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- 2021-05-14 发布
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2015年重庆高考数学试题(理科)及答案解析
一、选择题
(1)已知集合则 ( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】集合的元素,但是集合的元素,所以是的真子集。
【点评】本题旨在考查集合与集合的关系,此题属简单题。
(2)在等差数列中,若则 ( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】根据题意知:,易知,所以.
【点评】此题旨在考查等差数列的性质的公式,但做此题需要考生细心,此题属简单题。
(3)重庆市年各月的平均气温数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是 ( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】根据茎叶图的显示易知中位数为.
【点评】此题考查了茎叶图和中位数定义,属于简单题.
(4) 是的 ( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】因为,所以
【点评】此题考查了对数函数的应用以及结合命题关系,此题在过去高考及模拟中屡次出现,属于简单题.
(5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
【答案】
【解析】由三视图容易看出,原图是一个半圆柱体和椎体,半圆柱体的底面圆半径为,长为,得 知体积为,易知椎体的体积为.
【点评】此题考查了三视图,另外考查了几何体的体积计算,属于简单题.
(6)若非零向量满足,且,则与的夹角为 ( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】设与的夹角为,根据题知,得,所以,,在由得
,,即.
【点评】此题考查了向量的运算以及向量的性质,此题为简单题.
(7)执行如图所示的程序框图,若输出的值为,则判断框内
可填入的条件是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】第一次: 第二次:
第三次: 第四次:
输出
【点评】本题考查了程序框图的循环结构,只要考生冷静下来按照程序框图计算即可得出答案,属
简单题.
(8)已知直线是圆的对称轴,过点
作圆的一条切线,切点为,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】易知圆的标准方程,圆心为 又因为直线
是圆的对称轴,则该直线一定经过圆心,得知,又因为
直线与圆相切,则为直角三角形,
,,
【点评】此题考查了圆的位置关系,是一道典型的解析几何题,此题难度不大,属于简单题.
(9)若,则
A. B. C. D.
【答案】
【解析】根据诱导公式,所以原式
,分子分母同时除以得出原式
【点评】该题考查了诱导公式的灵活运用以及和差化积公式,难度适中。
(10)设双曲线的右焦点为,右定点为,过作的垂线与双
曲线交于两点,过分别作的垂线,两垂线交于点,若到直线的
距离小于,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】根据题意知点D一定在x轴上,所以点到直线BC的距离为,由图知,
,又,所以
,解出,,根据实际情况
,
【点评】该题考查了圆锥曲线的性质,以及解析几何的三垂线定理,难度适中。
二:填空题
(11)设复数的模为,则 。
【答案】3
【解析】由题易得,故;
【点评】此题主要考查复数的模的运算,属于简单题型。
(12)的展开式中的系数是 (用数字作答)。
【答案】
【解析】由二项式的定理设
当时,易得,故系数为。
【点评】此题主要考查二项式系数的应用,属于简单题型。
(13)在中,的角平分线,则 。
【答案】
【解析】
如图,由正弦定理易得,即,故,即,在,知,即。由于是的角平分线。故。在中,,易得。在中,由正弦定理得。即,故
【点评】此题主要考查解三角形的正余弦定理应用,此类题过去会出现在高考题的解答题中,属于
中档题题型。
考生注意:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中选两题作答。若三题全做,则按前两题给分。
(14)如题(14)图,圆的弦相交于点,则过点作圆的切线与的延长线交于点,若,,则 。
【答案】2
【解析】由切割线定理的 ,易得,故,因为,故。由相交线定理可得又因为易得。
【点评】此题主要考查切割线定理,属于简单题型。
(15)已知直线的参数方程为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为则直线与曲线的交点的极坐标为 。
【答案】
【解析】由直线的参数方程为参数),得直线方程为①;由得,故②,联立①②易得交点坐标。较易得交点的极坐标为。
【点评】此题主要考查参数方程的化简,直角坐标系与极坐标的转化,属于中等题型。
(16)若函数的最小值为5,则实数= 。
【答案】-6 或 4
【解析】第一种分类:当时,端点值为
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)当时,;
如图所示:
由图易知:,解得(舍)或 ,即
第二种分类:当 时,端点值为
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)当 时,;
如图所示:
由图易知: ,解得或(舍),即
综上所述:或4
【点评】此题主要考察了绝对值不等式的分类讨论,属于中档题型。
三、解答题
(17)(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)
端午节吃粽子是我国的传统习俗。设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,
白粽5个,这3种粽子的外观完全相同。从中任意选取3个。
(1) 求三种粽子各取到1个的概率;
(2) 设表示取到豆沙粽个数,求的分布列与数学期望。
【解析】(1)令A表示事件“三个粽子各取到1个”,则古典概型的概率计算公式有
。
(2)的可能取值为0,1,2,且
,
,
综上知的分布列为
X
0
1
2
故 (个)
【点评】考察了古典概型的概率以及分布列,属于简单题型.
