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- 2021-05-14 发布
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2019年江苏省高考数学试卷
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合,0,1,,,,则 .
2.已知复数的实部为0,其中为虚数单位,则实数的值是 .
3.如图是一个算法流程图,则输出的的值是 .
4.函数的定义域是 .
5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 .
6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .
7.在平面直角坐标系中,若双曲线经过点,则该双曲线的渐近线方程是 .
8.已知数列是等差数列,是其前项和.若,,则的值是 .
9.如图,长方体的体积是120,为的中点,则三棱锥的体积是 .
10.在平面直角坐标系中,是曲线上的一个动点,则点到直线的距离的最小值是 .
11.在平面直角坐标系中,点在曲线上,且该曲线在点处的切线经过点,为自然对数的底数),则点的坐标是 .
12.如图,在中,是的中点,在边上,,与交于点
.若,则的值是 .
13.已知,则的值是 .
14.设,是定义在上的两个周期函数,的周期为4,的周期为2,且是奇函数.当,时,,其中.若在区间,上,关于的方程有8个不同的实数根,则的取值范围是 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(14分)在中,角,,的对边分别为,,.
(1)若,,,求的值;
(2)若,求的值.
16.(14分)如图,在直三棱柱中,,分别为,的中点,.
求证:(1)平面;
(2).
17.(14分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的焦点为,.过作轴的垂线,在轴的上方,1与圆交于点,与椭圆交于点.连结并延长交圆于点,连结交椭圆于点,连结.已知.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求点的坐标.
18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为的圆,湖的一侧有一条直线型公路,湖上有桥是圆的直径),规划在公路上选两个点、,并修建两段直线型道路、,规划要求:线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点、到直线的距离分别为和、为垂足),测得,,(单位:百米).
(1)若道路与桥垂直,求道路的长;
(2)在规划要求下,和中能否有一个点选在处?并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路和的长度均为(单位:百米),求当最小时,、两点间的距离.
19.(16分)设函数,,,,为的导函数.
(1)若,(4),求的值;
(2)若,,且和的零点均在集合,1,中,求的极小值;
(3)若,,,且的极大值为,求证:.
20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.
(1)已知等比数列满足:,,求证:数列为“数列”;
(2)已知数列满足:,,其中为数列的前项和.
①求数列的通项公式;
②设为正整数,若存在“数列” ,对任意正整数,当时,都有成立,求的最大值.
【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
21.(10分)已知矩阵.
(1)求;
(2)求矩阵的特征值.
B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
22.(10分)在极坐标系中,已知两点,,,直线1的方程为.
(1)求,两点间的距离;
(2)求点到直线的距离.
C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
23.设,解不等式.
【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24.(10分)设,,.已知.
(1)求的值;
(2)设,其中,,求的值.
25.(10分)在平面直角坐标系中,设点集,,,,,
,,,,,,,.令.从集合中任取两个不同的点,用随机变量表示它们之间的距离.
(1)当时,求的概率分布;
(2)对给定的正整数,求概率(用表示).
2019年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合,0,1,,,,则 , .
【思路分析】直接利用交集运算得答案.
【解析】:,0,1,,,,
,0,1,,,.故答案为:,.
【归纳与总结】本题考查交集及其运算,是基础题.
2.已知复数的实部为0,其中为虚数单位,则实数的值是 2 .
【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0求的值.
【解析】:的实部为0,
,即.故答案为:2.
【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
3.如图是一个算法流程图,则输出的的值是 5 .
【思路分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解析】:模拟程序的运行,可得
,
不满足条件,执行循环体,,
不满足条件,执行循环体,,
不满足条件,执行循环体,,
此时,满足条件,退出循环,输出的值为5.
故答案为:5.
【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.
4.函数的定义域是 , .
【思路分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案.
【解析】:由,得,解得:.
函数的定义域是,.故答案为:,.
【归纳与总结】本题考查函数的定义域及其求法,考查一元二次不等式的解法,是基础题.
5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 2 .
【思路分析】先求出一组数据6,7,8,9,10的平均数,由此能求出该组数据的方差.
【解析】:一组数据6,7,8,9,10的平均数为:
,
该组数据的方差为:
.
