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  • 2021-05-14 发布

2015高考数学人教A版本(10-9随机变量的数字特征与正态分布)一轮复习学案

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‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-9随机变量的数字特征与正态分布课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1.(2013·湖州模拟)一套重要资料锁在一个保险柜中,现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜,但其中只有一把真的可以打开柜门,平均来说打开柜门需要试开的次数为(  )‎ A.1      B.n     ‎ C.     D. ‎[答案] C ‎[解析] 这把可以打工柜门的钥匙排在任何一个位置都是等可能的,概率为,设试开次数为ξ,则E(ξ)=(1+2+…+n)·=.‎ ‎2.(2013·广州一模)已知随机变量X+η=8,若X~B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是(  )‎ A.6和2.4 B.2和2.4‎ C.2和5.6 D.6和5.6‎ ‎[答案] B ‎[解析] ∵X~B(10,0.6),∴E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×(1-0.6)=2.4,‎ ‎∴E(η)=8-E(X)=2,D(η)=(-1)2D(X)=2.4.‎ ‎3.(2013·白山联考)设随机变量X~N(1,52),且P(X≤0)=P(X≥a-2),则实数a的值为(  )‎ A.4 B.6 ‎ C.8 D.10‎ ‎[答案] A ‎[解析] ∵X~N(1,52),P(X≤0)=P(X≥a-2),‎ ‎∴=1,∴a=4.‎ ‎4.一台机器生产某种产品,如果生产一件甲等品可获利50元,生产一件乙等品可获利30元,生产一件次品,要赔20元,已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品,平均预期可获利(  )‎ A.39元 B.37元 ‎ C.20元 D.元 ‎[答案] B ‎[解析] ξ的分布列为 ξ ‎50‎ ‎30‎ ‎-20‎ p ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎∴E(ξ)=50×0.6+30×0.3+(-20)×0.1=37(元),故选B.‎ ‎5.已知随机变量ξ,η满足ξ=2η-1,且ξ~B(10,p),若E(ξ)=8,则D(η)=(  )‎ A.0.5 B.0.8 ‎ C.0.2 D.0.4‎ ‎[答案] D ‎[解析] ∵E(ξ)=10p=8,∴p=0.8,∴D(ξ)=10p(1-p)=10×0.8×0.2=1.6,又D(ξ)=D(2η-1)=4D(η),∴D(η)=0.4.‎ ‎6.(2013·深圳调研)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] B ‎[解析] P=×+×= ‎ 二、填空题 ‎7.抛掷一枚均匀的正方体骰子,观察出现的点数,如果出现了5点或6点,则称“抛掷高效”,若“抛掷高效”则得1分,否则得0分,则抛掷一次得分的期望为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 由题意P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,‎ ‎∴E(ξ)=0×+1×=.‎ ‎8.如果随机变量ξ~B(n,p),且E(ξ)=4,且D(ξ)=2,则E(pξ-D(ξ))=________.‎ ‎[答案] 0‎ ‎[解析] ∵ξ~B(n,p),且E(ξ)=4,∴np=4,‎ 又∵D(ξ)=2,∴np(1-p)=2,∴p=,‎ ‎∴E(pξ-D(ξ))=E(ξ-2)=E(ξ)-2=0.‎ ‎9.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球,先从甲罐中任意取出一球放入乙罐,再从乙罐中取出一球,则从乙罐中取出的球是白球的概率为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A1、A2、A3,设从乙罐中取出白球的事件为B,则 P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,‎ 所求概率P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=×+×+×=.‎ 三、解答题 ‎10.(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次.在A区每进一球得2分,不进球得0分;在B区每进一球得3分,不进球得0分,得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为或.‎ ‎(1)如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准,问选手甲应该选择在哪个区投篮?‎ ‎(2)求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率.‎ ‎[解析] (1)法一:设选手甲在A区投两次篮的进球数为X,则X~B(2,),故E(X)=2×=,‎ 则选手甲在A区投篮得分的期望为2×=3.6.‎ 设选手甲在B区投三次篮的进球数为Y,则Y~B(3,),故E(Y)=3×=1,‎ 则选手甲在B区投篮得分的期望为3×1=3.‎ ‎∵3.6>3,‎ ‎∴选手甲应该选择在A区投篮.‎ 法二:设选手甲在A区投篮的得分为ξ,则ξ的可能取值为0,2,4,‎ P(ξ=0)=(1-)2=,‎ P(ξ=2)=C××(1-)=,‎ P(ξ=4)=()2=.‎ 所以ξ的分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎∴E(ξ)=0×+2×+4×=3.6.‎ 同理,设选手甲在B区域投篮的得分为η,则η的可能取值为0,3,6,9,‎ P(η=0)=(1-)3=,‎ P(η=3)=C××(1-)2=,‎ P(η=6)=C×()2(1-)=,‎ P(η=9)=()3=.‎ 所以η的分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ P ‎∴E(η)=0×+3×+6×+9×=3.‎ ‎∵E(ξ)>E(η),∴选手甲应该选择在A区投篮.‎ ‎(2)设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件C,甲在A区投篮得2分、在B区投篮得0分为事件C1,甲在A区投篮得4分、在B区投篮得0分为事件C2,甲在A区投篮得4分、在B区投篮得3分为事件C3,则C=C1∪C2∪C3,其中C1,C2,C3为互斥事件.‎ 则:P(C)=P(C1∪C2∪C3)=P(C1)+P(C2)+P(C3)=×+×+×=,故选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为.‎ 能力拓展提升 ‎11.(2013·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为ξ.