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  • 2021-05-14 发布

广东高考文科数学试题及答案校对版

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‎2013广东高考文科数学试卷及答案 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 设集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A;‎ ‎【解析】由题意知,,故;‎ 2. 函数的定义域是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C;‎ ‎【解析】由题意知,解得且,所以定义域为; ‎ 3. 若,,则复数的模是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D;‎ ‎【解析】因为,所以,根据两个复数相等的条件得:即,,所以,的模;‎ 4. 已知,那么( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C;‎ ‎【解析】;‎ 5. 执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C;‎ ‎【解析】时,;时,;时,;‎ 图1 图2‎ 1. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B;‎ ‎【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为的等腰直角三角形,高为,‎ 所以该三棱锥的体积;‎ 2. 垂直于直线且与圆相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A;‎ ‎【解析】设所求直线为,因为垂直直线,故的斜率为,设直线的方程为,化为一般式为;因为与圆相切相切,所以圆心到直线的距离,所以,又因为相切与第一象限,所以,故,所以的方程为;‎ 3. 设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】B;‎ ‎【解析】若与相交,且平行于交线,则也符合A,显然A错;若,则,故C错;,若平行交线,则,故D错;‎ 1. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为,离心率等于,则的方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D;‎ ‎【解析】由焦点可知可知椭圆焦点在轴上,由题意知,所以,故椭圆标准方程为; ‎ 2. 设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:‎ ① 给定向量,总存在向量,使;‎ ② 给定向量和,总存在实数和,使;‎ ③ 给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;‎ ④ 给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使.‎ 上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B;‎ ‎【解析】①②容易判断是对的,③给定单位向量和正数,‎ 可知的方向确定,的模确定,如图,若,‎ 则等式不能成立;④给定正数和,则和的模确定,‎ 若,则等式不成立;‎ 一、 填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎ (一)必做题(11~13题)‎ 3. 设数列是首项为,公比为的等比数列,则____________;‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】由题意知,,,,所以;‎ ‎;‎ 1. 若曲线在点处的切线平行于轴,则=_____________;‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】因为,所以,因为曲线在点处的切线平行于轴,所以,所以;‎ 2. 已知变量满足约束条件,则的最大值是_____________;‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为,代入可知的最大值为;‎ ‎(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)‎ 3. ‎(坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为___________________;‎ ‎【答案】(为参数);‎ ‎【解析】因为曲线的极坐标方程为;所以① ,②;①可变形得:③,②可变形得:;由得:;故的参数方程为;‎ 4. ‎(几何证明选讲选做题)如图,在矩形中,,,,垂足为,则=___________;‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】因为在矩形中,,,,所以,所以;在中,因为,由余弦定理得:‎ ‎,所以;‎ 一、 解答题:本大题共6小题,满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.‎ 1. ‎(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ (1) 求的值;‎ (2) 若,,求.‎ ‎【答案与解析】‎ ‎(1);‎ ‎(2)因为,,所以;‎ ‎;‎ 2. ‎(本小题满分12分)‎ 从一批苹果中,随机抽取个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:‎ 分组(重量)‎ 频数(个)‎ (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率;‎ (1) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,其中重量在的有几个?‎ (2) 在(2)中抽出的个苹果中,任取个,求重量在和中各有一个的概率;‎ ‎【答案与解析】‎ ‎(1)重量在的频率;‎ ‎(2)若采用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,则重量在的个数;‎ ‎(3)设在中抽取的一个苹果为,在中抽取的三个苹果分别为,从抽出的个苹果中,任取个共有种情况,其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有种;设“抽出的个苹果中,任取个,求重量在和中各有一个”为事件,则事件的概率;‎ 1. ‎(本小题满分14分)‎ 如图,在边长为的等边三角形中,分别是上的点,,是的中点,与交于点. 将沿折起,得到如图所示的三棱锥,其中.‎ (1) 证明:;‎ (2) 证明:;‎ (3) 当时,求三棱锥的体积.‎ 图4 图5‎ ‎(1)证明:在图中,因为是等边三角形,且,所以,;在图中,因为,,所以平面平面,所以; ‎ ‎(2)证明:在图中,因为因为是等边三角形,且是的中点,所以;‎ 在图中,因为在中,,所以,,又因为,所以; ‎ ‎(3)因为,所以平面,又因为平面平面,所以平面;所以;‎ 1. ‎(本小题满分14分)‎ 设各项均为正数的数列的前项和为,满足,且构成等比数列;‎ (1) 证明:;‎ (2) 求数列的通项公式;‎ (3) 证明:对一切正整数,有.‎ ‎(1)证明:因为,令,则,即,所以;‎ ‎(2)当时,,‎ 所以,因为各项均为正数,所以;‎ 因为构成等比数列,所以,即,解得,因为,所以, ,符合,所以对 也符合,所以数列是一个以为首项,为公差的等差数列,;‎ ‎(3)因为,所以 ‎;‎ 所以对一切正整数,有.‎ 1. ‎(本小题满分14分)‎ 已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为. 设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.‎ (1) 求抛物线的方程;‎ (2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;‎ (3) 当点在直线上移动时,求的最小值.‎ ‎【答案与解析】‎ ‎(1)因为抛物线焦点到直线的距离为 所以,又因为,所以解得,抛物线的焦点坐标为,所以抛物线的方程为;‎ ‎(2)因为抛物线的方程为,即,所以,设过点的切线与抛物线的切点坐标为,所以直线的斜率,解得 或;不妨设点坐标为,点坐标为,因为 ‎,所以;;‎ 所以直线的方程为,代入整理得:或;‎ ‎(3)点坐标为,点坐标为,点坐标为,因为;所以,,,;因此 ‎=‎ ‎,‎ 所以当时,取最小值;‎ 1. 设函数.‎ (1) 当时,求函数的单调区间;‎ (2) 当时,求函数在上的最小值和最大值.‎ ‎【答案与解析】‎ (1) 因为,所以;当时,,所以在上单调递增;‎ (2) 因为,;‎ ① 当时,即时,,在上单调递增,此时无最小值和最大值;‎ ① 当时,即时,令,解得或;令,解得或;令,解得;因为,‎ 作的最值表如下:‎ 极大值 极小值 则,;‎ 因为 ‎;‎ ‎,所以;‎ 因为 ‎;‎ ‎;‎ 所以;‎ 综上所述,所以,;‎