= = −    与a a b+   030 a • b a b 、 1−x a x )( →−→− + ACAB 0)( =−⋅• →−→− ACAB ABC∆ a • b a b 、 1 3( , )2 2a = − (1, 3)b = | | ( )a tb t R+ ∈  AM =a xy 162 = 1±=m xay ±= 【练习9】一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是 . 在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃的半径 的范围为 . 【范例10】若 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 . 答案：20 【错解分析】此题容易错在找不对第几项是常数项，对二项展开式的基本性质还要掌握好。 【解题指导】 . 【练习10】若 的展开式中第三项系数等于6，则n等于 . 【范例11】如果复数 的实部和虚部相等，则实数 等于 . 答案： 【错解分析】此题容易错写1，切记： 。 【解题指导】 . 【练习11】设 ，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为 ，第二次得到的点数为 ，则使复数 为纯虚数的概率为 ． 【范例12】已知函数 在定义域内是增函数,则实数 的取值范围为____． 答案： 。 【错解分析】此题容易错填 等，错误原因是对利用 求解。 【解题指导】注意区别不等式有解与恒成立： ； ； ； 在 上恒成立， 所以 所以 . 3 62 64, 6, 20n n C= = =常数项为 )200(22 ≤≤= yyx r n xx )1( + 1( ) 11 nx − )2)(1( iai ++ a 3 1 2 1i = iaaiai )21()2()2)(1( ++−=++ Rbabiaz ∈+= ,, z a bi= + a b 2z ( ) xxmxxf 2ln2 −+= m 1 2m≥ 1 2m> ' 0f > max( ) ( )a f x a f x> ⇔ >恒 成 立 min( ) ( )a f x a f x< ⇔ <恒成立 min( ) ( )a f x a f x> ⇔ >有解 max( ) ( )a f x a f x< ⇔ <有解 ( ) 0212/ ≥−+= xmxxf ( )+∞,0 ,1 2 1 2 xx m +−≥ max2 )1 2 1( xxm +−≥ 1 2m≥ 【练习12】已知函数 的导函数 ，且 的值为整数，当 时， 的值为整数的个数有且只有1个，则 = . 三.解答题 【范例13】设数列 的前n项和为 ， 为等比数列，且 （1）求数列 和 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前n项和 。 【错解分析】（1）求数列 的通项公式时，容易遗忘对n=1情况的检验。 （2）错位相减法虽然是一种常见方法，但同时也是容易出错的地方，一定要仔细。 解：（1）当 故 的通项公式为 的等差数列. 设 的通项公式为 故 （2） 两式相减得： 【练习13】设等比数列{ }的前 项和 ，首项 ，公比 . (1)证明： ； (2)若数列{ }满足 ， ，求数列{ }的通项公式； ( )f x ' ( ) 2 9f x x= − (0)f ( , 1]x n n∈ + *( )n N∈ ( )f x n }{ na 22nSn = }{ nb .)(, 112211 baabba =−= }{ na }{ nb n n n b ac = }{ nc nT { }na 1 11 , 2;n a S= = =时 ,24)1(22,2 22 1 −=−−=−=≥ − nnnSSan nnn时当 }{ na 4,2}{,24 1 ==−= daana nn 公差是即 }{ nb .4 1,4,, 11 =∴== qdbqdbq 则 . 4 2}{, 4 12 11 1 1 −− − =×−= nnnn n n bbqbb 的通项公式为即 ,4)12( 4 2 24 1 1 − − −=−== n n n n n nn b ac ]4)12(4)32(454341[4 ],4)12(45431[ 132 121 21 nn n n nn nnT ncccT −+−++×+×+×= −++×+×+=+++=∴ − −   ].54)56[(9 1 ]54)56[(3 14)12()4444(213 1321 +−=∴ +−=−+++++−−= − n n nnn n nT nnT  na n nS 1 1a = ( ) ( 1,0)1q f λλ λλ= = ≠ −+ (1 )n nS aλ λ= + − nb 1 1 2b = * 1( )( , 2)n nb f b n N n−= ∈ ≥ nb AB C A1B1 C1 O AB C A1B1 C1 O H M N (3)若 ，记 ，数列{ }的前项和为 ，求证：当 时， . 【范例14】已知斜三棱柱 的各棱长均为2， 侧棱 与底面 所成角为 ， 且侧面 底面 . （1）证明：点 在平面 上的射影 为 的中点； （2）求二面角 的大小 ； （3）求点 到平面 的距离. 【错解分析】对于立体几何的角和距离，一定要很好的理解“作，证，”三个字。 你做到了吗？ 解：（1）证明：过B1点作B1O⊥BA。∵侧面ABB1A1⊥底面ABC ∴A1O⊥面ABC ∴∠B1BA是侧面BB1与底面ABC倾斜角∴∠B1BO= 在Rt△B1OB中，BB1=2，∴BO= BB1=1 又∵BB1=AB，∴BO= AB ∴O是AB的中点， 即点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点. （2）连接AB1过点O作OM⊥AB1，连线CM，OC， ∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA1BB1 ∴OC⊥平面AABB.∴OM是斜线CM在平面AA1B1B的射影 ∵OM⊥AB1∴AB1⊥CM ∴∠OMC是二面角C—AB1—B的平面角 在Rt△OCM中，OC= ，OM= ∴∠OMC= ∴二面角C—AB1—B的大小为 （3）过点O作ON⊥CM，∵AB1⊥平面OCM，∴AB1⊥ON ∴ON⊥平面AB1C。∴ON是O点到平面AB1C的距离 连接BC1与B1C相交于点H，则H是BC1的中点,∴B与C1到平面ACB1的相导。 又∵O是AB的中点 ∴B到平面AB1C的距离是O到平面AB1C距离的2倍 1λ = 1( 1)n n n c a b = − nc nT 2n ≥ 2 4nT≤ < 111 CBAABC − 1BB ABC 3 π ⊥11 AABB ABC 1B ABC O AB BABC −− 1 1C ACB1 3 π 2 1 2 1 3 2tan,2 3 ==∠∴ OM OCOMC .2arctan .2arctan 5 15 2 15 2 33 2 8 4 33.2 3,3, = × =⋅=∴ =+=∴==∆ CM OCOMON CMOMOCOMCRt 中在 ∴点 到平面AB1C距离为 【练习14】如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点A到面ECD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为 . 【范例15】设函数 （1）求函数 的极值点； （2）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有 ，求p的取值范围； （3）证明： 【错解分析】（1）对于p的正负的讨论是容易出错的地方。 （2）恒成立问题的解决要灵活应用 （3）放缩法在数列中的应用是此题的难点 解：（1） ， 当 上无极值点 当p>0时，令 的变化情况如下表： x (0， ) + 0 － ↗ 极大值 ↘ 从上表可以看出：当p>0 时， 有唯一的极大值点 （2）当p>0时在 处取得极大值 ，此极大值也是最大值， 要使 恒成立，只需 ， ∴ 1C .5 152 4 π ( ) ln 1f x x px= - + ( )f x 0)( ≤xf ).2,()1(2 12ln 3 3ln 2 2ln 2 2 2 2 2 2 2 ≥∈+ −−<+++ nNnn nn n n  ),0()(,1ln)( +∞∴+−= 的定义域为xfpxxxf x pxpxxf −=−=′ 11)( ),0()(,0)(0 +∞>′≤ 在时， xfxfp xxfxfpxxf 随、， )()(),,0(10)( ′+∞∈=∴=′ 1 p 1 p 1( , )p +¥ '( )f x ( )f x ( )f x px 1= 1x=p 1 1( ) lnf p p= ( ) 0f x £ 1 1( ) ln 0f p p= £ 1p ³ ∴p的取值范围为[1，+∞ （3）令p=1，由（2）知， ∴ ， ∴ ∴ ∴结论成立 【练习15】设 （1）求a的值，使 的极小值为0； （2）证明：当且仅当a=3时， 的极大值为4。 练习题参考答案： 1．D 2．B 3．B 4．C 5．D 6．B 7．8 8． 9． 10. 12 11. 12. 4 13. 