‎ ‎(1)求ξ的分布列;‎ ‎(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值);‎ ‎(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?‎ ‎[解析] (1)由于1件产品的利润为ξ,则ξ的所有可能取值为6,2,1,-2,由题意知P(ξ ‎=6)==0.63,P(ξ=2)==0.25,P(ξ=1)==0.1,P(ξ=-2)==0.02.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎6‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-2‎ P ‎0.63‎ ‎0.25‎ ‎0.1‎ ‎0.02‎ ‎(2)1件产品的平均利润为E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万元).‎ ‎(3)设技术革新后三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(ξ)=6×0.7+2×(1-0.7-x-0.01)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x.‎ 由E(ξ)≥4.73,得4.76-x≥4.73,‎ 解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.‎ ‎12.(2012·湖北理,20)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:‎ 降水量X X<300‎ ‎300≤X<700‎ ‎700≤X<900‎ X≥900‎ 工期延误天数Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300、700、900的概率分别为0.3、0.7、0.9.求:‎ ‎(1)工期延误天数Y的均值与方差;‎ ‎(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.‎ ‎[分析] (1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列,再求均值与方差.(2)利用条件概率公式求解.‎ ‎[解析] (1)由已知条件和概率的加法公式有:‎ P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,‎ P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2.‎ P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.‎ 所以Y的分布列为:‎ Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ P ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;‎ D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2‎ ‎×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.‎ 故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.‎ ‎(2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,‎ 又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.‎ 由条件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)===.‎ 故在降水量X至少是‎300mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是.‎ ‎13.(2013·四川理,18)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.‎ ‎(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3);‎ ‎(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.‎ 甲的频数统计表(部分)‎ 乙的频数统计表(部分)‎ 当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大;‎ ‎(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.‎ ‎[解析] (1)变量x是在1,2,3,…,24这24个整中数随机产生的一个数,共有24种可能.‎ 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1=;‎ 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2=;‎ 当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3=.‎ 所以,输出y的值为1的概率为,输出y的值为2的概率为,输出y的值为3的概率为.‎ ‎(2)当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:‎ 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大.‎ ‎(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.‎ P(ξ=0)=C×()0×()3=,‎ P(ξ=1)=C×()1×()2=,‎ P(ξ=2)=C×()2×()1=,‎ P(ξ=3)=C×()3×()0=,‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以,Eξ=0×+1×+2×+3×=1.‎ 即ξ的数学期望为1.‎ ‎14.某学校数学兴趣小组有10名学生,其中有4名女学生;英语兴趣小组有5名学生,其中有3名女学生,现采用分层抽样方法,从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动.‎ ‎(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数;‎ ‎(2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率;‎ ‎(3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数,求ξ的分布列及数学期望.‎ ‎[解析] (1)因为数学兴趣小组人数:英语兴趣小组人数=105=21,从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人,则抽取数学小组的人数为2人,英语小组的人数为1人.‎ ‎(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率 P==.‎ ‎(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3.‎ P(ξ=0)=·=;‎ P(ξ=1)=·+·=;‎ P(ξ=2)=·+·=;‎ P(ξ=3)=·=,‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.