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  • 2021-05-14 发布

北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑四

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学科:数学 教学内容:导数与微分经点答疑(四)‎ ‎11.什么是高阶导数?‎ 我们知道函数的导数是.而导数仍是可导的,它的导数是.这种导数的导数就称为对y对x的二阶导数.一般地我们有:‎ 函数y=f(x)的导数仍是x的函数,若函数的导数存在,则称的导数为y=f(x)的二阶导数.记作 相应地,把y=f(x)的导数叫作函数y=f(x)的一阶导数.‎ 同样,若二阶导数的导数存在,则称其导数为y=f(x)的三阶导数.记作 ‎……‎ 一般地,若n-1阶导数的导数存在,则称其导数为y=f(x)的n阶导数.记作 这里的n称为导数的阶数.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.‎ 若y=f(x)具有n阶导数,也常说成函数f(x)为n阶可导.‎ 由以上高阶导数的定义可以看出,要求n阶导数,需要求出n-1阶导数,要求n-1‎ 阶导数,需要求出n-2阶导数,…,要求二阶导数,需要求出一阶导数,因此要求高阶导数,只需要进行一连串通常求导数的运算即可.‎ 例1 求n次多项式的各阶导数..‎ 思路启迪 首先求出f(x)的一阶、二阶、三阶等阶数较低的n阶导数,从中找出导数与导数阶数的关系.‎ 可见,每经一次求导运算,多项式的次数就降低一次.继续求导下去,易知:是一个常数,由此有 即n次多项式的一切阶数高于n的导数都等于零.‎ 思路启迪 要证明这个等式成立,而在此等式的左边含有,只要能正确求y对x的两阶导数,将y及代入等式左边并验证其为零即可.‎ 规范证法 例4 求y=sinx的n阶导数.‎ 思路启迪 求sinx的n阶导数的关键是找出n 阶导数与导数的阶数的关系,为此我们可以先求出较低n阶导数,从中归纳出导数与导数的阶数的关系即可.‎ ‎12.怎样求隐函数的导数?‎ 前面所讨论的函数求导方法,函数都是因变量y已经写成自变量x的明显表达式y=f(x)的形式,这样的函数称为显函数.但有时我们所遇到的函数关系不是明显地用显函数形式表示的情形.如方程2x+5y+1=0及它们都表示x、y之间的函数关系.一般地我们把由方程F(x,y)=0表示的因变量y自变量x的函数关系式y=f(x)称为隐函数.对于隐函数,有时可以根据确定隐函数关系的方程找出显函数形式y=f(x),从而可利用前面的求导方法把它的导数找出来,但有时要把这个隐函数表示成显函数的形式是比较复杂的,有时甚至是不可能的,这时要利用前面的方法求导数就比较困难,甚至不可能,因此,我们有必要寻求隐函数的求导方法.实际上,对于隐函数我们不需要把它表示成显函数的形式,就可以把它的导数求出来.方法是:‎ 将确定隐函数的方程的两端同时对x求导(注意到y表示x的函数),求导过程中,遇到变量y,把y看中间变量,先对y求导,再乘以y对x的导数(即遇到变量y要利用复合函数的求导法则).这样,我们可以得到一个关于的一元一次方程,解出即可.‎ 思路启迪 由于y是x的函数,可将y写成x的函数的形式y(x),则可写成 思路启迪 由于方程所确定的是y为x的函数,可将y写成x的形式y ‎(x),则该方程可写成于是由隐函数的求导法则得.‎ 规范解法 将方程两端对x求导,并利用函数的求导法则得 ‎13.什么是对数求导法?它主要适用于哪些类型函数的求导?‎ 对数求导法是将函数y=f(x)两端取绝对值(由于求导之后绝对值同时去掉,因此常把取绝对值这一步省略,认为f(x)为正值,即lnf(x)有意义).