故答案为:2.
【归纳与总结】本题考查一组数据的方差的求法,考查平均数、方差等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .
【思路分析】基本事件总数,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数,由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率.
【解析】:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,
基本事件总数,
选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数:
,
选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.
故答案为:.
【归纳与总结】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.
7.在平面直角坐标系中,若双曲线经过点,则该双曲线的渐近线方程是 .
【思路分析】把已知点的坐标代入双曲线方程,求得,则双曲线的渐近线方程可求.
【解析】:双曲线经过点,
,解得,即.
又,该双曲线的渐近线方程是.
故答案为:.
【归纳与总结】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的简单性质,是基础题.
8.已知数列是等差数列,是其前项和.若,,则的值是 16 .
【思路分析】设等差数列的首项为,公差为,由已知列关于首项与公差的方程组,求解首项与公差,再由等差数列的前项和求得的值.
【解析】:设等差数列的首项为,公差为,
则,解得.
.
故答案为:16.
【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前项和,是基础题.
9.如图,长方体的体积是120,为的中点,则三棱锥的体积是 10 .
【思路分析】推导出,三棱锥的体积:,由此能求出结果.
【解析】:长方体的体积是120,为的中点,
,
三棱锥的体积:
.
故答案为:10.
【归纳与总结】
本题考查三棱锥的体积的求法,考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.
10.在平面直角坐标系中,是曲线上的一个动点,则点到直线的距离的最小值是 4 .
【思路分析】利用导数求平行于的直线与曲线的切点,再由点到直线的距离公式求点到直线的距离的最小值.
【解析】:由,得,
设斜率为的直线与曲线切于,,
由,解得.
曲线上,点到直线的距离最小,
最小值为.
故答案为:4.
【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查点到直线距离公式的应用,是中档题.
11.在平面直角坐标系中,点在曲线上,且该曲线在点处的切线经过点,为自然对数的底数),则点的坐标是 .
【思路分析】设,,利用导数求得曲线在处的切线方程,代入已知点的坐标求解即可.
【解析】:设,,由,得,
,则该曲线在点处的切线方程为,
切线经过点,,
即,则.
点坐标为.
故答案为:.
【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,区分过点处与在点处的不同,是中档题.
12.如图,在中,是的中点,在边上,,与交于点.若,则的值是 .
【思路分析】首先算出,然后用、表示出、,结合得,进一步可得结果.
【解析】:设,
,,
,
,
,
,
,,
.
故答案为:
【归纳与总结】本题考查向量的数量积的应用,考查向量的表示以及计算,考查计算能力.
13.已知,则的值是 .
【思路分析】由已知求得,分类利用万能公式求得,的值,展开两角和的正弦求的值.
【解析】:由,得,
,解得或.
当时,,,
;
当时,,,
.
综上,的值是.
故答案为:.
【归纳与总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值,考查两角和的三角函数及万能公式的应用,是基础题.
14.设,是定义在上的两个周期函数,的周期为4,的周期为2,且是奇函数.当,时,,其中.若在区间,上,关于的方程有8个不同的实数根,则的取值范围是 , .
【思路分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象,数形结合得答案.
【解析】:作出函数与的图象如图,
由图可知,函数与,,,仅有2个实数根;
要使关于的方程有8个不同的实数根,
则,,与,,的图象有2个不同交点,
由到直线的距离为1,得,解得,
两点,连线的斜率,
.
即的取值范围为,.
故答案为:,.
【归纳与总结】本题考查函数零点的判定,考查分段函数的应用,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(14分)在中,角,,的对边分别为,,.
(1)若,,,求的值;
(2)若,求的值.
【思路分析】(1)由余弦定理得:,由此能求出的值.
(2)由,利用正弦定理得,再由,能求出,,由此利用诱导公式能求出的值.
【解析】:(1)在中,角,,的对边分别为,,.
,,,
由余弦定理得:
,
解得.
(2),
由正弦定理得:,
,
,
,,
.
【归纳与总结】本题考查三角形边长、三角函数值的求法,考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.
16.(14分)如图,在直三棱柱中,,分别为,的中点,.
