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- 2021-05-14 发布
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2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷
一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)
1.已知集合A={﹣2,﹣1},B={﹣1,2,3},则A∩B= .
2.已知复数z满足z•(1﹣i)=2,其中i为虚数单位,则z= .
3.方程lg(x﹣3)+lgx=1的解x= .
4.已知f(x)=logax(a>0,a≠1),且f﹣1(﹣1)=2,则f﹣1(x)= .
5.若对任意正实数a,不等式x2≤1+a恒成立,则实数x的最小值为 .
6.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则p= .
7.中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为 .
8.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边成为1,那么这个几何体的表面积是 .
9.已知互异复数mn≠0,集合{m,n}={m2,n2},则m+n= .
10.已知等比数列{an}的公比q,前n项的和Sn,对任意的n∈N*,Sn>0恒成立,则公比q的取值范围是 .
11.参数方程,θ∈[0,2π)表示的曲线的普通方程是 .
12.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈
R,若函数f(x)在区间(﹣ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 .
二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
13.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
14.若方程f(x)﹣2=0在(﹣∞,0)内有解,则y=f(x)的图象是( )
A. B. C. D.
15.已知函数(α∈[0,2π))是奇函数,则α=( )
A.0 B. C.π D.
16.若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1,则集合{x|x=•,i∈{1,2,3,4},j∈1,2,3,4}}中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17.已知圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,点M是母线PA的中点,AB是底面圆的直径,点C是弧AB的中点;
(1)求三棱锥P﹣ACO的体积;
(2)求异面直线MC与PO所成的角.
18.已知函数(a>0),且f(1)=2;
(1)求a和f(x)的单调区间;
(2)f(x+1)﹣f(x)>2.
19.一艘轮船在江中向正东方向航行,在点P观测到灯塔A、B在一直线上,并与航线成角α(0°<α<90°),轮船沿航线前进b米到达C处,此时观测到灯塔A在北偏西45°方向,灯塔B在北偏东β(0°<β<90°)方向,0°<α+β<90°,求CB;(结果用α,β,b表示)
20.过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点,其中P是AB的中点;
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当P坐标为(x0,2)时,求直线l的方程;
(3)求证:|OA|•|OB|是一个定值.
21.设数列{an}的前n项和为Sn,若(n∈N*),则称{an}是“紧密数列”;
(1)若a1=1,,a3=x,a4=4,求x的取值范围;
(2)若{an}为等差数列,首项a1,公差d,且0<d≤a1,判断{an}是否为“紧密数列”;
(3)设数列{an}是公比为q的等比数列,若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q的取值范围.
2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)
1.已知集合A={﹣2,﹣1},B={﹣1,2,3},则A∩B= {﹣1} .
【考点】交集及其运算.
【分析】利用交集的定义求解.
【解答】解:∵集合A={﹣2,﹣1},B={﹣1,2,3},
∴A∩B={﹣1}.
故答案为:{﹣1}.
2.已知复数z满足z•(1﹣i)=2,其中i为虚数单位,则z= 1+i .
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数,然后化简即可.
【解答】解:由z•(1﹣i)=2,可得z•(1﹣i)(1+i)=2(1+i),
所以2z=2(1+i),
z=1+i.
故答案为:1+i.
3.方程lg(x﹣3)+lgx=1的解x= 5 .
【考点】对数的运算性质.
【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号,求解一元二次方程得答案.
【解答】解:由lg(x﹣3)+lgx=1,得:
,即,解得:x=5.
故答案为:5.
4.已知f(x)=logax(a>0,a≠1),且f﹣1(﹣1)=2,则f﹣1(x)= .
【考点】对数函数图象与性质的综合应用.
【分析】由题意可得f(2)=loga2=﹣1;从而得到a=;再写反函数即可.
【解答】解:由题意,∵f﹣1(﹣1)=2,
∴f(2)=loga2=﹣1;
故a=;
故f﹣1(x)=;
故答案为:.
5.若对任意正实数a,不等式x2≤1+a恒成立,则实数x的最小值为 ﹣1 .
【考点】二次函数的性质.
【分析】由恒成立转化为最值问题,由此得到二次函数不等式,结合图象得到x的取值范围.