‎ 考纲要求 ‎1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.‎ ‎2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.‎ ‎3.利用实际问题的直方图,了解正态分布的特点及曲线所表示的意义.‎ 补充说明 ‎1.均值与方差的理解 ‎(1)均值E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量是可变的,而E(X)是不变的,它描述X值的取值平均水平.‎ ‎(2)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越小,X的取值越集中,D(X)越大,X的取值越分散.‎ ‎2.正态曲线与正态分布 函数f(x)=φμ,σ(x)=e-,x∈R.其中实数μ和σ为参数,我们称f(x)的图象为正态曲线.服从正态分布的随机变量叫做正态变量.‎ 正态随机变量X落在区间[a,b]内的概率为:‎ P(a1.75,则p的取值范围是(  )‎ A.(0,) B.(,1)‎ C.(0,) D.(,1)‎ ‎[答案] C ‎[解析] 由已知条件可得P(X=1)=p,‎ P(X=2)=(1-p)p,‎ P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,‎ 则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,‎ 解得p>或p<,‎ 又由p∈(0,1),可得p∈(0,),故应选C.‎ ‎4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a、b、c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量ξ=“|a-b|的取值”,则ξ的数学期望E(ξ)为(  )‎ A.    B.    ‎ C.    D. ‎[答案] A ‎[解析] ∵对称轴在y轴左侧,‎ ‎∴-<0,∴ab>0,即a与b同号,‎ ‎∴满足条件的抛物线有‎2CCC=126条.‎ ξ的取值为0、1、2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.‎ ‎∴E(ξ)=×0+×1+×2=.‎ ‎5.(2013·山东聊城一模)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时部分每小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,;两人租车时间都不会超过四小时.‎ ‎(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;‎ ‎(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).‎ ‎[解析] (1)由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为,.‎ 记“甲,乙两人所付的租车费用相同”为事件A,‎ 则P(A)=×+×+×=,‎ 即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.‎ ‎(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,2,4,6,8,且 P(ξ=0)=×=;‎ P(ξ=2)=×+×=;‎ P(ξ=4)=×+×+×=;‎ P(ξ=6)=×+×=;‎ P(ξ=8)=×=.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ P 所以E(ξ)=0×+2×+4×+6×+8×=.‎ ‎6.有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表:‎ 所用的时间(天数)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 通过公路1的频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎20‎ 通过公路2的频数 ‎10‎ ‎40‎ ‎40‎ ‎10‎ 假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发,汽车B只能在约定日期的前12天出发.‎ ‎(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径.‎ ‎(2)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略不计),此项费用由生产商承担.如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到,则销售商一次性支付给生产商40万元,若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给生产商2万元;若在约定日期后送到,每迟到一天,销售商将少支付给生产商2万元.如果汽车A、B长期按(1)中所选路径运输货物,试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大.‎ ‎(注:毛利润=销售商支付给生产商的费用-一次性费用)‎ ‎[解析] (1)频率分布表,如下:‎ 所用的时间(天数)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 通过公路1的频率 ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 通过公路2的频率 ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 设A1、A2分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙;B1、B2分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙.‎ P(A1)=0.2+0.4=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,‎ ‎∴汽车A应选择公路1.‎ P(B1)=0.2+0.4+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,‎ ‎∴汽车B应选择公路2.‎ ‎(2)设X表示汽车A选择公路1时,销售商付给生产商的费用,则X=42,40,38,36.‎ X的分布列如下:‎ X ‎42‎ ‎40‎ ‎38‎ ‎36‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ E(X)=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2.‎ ‎∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2-3.2=36.0(万元)‎ 设Y表示汽车B选择公路2时的毛利润,Y=42.4,40.4,38.4,36.4.‎ 则分布列如下:‎ Y ‎42.4‎ ‎40.4‎ ‎38.4‎ ‎36.4‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ E(Y)=42.4×0.1+40.4×0.4+38.4×0.4+36.4×0.1=39.4,‎ ‎∴汽车B选择公路2时的毛利润为39.4万元,‎ ‎∵36.0<39.4,∴汽车B为生产商获得毛利润更大.‎