求证:(1)平面;
(2).
【思路分析】(1)推导出,,从而,由此能证明平面.
(2)推导出,,从而平面,由此能证明.
【解答】证明:(1)在直三棱柱中,,分别为,的中点,
,,,
平面,平面,
平面.
解:(2)在直三棱柱中,是的中点,.
,,
又,平面,
平面,.
【归纳与总结】本题考查线面平行、线线垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.
17.(14分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的焦点为,.过作轴的垂线,在轴的上方,1与圆交于点,与椭圆交于点.连结并延长交圆于点,连结交椭圆于点,连结.已知.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求点的坐标.
【思路分析】(1)由题意得到,然后求,再由求得,则椭圆方程可求;
(2)求出的坐标,得到,写出的方程,与椭圆方程联立即可求得点的坐标.
【解析】:(1)如图,,,
,,则,
,则,
,,则椭圆方程为,
取,得,则.
又,,解得.
椭圆的标准方程为;
(2)由(1)知,,,
,则,
联立,得.
解得或(舍.
.
即点的坐标为.
【归纳与总结】本题考查直线与圆,圆与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,证明是解答该题的关键,是中档题.
18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为的圆,湖的一侧有一条直线型公路,湖上有桥是圆的直径),规划在公路上选两个点、,并修建两段直线型道路、,规划要求:线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点、到直线的距离分别为和、为垂足),测得,,(单位:百米).
(1)若道路与桥垂直,求道路的长;
(2)在规划要求下,和中能否有一个点选在处?并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路和的长度均为(单位:百米),求当最小时,、两点间的距离.
【思路分析】(1)设与圆交于,连接,以为坐标原点,为轴,建立直角坐标系,则,,
设点,,,运用两直线垂直的条件:斜率之积为,求得的坐标,可得所求值;
(2)当时,上的所有点到原点的距离不小于圆的半径,设此时,,运用两直线垂直的条件:斜率之积为,求得的坐标,即可得到结论;
(3)设,,则,,结合条件,可得的最小值,由两点的距离公式,计算可得.
【解析】:设与圆交于,连接,
为圆的直径,可得,
即有,,,
以为坐标原点,为轴,建立直角坐标系,则,,
(1)设点,,,
则,
即,
解得,所以,;
(2)当时,上的所有点到原点的距离不小于圆的半径,设此时,,
则,即,解得,,,
由,在此范围内,不能满足,上所有点到的距离不小于圆的半径,
所以,中不能有点选在点;
(3)设,,则,,,
,则,当最小时,.
【归纳与总结】本题考查直线和圆的位置关系,考查直线的斜率和两直线垂直的条件:斜率之积为,以及两点的距离公式,分析问题和解决问题的能力,考查运算能力,属于中档题.
19.(16分)设函数,,,,为的导函数.
(1)若,(4),求的值;
(2)若,,且和的零点均在集合,1,中,求的极小值;
(3)若,,,且的极大值为,求证:.
【思路分析】(1)由,可得,根据(4),可得,解得.
(2),,设.令,解得,或..令,解得,或.根据和的零点均在集合,1,中,通过分类讨论可得:只有,,可得,可得:.利用导数研究其单调性可得时,函数取得极小值.
(3),,,..△.令.解得:,.,可得时,取得极大值为
,通过计算化简即可证明结论.
【解析】:(1),,
(4),,
,解得.
(2),,设.
令,解得,或.
.
令,解得,或.
和的零点均在集合,1,中,
若:,,则,舍去.
,,则,舍去.
,,则,舍去..
,,则,舍去.
,,则,舍去.
,,则,.
因此,,,
可得:.
.
可得时,函数取得极小值,(1).
(3)证明:,,,
.
.
△.
令.
解得:,.,
,,
可得时,取得极大值为,
,可得:,
,
,
在,上单调递减,
.
.
【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.
(1)已知等比数列满足:,,求证:数列为“数列”;
(2)已知数列满足:,,其中为数列的前项和.
①求数列的通项公式;
②设为正整数,若存在“数列” ,对任意正整数,当时,都有成立,求的最大值.