解 (1) ) 2,1ln,01ln ≥∈−≤∴≤+− nNnxxxx ， 1ln 22 −≤ nn 22 2 2 2 111ln nn n n n −=−≤ )11()3 11()2 11(ln 3 3ln 2 2ln 2222 2 2 2 2 2 nn n −++−+−≤+++  )1 3 1 2 1()1( 222 nn +++−−=  ))1( 1 43 1 32 1()1( +++×+×−−< nnn  )1 11 4 1 3 1 3 1 2 1()1( +−++−+−−−= nnn  )1(2 12)1 1 2 1()1( 2 + −−=+−−−= n nn nn ).442(3 1)( 2 aaxxexf x ++= − )(xf )(xf 3 2 10 ≤< r 6 1 1 11 [1 ( ) ](1 ) 1 (1 )[1 ( ) ] (1 ) ( )1 1 11 1 n n n n n aa qS q λ λ λλ λ λ λλ λ λ λ − −− += = = + − = + −− + +− + 而 所以 (2) , , 是首项为 ,公差为1的等差数列,所以 ,即 . (3) 时, , 相减得 , 又因为 , 单调递增, 故当 时, . 14．（1）证明：连 ， 在长方体ABCD—A1B1C1D1中， 为 在平面 的射影， 而AD=AA1=1，则四边形 是正方形 ， 由三垂线定理得D1E⊥A1D （2）解：以点D为原点，DA为 轴，DC为 轴建立如图所示的直角坐标系。则 、 、 、 则 ， ， ，设平面 的法向量为 ，记 点A到面ECD1的距离 （3）解：设 则 ，设平面 的法向量为 1 1 1( ) ( )1 1 n n na a λ λ λ λ − −= =+ + (1 )n nS aλ λ= + − ( ) 1f λλ λ= + 1 1 1 1 1, 11 n n n n n bb b b b − − − ∴ = ∴ = ++ 1{ } nb ∴ 1 1 2b = 1 2 ( 1) 1 n n nb = + − = + 1 1nb n = + 1λ = 11( )2 n na −= 11 1( 1) ( )2 n n n n c a nb −∴ = − = 2 11 1 11 2( ) 3( ) ( )2 2 2 n nT n −∴ = + + + + 2 31 1 1 1 12( ) 3( ) ( )2 2 2 2 2 n nT n∴ = + + + + 2 11 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) 2[1 ] ( )2 2 2 2 2 2 n n n n nT n n−∴ = + + + + − = − − 1（ ） 2 2 11 14 ( ) ( ) 42 2 n n nT n− −∴ = − − < 11( ) 02 n nc n −= > nT∴ 2 2,nT T∴ ≥ = 2n ≥ 2 4nT≤ < 1AD 1AD 1D E 1AD 1 1ADD A 1 1A D AD⇒ ⊥ x y (1,0,0)A (1,1,0)E (1,2,0)B (0,2,0)C 1(0,0,1)D (0,1,0)AE = ( 1,1,0)EC = − 1 (0,2, 1)D C = − 1D EC 1 ( , , )n x y z= ∴ 1 1 1 0 0 : : 1:1: 22 00 n EC x y x y zy zn D C  ⋅ = − + = ⇒ ⇒ =  − =⋅ =      1 (1,1,2)n = ∴ 1 1 | | 1 6 6| | 6 AE nd n ⋅= = =    0(1, ,0)E y 0( 1,2 ,0)EC y= − − 1D EC 1 ( , , )n x y z= ，记 而平面ECD的法向量 ，则二面角D1—EC—D的平面角 。 当AE= 时，二面角D1—EC—D的大小为 . 15．解：（1） 令 时，无极值。 （1）当 的变化情况如下表（一） x （－ ,0） 0 （0，2－2a） 2－2a （2－2a,+ ） － 0 + 0 － ↘ 极小 值 ↗ 极大值 ↘ 此时应有 （2）当 的变化情况如下表（二） x （－ ,2－2a） 2－2a （2－2a，0 ） 0 （0+ ） － 0 + 0 － ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 此时应有 综上所述，当a=0或a=2时， 的极小值为0。 （2）由表（一）（二）知 取极大值有两种可能。 由表（一）应有 ， ∴ 1 0 0 1 1 0 (2 ) 0 : : (2 ) :1: 22 00 n EC x y y x y z yy zn D C  ⋅ = − + − = ⇒ ⇒ = −  − =⋅ =      1 0((2 ),1,2)n y= − 2 (0,0,1)n = 1 2, 4n n πθ =< >=  ∴ 1 2 02 2 2 1 2 0 2 2cos 2 32| | | | (2 ) 1 2 1 n n y n n y θ ⋅= = = ⇒ = − ⋅ − + + ⋅     ∴ 2 3− 4 π )442(3 1 3 1)44()( 2 aaxxeeaxxf xx ++−⋅+=′ − ],)44(2[3 1 2 xaxe x −+= − 1,022,2200)( ==−−===′ aaaxxxf 即当或解得 )(),(,1,022 xfxfaa ′<>− 时即 ∞ ∞ )(xf ′ )(xf 10,0)( <== axf 得 )(),(,1,022 xfxfaa ′><− 时即 ∞ ∞ )(xf ′ )(xf 即,0)22( =− af 03 1 )22( ≠−− ae .120]4)22(4)22(2[ 2 >==+−+−∴ aaaaa 即 )(xf )(xf 4)22( =− af 即 则 此时g（a）为增函数， 不能成立。 若a>1，由表（二）知，应有 综上所述，当且仅当a=3时， 有极大值4. 高考数学易错题解题方法大全（5） 【范例1】已知命题 ， ．若命题 是假命题，则实数 的取值范围是（ ） A． B. C. D. 答案：D 【错解分析】此题容易错选为B，错误的原因是没有很好的利用原命题与其否命题的关系。 【解题指导】命题 是假命题 ┓ 是真命题 对任意 ， 恒成立 . 【练习1】若 或 是假命题，则 的取值范围是（ ） A． B. C. D. 【范例2】若函数 在定义域上为奇函数，则 （ ） A． B. C. D. 答案：C 【错解分析】此题容易错选为A，错误原因是直接利用了 ，万万不可。 :p Rx ∈∃ 022 ≤++ aaxx p a p p [ ]2,5x∈“ { }1 4x x x x∈ < >或 ” x [ )1 2， 4]4)22(4)22(2[3 1 2)22( =+−+−−− aaaae a ,)2()(,3)2( 2222 −− −==−∴ aa eaagae 设 ),23()2(2)( 222222 aeaeeag aaa −=−+−=′ −−− ,1′∴ ag 3)2(.3)1()(,1 22 =−=<<∴ − aegaga a即时 .3,4)0( == af 即 )(xf 10 >< aa 或 10 ≥≤ aa 或 10 ≤≤ a 10 << a ⇔ ⇔ x R∈ 2 2 0x ax a+ + > 24 4 0 0 1a a a⇔ ∆ = − < ⇔ < < ( ) ( )+∞∪∞− ,51, [ )5,4 ( ] ( )+∞∪∞− ,54, )(21 2)( 为常数ak kxf x x ⋅+ −= 的值为k 1 1− 1± 0 0)0( =f Read x If x<5 Then y← x2+1 Else y←5x Print y 【解题指导】利用定义： ， 仔细化简到底。 【练习2】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图象如图所示，则不等式 的解集是 （ ） A． B． C． D． 【范例3】右图是由所输入的 值计算 值的一个算法程序，若 依次取数列 （ ，n≤2009）的项，则所得 值中的最小值为（ ） A．25 B.17 C. 20 D. 26 答案：B 【错解分析】此题容易错选为A，错误原因是没有理解 的取值范围。 【解题指导】 ，又 作出其图象，观察单调性可知当 时最小17. 本题在新的情境中考查学生算法语言，是比较好的创新能力试题，值得重视. 【练习3】根据如图所示的伪代码,可知输出的结果T为（ ）A．624 B.625 C.676 D.1275 【范例4】当 时, 且 ,则不等式 的解集是（ ） A． B. C. D. 答案：D 【错解分析】此题容易错选为B，错误原因是忘记了条件 。 【解题指导】 . 0)()( =+− xfxf 2 2( ) ( ) 1 2 1 2 x x x x k kf x f x k k − − − −+ − = ++ ⋅ + ⋅ )(xf )3,3( − 30 << x )(xf / ( )cos 0f x x < )3,2()1,0()2,3( ππ −− )3,2()1,0()1,2( ππ −− ( ,2) ( 2, )2 2 π π− − (0, ) ( ,0)2 2 π π− x y x { } 2 4n n + n∈ *N y x 4442 ≥+=+ nnn n    ≥ <+= 55 512 xx xxy 4=x 1a < 12)( −−=′ axxf af =)0( ( ) 0f x <       +< 2 1axx { }1x x a< < { }1>< xaxx 或 { | 1}x a x< < 1a < 0))(1()1()( 2 <−−=++−= axxaxaxxf T←1 I←3 While I<50 T←T +I I←I +2 End While Print T x y O 1 3 。 。 2 . 【练习4】曲线 在 处的切线在 轴上的截距分别为 ，则 =（ ） A． B． C． D． 【范例5】利用计算机在区间 上产生两个随机数 和 ，则方程 有实根的概率为（ ） A．0 B． C． D．1 答案：B 【错解分析】此题容易出现的错误很多，主要是对方程 有实根进行有效的转化，和利用作图计算几何概型理解不好。 【解题指导】方程 有实根等价于 的判别式 ，即 由 ，可作出正方形，应满足的条件为 ，画图计算面积之比. 【练习5】一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点距 离都大于1的地方的概率为（ ） A. B. C. D. 