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- 2021-05-14 发布
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【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-9随机变量的数字特征与正态分布课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1.(2013·湖州模拟)一套重要资料锁在一个保险柜中,现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜,但其中只有一把真的可以打开柜门,平均来说打开柜门需要试开的次数为( )
A.1 B.n
C. D.
[答案] C
[解析] 这把可以打工柜门的钥匙排在任何一个位置都是等可能的,概率为,设试开次数为ξ,则E(ξ)=(1+2+…+n)·=.
2.(2013·广州一模)已知随机变量X+η=8,若X~B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是( )
A.6和2.4 B.2和2.4
C.2和5.6 D.6和5.6
[答案] B
[解析] ∵X~B(10,0.6),∴E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×(1-0.6)=2.4,
∴E(η)=8-E(X)=2,D(η)=(-1)2D(X)=2.4.
3.(2013·白山联考)设随机变量X~N(1,52),且P(X≤0)=P(X≥a-2),则实数a的值为( )
A.4 B.6
C.8 D.10
[答案] A
[解析] ∵X~N(1,52),P(X≤0)=P(X≥a-2),
∴=1,∴a=4.
4.一台机器生产某种产品,如果生产一件甲等品可获利50元,生产一件乙等品可获利30元,生产一件次品,要赔20元,已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品,平均预期可获利( )
A.39元 B.37元
C.20元 D.元
[答案] B
[解析] ξ的分布列为
ξ
50
30
-20
p
0.6
0.3
0.1
∴E(ξ)=50×0.6+30×0.3+(-20)×0.1=37(元),故选B.
5.已知随机变量ξ,η满足ξ=2η-1,且ξ~B(10,p),若E(ξ)=8,则D(η)=( )
A.0.5 B.0.8
C.0.2 D.0.4
[答案] D
[解析] ∵E(ξ)=10p=8,∴p=0.8,∴D(ξ)=10p(1-p)=10×0.8×0.2=1.6,又D(ξ)=D(2η-1)=4D(η),∴D(η)=0.4.
6.(2013·深圳调研)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] P=×+×=
二、填空题
7.抛掷一枚均匀的正方体骰子,观察出现的点数,如果出现了5点或6点,则称“抛掷高效”,若“抛掷高效”则得1分,否则得0分,则抛掷一次得分的期望为________.
[答案]
[解析] 由题意P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
∴E(ξ)=0×+1×=.
8.如果随机变量ξ~B(n,p),且E(ξ)=4,且D(ξ)=2,则E(pξ-D(ξ))=________.
[答案] 0
[解析] ∵ξ~B(n,p),且E(ξ)=4,∴np=4,
又∵D(ξ)=2,∴np(1-p)=2,∴p=,
∴E(pξ-D(ξ))=E(ξ-2)=E(ξ)-2=0.
9.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球,先从甲罐中任意取出一球放入乙罐,再从乙罐中取出一球,则从乙罐中取出的球是白球的概率为________.
[答案]
[解析] 设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A1、A2、A3,设从乙罐中取出白球的事件为B,则
P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
所求概率P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=×+×+×=.
三、解答题
10.(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次.在A区每进一球得2分,不进球得0分;在B区每进一球得3分,不进球得0分,得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为或.
(1)如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准,问选手甲应该选择在哪个区投篮?
(2)求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率.
[解析] (1)法一:设选手甲在A区投两次篮的进球数为X,则X~B(2,),故E(X)=2×=,
则选手甲在A区投篮得分的期望为2×=3.6.
设选手甲在B区投三次篮的进球数为Y,则Y~B(3,),故E(Y)=3×=1,
则选手甲在B区投篮得分的期望为3×1=3.
∵3.6>3,
∴选手甲应该选择在A区投篮.
法二:设选手甲在A区投篮的得分为ξ,则ξ的可能取值为0,2,4,
P(ξ=0)=(1-)2=,
P(ξ=2)=C××(1-)=,
P(ξ=4)=()2=.
所以ξ的分布列为:
ξ
0
2
4
P
∴E(ξ)=0×+2×+4×=3.6.
同理,设选手甲在B区域投篮的得分为η,则η的可能取值为0,3,6,9,
P(η=0)=(1-)3=,
P(η=3)=C××(1-)2=,
P(η=6)=C×()2(1-)=,
P(η=9)=()3=.
所以η的分布列为:
ξ
0
3
6
9
P
∴E(η)=0×+3×+6×+9×=3.
∵E(ξ)>E(η),∴选手甲应该选择在A区投篮.
(2)设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件C,甲在A区投篮得2分、在B区投篮得0分为事件C1,甲在A区投篮得4分、在B区投篮得0分为事件C2,甲在A区投篮得4分、在B区投篮得3分为事件C3,则C=C1∪C2∪C3,其中C1,C2,C3为互斥事件.
则:P(C)=P(C1∪C2∪C3)=P(C1)+P(C2)+P(C3)=×+×+×=,故选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为.
能力拓展提升
11.(2013·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为ξ.
(1)求ξ的分布列;
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值);
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?
[解析] (1)由于1件产品的利润为ξ,则ξ的所有可能取值为6,2,1,-2,由题意知P(ξ
=6)==0.63,P(ξ=2)==0.25,P(ξ=1)==0.1,P(ξ=-2)==0.02.
故ξ的分布列为
ξ
6
2
1
-2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)1件产品的平均利润为E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万元).