【思路分析】(1)设等比数列的公比为,然后根据,列方程求解,在根据新定义判断即可;
(2)求出,,猜想,然后用数学归纳法证明;
(3)设的公比为,将问题转化为,然后构造函数,,
分别求解其最大值和最小值,最后解不等式,即可.
【解析】:(1)设等比数列的公比为,则
由,,得
,
数列首项为1且公比为正数
即数列为“数列”;
(2)①,,
当时,,,
当时,,,
当时,,,
猜想,下面用数学归纳法证明;
当时,,满足,
假设时,结论成立,即,则时,
由,得
,
故时结论成立,
根据可知,对任意的都成立.
故数列的通项公式为;
②设的公比为,
存在“数列” ,对任意正整数,当时,都有成立,
即对恒成立,
当时,,当时,,
当,两边取对数可得,对有解,
即,
令,则,
当时,,此时递增,
当时,,
令,则,
令,则,
当时,,即,
在,上单调递减,
即时,,则
,
下面求解不等式,
化简,得,
令,则,
由得,,在,上单调递减,
又由于(5),(6),
存在使得,
的最大值为5,此时,.
【归纳与总结】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立,考查了数学归纳法和构造法,是数列、函数和不等式的综合性问题,属难题.
【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
21.(10分)已知矩阵.
(1)求;
(2)求矩阵的特征值.
【思路分析】(1)根据矩阵直接求解即可;
(2)矩阵的特征多项式为,解方程即可.
【解析】:(1)
(2)矩阵的特征多项式为:
,
令,则由方程,得
或,
矩阵的特征值为1或4.
【归纳与总结】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识,考查运算与求解能力,属基础题.
B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
22.(10分)在极坐标系中,已知两点,,,直线1的方程为.
(1)求,两点间的距离;
(2)求点到直线的距离.
【思路分析】(1)设极点为,则由余弦定理可得,解出;
(2)根据直线的方程和点的坐标可直接计算到直线的距离.
【解析】:(1)设极点为,则在中,由余弦定理,得
,
;
(2)由直线1的方程,知
直线过,,倾斜角为,又,,
点到直线的距离为.
【归纳与总结】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离,属基础题.
C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
23.设,解不等式.
【思路分析】对去绝对值,然后分别解不等式即可.
【解析】:,
,
或或,
或或,
不等式的解集为或.
【归纳与总结】本题考查了绝对值不等式的解法,属基础题.
【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24.(10分)设,,.已知.
(1)求的值;
(2)设,其中,,求的值.
【思路分析】(1)运用二项式定理,分别求得,,,结合组合数公式,解方程可得的值;
(2)方法一、运用二项式定理,结合组合数公式求得,,计算可得所求值;
方法二、由于,,求得,再由平方差公式,计算可得所求值.
【解析】:(1)由,,
可得,,,
,可得,
解得;
(2)方法一、,
由于,,可得,,
可得;
方法二、,
,
由于,,可得,
可得.
【归纳与总结】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用,考查运算能力和分析问题能力,属于中档题.
25.(10分)在平面直角坐标系中,设点集,,,,,
,,,,,,,.令.从集合中任取两个不同的点,用随机变量表示它们之间的距离.
(1)当时,求的概率分布;
(2)对给定的正整数,求概率(用表示).
【思路分析】(1)当时,的所有可能取值为1,,2,,由古典概率的公式,结合组合数可得所求值;
(2)设和是从中取出的两个点,因为,所以只需考虑的情况,分别讨论,的取值,结合古典概率的计算公式和对立事件的概率,即可得到所求值.
【解析】:(1)当时,的所有可能取值为1,,2,,
的概率分布为;;
;;
(2)设和是从中取出的两个点,
因为,所以只需考虑的情况,
①若,则,不存在的取法;
②若,,则,所以当且仅当,
此时.或,,有两种情况;
③若,,则,所以当且仅当,
此时.或,,有两种情况;
④若,,则,所以当且仅当,
此时.或,,有两种情况;
综上可得当,的所有值是或,
且,,
可得.
【归纳与总结】
本题考查随机变量的概率的分布,以及古典概率公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及化简运算能力,属于难题.
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