【范例6】若数列 、的通项公式分别是 ， ，且 ，对任意 恒成立，则常数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案：A 【错解分析】此题容易错在不知道讨论奇偶性，以及 是偶数时，要从2开始。 【解题指导】当 是奇数时，由 得 ， ； 当 是偶数时，由 得 ， ， 因此常数 的取值范围是 . 【练习6】已知数列 的通项公式是 （其中 ）是一个单调递减数列，则常数 的取值范围（ ） A. （-∞，1） B. （-∞，2） C. （-∞，0） D. （-∞，3） lny x x= ( , )M e e ,x y ,a b a b+ 3 2 e− 1 2 e− 1 2 e 3 2 e ( )0,1 a b 2 bx a x = − 1 2 4 3 2 bx a x = − 2 bx a x = − 022 =+− bxax 0≥∆ ba ≥    << << 10 10 b a ba ≥ 5 4 5 3 60 π 3 π { } { },n na b aa n n ⋅−= +2007)1( nb n n 2008)1(2 +−+= nn ba < n N ∗∈ a [ )1,2− [ )+∞− ,2 [ ]1,2− ( )1,∞− n n nn ba < 12a n < − 1a < n nn ba < 12a n − < + 2, 2a a− ≤ ≥ − a [ )1,2− { }na nnan λ+−= 2 ∗∈ Nn λ 【范例7】曲线 和直线在 在 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 ,则 等于 . 答案： 【错解分析】此题容易错选为 ，错误原因是想当然的认为 是半个周期。 【解题指导】 ，作出函数图象，知 . 【练习7】函数 ，对于任意的x∈R，都有 ，则 的最小值为 . 【范例8】幂函数 ，当 取不同的正数时，在区间 上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点 ,连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数 的图像三等分，即有 那么，= . 答案：1 【错解分析】此题容易错很多，错误的主要原因是没有考虑到借助与点M，N 的坐标去求两个幂函数 。 【解题指导】因为M，N为A，B的三等分点，所以 【练习8】如果幂函数 的图象不过原点，则 的取值是 . 【范例9】 ， ， ，且 ，求实数 的取值范围 . 答案： 【错解分析】此题容易错填 ，错误原因是漏掉考虑A为空集的情况。 【解题指导】 或 【练习9】设 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 . 【范例10】设双曲线 的两条渐近线与直线 围成的三角形区域（包含边界）为D，点 为D内的一个动点，则目标函数 的最小值为 ． 答案：－ 2{ | 3 10 0}A x x x= − − > { | 1 2 1}B x a x a= + ≤ ≤ − U R= a ( ,3]−∞ 0)1)((:;1|34:| ≤−−−≤− axaxqxp p q a )4cos()4sin(2 ππ −+= xxy 2 1=y y ,3,2,1 PPP 4,2 PP π 2 π 2, 4P P xy 2sin1+= π== TPP 4,2 xxf 2sin2 1)( = )()()( 21 xfxfxf ≤≤ 21 xx − αxy = α [ ]1,0 )1,0(),0,1( BA βα xyxy == , .NAMNBM == βα xyxy == , )3 1,3 2(),3 2,3 1( NM 12 2 )33( −−+−= mmxmmy m ACB U⊆ [ ]3,3− 2{ 3 10 0} { 2 5}UC A x x x x x= − − ≤ = − ≤ ≤ 1 2 1UB C A a a⊆ ⇔ + > − 2 1 2 1 5a a− ≤ + ≤ − ≤ 3a⇔ ≤ 2 2 1x y− = 2 2x = ( , )P x y 2z x y= − 2 2 O N M y B A x 【错解分析】此题容易错填 ，错误原因是死记住最高点时取到最大值，最低点时取到最小值，而没有灵活掌握。 【解题指导】这里 ，中间是减号，最小值在直线最高时取得。 【练习10】若不等式组 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则 的取值范围是 ． 【范例11】已知 是抛物线 上一点， 是圆 上的动点，则 的最小值是 . 答案： 【错解分析】此题容易错在没有将 转化 为到焦点距离，以及考虑不到消元化归的思想。 【解题指导】如图，设 是 上一点， ，所以 的最小值即为 点 到圆心 的距离减去半径 。 设 是抛物线 上一点，则 ， ∴ 时， ，∴ 【练习11】已知曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲 线离心率的取值范围是 . 【范例12】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付 费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千 米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元。现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出 租车行驶了__ ___km. 3 2 2 2z x y= −       ≤+ ≥ ≤+ ≥− ayx y yx yx 0 22 0 a M xy =2 N 1)3( 22 =+− yx MN 12 11 − MN M M xy =2 |||||| MCNCMN ≥+ MN M C R ),( 2 yyM xy =2 242222 5)3(|| yyyyMC −=+−= 4 11)2 5(9 22 +−=+ y 2 10±=y 2 11|| min =MC .12 11|| min MN −= )0,0(12 2 2 2 >>=− ba b y a x 答案：9 【错解分析】此题容易错选为10，错误原因是不能准确地列出乘坐一次出租车付费 与此次出租车行驶的里程 之间的函数关系式。 【解题指导】乘坐一次出租车付费 与此次出租车行驶的里程 之间的函数关系式为 【练习12】一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血 液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》 规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过 小时，才能开车？（精确到1小时）. 【范例13】 高考数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的.评分 标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分.” 某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可 判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只 能乱猜，试求出该考生： （1）得50分的概率； （2）得多少分的可能性最大； 【错解分析】此题容易错在审题不清，考虑不全等方面。 解：（1）得分为50分，10道题必须全做对. 在其余的四道题中，有两道题答对的概率为 ，有一道题答对的概率为 ，还有一道答对的概率为 ，所以得分为50分的概率为：P＝ （2）依题意，该考生得分的范围为｛30，35，40，45，50｝. 得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率为： 同样可以求得得分为35分的概率为： 得分为40分的概率为： ; 得分为45分的概率为： ; 得分为50分的概率为： 所以得35分或得40分的可能性最大. 【练习13】某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同。假定每盏灯能否 正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概 率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换。 （1）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍和更换2只灯棍的概率； （2）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率； 1 2 1 3 1 4 1 1 1 1 1 .2 2 3 4 48 ⋅ ⋅ ⋅ = 1 1 1 2 3 6 1;2 2 3 4 48 8P = ⋅ ⋅ ⋅ = = 1 2 2 1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 2 1 17 ;2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48P C= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 3 17 48P = 4 7 48P = 5 1 .48P = y x y x    >+×−+×+ ≤<+×−+ ≤+ = 8186.2)8(15.258 83115.2)3(8 318 xx xx x y 【范例14】已知椭圆 的离心率为 ，直线 : 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆 的方程； （2）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程； （3）设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 求 的取值范围. 