高考数学复习讲练20直线的方程与线性规划 8页

个性化教学辅导教案 学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) : ~ : ‎ 姓名 年级 性别 ‎ ‎ 教学课题 ‎ 直线的方程与线性规划 教学 目标 重点 难点 课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_______________________________‎ 第 次课 第 讲 直线的方程与线性规划 知识点一：直线的方程 一、直线的倾斜角和斜率 ‎1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时,其倾斜角为,故直线倾斜角的范围是.‎ ‎2.直线的斜率:倾斜角不是的直线其倾斜角的正切叫这条直线的斜率,即.‎ 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.‎ ‎②当时，直线垂直于轴，它的斜率k不存在.‎ ‎③过两点、的直线斜率公式。‎ 二、直线方程的五种形式及适用条件 ‎ 名称 方程 说明 适用条件 斜截式 y=kx+b k—斜率 b—纵截距 倾斜角为90°的直线不能用此式 点斜式 y-y0=k(x-x0)‎ ‎(x0，y0)—直线上已知点，‎ k —斜率 倾斜角为90°的直线不能用此式 两点式 ‎=‎ ‎(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点 与两坐标轴平行的直线不能用此式 截距式 ‎+=1‎ a —直线的横截距 b —直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式 一般式 Ax+By+C=0‎ ‎(A、B不全为零)‎ A、B不能同时为零 注：⑴确定直线方程需要有两个互相独立的条件,通常用待定系数法；‎ ‎⑵确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.‎ ‎⑶直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）是一一对应的.‎ ‎【例1】过点和的直线的斜率等于1, 则的值为( )‎ ‎(A) (B) (C)1或3 (D)1或4‎ ‎【例2】若, 则直线2cos＋3y＋1=0的倾斜角的取值范围（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (0,) (D) ‎ ‎【例3】直线的倾斜角是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【例4】连接和两点的直线斜率为 ，与y轴的交点P的坐标为 。‎ ‎【例5】以点为端点的线段的中垂线的方程是 。‎ 知识点二：两直线的位置关系 ‎1. 两直线平行 ‎⑴斜率存在且不重合的两条直线： l1∶y=k1x+b1， l2∶y=k2x+b2，则l1∥l2k1=k2；‎ ‎⑵两条不重合直线的倾斜角为，则∥‎ ‎2.两直线垂直 ‎⑴斜率存在的两条直线l1∶y=k1x+b1，l2∶y=k2x+b2，则l1⊥l2k1·k2= -1；‎ ‎⑵两直线l1∶A1x+B1y+C1=0，l2∶A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2A1A2+B1B2 = 0。‎ ‎3. “到角”与“夹角”‎ ‎⑴直线到的角（方向角）；‎ 直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是.‎ 注:①当两直线的斜率k1,k2都存在且k1·k2≠-1时,；②当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.‎ ‎⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠-1时，则有.‎ ‎4.距离公式 ‎⑴已知一点P(x0，y0)及一条直线l：Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离d=；‎ ‎⑵两平行直线l1:Ax+By+C1=0， l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=。‎ ‎5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.‎ 含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系.‎ ‎⑴在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中，‎ ‎①当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系，‎ ‎②当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系.‎ ‎⑵已知直线l：Ax+By+C=0，则①方程Ax+By+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系；‎ ‎②方程-Bx+Ay+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。‎ ‎⑶已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，表示过l1与l2交点的直线系（不含l2）。‎ 掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思路.‎ ‎【例6】 将直线绕着它与轴的交点逆时针旋转的角后，在轴上的截距是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【例7】‎ ‎ 将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(－2，4)重合，若点（7，3）与点（m ,n）重合，则m+n的值为(　　)‎ ‎(A)4 (B)－4 (C)10 (D)－10‎ ‎【例8】与直线平行且过点的直线的方程是__________。