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- 2021-05-14 发布
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2017年上海市高考数学试卷
一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
1.已知集合A={1,2,3,4},集合B={3,4,5},则A∩B= .
{3,4} 【解析】∵集合A={1,2,3,4},集合B={3,4,5},∴A∩B={3,4}.
2.(2017年上海)若排列数A=6×5×4,则m= .
2.3 【解析】∵排列数A=6×5×…×(6-m+1),∴6-m+1=4,即m=3.
3.(2017年上海)不等式>1的解集为 .
3.(-∞,0) 【解析】由>1,得1->1,则<0,解得x<0,即原不等式的解集为(-∞,0).
4.(2017年上海)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于 .
4.9π 【解析】设球的半径为R,则由球的体积为36π,可得πR3=36π,解得R=3.该球的主视图是半径为3的圆,其面积为πR2=9π.
5.(2017年上海)已知复数z满足z+=0,则|z|= .
5. 【解析】由z+=0,可得z2+3=0,即z2=-3,则z=±i,|z|=.
6.(2017年上海)设双曲线-=1(b>0)的焦点为F1,F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|=5,则|PF2|= .
6.11 【解析】双曲线-=1中,a==3,由双曲线的定义,可得||PF1|-|PF2||=6,又|PF1|=5,解得|PF2|=11或﹣1(舍去),故|PF2|=11.
7.(2017年上海)如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若向量的坐标为(4,3,2),则向量的坐标是 .
7.(-4,3,2) 【解析】由的坐标为(4,3,2),可得A(4,0,0),C(0,3,2),D1(0,0,2),则C1(0,3,2),∴=(﹣4,3,2).
8.(2017年上海)定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)的反函数为y=f﹣1(x),若g(x)=为奇函数,则f-1(x)=2的解为 .
8. 【解析】g(x)=为奇函数,可得当x>0时,﹣x<0,即有g(x)=-g(﹣x)=-(3-x-1)=1-3-x,则f(x)=1-3-x.由f-1(x)=2,可得x=f(2)=1-3-2=,即f-1(x)=2的解为.
9.(2017年上海)已知四个函数:①y=-x,②y=-,③y=x3,④y=x,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .
9. 【解析】从四个函数中任选2个,基本事件总数n=C=6,“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③,①④,共2个,∴事件“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为p==.
10.(2017年上海)已知数列{an}和{bn},其中an=n2,n∈N*,{bn}的项是互不相等的正整数,若对于任意n∈N*,{bn}的第an项等于{an}的第bn项,则=
10.2 【解析】∵an=n2,n∈N*,若对于一切n∈N*,{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项,∴ba=ab=b.∴b1=b12,b4=b22,b9=b32,b16=b42.∴b1b4b9b16=(b1b2b3b4)2,=2.
11.(2017年上海)设α1,α2∈R且+=2,则|10π-α1-α2|
的最小值等于 .
11. 【解析】由-1≤sin α1≤1,可得1≤2+sin α1≤3,则≤≤1.同理可得≤≤1.要使+=2,则==1,即sin α1=sin 2α2=-1.所以α1=2k1π-,2α2=2k2π-,k1,k2∈Z.所以|10π-α1-α2|=|10π-(2k1π-)-(k2π-)|=|10π+-(2k1+k2)π|,当2k1+k2=11时,|10π-α1-α2|取得最小值.
12.(2017年上海)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P1,P2,P3,P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω={P1,P2,P3,P4},点P∈Ω,过P作直线lP,使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧.用D1(lP)和D2(lP)分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和.若过P的直线lP中有且只有一条满足D1(lP)=D2(lP),则Ω中所有这样的P为 .
12.P1,P3,P4 【解析】设记为“▲”的四个点为A,B,C,D,线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,易知EFGH为平行四边形,如图所示,四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2,则经过点P2的所有直线都是符合条件的直线lP.因此经过点P2的符合条件的直线lP有无数条;经过点P1,P3,P4的符合条件的直线lP各有1条,即直线P2P1,P2P3,P2P4.故Ω中所有这样的P为P1,P3.P4.
二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
13.(2017年上海)关于x,y的二元一次方程组的系数行列式D为( )
A. B. C. D.
13.C 【解析】关于x,y的二元一次方程组的系数行列式D=.故选C.