【错解分析】直线与圆锥曲线的题目本身运算量就大，所以大家 应该从全局入手，确定方法在下手，不能盲目去写，那样只能做无用功。 解（1）∵ ∵直线 相切， ∴ ∴ ∴椭圆C1的方程是 （2）∵MP=MF2， ∴动点M到定直线 的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，即动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ∴点M的轨迹C2的方程为 （3）Q（0，0），设 ∴ ∵ ∴ ∵ ，化简得 ∴ 当且仅当 时等号成立 ∵ ∴当 的取值范围是 【练习14】设动点 到定点 的距离比它到 轴的距离大1，记点 的轨迹为曲线 . （1）求点 的轨迹方程； 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 3 l 2y x= + 1C 1C 1C 1F 2F 1l 1F 2l 1l P 2PF 2l M M 2C 2C x Q SR, 2C 0,QR RS⋅ =  QS 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1, , 2 33 3 c a be e a ba c −= ∴ = = = ∴ = 22202: byxyxl =+=−− 与圆 2,2, 2 2 2 ==∴= bbb 32 =a 123 22 =+ yx 1:1 −=xl xy 42 = ),4(),,4( 2 2 2 1 2 1 yySyyR ),4(),,4( 12 2 1 2 2 1 2 1 yyyyRSyyQR −−== 0=⋅ RSQR 0)(16 )( 121 2 1 2 2 2 1 =−+− yyyyyy 0, 121 ≠≠ yyy )16( 1 12 yyy +−= 6432256232256 2 1 2 1 2 2 =+≥++= yyy 4,16,256 1 2 12 1 2 1 ±=== yyyy 6464)8(4 1)4(|| 2 2 22 2 2 2 2 2 2 ≥−+=+= yyyyQS ，又 ||58||8,64 min2 2 2 QSQSyy ，故时， =±== ),58[ +∞ ( , ) ( 0)P x y y ≥ F (0,1) x P C P （2）设圆 过 ，且圆心 在曲线 上， 是圆 在 轴上截得的弦，试探究当 运动时，弦长 是否为定值？为什么？ 【范例15】如图,四棱锥 的底面是边长为 的菱 形, , 平面 , . （1）求直线PB与平面PDC所成的角的正切值; （2）求二面角A－PB－D的大小. 【错解分析】交代清楚哪个角是我们要找的角，然后去证明，是大家容易忘记的地方，而不 能只有计算的结果。 解：（1）取DC的中点E. ∵ABCD是边长为 的菱形, ，∴BE⊥CD. ∵ 平面 , BE 平面 ，∴ BE. ∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角. ∵BE= ，PE= ,∴ = = . （2）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD. ∵ 平面 , AO 平面 ， ∴ PD. ∴AO⊥平面PDB. 作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB. 故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角. ∵AO= ，OF= ，∴ = .∴ = . 【练习15】在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足 （如图1）.将△AEF沿EF折起到 的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2） （1）求证：A1E⊥平面BEP； （2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小； （3）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）. M A (0, 2) M C EG M x M EG ABCDP − a 60=∠DAB ⊥PD ABCD ADPD = a 60=∠DAB ⊥PD ABCD ⊂ ABCD ⊥PD 3 2 a 5 2 a tan BPE∠ BE PE 15 5 ⊥PD ABCD ⊂ ABCD AO ⊥ 3 2 a 2 4 a tan AOAFO OF ∠ = 6 AFO∠ arctan 6 AE EB = 1 2 CF CP FA PB = = EFA1∆ 图1 图2 Ｅ Ｂ Ｐ Ｃ Ｆ 1AA P F E CB Ｄ A B CD P 练习题参考答案： 1．C 2．C 3．B 4．B 5．A 6．D 7． 8．1 9． 10. 11. 12. 5 13. 解：（1）设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为P2，需要列换2只灯棍的概率 为p2则 （2）假设该盏灯需要更换灯棍的概率为p，对该盏灯来说，设在第1，2次都更换了灯棍的概率 为 ；在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为 则 14．解：（1）依题意知，动点 到定点 的距离等于 到直线 的距离，曲线 是以原点为顶点， 为焦点的抛物线 ∵ ∴ ∴ 曲线 方程是 （2）设圆的圆心为 ，∵圆 过 ， ∴圆的方程为　 　 令 得： 设圆与 轴的两交点分别为 ， 方法1：不妨设 ，由求根公式得 ， ∴ ]2 1,0[ 152.08.0 3 1 ==P 096.0)8.01(8.0 22 32 =−= CP 3p 4p ;6.0)3.01(8.0)8.01( 2 43 =−+−=+= ppp 2 π 3 410 ≥≤< aa 或 [ )∞+,2 P F (0,1) P 1y = − C F (0,1) 12 p = 2p = C 2 4x y= ( , )M a b M A (0, 2) 2 2 2 2( ) ( ) ( 2)x a y b a b− + − = + − 0y = 2 2 4 4 0x ax b− + − = x 1( ,0)x 2( ,0)x 1 2x x> 2 1 2 4 16 16 2 a a bx + − += 2 2 2 4 16 16 2 a a bx − − += 2 1 2 4 16 16x x a b− = − + 又∵点 在抛物线 上，∴ ， ∴ ，即 ＝4 ∴当 运动时，弦长 为定值4 〔方法2：∵ ， ∴ 又∵点 在抛物线 上，∴ ， ∴ ∴当 运动时，弦长 为定值4〕 15．解：不妨设正三角形 的边长为3，则 （1）在图1中，取 中点 ，连结 ， 则∵ , ∴ 而 ，即△ 是正三角形 又∵ , ∴ ∴在图2中有 , , ∴ 为二面角 的平面角 ∵二面角 为直二面角,　∴ 又∵ ,　∴ ⊥平面 ,即 ⊥平面 . （2）由（1）问可知A1E⊥平面BEP，BE⊥EF,建立如图的坐标系，则Ｅ（0，0，0），A1（ 0，0，1）B（2，0，0），F（0，0， ）.在图１中，不难得到ＥF//ＤP且ＥF＝ＤP；ＤＥ// FP且ＤＥ＝FP 故点Ｐ的坐标Ｐ（1， ，0） ∴ ， ， 不妨设平面A1BP的法向量 ，则 令 得 ∴ ( , )M a b 2 4x y= 2 4a b= 1 2 16 4x x− = = EG M EG 1 2 2x x a+ = 1 2 4 4x x b⋅ = − 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x− = + − ⋅ 2 2(2 ) 4(4 4) 4 16 16a b a b= − − = − + ( , )M a b 2 4x y= 2 4a b= 2 1 2( ) 16x x− = 1 2 4x x− = M EG ABC BE D DF 1 2 AE CF CP EB FA PB = = = 2AF AD= = 060A∠ = ADF 1AE ED= = EF AD⊥ 1A E EF⊥ BE EF⊥ 1A EB∠ 1A EF B− − 1A EF B− − 1A E BE⊥ BE EF E= 1A E BEF 1A E BEP 3 3 1 (2,0, 1)A B = − ( 1, 3,0)BP = − 1 (0,0,1)EA = 1 ( , , )n x y z= 1 1 1 2 0 3 0 A B n x z BP n x y  ⋅ = − = ⋅ = − =     3y = 1 (3, 3,6)n = 1 1 1 1 1 1 6 3cos , 2| | | | 1 4 3 n EAn EA n EA ⋅< >= = = ⋅ ×      故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为 . （3）由（2）问可知平面A1BP的法向量 ， ， 设平面AEP的法向量 ，则 令 得 　故 显然二面角B－A1P－F为钝角　　故二面角B－A1P－F为 . 高考数学易错题解题方法大全（6） 【范例1】若函数 在定义域 上的值域为[-3，1]，则区间 不可能为（ ） A．[0，4] B．[2，4] C．[1，4] D．