广东高考文科数学试题及答案校对版 11页

‎2013广东高考文科数学试卷及答案 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A；‎ ‎【解析】由题意知，，故；‎ 2. 函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C；‎ ‎【解析】由题意知，解得且，所以定义域为； ‎ 3. 若，，则复数的模是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D；‎ ‎【解析】因为，所以，根据两个复数相等的条件得：即，，所以，的模；‎ 4. 已知，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C；‎ ‎【解析】；‎ 5. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C；‎ ‎【解析】时，；时，；时，；‎ 图1 图2‎ 1. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B；‎ ‎【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为的等腰直角三角形，高为，‎ 所以该三棱锥的体积；‎ 2. 垂直于直线且与圆相切于第Ⅰ象限的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A；‎ ‎【解析】设所求直线为，因为垂直直线，故的斜率为，设直线的方程为，化为一般式为；因为与圆相切相切，所以圆心到直线的距离，所以，又因为相切与第一象限，所以，故，所以的方程为；‎ 3. 设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】B；‎ ‎【解析】若与相交，且平行于交线，则也符合A，显然A错；若，则，故C错；，若平行交线，则，故D错；‎ 1. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D；‎ ‎【解析】由焦点可知可知椭圆焦点在轴上，由题意知，所以，故椭圆标准方程为； ‎ 2. 设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：‎ ① 给定向量，总存在向量，使；‎ ② 给定向量和，总存在实数和，使；‎ ③ 给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；‎ ④ 给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.‎ 上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B；‎ ‎【解析】①②容易判断是对的，③给定单位向量和正数，‎ 可知的方向确定，的模确定，如图，若，‎ 则等式不能成立；④给定正数和，则和的模确定，‎ 若，则等式不成立；‎ 一、 填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎ （一）必做题（11~13题）‎ 3. 设数列是首项为，公比为的等比数列，则____________；‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】由题意知，，，，所以；‎ ‎；‎ 1. 若曲线在点处的切线平行于轴，则=_____________；‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】因为，所以，因为曲线在点处的切线平行于轴，所以，所以；‎ 2. 已知变量满足约束条件，则的最大值是_____________；‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为，代入可知的最大值为；‎ ‎（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）‎ 3. ‎（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为___________________；‎ ‎【答案】（为参数）；‎ ‎【解析】因为曲线的极坐标方程为；所以① ，②；①可变形得：③，②可变形得：；由得：；故的参数方程为；‎ 4. ‎（几何证明选讲选做题）如图，在矩形中，，，，垂足为，则=___________；‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】因为在矩形中，，，，所以，所以；在中，因为，由余弦定理得：‎ ‎，所以；‎ 一、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ （1） 求的值；‎ （2） 若，，求.‎ ‎【答案与解析】‎ ‎（1）；‎ ‎（2）因为，，所以；‎ ‎；‎ 2. ‎（本小题满分12分）‎ 从一批苹果中，随机抽取个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：‎ 分组（重量）‎ 频数（个）‎ （1） 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；‎ （1） 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？‎ （2） 在（2）中抽出的个苹果中，任取个，求重量在和中各有一个的概率；‎ ‎【答案与解析】‎ ‎（1）重量在的频率；‎ ‎（2）若采用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，则重量在的个数；‎ ‎（3）设在中抽取的一个苹果为，在中抽取的三个苹果分别为，从抽出的个苹果中，任取个共有种情况，其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有种；设“抽出的个苹果中，任取个，求重量在和中各有一个”为事件，则事件的概率；‎ 1. ‎（本小题满分14分）‎ 如图，在边长为的等边三角形中，分别是上的点，，是的中点，与交于点. 将沿折起，得到如图所示的三棱锥，其中.‎ （1） 证明：；‎ （2） 证明：；‎ （3） 当时，求三棱锥的体积.‎ 图4 图5‎ ‎（1）证明：在图中，因为是等边三角形，且，所以，；在图中，因为，，所以平面平面，所以； ‎ ‎（2）证明：在图中，因为因为是等边三角形，且是的中点，所以；‎ 在图中，因为在中，，所以，，又因为，所以； ‎ ‎（3）因为，所以平面，又因为平面平面，所以平面；所以；‎ 1. ‎（本小题满分14分）‎ 设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列；‎ （1） 证明：；‎ （2） 求数列的通项公式；‎ （3） 证明：对一切正整数，有.‎ ‎（1）证明：因为，令，则，即，所以；‎ ‎（2）当时，，‎ 所以，因为各项均为正数，所以；‎ 因为构成等比数列，所以，即，解得，因为，所以， ，符合，所以对 也符合，所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列，；‎ ‎（3）因为，所以 ‎；‎ 所以对一切正整数，有.‎ 1. ‎（本小题满分14分）‎ 已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为. 设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点.‎ （1） 求抛物线的方程；‎ （2） 当点为直线上的定点时，求直线的方程；‎ （3） 当点在直线上移动时，求的最小值.‎ ‎【答案与解析】‎ ‎（1）因为抛物线焦点到直线的距离为 所以，又因为，所以解得，抛物线的焦点坐标为，所以抛物线的方程为；‎ ‎（2）因为抛物线的方程为，即，所以，设过点的切线与抛物线的切点坐标为，所以直线的斜率，解得 或；不妨设点坐标为，点坐标为，因为 ‎，所以；；‎ 所以直线的方程为，代入整理得：或；‎ ‎（3）点坐标为，点坐标为，点坐标为，因为；所以，，，；因此 ‎=‎ ‎，‎ 所以当时，取最小值；‎ 1. 设函数.‎ （1） 当时，求函数的单调区间；‎ （2） 当时，求函数在上的最小值和最大值.‎ ‎【答案与解析】‎ （1） 因为，所以；当时，，所以在上单调递增；‎ （2） 因为，；‎ ① 当时，即时，，在上单调递增，此时无最小值和最大值；‎ ① 当时，即时，令，解得或；令，解得或；令，解得；因为，‎ 作的最值表如下：‎ 极大值 极小值 则，；‎ 因为 ‎；‎ ‎，所以；‎ 因为 ‎；‎ ‎；‎ 所以；‎ 综上所述，所以，；‎