【解答】解:∵对任意正实数a,不等式x2≤1+a恒成立,
∴等价于a≥x2﹣1,
∴a≥(x2﹣1)max
0≥(x2﹣1)max
﹣1≤x≤1
∴实数x的最小值为﹣1.
6.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则p= 4 .
【考点】椭圆的简单性质;抛物线的简单性质.
【分析】求出椭圆的右焦点,得到抛物线的焦点坐标,然后求解p即可.
【解答】解:椭圆的右焦点(2,0),抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,
可得:,
解得p=4.
故答案为:4.
7.中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为 5 .
【考点】等差数列.
【分析】由题意可得首项的方程,解方程可得.
【解答】解:设该等差数列的首项为a,
由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2
解得a=5
故答案为:5
8.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边成为1,那么这个几何体的表面积是 .
【考点】由三视图求面积、体积;棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥,正方体的一个角,根据三视图的数据,求出三棱锥的表面积即可.
【解答】解:由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥,正方体的一个角,
所以几何体的表面积为:3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和,
即:3×=.
故答案为:.
9.已知互异复数mn≠0,集合{m,n}={m2,n2},则m+n= ﹣1 .
【考点】复数相等的充要条件.
【分析】互异复数mn≠0,集合{m,n}={m2,n2},可得:m=m2,n=n2;n=m2,m=n2,mn≠0,m≠n.解出即可得出.
【解答】解:互异复数mn≠0,集合{m,n}={m2,n2},
∴m=m2,n=n2,或n=m2,m=n2,mn≠0,m≠n.
由m=m2,n=n2,mn≠0,m≠n,无解.
由n=m2,m=n2,mn≠0,m≠n.可得n﹣m=m2﹣n2,解得m+n=﹣1.
故答案为:﹣1.
10.已知等比数列{an}的公比q,前n项的和Sn,对任意的n∈N*,Sn>0恒成立,则公比q的取值范围是 (﹣1,0)∪(0,+∞) .
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】q≠1时,由Sn>0,知a1>0,从而>0恒成立,由此利用分类讨论思想能求出公比q的取值范围.
【解答】解:q≠1时,有Sn=,
∵Sn>0,∴a1>0,
则>0恒成立,
①当q>1时,1﹣qn<0恒成立,即qn>1恒成立,由q>1,知qn>1成立;
②当q=1时,只要a1>0,Sn>0就一定成立;
③当q<1时,需1﹣qn>0恒成立,
当0<q<1时,1﹣qn>0恒成立,
当﹣1<q<0时,1﹣qn>0也恒成立,
当q<﹣1时,当n为偶数时,1﹣qn>0不成立,
当q=﹣1时,1﹣qn>0也不可能恒成立,
所以q的取值范围为(﹣1,0)∪(0,+∞).
故答案为:(﹣1,0)∪(0,+∞).
11.参数方程,θ∈[0,2π)表示的曲线的普通方程是 x2=y(0≤x≤,0≤y≤2) .
【考点】参数方程化成普通方程.
【分析】把上面一个式子平方,得到x2=1+sinθ,代入第二个参数方程得到x2=y,根据所给的角的范围,写出两个变量的取值范围,得到普通方程.
【解答】解:∵
∵θ∈[0,2π),
∴|cos+sin|=|sin(+)|∈[0,]
1+sinθ=(cos+sin)2∈[0,2]
故答案为:x2=y(0≤x≤,0≤y≤2)
12.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间(﹣ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 .
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f(x)=sin(ωx+),由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+,k∈Z可解得函数f(x)的单调递增区间,结合已知可得:﹣ω≥①,ω≤②,k∈Z,从而解得k=0,又由ωx+=kπ+,可解得函数f(x)的对称轴为:x=,k∈Z,结合已知可得:ω2=,从而可求ω的值.
【解答】解:∵f(x)=sinωx+cosωx=sin(ωx+),
∵函数f(x)在区间(﹣ω,ω)内单调递增,ω>0
∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+,k∈Z可解得函数f(x)的单调递增区间为:[,],k∈Z,
∴可得:﹣ω≥①,ω≤②,k∈Z,
∴解得:0<ω2≤且0<ω2≤2k,k∈Z,
解得:﹣,k∈Z,
∴可解得:k=0,
又∵由ωx+=kπ+,可解得函数f(x)的对称轴为:x=,k∈Z,
∴由函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,可得:ω2=,可解得:ω=.