[-3，5] 答案：D 【错解分析】此题容易错选为B，C，D，错误原因是没有借助图象很好的掌握定义域和值域的 关系。 【解题指导】注意到 ，结合函数 的图象不难得知 在[0，4]、[2，4]、[1，4]上的值域都为[-3，1]，而在[- 3，5]上的值域不是[-3，1]. 【练习1】已知函数 是定义在R上的奇函数，且 ，对任意 ，都有 成立，则 ( ) A．4012 B．4014 C．2007 D．2006 【范例2】已知全集 {大于 且小于10的整数}，集合 ， ，则集合 的元素个数有 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案：B I = 3− {0,1,2,3}A = { 4, 2,0,2,4,6,8}B = − − BACI )( 3 π 1 (3, 3,6)n = 1 (0, 3, 1)A F = − (1,0,0)FP = 2 ( , , )n x y z= 1 2 1 3 0 0 A F n y z BP n x  ⋅ = − = ⋅ = =     3y = 2 (0, 3,3)n = 1 2 1 2 1 2 21 7cos , 8| | | | 4 3 2 3 n nn n n n ⋅< >= = = ⋅ ×      7arccos 8 π − 14)( 2 +−= xxxf A A 1)4()0(,3)2(14)( 22 ==−−=+−= ffxxxxf )(xfy = )(xf ( )y f x= ( )1 2f = x R∈ ( ) ( )2 (2)f x f x f+ = + ( )2007f = 【错解分析】此题容易错选为C，错误原因是看清全集 {大于 且小于10的整数}，而不是大于等于 。 【解题指导】 ， , ,故集合 的元素个数有4个. 【练习2】设全集U是实数集R， ， ，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【范例3】下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案：A 【错解分析】此题容易错选为B，C，D，错误原因是没看清楚题目考查的是函数的两个性质。 【解题指导】本题主要考查三角函数、对数函数、指数函数、幂函数的基本性质.其中B在 其定义域内是奇函数但不是减函数;C是非奇非偶函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数 . 【练习3】函数 与 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） 【范例4】已知等差数列{an}的前n项和是 ，则使 成立的最小正整数 为（ ） A.2009 B.2010 C.2011 D.2012 答案： B 【错解分析】此题容易错选为A，C，D，错误原因主要是不能准确的根据等差数列求和公式的 性质求出 且 。 【解题指导】设数列 的公差是 ，则 ， 且 ， 且 ， I = 3− 3− { 2, 1,0, ,8,9}I = − −  3,y x x R= ∈ sin ,y x x R= ∈ lg , 0y x x= > 3 ,2 x y x R = ∈   { }9,8,7,6,5,4,1,2 −−=ACU { },8,6,4,2−=∩ BACU BACU ∩ { }2| 4M x x >＝ { }2|log ( 1) 1N x x= − < { }| 2 1x x− ≤ < { }| 2 2x x− ≤ ≤ { }|1 2x x< ≤ { }| 2x x < xxf 2log1)( += 12)( +−= xxg nanSn 22 1 82 −−= 2006−−<−=−−= nnnan 2006− 1mn m 时，圆面 被分成4块，涂色方法有120种，所以 的取值范围是 ，故选A. 【练习6】已知单位正方体 的对棱BB1、DD1上有两个动点E、F，BE=D1F=λ ，设EF与AB所成的角为 ，与BC所成的角为 ，则 + 的最小值（ ） A．不存在 B．等于60° C．等于90° D．等于120° 【范例7】若向量 不共线,且 , ,则向量 的夹角为 ． 答案：90° 【错解分析】此题容易错填的答案很多,主要是不能很好地领悟两向量我们主要研究了共线和垂 直两种情况,所以应该联想到借助数量积解决。 【解题指导】 . 【练习7】在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O，（0，0），A（1，1），且 ，则 . 【范例8】已知函数 的图象过点A（3，7），则此函数的最小值是 . 答案：6 【错解分析】此题主要考查创造条件利用均值不等式解题的能力,容易错在构造均值不等式上。 【解题指导】 . 【练习8】下列结论中正确的有 （1）当 时， 的最小值为2 （2） 时， 无最大值 （3）当 时， （4）当 时， 【范例9】若圆 关于直线 成轴对称，则 的范围是 . 答案： 22 <<− m 422 ≤+ yx )2,2(− m 1111— DCBAABCD      ≤λ< 2 10 α β α β a b → → 与 0a b → → • ≠ ( )a bc a b a a → → → → → → → •= − • ,a c → → 0=• →→ ca 1=•OCOA =• ACAB ( ) ( 2)2 af x x xx = + >− 624222 422 4)(,4 =+≥+−+−=−+== xxxxxfa 2x ≥ 1x x + 0 2x≤ ≤ 2 2x x−− 0x ≠ 1 2x x + ≥ 1x > 1lg 2lgx x + ≥ 2 2 2 4 0x y x y a+ + − + = 2y x b= + a b− ( ),1−∞ 【错解分析】此题容易错填为 ，错误原因是对二元二次方程表示圆的充要条件: 误以为 。 【解题指导】圆心（-1，2）在直线 上，所以b=4，又 表示圆的充要条件是 所以 .【练习9】已知向量 ，其向量 与 的夹角为 ，则直线 与圆 的位置关系是 . 【范例10】长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝4，AB＝3，则直线A1B与平面 A1B1CD所成角的正弦值是 . 答案： 【错解分析】此题容易错在线面角的寻找上。 【解题指导】由条件知，BC1 平面A1B1CD，设BC1 B1C＝O，则∠BA1O为所求角， 其正弦值为 ＝ 【练习10】在棱长为1的正方体ABCD-A B C D 的底面A B C D 内 取一点E,使AE与AB、AD所成的角都是60°,则线段AE的长为 . 【范例11】由1，2，3，4这四个数，组成个位数字不为2的没有重复数字的四位数，共有 个 答案：18 【错解分析】此题容易错的地方是：没有优先考虑特殊情况。 【解题指导】先确定个位有三种情况，其余进行全排列， 。 【练习11】某机关的2008年新春联欢会原定10个节目已排成节目单，开演前又增加了两个反映 军民联手抗击雪灾的节目，将这两个节目随机地排入原节目单，则这两个新节目恰好排在一起 的概率是_____________. 【范例12】下列说法：①当 ；② ABC中， 是 成立的充要条件；③函数 的图象可以由函数 （其中 ）平移得到；④已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则 3 33 18A = ( ],1−∞ 2 2 4 0D E F+ − > 2 2 4 0D E F+ − ≥ 2y x b= + 2 2 2 4 0x y x y a+ + − + = 4 16 4 0a+ − > 5a < (2cos ,2sin ), (2cos ,2sin )a b → → = α α = β β a → b → 060 0sincos =•α−•α yx 2 1)sin()cos( 22 =β++β− yx 5 22 ⊥  BA BO 1 5 22 1 1 1 1 1 1 1 1 2ln 1ln10 ≥+≠> xxxx 时，有且 ∆ A B> sin sinA B> xy a= 2 xy a= 0 1a a> ≠且 nS { }na n 7 5S S> 9 3S S> A1 B1 D1 A B C1 E M F CD .；⑤函数 与函数 的图象关于直线 对称。其中正确的命题的序号为 . 答案：②③④ 【错解分析】此题容易错选为①⑤，而漏掉③。错选①主要是对均值不等式要是正数的前提 条件理解不好，漏掉③主要是对指数的化简没有考虑到。 【解题指导】①中③中将 可变形为 ， ④中 所以 【练习12】给出下列四个结论： ①“k＝1”“是函数y＝cos2 k x－sin2 k x的最小正周期为π”的充要条件. ②函数y＝sin（2 x－ ）沿向量a＝（ ，0）平移后所得图象的函数表达式是： y＝cos2 x. ③函数y＝lg(a x2－2 a x＋1)的定义域是R，则实数a的取值范围是（0，1）. ④单位向量a、b的夹角是60°，则向量2a－b的模是 . 其中不正确结论的序号是 .（填写你认为不正确的所有结论序号） 【范例13】已知函数 （1）求 的极值； （2）若 的取值范围； （3）已知 【错解分析】（1）化归思想在此题的应用是容易出错的地方，求k的取值范围时先整理出参数k ，（2）对函数 是近年来考查的热点，应引起注意。 