‎ ‎【例9】已知二直线和，若，在y轴上的截距为-1，则m=_____，n=____.‎ ‎【例10】 经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_______.‎ ‎【例11】已知△ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：‎ ‎⑴BC边上的高所在直线方程；⑵AB边中垂线方程；⑶∠A平分线所在直线方程.‎ ‎【例11】 已知定点P（6，4）与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线l方程.‎ 知识点三：简单的线性规划 ‎⑴当点P(x0，y0)在直线Ax+By+C=0上时，其坐标满足方程Ax0+By0+C=0；‎ ‎⑵当P不在直线Ax+By+C=0上时，Ax0+By0+C≠0，即Ax0+By0+C>0或Ax0+By0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）表示直线Ax+By+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（0，0）代入检验。‎ 利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。‎ ‎【例13】若点（3，1）和（，6）在直线的两侧，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ （D）以上都不对 ‎【例14】的三个顶点的坐标为，，，点在内部及边界上运动，则的最大值为　　　　，最小值为　　　　。‎ ‎【例15】不等式组：表示的平面区域的面积是 ；‎ ‎【例16】20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？‎ ‎【例17】某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：‎ ‎ 根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？（利润=学费收入－年薪支出）‎ 课堂检测 听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________.‎ 测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______；‎ 教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□‎ 课后巩固 作业_____题; 巩固复习____________________ ; 预习布置_____________________‎ 签字 教学组长签字： 学习管理师:‎ 老师 课后 赏识 评价 老师最欣赏的地方：‎ 老师想知道的事情：‎ 老师的建议：‎ 教案《直线的方程与线性规划》参考答案 例1.A 例2.B 例3.C 例4. 例5. ‎ 例6.B 例7.C 例8. 2x＋3y＋10＝0 ‎ 例9. 0,8, 例10. ‎ 例11. 解:⑴∵ kBC=5,∴ BC边上的高AD所在直线斜率k=，‎ ‎∴ AD所在直线方程y+1=(x-2) 即x+5y+3=0‎ ‎⑵∵ AB中点为（3，1），kAB=2,∴ AB中垂线方程为x+2y-5=0‎ ‎⑶设∠A平分线为AE，斜率为k，则直线AC到AE的角等于AE到AB的角。‎ ‎∵ kAC=-1，kAB=2,∴ ,‎ ‎∴ k2+6k-1=0,∴ k=-3-（舍），k=-3+‎ ‎∴ AE所在直线方程为(-3)x-y-2+5=0‎ 评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(x，y)为直线AE上任一点，则P到AB、AC距离相等，得，化简即可。还可注意到，AB与AC关于AE对称。‎ 例12. 解析：直线l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。‎ 解：设Q（x0，4x0），M（m，0），‎ ‎∵ Q，P，M共线∴， ∴ 解之得：，‎ ‎∵ x0>0，m>0∴ x0-1>0，∴ ，‎ 令x0-1=t，则t>0,≥40。‎ 当且仅当t=1，x0=11时，等号成立,此时Q（11，44），直线l：x+y-10=0‎ 评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。‎ 例13.B 例14. ， 例15.‎ 例16. 种蔬菜20亩,棉花30亩,水稻不种,总产值最高27万元.‎ 例17.解：设初中x个班，高中y 个班，则 设年利润为s，则 作出（1）、（2）表示的平面区域，‎ 如图，过点A时，S有最大值，‎ 由解得A（18，12）.‎ 易知当直线1.2x+2y=s 即学校可规划初中18个班，高中12个班,‎ ‎（万元）. ‎ 可获最大年利润为45.6万元. ‎ 评：线性规划是直线方程的简单应用，是新增添的教学内容，是新大纲重视知识应用的体现，根据考纲要求，了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求，求出线性约束条件和目标函数，直线性约束条件下作出可行域，然后求线性目标函数在可行域中的最优解，归纳如下步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式，②作出可行域，写出目标函数，③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．但在解答时，格式要规范，作图要精确，特别是最优解的求法，作时还是比较困难的．是函数方程思想的应用.‎