故答案为:.
二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
13.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【考点】双曲线的简单性质;充要条件.
【分析】先证明充分性,把方程化为+=1,由“mn<0”,可得、异号,可得方程表示双曲线,由此可得“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件;再证必要性,先把方程化为+=1,由双曲线方程的形式可得、异号,进而可得mn<0,由此可得“mn<0”是方程“mx2+ny2
=1表示双曲线”的必要条件;综合可得答案.
【解答】解:若“mn<0”,则m、n均不为0,方程mx2+ny2=1,可化为+=1,
若“mn<0”,、异号,方程+=1中,两个分母异号,则其表示双曲线,
故“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件;
反之,若mx2+ny2=1表示双曲线,则其方程可化为+=1,
此时有、异号,则必有mn<0,
故“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件;
综合可得:“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件;
故选C.
14.若方程f(x)﹣2=0在(﹣∞,0)内有解,则y=f(x)的图象是( )
A. B. C. D.
【考点】函数的图象与图象变化.
【分析】根据方程f(x)﹣2=0在(﹣∞,0)内有解,转化为函数f(x)的图象和直线y=2在(﹣∞,0)上有交点.
【解答】解:A:与直线y=2的交点是(0,2),不符合题意,故不正确;
B:与直线y=2的无交点,不符合题意,故不正确;
C:与直线y=2的在区间(0,+∞)上有交点,不符合题意,故不正确;
D:与直线y=2在(﹣∞,0)上有交点,故正确.
故选D.
15.已知函数(α∈[0,2π))是奇函数,则α=( )
A.0 B. C.π D.
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解.
【解答】解:由题意可知,函数f(x)是奇函数,即f(﹣x)+f(x)=0,
不妨设x<0,则﹣x>0.
则有:f(x)=﹣x2+cos(x+α),
f(﹣x)=x2﹣sinx
那么:﹣x2+cos(x+α)+x2﹣sinx=0
解得:(k∈Z)
∵α∈[0,2π)
∴α=
故选:D.
16.若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1,则集合{x|x=•,i∈{1,2,3,4},j∈1,2,3,4}}中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】子集与真子集.
【分析】⊥,⊥,i,j∈{1,2,3,4},由此能求出集合{x|x=•,i∈{1,2,3,4},j∈1,2,3,4}}中元素的个数.
【解答】解:∵正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1,
⊥,⊥,i,j∈{1,2,3,4},
∴•=•(++)
=•++=1.
∴集合{x|x=•,i∈{1,2,3,4},j∈1,2,3,4}}中元素的个数为1.
故选:A.
三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17.已知圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,点M是母线PA的中点,AB是底面圆的直径,点C是弧AB的中点;
(1)求三棱锥P﹣ACO的体积;
(2)求异面直线MC与PO所成的角.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;异面直线及其所成的角.
【分析】(1)由已知得AB=8,OC=4,OC⊥AB,PO=3,由此能出三棱锥P﹣ACO的体积.
(2)以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线MC与PO所成的角.
【解答】解:(1)∵圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,点M是母线PA的中点,
AB是底面圆的直径,点C是弧AB的中点,
∴AB=8,OC=4,OC⊥AB,
∴PO===3,
∴三棱锥P﹣ACO的体积VP﹣ACO=
==8.
(2)以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,
A(0,﹣4,0),P(0,0,3),M(0,﹣2,),C(4,0,0),O(0,0,0),
=(4,2,﹣),=(0,0,﹣3),
设异面直线MC与PO所成的角为θ,
cosθ===,
故异面直线MC与PO所成的角为arccos.
18.已知函数(a>0),且f(1)=2;
(1)求a和f(x)的单调区间;
(2)f(x+1)﹣f(x)>2.
【考点】指数式与对数式的互化.
【分析】(1)代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间,注意函数的定义域,
(2)根据函数的单调性得到关于x 的不等式,解得即可.