(18)(本小题满分13分,(1)小问7分,(2)小问6分)
已知函数。
(1)求 的最小周期和最大值;
(2)讨论在上的单调性。
【解析】(1)
.
因此的最小正周期为,最小值为.
(2)由条件可知:
当时有,,从而的值域为,那么的值域为,故在区间上的值域是.
【点评】考察了三角函数的恒等变换以及三角函数的图像性质,属于简单题型.
(19)(本小题满分13分,(1)小问4分,(2)小问9分)
如题(19)图,三棱锥,平面,分别为线段上的点,且。
(1)证明:平面;
(2)求二面角的余弦值。
【解析】(1) 证明:由平面ABC,平面ABC,故,
由得为等腰直角三角形,故
由,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故平面PCD
(2)解:由(1)知,为等腰直角三角形,,如图,过D作DF垂直CE于
F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,故FB=2.
由得DF//AC,,故。 以C为坐标原点,分
别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
设平面PAD的法向量为,由,得
, 故可取。由(1)可知平面PCD,故平面PCD的法
向量可取为,即从而法向量的夹角的余弦值为
,故所求二面角A-PD-C的余弦值为
【点评】第一问主要考察了线面垂直的应用,属于简单题。第二问考察二面角的求法以及空间向量
建系的细节,属于常考题型.
(20)(本小题满分12分,(1)小问7分,(2)小问5分)
设函数。
(1)若在处取得极值,确定的值,并求此时曲线在点处的切线方
程;
(2)若在上为减函数,求的取值范围。
【解析】(1)对求导得,
因为在处取得极值,所以,即。
当时,, ,故,。从而
在点处的切线方程,化简得。
(2)由(1)得知,令,由
解得。
当时,,即,故为减函数;
当时,,即,故为增函数;
当时,,即,故为减函数;
由在上为减函数,即,得,故的取值范围为。
【点评】第一问主要考察了导数的几何意义,导数的求导公式以及极值问题,属于简单题型。第二
问属于主要考察了倒数的求导公式以及单调性的应用,是高考常考题型,属于简单题型.
(21)(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)
如题(21)图,椭圆的左、右焦点分别为 ,过的直线交椭圆于两点,且。
(1)若,,求椭圆的标准方程;
(2)若,求椭圆的离心率。
【解析】(1)由椭圆的定义,
故。
设椭圆的半焦距为,由已知,因此
=,即,从而。
故所求椭圆的标准方程为。
(2)如答(21)图,由椭圆的定义,从而由,有
又由, ,知,因此, ,得
从而由,知
,因此
.
【点评】第一问主要考察了椭圆的定义与性质,第二问考察解析几何数形结合的应用,属于中档题.
(22)(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)
在数列中,。
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若,,证明:。
【解析】(1)由有
若存在某个,使得,则由上述递推公式易得。重复上述过程可得,此与矛盾,所以对任意的,。
从而,即是一个公比的等比数列。
故。
(2)由,数列的递推关系式变为,变形为。由上式及,归纳可得
。
因为,所以对求和得
=
另一方面,由上已证的不等式知,得
综上所述:
【点评】此题考查“数列递推”求通项。数列的归纳与放缩法主要考察了学生的灵便能力,此题属
于难度较高的题型.