解：（1） 令 得 当 为增函数；当 为减函数， 可知 有极大值为 （2）欲使 在 上恒成立，只需 在 上恒成立， 设 由（1）知， ， (1 )y f x= + (1 )y f x= − 1x = 2 xy a= 2log2log aa xx aaay +=⋅= 07657 >+=− aaSS 0)(3 7698765439 >+=+++++=− aaaaaaaaSS 6 π 6 π 3 .,ln1)( R∈+−= ax xaxf )(xf kkxx 求上恒成立在 ,),0(0ln +∞<− .:,,0,0 21212121 xxxxexxxx >+<+>> 求证且 ln( ) xf x x = / 2 ln( ) ,a xf x x −= / ( ) 0f x = ax e= /(0, ), ( ) 0, ( )ax e f x f x∈ > /( , ), ( ) 0, ( )ax e f x f x∈ +∞ < ( )f x ( )a af e e−= ln 0x kx− < (0, )+∞ ln x kx < (0, )+∞ ln( ) ( 0).xg x xx = > 1( )g x x e e =在 处取最大值 1k e ∴ > （3） ，由上可知 在 上单调递增， ①， 同理 ② 两式相加得 【练习13】设函数 ，其中 . （1）若 ，求 在 的最小值； （2）如果 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数 的取值范围； （3）是否存在最小的正整数 ，使得当 时，不等式 恒成立. 【范例14】如图在三棱锥S 中 ， ， ， ， . （1）证明 。 （2）求侧面 与底面 所成二面角的大小。 （3）求异面直线SC与AB所成角的大小。 【错解分析】对面面角，线面角的问题，我们应该先找出角，然后去证明，而不能只有计算出 的结果。 解：（1）∵∠SAB=∠SCA=900 （2） 1 2 1 0e x x x> + > > ln( ) xf x x = (0, )e 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ln( ) ln ln( ) lnx x x x x x xx x x x x + +∴ > >+ +即 2 1 2 2 1 2 ln( ) lnx x x xx x + >+ 1 2 1 2 1 2ln( ) ln ln lnx x x x x x+ > + = 1 2 1 2x x x x∴ + > )1ln()( 2 ++= xbxxf 0≠b 12b = − )(xf [1,3] ( )f x b N Nn ≥ 3 1 1ln n n n n + −> ABC− 090ACB∠ = SA ABC⊥ 面 2AC = 13BC = 29SB = SC BC⊥ SBC ABC 090 SA AB SA AC AB AC A SA ABC ACB BC AC SC BC ∴ ⊥ ⊥ ∩ = ∴ ⊥ ∠ = ⊥ ⊥ 面 由于 即 由三重线定理得 BC AC BC SC⊥ ⊥ 0 , 13. 29 4 2 4 1 2 60 SCA SBC ABC Rt SCB BC SB SC SAC AC SC ACCOS SCA SC SCA ∴∠ ∆ = = = ∆ = = ∴ ∠ = = ∴∠ = 0 是侧面 与底面 所成二面角的平面角 在 中由于 在Rt 中由于 即侧面SBC与底面ABC形成的二面角的大小为60 S A B C （3） 【练习14】如图， 正方形ABCD和ABEF的边长均为1，且它们所在的平面互相垂直 ，G为BC的中点． （1）求点G到平面ADE的距离； （2）求二面角 的正切值． 【范例15】设 、 分别是椭圆 的左、右焦点., （1）若P是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值； （2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在， 求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【错解分析】化归思想，消元思想是数学中的两大思想，要能彻底领悟，才是数学学习的最高 境界。 解：（1）易知 设P（x，y），则 ， ，即点P为椭圆短轴端点时， 有最小值3； 当 ，即点P为椭圆长轴端点时， 有最大值4 （2）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时 ，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k // . // .C CD BA A AD BC D过 作 过 作 交点为 2 2 2 2 2 17 2 3. 5 BC SA SB AB SD SA AD SCD ∴ + = = − = = + = ∆ ∠ 2 则四边形ABCD是平行四边形 DC=AB= AC 又 17故在 中, COS SCD= 17 17cos 17SC AB arc∴ 与 所成角的大小为 AGDE −− 1F 2F 2 2 15 4 x y + = 21 PFPF ⋅ )0,1(),0,1(,1,2,5 21 FFcba −=∴=== 1),1(),1( 22 21 −+=−−⋅−−−=⋅ yxyxyxPFPF 35 115 44 222 +=−−+ xxx ]5,5[−∈x 0=∴ x当 21 PFPF ⋅ 5±=x 21 PFPF ⋅ A G F E D CB 直线l的方程为 由方程组 依题意 当 时，设交点C ，CD的中点为R ， 则 又|F2C|=|F2D| ∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线 ，使得|F2C|=|F2D| 综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|【练习15】已知椭圆W的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，两条准线间的距离为6，椭圆W的左焦点为 ，过左准线与 轴的交点 任作一条斜率不为零的直线 与椭圆W交于不同的两点 、 ，点 关于 轴的对称点为 . （1）求椭圆W的方程； （2）求证： ( )； （3）求 面积 的最大值. 练习题参考答案： 1．B 2． C 3．C 4．C 5．A 6．C 7 ．1 8．（4） 9．相交 10. 11. 12. ④ 13. 解：（1）由题意知， 的定义域为 ， )5( −= xky 2 2 2 2 2 21 (5 4) 50 125 20 05 4 ( 5) x y k x k x k y k x  + = + − + − =  = − ，得 2 5 520(16 80 ) 0 5 5k k∆ = − > − < <，得 5 5 5 5 <<− k ),(),( 2211 yxDyx 、 ),( 00 yx 45 25 2,45 50 2 2 21 02 2 21 +=+=+=+ k kxxxk kxx .45 20)545 25()5( 22 2 00 + −=−+=−=∴ k k k kkxky 122 −=⋅⇔⊥⇔ RFkklRF 1204 20 45 251 )45 20(0 2 2 2 2 2 2 −=−= +− +−− ⋅=⋅∴ k k k k k k kkk RF l x 6 3 F x M l A B A x C CF FBλ=  λ ∈R MBC∆ S 2 6 1 )(xf ),1( +∞− A G F E D CB H O 时，由 ，得 （ 舍去）， 当 时， ，当 时， ， 所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增， 所以 （2）由题意 在 有两个不等实根， 即 在 有两个不等实根， 设 ，则 ，解之得 ； （3）对于函数 ， 令函数 , 则 ， 所以函数 在 上单调递增，又 时，恒有 即 恒成立. 取 ，则有 恒成立. 显然，存在最小的正整数N=1，使得当 时，不等式 恒成立 14．解：（1）∵BC∥AD， AD 面ADE, ∴点G到平面ADE的距离即点B到平面ADE的距离． 连BF交AE于H，则BF⊥AE，又BF⊥AD． ∴BH即点B到平面ADE的距离． 在Rt△ABE中， ． ∴点G到平面ADE的距离为 ． 12b = − 2 / 12 2 2 12( ) 2 01 1 x xf x x x x + −= − = =+ + 2x = 3x = − [1,2)x∈ / ( ) 0f x < (2,3]x∈ / ( ) 0f x > [1,2)x∈ ( )f x (2,3]x∈ ( )f x min( ) (2) 4 12ln3f x f= = − 2 / 2 2( ) 2 01 1 b x x bf x x x x + += + = =+ + ),1( +∞− 22 2 0x x b+ + = ),1( +∞− ( )g x = 22 2x x b+ + 4 8 0 ( 1) 0 b g ∆ = − >  − > 10 2b< < ( ) )1ln(2 +−= xxxf ( ) )1ln()( 233 ++−=−= xxxxfxxh ( ) 1 )1(3 1 123 23 2/ + −+=++−= x xx xxxxh ( ) 0),0[ / >+∞∈∴ xhx 时，当 ( )xh ),0[ +∞ ),0(,0)0( +∞∈∴= xh ( ) 0)0( => hxh )1ln(32 ++< xxx ),0(1 +∞∈= nx 32 11)11ln( nnn −>+ Nn ≥ 32 11)11ln( nnn −>+ ⊂ 2 2=BH 2 2 （2）过点B作BN⊥DG于点N，连EN， 由三垂线定理知EN⊥DN． ∴ 为二面角 的平面角． 在Rt△BNG中， ∴ 则Rt△EBN中， 所以二面角 的正切值为 ． 15．解：（1）设椭圆W的方程为 ，由题意可知 解得 ， ， ， 所以椭圆W的方程为 ． （2）解法1：因为左准线方程为 ，所以点 坐标为 .于是可设直线 的方程为 ． 得 . 由直线 与椭圆W交于 、 两点，可知 ，解得 ． 设点 ， 的坐标分别为 ， , 则 ， ， ， ． 