【解答】解:(1)函数(a>0),且f(1)=2,
∴log2(a2+a﹣2)=2=log24,
∴,
解得a=2,
∴f(x)=log2(22x+2x﹣2),
设t=22x+2x﹣2>0,解得x>0,
∴f(x)的递增区间(0,+∞);
(2)f(x+1)﹣f(x)>2,
∴log2(22x+2+2x+1﹣2)﹣log2(22x+2x﹣2)>2=log24,
∴22x+2+2x+1﹣2>4(22x+2x﹣2),
∴2x<3,
∴x<log23,
∵x>0
∴0<x<log23
∴不等式的解集为(0,<log23)
19.一艘轮船在江中向正东方向航行,在点P观测到灯塔A、B在一直线上,并与航线成角α(0°<α<90°),轮船沿航线前进b米到达C处,此时观测到灯塔A在北偏西45°方向,灯塔B在北偏东β(0°<β<90°)方向,0°<α+β<90°,求CB;(结果用α,β,b表示)
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】由题意,∠B=90°﹣(α+β),△PBC中,运用正弦定理可得结论.
【解答】解:由题意,∠B=90°﹣(α+β),
△PBC中,PC=b,由正弦定理可得.
20.过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点,其中P是AB的中点;
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当P坐标为(x0,2)时,求直线l的方程;
(3)求证:|OA|•|OB|是一个定值.
【考点】直线与双曲线的位置关系;双曲线的简单性质.
【分析】(1)求出双曲线的a,b,由双曲线的渐近线方程为y=±x,即可得到所求;
(2)令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标,再由中点坐标公式,设A(m,2m),B(n,﹣2n),可得A,B的坐标,运用点斜式方程,即可得到所求直线方程;
(3)设P(x0,y0),A(m,2m),B(n,﹣2n),代入双曲线的方程,运用中点坐标公式,求得m,n,运用两点的距离公式,即可得到定值.
【解答】解:(1)双曲线的a=1,b=2,
可得双曲线的渐近线方程为y=±x,
即为y=±2x;
(2)令y=2可得x02=1+=2,
解得x0=,(负的舍去),
设A(m,2m),B(n,﹣2n),
由P为AB的中点,可得m+n=2,2m﹣2n=4,
解得m=+1,n=﹣1,
即有A(+1,2+2),
可得PA的斜率为k==2,
则直线l的方程为y﹣2=2(x﹣),
即为y=2x﹣2;
(3)证明:设P(x0,y0),即有x02﹣=1,
设A(m,2m),B(n,﹣2n),
由P为AB的中点,可得m+n=2x0,2m﹣2n=2y0,
解得m=x0+y0,n=x0﹣y0,
则|OA|•|OB|=|m|•|n|=5|mn|=5|(x0+y0)(x0﹣y0)|
=5|x02﹣|=5为定值.
21.设数列{an}的前n项和为Sn,若(n∈N*),则称{an}是“紧密数列”;
(1)若a1=1,,a3=x,a4=4,求x的取值范围;
(2)若{an}为等差数列,首项a1,公差d,且0<d≤a1,判断{an}是否为“紧密数列”;
(3)设数列{an}是公比为q的等比数列,若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q的取值范围.
【考点】数列的应用.
【分析】(1)由题意,且,即可求出x的取值范围;
(2)由题意,an=a1+(n﹣1)d, ==1+,根据“紧密数列”的定义即可证明结论;
(3)先设公比是q并判断出q≠1,由等比数列的通项公式、前n项和公式化简,,根据“紧密数列”的定义列出不等式组,再求出公比q的取值范围.
【解答】解:(1)由题意,且,∴2≤x≤3,
∴x的取值范围是[2,3];
(2)由题意,an=a1+(n﹣1)d,∴==1+,
随着n的增大而减小,所以当n=1时,取得最大值,∴≤2,
∴{an}是“紧密数列”;
(3)由题意得,等比数列{an}的公比q
当q≠1时,所以an=a1qn﹣1,Sn=, =,
因为数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,所以, ≤2,解得,
当q=1时,an=a1,Sn=na1,则 =1, =1+∈(1,],符合题意,
∴q的取值范围是.
2017年4月3日