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  • 2021-05-14 发布

高考数学常见难题大盘点立体几何

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‎2013高考数学常见难题大盘点:立体几何 ‎1.如图, 在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面CDB1;‎ 解析:(1)证明线线垂直方法有两类:一是通过三垂线定理或逆定理证明,二是通过线面垂直来证明线线垂直;(2)证明线面平行也有两类:一是通过线线平行得到线面平行,二是通过面面平行得到线面平行.‎ 答案:解法一:(I)直三棱柱ABC-A1B‎1C1,底面三边长AC=3,BC=4AB=5,‎ ‎∴ AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴ AC⊥BC1;‎ ‎(II)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,∵ D是AB的中点,E是BC1的中点,‎ ‎∴ DE//AC1,A B C A1‎ B1‎ C1‎ E x y z ∵ DE平面CDB1,AC1平面CDB1,‎ ‎∴ AC1//平面CDB1;‎ 解法二:∵直三棱柱ABC-A1B‎1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,∴AC、BC、C‎1C两两垂直,如图,以C为坐标原点,直线CA、CB、C‎1C分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)‎ ‎(1)∵=(-3,0,0),=(0,-4,0),∴•=0,∴AC⊥BC1.‎ ‎(2)设CB1与C1B的交战为E,则E(0,2,2).∵=(-,0,2),=(-3,0,4),∴,∴DE∥AC1.‎ 点评:2.平行问题的转化:‎ 转化 转化 面面平行线面平行线线平行;‎ 主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理. ‎2.如图所示,四棱锥P—ABCD中,ABAD,CDAD,PA底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点。‎ ‎(1)求证:BM∥平面PAD;‎ ‎(2)在侧面PAD内找一点N,使MN平面PBD;‎ ‎(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。‎ 解析:本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,‎ 二面角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.‎ 答案:(1)是的中点,取PD的中点,则 ‎,又 四边形为平行四边形 ‎∥,‎ ‎∥ (4分)‎ ‎ (2)以为原点,以、、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,,,‎ 在平面内设,,, 由 ‎ 由 ‎ 是的中点,此时 (8分)‎ ‎ (3)设直线与平面所成的角为 ‎,,设为 ‎ ‎ 故直线与平面所成角的正弦为 (12分)‎ 解法二:‎ ‎ (1)是的中点,取PD的中点,则 ‎,又 四边形为平行四边形 ‎∥,‎ ‎∥ (4分)‎ ‎ (2)由(1)知为平行四边形 ‎,又 ‎ 同理,‎ ‎ 为矩形 ∥,,又 ‎ ‎ ‎ 作故 交于,在矩形内,,‎ ‎, 为的中点 当点为的中点时, (8分)‎ ‎ (3)由(2)知为点到平面的距离,为直线与平面所成的角,设为,‎ 直线与平面所成的角的正弦值为 ‎ 点评:(1)证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可;(2)求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线,斜线和射影所成的角,即为所求角;(3)证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来 ‎3.如图,四棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求与底面所成角的大小;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的余弦值. ‎ 解析:求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法,比较好的方法是向量法 ‎ 答案:(I)取DC的中点O,由ΔPDC是正三角形,有PO⊥DC.‎ 又∵平面PDC⊥底面ABCD,∴PO⊥平面ABCD于O.‎ 连结OA,则OA是PA在底面上的射影.∴∠PAO就是PA与底面所成角.‎ ‎∵∠ADC=60°,由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形,从而求得OA=OP=.‎ ‎∴∠PAO=45°.∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°. ……6分 ‎(II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,有OA⊥DC. ‎ 建立空间直角坐标系如图,则, .‎ 由M为PB中点,∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴,‎ ‎.‎ ‎∴PA⊥DM,PA⊥DC. ∴PA⊥平面DMC. ……4分 ‎(III).令平面BMC的法向量,‎ 则,从而x+z=0; ……①, ,从而. ……②‎ 由①、②,取x=−1,则. ∴可取.‎ 由(II)知平面CDM的法向量可取,‎ ‎∴. ∴所求二面角的余弦值为-. ……6分 法二:(Ⅰ)方法同上 ‎ ‎(Ⅱ)取的中点,连接,由(Ⅰ)知,在菱形中,由于,则,又,则,即,‎ 又在中,中位线,,则,则四边形为,所以,在中,,则,故而,‎ 则 ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,则为二面角的平面角,在中,易得,,‎ 故,所求二面角的余弦值为 ‎ 点评:本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法,综合性较强 用平移法求异面直线所成的角,利用三垂线定理求作二面角的平面角,是常用的方法.‎ ‎4.如图所示:边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=,ED//AF且∠DAF=90°。‎ ‎ (1)求BD和面BEF所成的角的余弦;‎ ‎ (2)线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直,若存在,求EP与PF的比值;若不存在,说明理由。‎ ‎1,3,5‎ 解析:1.先假设存在,再去推理,下结论: 2.运用推理证明计算得出结论,或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算。‎ 答案:(1)因为AC、AD、AB两两垂直,建立如图坐标系,‎ 则B(2,0,0),D(0,0,2),‎ E(1,1,2),F(2,2,0),‎ 则 设平面BEF的法向量 ‎,则可取,‎ ‎∴向量所成角的余弦为 ‎。‎ 即BD和面BEF所成的角的余弦。‎ ‎ (2)假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直,不妨设EP与PF的比值为m,则P点坐标为 V A C D B 则向量,向量 所以。‎ ‎ 点评:本题考查了线线关系,线面关系及其相关计算,本题采用探索式、开放式设问方式,对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。‎ ‎5.已知正方形 、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为 ‎ ‎(I) 证明平面;‎ ‎(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值 ‎ 分析:充分发挥空间想像能力,重点抓住不变的位置和数量关系,借助模型图形得出结论,并给出证明.‎ 解: (I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,‎ EB//FD,且EB=FD,‎ 四边形EBFD为平行四边形 ‎ BF//ED.‎ ‎,平面 ‎ ‎(II)如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD ‎ ACD为正三角形,AC=AD.‎ CG=GD.‎ G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,‎ 过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角 即.‎ 设原正方体的边长为‎2a,连结AF,在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=‎2a,即AEF为直角三角形, .‎ ‎ 在RtADE中, .‎ ‎, ‎ 点评:在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中,一般来说,位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变:位于两个不同平面内的元素,位置和数量关系要发生变化,翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。关键要抓不变的量.‎ ‎6.设棱锥M-ABCD的底面是正方形,且MA=MD,MA⊥AB,如果ΔAMD的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.‎ 分析:关键是找出球心所在的三角形,求出内切圆半径.‎ 解: ∵AB⊥AD,AB⊥MA,‎ ‎∴AB⊥平面MAD,‎ 由此,面MAD⊥面AC.‎ 记E是AD的中点,从而ME⊥AD.‎ ‎∴ME⊥平面AC,ME⊥EF.‎ 设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.‎ 不妨设O∈平面MEF,于是O是ΔMEF的内心.‎ 设球O的半径为r,则r=‎ 设AD=EF=a,∵SΔAMD=1.‎ ‎∴ME=.MF=,‎ r=≤=-1。‎ 当且仅当a=,即a=时,等号成立.‎ ‎∴当AD=ME=时,满足条件的球最大半径为-1.‎ 点评:涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系;多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。‎