因为 ， ， ENB∠ AGDE −− 5 52sinsin =∠=∠ DGCBGN 5 5 5 52 2 1sin =⋅=∠= BGNBGBN 5tan ==∠ BN BEENB AGDE −− 5 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 6 ,3 , 2 6, c a a b c a c  =  = +   ⋅ = 6a = 2c = 2b = 2 2 16 2 x y+ = 2 3ax c = − = − M ( 3,0)− l ( 3)y k x= + 2 2 ( 3), 16 2 y k x x y = + + = 2 2 2 2(1 3 ) 18 27 6 0k x k x k+ + + − = l A B 2 2 2 2(18 ) 4(1 3 )(27 6) 0k k k∆ = − + − > 2 2 3k < A B 1 1( , )x y 2 2( , )x y 2 1 2 2 18 1 3 kx x k −+ = + 2 1 2 2 27 6 1 3 kx x k −= + 1 1( 3)y k x= + 2 2( 3)y k x= + ( 2,0)F − 1 1( , )C x y− 所以 ， . 又因为 ， 所以 ． 解法2：因为左准线方程为 ，所以点 坐标为 . 于是可设直线 的方程为 ，点 ， 的坐标分别为 ， , 则点 的坐标为 ， ， ． 由椭圆的第二定义可得 , 所以 ， ， 三点共线，即 ． (Ⅲ)由题意知 ，当且仅当 时“=”成立， 所以 面积 的最大值为 3 2 高考数学易错题解题方法大全（7） 【范例1】已知 ⊙ ，集合 ， ，则集合 ⊙ 的所有元素之和为（ ） A．1 B.0 C.-1 D. 答案：B 【错解分析】此题容易错选为A，C，D，错误原因是对集合A中的元素特点不好。 【解题指导】集合 中 是相反数. 【练习1】集合 ， ，则 中的最小元素 为( ) A．0 B．6 C．12 D． 1 1( 2, )FC x y= + − 2 2( 2, )FB x y= + 1 2 2 1( 2) ( 2)( )x y x y+ − + − 1 2 2 1( 2) ( 3) ( 2) ( 3)x k x x k x= + + + + + 1 2 1 2[2 5( ) 12]k x x x x= + + + 2 2 2 2 54 12 90[ 12]1 3 1 3 k kk k k − −= + ++ + 2 2 2 2 (54 12 90 12 36 ) 01 3 k k k k k − − + += =+ CF FBλ=  2 3ax c = − = − M ( 3,0)− l ( 3)y k x= + A B 1 1( , )x y 2 2( , )x y C 1 1( , )x y− 1 1( 3)y k x= + 2 2( 3)y k x= + 2 2 1 1 3 | || | | | 3 | | x yFB FC x y += =+ B F C CF FBλ=  1 2 1 1| || | | || |2 2S MF y MF y= + 1 2 1 | | | |2 MF y y= ⋅ + 1 2 1 | ( ) 6 |2 k x x k= + + 2 3| | 1 3 k k = + 3 3 3 1 22 33| || | kk = ≤ = + 2 1 3k = MBC∆ S A { , , }B z z xy x A y B= = ∈ ∈ { 1,0,1}A = − {sin ,cos }B α α= A B sin cosα + α A 1,1− { }∗∈== NnnxxP ,2 { }∗∈== NnnxxQ ,3 QP ∩ { }6 【范例2】在数列 中， ，则使 成立的 值是（ ） A.21 B.22 C.23 D.24 答案：A 【错解分析】此题容易错选为B，错误原因是没有理解该数列为等差数列。 【解题指导】由已知得 ， ， = · <0， ，因此 ，选A. 【练习2】数列 的通项公式是关于 的不等式 的解集中的整数个数，则数列 的前n项和 =（ ） A.n2 B.n(n+1) C. D.(n+1)(n+2) 【范例3】若圆 与直线 没有公共点的充要条件是（ ） A． B． C． D． 答案：B 【错解分析】此题容易错选为D，错误原因是对直线在转动过程中，斜率的变化规律掌握不好 。 【解题指导】当 时，直线与圆相切，直线 过定点（0，2）。【练习3】经过圆 的圆心C，且与直线 垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【范例4】已知 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【错解分析】此题容易错选为D，错误原因是对诱导公式掌握不牢。 【解题指导】 { }na 233,14 11 +== +nn aaa 02 <+nn aa n 3 2 1 −=−+ nn aa 3 244)3 2)(1(14 nnan −=−−+= 2+nn aa 3 244 n− 3 240 n− 2220,0)22)(20( <<<−− nnn 21=n { }na x )(2 ∗∈<− Nnnxxx { }na nS 2 )1( +nn 2 2 1x y+ = 2y kx= + ( 2 2)k ∈ − ， ( 3 3)k ∈ − ， ( 2) ( 2 )k ∈ − − +∞， ，∞ ( 3) ( 3 )k ∈ − − +∞， ，∞ 3±=k 2y kx= + 2 22 0x x y+ + = 0x y+ = 1 0x y+ + = 1 0x y+ − = 1 0x y− + = 1 0x y− − = π 4cos sin 36 5 α α − + =   7πsin 6 α +   2 3 5 − 2 3 5 4 5 − 4 5 35 4)6sin(3cos2 3sin2 3sin)6cos( =π+α=α+α=α+π−α ， 。 【练习4】已知函数 ，则 是（ ） A、最小正周期为 的奇函数 B、最小正周期为 的奇函数 C、最小正周期为 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数 【范例5】观察式子： ，…，则可归纳出式子为（ ） A、 B、 C、 D、 答案：C 【错解分析】此题容易错选为A，B，D，错误原因是对条件没有全面把握。 【解题指导】用n=2代入选项判断. 【练习5】在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （ ） A．25 B．6 C．7 D．8 【范例6】若不等式 对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D．a >1 答案:A 【错解分析】此题容易错选为B，错误原因是对恒成立问题理解不清楚。 【解题指导】当a>1时，易知 是恒成立；当0−− ana a an −> 1 a a −> 11 .2 10 a << 1)( 2 −+= axaxxf 0≤a 4− 1 2 2 8y x= 2 2 116 12 x y+ = 2 2 164 48 x y+ = cba ,, ,a b , ,α β γ a α⊥ a β⊥ βα // βαγ⊥βγ⊥α //,, 则 baba //,,,// 则βαβα ⊂⊂ baba //,,,// 则=∩=∩ γβγαβα 可能平行可能相交βα, 可能平行可能异面，ba ⊂ ⊂ ③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β； ④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n； 其中所有正确命题的序号是 ． 【范例11】若 ，则 的最小值为 ． 答案: 1 【错解分析】此题容易错在对复数的几何意义掌握不到位。 【解题指导】本题主要考查复数的几何意义. 表示以（1，0）为圆心，2为半径的圆, 表示 到点（1，3）的距离.结合图象解决. 【练习11】已知实数x，y满足条件 ， （ 为虚数单位），则 的最小值是 ．【范例12】某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用 ，第 天的维修保养费为 元,若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了 天． 答案: 800 【错解分析】此题容易错填为8，错误原因是对单位没有换算。 【解题指导】显然每天的维修费成等差，使用这台仪器的日平均费用 当 时取得最小值. 【练习12】国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值V（美元）与其重量 (克拉) 的平方成正比，若把一颗钻石切割成重量分别为 的两颗钻石,且价值损失的百分率= (切割中重量损耗不计),则价值损失的百分率的最大为 . 【范例13】在锐角△ABC中，角 的对边分别为 ，且满足 . （1）求角B的大小； （2）设 ,试求 的取值范围. 21 =−z 13 −− iz 21 =−z 13 −− iz z 5 0 0 3 x y x y x − +  +  ≥ ≥ ≤ iz x y= + i | 1 2i |z − + n 49 ( )10 n n N ∗+ ∈ 20 991600220 99 20 32000 2 )10 49 10 50(320002 )10 49 10 50( 32000 +≥++= ++ += ++ + = n n n nn nn y 80020 32000 == nn n 即 ω , ( )m n m n≥ 100× %原有价值 - 现有价值 原有价值 CBA ,, cba ,, (2 )cos cosa c B b C− = (sin ,1), (3,cos2 )m A n A= =  m n⋅  1 2 3 2 3 3 7 1 0 1475 423 2 甲 乙 【错解分析】（1）当关系式中既有边又有角时，我们一般是化为角借助于三角函数解决。 （2）角A的范围的确定也容易遗忘的地方。 