然后再两端取对数(取自然对数,它的导数形式比较简单).这时我们就把它化成隐函数,然后再求出它的导数.这种把显函数取对数化成隐函数再求导的方法称为对数求导法.它常用于由若干因式的积、商或根式组成的函数和幂指函数的求导运算.对数求导法的优点是:它把积变成和,把商变成差,把幂指变成积.易知,和差的求导运算要比乘、商的求导运算简单.具体步骤如下:‎ ‎(1)两端取绝对值(常略去)之后,再取自然对数.‎ ‎(2)等式两端分别对自变量求导.‎ 举例如下 思路启迪 在前面我们利用恒等式求出了该函数的导数,在此我们将利用隐函数求导法求它的导数.这里可将等式两端取对数首先把它变成隐函数,再利用隐函数求导法.‎ 规范解法 两端取对数lny=g(x)lnf(x),两端对x求导 思路启迪 该函数是由两个函数的商构成,而商的分子和分母都是由三个函数的积所构成,若直接利用商与积的求导法则就比较麻烦,但若借助于两端取对数,再利用隐函数的求导方法就比较简单.‎ 规范解法 两端取对数 lny=ln(x-1)+ln(x-2)+ln(x-3)-ln(x-4)-ln(x-5)-ln(x-6),‎ 两端对x求导 ‎14.怎样利用导数判别函数的单调性?‎ 我们知道,如果函数f(x)在区间(a,b)内是增函数或是减函数,那么我们就说函数f(x)在区间(a,b)具有单调性,区间(a,b)称为f(x)的单调区间.那么怎样利用导数判别函数的单调性呢?‎ 设函数f(x)在(a,b)可导,则曲线y=f(x)处处有切线.如图3-4,曲线上每点的切线与x轴正向的夹角是锐角,即这时函数在(a,b)是增函数.如图3-5曲线上每点的切线与x轴正向的夹角为钝角,即此时函数f(x)在(a,b)是减函数.‎ 一般地,设函数y=f(x)在区间I内可导,如果对任意的点x∈I,有则f(x)在I内是增函数,若对于任意的点x∈I,有则f(x)在I内为减函数.‎ 思路启迪 利用导数判别函数单调性,首先要求函数的导数,然后确定导数在哪些范围内是正值,哪些范围内是负值,从而确定出函数的增减区间.‎ 即当x∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,f(x)是增函数.‎ 即当x∈(1,3)时,f(x)是减函数.(图3-6).‎ ‎ ‎ 即当x∈(-∞,0)时,f(x)是增函数.‎ 即当x∈(0,+∞)时f(x)是减函数.(如图3-7).‎ 分析上面的例题,当x<1或x>3时,单调增加,当10时,f(x)单调减少,而当x=0时,.这说明使点x可能是f(x)单调增加与单调减少的分界点.因此讨论可导函数的单调性,我们也可以按照以下步骤去作:即求出f(x)的导数,解出使的点,用这些点将f(x)的定义域分成若干个区间,然后在各个区间上判别的符号,从而可得f(x)在各个区间上的单调性.后两步可用一个表格来完成.‎ 列表 由上表可知:f(x)在(-∞-1)与(1,+∞)上是单调增加的;在(-1,1)上是单调减少的.‎ ‎15.怎样利用导数求可导函数的极值?‎ 已知函数在点O附近的任意点x,都有即函数在点O的值要比它附近的任意点的函数值都要小(如图3-8),这时,我们称函数在点O取极小值.而函数在点O附近的任意点x,都有,即函数在点O的值要比它附近的每一点的函数值都要大(如图3-9),这时,我们就说在点O取极大值.‎ 一般地,设函数f(x)在点附近内有定义,若对点附近的每一点x,都有,我们就称它为f(x)在点取极大值,是f(x)在点处的极大值,记作称为函数f(x)的极大值点.如果对点附近的所有点x,都有,我们就称函数f(x)在点取极小值,是f(x)在点 处的极小值,记作称为函数f(x)的极小值点.‎ 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.‎ 已知函数的导数是,在点O的值是0,即在点O的左侧,即当x<0时,有导数;在点O的右侧,即当x>0时,导数函数在点O取极小值.