14.(2017年上海)在数列{an}中,an=(-)n,n∈N*,则 an( )
A.等于- B.等于0 C.等于 D.不存在
14.B 【解析】数列{an}中,an=(-)n,n∈N*,则an=(-)n=0.故选B.
15.(2017年上海)已知a,b,c为实常数,数列{xn}的通项xn=an2+bn+c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100+k,x200+k,x300+k成等差数列”的一个必要条件是( )
A.a≥0 B.b≤0 C.c=0 D.a-2b+c=0
15.A 【解析】存在k∈N*,使得x100+k,x200+k,x300+k成等差数列,可得2[a(200+k)2+b(200+k)+c]=a(100+k)2+b(100+k)+c+a(300+k)2+b(300+k)+c,化简得a=0,∴使得x100+k,x200+k,x300+k成等差数列的必要条件是a≥0.故选A.
16.(2017年上海)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1和C2:x2+=1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是·的最大值.记Ω={(P,Q)|P在C1上,Q在C2上且·=w},则Ω中的元素有( )
A.2个 B.4个 C.8个 D.无穷个
16.D 【解析】P为椭圆C1:+=1上的动点,Q为C2:x2+=1上的动点,可设P(6cosα,2sinα),Q(cosβ,3sinβ),α,β∈[0,2π],则·=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos(α-β),当α-β=2kπ,k∈Z时,·取得最大值w=6,即使得·=w的点对(P,Q)有无穷多对,Ω中的元素有无穷个.
三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17.(2017年上海)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.
(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.
17.【解析】(1)∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,
两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC·AA1=AB·AC·AA1=×4×2×5=20.(2)连接AM.
∵直三棱柱ABC-A1B1C1,
∴AA1⊥底面ABC.
∴∠AMA1是直线A1M与平面ABC所成角.
∵△ABC是直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,点M是BC的中点,
∴AM=BC=×=.
由AA1⊥底面ABC,可得AA1⊥AM,
∴tan∠A1MA===.
∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan.
18.(2017年上海)已知函数f(x)=cos2x﹣sin2x+,x∈(0,π).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a=,角B所对边b=5,若f(A)=0,求△ABC的面积.
18.【解析】(1)函数f(x)=cos2x-sin2x+=cos 2x+,x∈(0,π).
由2kπ-π≤2x≤2kπ,解得kπ﹣≤x≤kπ,k∈Z.
k=1时,≤x≤π,
可得f(x)的增区间为[,π).
(2)f(A)=0,即有cos2A+=0,
解得2A=2kπ±.
又A为锐角,故A=.
又a=,b=5,
由正弦定理得sinB==,则cosB=.
所以sinC=sin(A+B)=×+×=.
所以S△ABC=absinC=××5×=.
19.(2017年上海)根据预测,某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn(单位:辆),其中an=bn=n+5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.
(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量;
(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=-4(n﹣46)2+8800(单位:辆),设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?
19.【解析】(1)前4个月共享单车的累计投放量为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965,
前4个月共享单车的累计损失量为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30,
∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935.
(2)令an≥bn,显然n≤3时恒成立,
当n≥4时,有﹣10n+470≥n+5,解得n≤,
∴第42个月底,保有量达到最大.
当n≥4,{an}为公差为﹣10等差数列,而{bn}为公差为1的等差数列,
∴到第42个月底,共享单车保有量为×39+535-×42=×39+535-×42=8782.
又S42=﹣4×(42-46)2+8800=8736,
8782>8736,
∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量.
20.(2017年上海)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ:+y2=1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,M为x正半轴上的动点.
(1)若P在第一象限且|OP|=,求P的坐标;
(2)设P(,),若以A,P,M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标;
(3)若|MA|=|MP|,直线AQ与Γ交于另一点C且=2,=4,求直线AQ的方程.
20.【解析】(1)设P(x,y)(x>0,y>0),
由点P在椭圆Γ:+y2=1上且|OP|=,可得
解得x2=,y2=,则P(,).
(2)设M(x0,0),A(0,1),P(,).
若∠P=90°,则•=0,即(-,)•(x0﹣,﹣)=0,
∴(﹣)x0+-=0,解得x0=.