解: (1) 因为(2a－c）cosB=bcosC,所以(2sinA－sinC）cosB=sinBcosC, 即2sinA cosB=sinCcosB＋sinBcosC= sin(C＋B)= sinA.而sinA>0,所以cosB= 故B=60° (2) 因为 ,所以 =3sinA＋cos2A=3sinA＋1－2sin2A =－2(sinA－ )2＋ 由 得 ,所以 ,从而 故 的取值范围是 【练习13】已知函数 ． （1）求函数 的最小正周期及最值； （2）令 ，判断函数 的奇偶性，并说明理由． 【范例14】某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图 所示的茎叶图表示 （1）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？ （3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分 的概率． 【错解分析】对茎叶图的应用须牢记，可以熟记教材上的茎叶图，以一例经典举一反三。 （参考数据： ， ） 解：（1）运动员甲得分的中位数是22，运动员乙得分的中位数是23 （2） 1 2 (sin ,1), (3,cos2 )m A n A= =  m n⋅  3 4 17 8 0 0 0 0 0 0 90 60 0 90 A B C  < <  =  < < 0 0 0 0 0 0 90 0 120 90 A A  < <  < − < 0 030 90A< < 1sin ,12A  ∈   m n⋅  172, 8      2( ) 2sin cos 2 3sin 34 4 4 x x xf x = − + ( )f x π( ) 3g x f x = +   ( )g x 2 2 2 2 2 2 29 8 10 2 6 10 9 466+ + + + + + = 23611213647 2222222 =++++++  217 32232224151714 =++++++=甲x 12 13 11 23 27 31 30 217x + + + + + += =乙 ，从而甲运动员的成绩更稳定 （3）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49 其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3场，甲得17分有3场，甲得15分有3场 甲得24分有4场，甲得22分有3场，甲得23分有3场，甲得32分有7场，共计26场从而甲的得分大 于乙的得分的概率为 【练习14】某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工 序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的 加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品. （1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙； （2）已知一件产品的利润如表二所示，求甲、乙产品同时获利2.5万元的概率。 【范例15】数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意 ，总有 成等差数列． （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ，且 ，求证：对任意实数 （ 是常数， ＝2．71828 ）和任意正整数 ，总有 2； （3） 正数数列 中， ．求数列 中的最大项． 【错解分析】（1）对 的转化，要借助于 的关系。 （2）放缩法是此题的难点。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21-14 21-17 21-15 21-24 21-22 21-23 21-32 236 7 7S + + + + + += =甲 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21-12 21-13 21-11 21-23 21-27 21-31 21-30 466 7 7S + + + + + += =乙 22 S乙甲 <∴S 26 49P = { }na nS n *Nn ∈ 2, ,n n na S a { }na { }nb n nT 2 ln n n n a xb = ( ]ex ,1∈ e e ⋅⋅⋅ n nT < { }nc ( ) )(, *1 1 Nnca n nn ∈= + + { }nc 22 n n nS a a= + n na s与 等级 产品 一等 二等 甲 5（万元） 2.5（万元 ） 乙 2.5（万元 ） 1.5（万元 ） （表二） 利 润 工序 产品 第一工序 第二工序 甲 0.8 0.85 乙 0.75 0.8 （表一） 概 率 解：(1)由已知：对于 ，总有 ①成立 ∴ （n ≥ 2）② ①--②得 ∴ ∵ 均为正数，∴ （n ≥ 2） ∴数列 是公差为1的等差数列 又n=1时， ，解得 =1∴ ．（ ） （2）证明：∵对任意实数 和任意正整数n，总有 ≤ ． ∴ （3）解：由已知 ， 易得 猜想 n≥2 时， 是递减数列．令 ∵当 ∴在 内 为单调递减函数． 由 ． ∴n≥2 时， 是递减数列．即 是递减数列． 又 ，∴数列 中的最大项为 ． 【练习15】已知函数 的图象过原点，且关于点 成中心对称. *Nn ∈ 22 n n nS a a= + 2 1 1 12 n n nS a a− − − = + 2 11 22 −− −−+= nnnnn aaaaa ( )( )111 −−− −+=+ nnnnnn aaaaaa 1, −nn aa 11 =− −nn aa { }na 2 1 1 12S a a= + 1a nan = *Nn ∈ ( ]ex ,1∈ 2 ln n n n a xb = 2 1 n ( )nnnTn 1 1 32 1 21 111 2 1 1 1 222 −++⋅+⋅+<+++≤  2121 1 1 3 1 2 1 2 111 <−=−−++−+−+= nnn 22 1 2 12 =⇒== cca 5 4 5 45 4 3 4 34 3 2 3 23 55 ,244,33 =⇒== ==⇒===⇒== cca ccacca 1 2 2 3 4, ...c c c c c< > > > { }nc ( ) ( ) 22 ln1ln1 ,ln x x x xxxxfx xxf −= −⋅ =′= 则 ( ) .00ln1,1ln3 <′<−>≥ xfxxx ，即则时， [ )+∞,3 ( )xf ( ) 1 1lnln1 1 + +== + + n ncca n n nn 知 { }ncln { }nc 1 2c c< { }nc 3 2 3=c 1)( + += x cbxxf )1,1(− (1)求函数 的解析式； (2)若数列 满足： ，求 ， ， 的值，猜想数列 的通项公式 ，并证明你的结论； (3)若数列 的前 项和为 ，判断 与2的大小关系，并证明你的结论. 练习题参考答案： 1．B 2．C 3．C 4． D 5．C 6．D 7． 8． 9．2 10. ②④ 11. 12. 50% 13. 解：（1） ． 的最小正周期 ． 当 时， 取得最小值 ； 当 时， 取得最大值2． （2）由（1）知 ．又 ． ． 函数 是偶函数． 14．解:（1） .6.08.075.0,68.085.08.0 =×==×= 乙甲 PP )(xf }{ na 2 1 10 , 1, [ ( ) ]n n na a a f a+> = = 2a 3a 4a }{ na na }{ na n nS nS     4 1,0 3−≤m 2 2 2( ) sin 3(1 2sin )2 4 x xf x = + − sin 3 cos2 2 x x= + π2sin 2 3 x = +   ( )f x∴ 2π 4π1 2 T = = πsin 12 3 x + = −   ( )f x 2− πsin 12 3 x + =   ( )f x π( ) 2sin 2 3 xf x  = +   π( ) 3g x f x = +   ∴ 1 π π( ) 2sin 2 3 3g x x   = + +     π2sin 2 2 x = +   2cos 2 x=  ( ) 2cos 2cos ( )2 2 x xg x g x − = − = =   ∴ ( )g x （2） (1-0.68) 0.6=0.192 15．解：(1)∵函数 的图象过原点， ∴ 即 ，∴ . 又函数 的图象关于点 成中心对称， ∴ ， . (2)解：由题意有 即 ， 即 ，即 . ∴数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴ ，即 . ∴ . ∴ ， ， ， . (3)证明：当 时， 故 1)( + += x cbxxf 0)0( =f 0=c 1)( += x bxxf x bbx cbxxf +−=+ += 11)( ( )1,1− 1=b 1)( += x xxf 2 1 ) 1 ( + =+ n n n a aa 11 +=+ n n n a aa 111 1 += + nn aa 111 1 =− + nn aa na 1 nn an =−+= )1(11 nan 1= 2 1 n an = 4 1 2 =a 9 1 3 =a 16 1 4 =a 2 1 n an = ),,4,3,2(2 nkk =≥ kkkkkak 1 1 1 )1( 11 2 −−=−<= 212)1 1 1()3 1 2 1()2 11(121 <−=−−++−+−+=+++= nnnaaaS nn  2