‎ 函数的导数是在点O的左侧,即当x<0时,有导数;在点O的右侧,即当时,有导数.函数在点O取极大值.‎ 一般地,当函数f(x)在点的附近可导时,我们判别函数f(x)在点处取极大(小)值的方法是:‎ ‎(1)若在点的左侧,右侧则是极小值.‎ ‎(2)若在点的左侧,右侧则是极大值.‎ 从上面的讨论,我们可以看到,若f(x)在点可导,且在点取极值,则有,即可导的极值点满足.但是满足的点不一定是极值点,如,在O点处的值,但O不是f(x)的极值点.‎ 一般地,我们求函数极值的步骤是:‎ ‎(Ⅲ)判别函数f(x)的导数在每个根两侧的符号,并根据的符号确定f(x)在是否取极值.‎ 思路启迪 求出并令得其根等,用将函数的定义域分成若干个区间,在每个区间上用的符号列出y的增减性.‎ 所以,当x=-1时,有极小值;当x=1时,有极大值.‎ 列表 ‎16.怎样利用导数求函数在闭区间上的最大值与最小值?对于实际问题该怎样解决?‎ 在生产实践和工程技术中,常常遇到这样一类问题:在一定条件下,怎样使“产品最多”、“收益最大”、“用料最省”、“成本最低”和“效率最高”等问题,这类问题在数学上有时可归纳为求某函数的最大值或最小值问题.‎ 如图3-11,在闭区间[a,b]上,对于[a,b],都有f(x)≥f(b),f(b)就称为f(x)在[a,b]上的最小值;对于[a,b],有就称为f(x)在[a,b]上的最大值.‎ 一般地,设f(x)在区间I上有定义,若存在点,使对每一点x∈[a,b]都有,则称f(x)在I上有最大值,记为M,即;若存在点,使对每一点x∈[a,b]都有,则称函数f(x)在I上有最小值,记为m.即.‎ 一般地,若y=f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.‎ 但函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续,则不一定有最大值与最小值.如在(0,+∞)内连续,但f(x)在(0,+∞)内没有最大值与最小值.‎ 从图3-11可以看出,若函数的最小值在区间[a,b]的内部间取得,则必在极小值点取得;若函数的最大值在区间[a,b]的内部取得,则必在极大值点取得.最大值与最小值也可能在端点取得,而在极值的讨论中,我们可以看出,对于可导函数来说,极值点可能在使的点x处取得.因此,对于可导函数来说,它的最大值与最小值若在区间的内部取得,只可能在使得的点取得.‎ 根据以上分析,若f(x)在[a,b]上连续且可导,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为:‎ ‎(2)将f(a),f(b),进行比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值.‎ 思路启迪 因为所给函数在[-3,4]上可导,所以,只需把的点与端点的值比较而可得出.‎ 比较可得,函数f(x)在x=4取得它在[-3,4]上的最大值f(4)=142;在x=1取得它在[-3,4]上的最小值f(1)=7.‎ 对于一个实际问题而言,如果在(a,b)内部的根只有一个,而从实际含义分析知在(a,b)内一定有最大值或最小值存在.那么一般来说,就是所要求的最大值或最小值.‎ 例2 已知一木材有直径为d的圆截面,如何把它加工成为最坚固的矩形截面的横梁.‎ 思路启迪 依题意,要使横梁最坚固,也即是使得横梁的抗弯强度最大,因此,首先应找出抗弯强度与矩形截面的关系,然后确定矩形截面的长宽为何值时抗弯强度为最大.‎ 规范解法 如图3—12所示,设横梁矩形截面的底边长为x,则其高为,由材料力学的知识得,强度同成正比,设强度为f(x),于是有: 而从实际问题分析知,f(x)应有最大值,所以当时,f(x)为最大,这时相应的高