(3)设技术革新后三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(ξ)=6×0.7+2×(1-0.7-x-0.01)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x.
由E(ξ)≥4.73,得4.76-x≥4.73,
解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.
12.(2012·湖北理,20)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300、700、900的概率分别为0.3、0.7、0.9.求:
(1)工期延误天数Y的均值与方差;
(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.
[分析] (1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列,再求均值与方差.(2)利用条件概率公式求解.
[解析] (1)由已知条件和概率的加法公式有:
P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,
P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2.
P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.
所以Y的分布列为:
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2
×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.
(2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,
又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.
由条件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)===.
故在降水量X至少是300mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是.
13.(2013·四川理,18)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3);
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计表(部分)
乙的频数统计表(部分)
当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大;
(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.
[解析] (1)变量x是在1,2,3,…,24这24个整中数随机产生的一个数,共有24种可能.
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1=;
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2=;
当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3=.
所以,输出y的值为1的概率为,输出y的值为2的概率为,输出y的值为3的概率为.
(2)当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:
比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大.
(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=C×()0×()3=,
P(ξ=1)=C×()1×()2=,
P(ξ=2)=C×()2×()1=,
P(ξ=3)=C×()3×()0=,
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以,Eξ=0×+1×+2×+3×=1.
即ξ的数学期望为1.
14.某学校数学兴趣小组有10名学生,其中有4名女学生;英语兴趣小组有5名学生,其中有3名女学生,现采用分层抽样方法,从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动.
(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数;
(2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率;
(3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数,求ξ的分布列及数学期望.
[解析] (1)因为数学兴趣小组人数:英语兴趣小组人数=105=21,从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人,则抽取数学小组的人数为2人,英语小组的人数为1人.
(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率
P==.
(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3.
P(ξ=0)=·=;
P(ξ=1)=·+·=;
P(ξ=2)=·+·=;
P(ξ=3)=·=,
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
考纲要求
1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
3.利用实际问题的直方图,了解正态分布的特点及曲线所表示的意义.
补充说明
1.均值与方差的理解
(1)均值E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量是可变的,而E(X)是不变的,它描述X值的取值平均水平.
(2)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越小,X的取值越集中,D(X)越大,X的取值越分散.
2.正态曲线与正态分布
函数f(x)=φμ,σ(x)=e-,x∈R.其中实数μ和σ为参数,我们称f(x)的图象为正态曲线.服从正态分布的随机变量叫做正态变量.
正态随机变量X落在区间[a,b]内的概率为:
P(a1.75,则p的取值范围是( )
A.(0,) B.(,1)
C.(0,) D.(,1)
[答案] C
[解析] 由已知条件可得P(X=1)=p,
P(X=2)=(1-p)p,
P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,
则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,
解得p>或p<,
又由p∈(0,1),可得p∈(0,),故应选C.
4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a、b、c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量ξ=“|a-b|的取值”,则ξ的数学期望E(ξ)为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] ∵对称轴在y轴左侧,
∴-<0,∴ab>0,即a与b同号,
∴满足条件的抛物线有2CCC=126条.
ξ的取值为0、1、2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.
∴E(ξ)=×0+×1+×2=.
5.(2013·山东聊城一模)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时部分每小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,;两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).
[解析] (1)由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为,.
记“甲,乙两人所付的租车费用相同”为事件A,
则P(A)=×+×+×=,
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,2,4,6,8,且
P(ξ=0)=×=;
P(ξ=2)=×+×=;
P(ξ=4)=×+×+×=;
P(ξ=6)=×+×=;
P(ξ=8)=×=.
ξ的分布列为
ξ
0
2
4
6
8
P
所以E(ξ)=0×+2×+4×+6×+8×=.
6.有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表:
所用的时间(天数)
10
11
12
13
通过公路1的频数
20
40
20
20
通过公路2的频数
10
40
40
10
假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发,汽车B只能在约定日期的前12天出发.
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径.
(2)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略不计),此项费用由生产商承担.如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到,则销售商一次性支付给生产商40万元,若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给生产商2万元;若在约定日期后送到,每迟到一天,销售商将少支付给生产商2万元.如果汽车A、B长期按(1)中所选路径运输货物,试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大.
(注:毛利润=销售商支付给生产商的费用-一次性费用)
[解析] (1)频率分布表,如下:
所用的时间(天数)
10
11
12
13
通过公路1的频率
0.2
0.4
0.2
0.2
通过公路2的频率
0.1
0.4
0.4
0.1
设A1、A2分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙;B1、B2分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙.
P(A1)=0.2+0.4=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,
∴汽车A应选择公路1.
P(B1)=0.2+0.4+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∴汽车B应选择公路2.
(2)设X表示汽车A选择公路1时,销售商付给生产商的费用,则X=42,40,38,36.
X的分布列如下:
X
42
40
38
36
P
0.2
0.4
0.2
0.2
E(X)=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2.
∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2-3.2=36.0(万元)
设Y表示汽车B选择公路2时的毛利润,Y=42.4,40.4,38.4,36.4.
则分布列如下:
Y
42.4
40.4
38.4
36.4
P
0.1
0.4
0.4
0.1
E(Y)=42.4×0.1+40.4×0.4+38.4×0.4+36.4×0.1=39.4,
∴汽车B选择公路2时的毛利润为39.4万元,
∵36.0<39.4,∴汽车B为生产商获得毛利润更大.