若∠M=90°,则•=0,即(﹣x0,1)•(﹣x0,)=0,
∴x02-x0+=0,解得x0=1或x0=.
若∠A=90°,则M点在x轴负半轴,不合题意.
∴点M的横坐标为或1或.
(3)设C(2cosα,sinα),
∵=2,A(0,1),
∴Q(4cosα,2sinα﹣1).
又设P(2cosβ,sinβ),M(x0,0),
∵|MA|=|MP|,∴x02+1=(2cosβ﹣x0)2+(sinβ)2,
整理得x0=cosβ.
∵=(4cosα﹣2cosβ,2sinα﹣sinβ﹣1),=(-cosβ,﹣sinβ),=4,
∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ,2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ.
∴cosβ=﹣cosα,sinβ=(1﹣2sinα).
以上两式平方相加,整理得3(sinα)2+sinα﹣2=0,
∴sinα=或sinα=﹣1(舍去).
此时,直线AC的斜率kAC==(负值已舍去),如图.
∴直线AQ的方程为为y=x+1.
21.(2017年上海)设定义在R上的函数f(x)满足:对于任意的x1,x2∈R,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2).
(1)若f(x)=ax3+1,求a的取值范围;
(2)若f(x)是周期函数,证明:f(x)是常值函数;
(3)设f(x)恒大于零,g(x)是定义在R上的恒大于零的周期函数,M是g(x)的最大值.函数h(x)=f(x)g(x).证明:“h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”.
21.【解析】(1)由f(x1)≤f(x2),得f(x1)﹣f(x2)=a(x13﹣x23)≤0,
∵x1<x2,∴x13﹣x23<0,得a≥0.
故a的取值范围是[0,+∞).
(2)证明:若f(x)是周期函数,记其周期为Tk,任取x0∈R,则有
f(x0)=f(x0+Tk).
由题意,对任意x∈[x0,x0+Tk],f(x0)≤f(x)≤f(x0+Tk),
∴f(x0)=f(x)=f(x0+Tk).
又∵f(x0)=f(x0+nTk),n∈Z,并且
…∪[x0﹣3Tk,x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk,x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk,x0]∪[x0,x0+Tk]∪[x0+Tk,x0+2Tk]∪…=R,
∴对任意x∈R,f(x)=f(x0)=C,为常数.
(3)证明:(充分性)若f(x)是常值函数,记f(x)=c1,设g(x)的一个周期为Tg,则h(x)=c1•g(x),对任意x0∈R,h(x0+Tg)=c1•g(x0+Tg)=c1•g(x0)=h(x0),故h(x)是周期函数.
(必要性)若h(x)是周期函数,记其一个周期为Th.
若存在x1,x2,使得f(x1)>0,且f(x2)<0,则由题意可知,
x1>x2,那么必然存在正整数N1,使得x2+N1Tk>x1,
∴f(x2+N1Tk)>f(x1)>0,且h(x2+N1Tk)=h(x2).
又h(x2)=g(x2)f(x2)<0,而
h(x2+N1Tk)=g(x2+N1Tk)f(x2+N1Tk)>0≠h(x2),矛盾.
综上,f(x)>0恒成立.
由f(x)>0恒成立,
任取x0∈A,则必存在N2∈N,使得x0﹣N2Th≤x0﹣Tg,
即[x0﹣Tg,x0]⊆[x0﹣N2Th,x0],
∵…∪[x0﹣3Tk,x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk,x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk,x0]∪[x0,x0+Tk]∪[x0+Tk,x0+2Tk]∪…=R,
∴…∪[x0﹣2N2Th,x0﹣N2Th]∪[x0﹣N2Th,x0]∪[x0,x0+N2Th]∪[x0+N2Th,x0+2N2Th]∪…=R.
h(x0)=g(x0)•f(x0)=h(x0﹣N2Th)=g(x0﹣N2Th)•f(x0﹣N2Th),
∵g(x0)=M≥g(x0﹣N2Th)>0,f(x0)≥f(x0﹣N2Th)>0.
因此若h(x0)=h(x0﹣N2Th),必有g(x0)=M=g(x0﹣N2Th),且f(x0)=f(x0﹣N2Th)=c.
而由(2)证明可知,对任意x∈R,f(x)=f(x0)=C,为常数.
必要性得证.
综上所述,“h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”.