2020年全国Ⅱ卷高考理数真题试卷（含答案） 9页

2020 年全国Ⅱ卷高考理数真题试卷（含答案） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 ()U ABð A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3} 2．若 α 为第四象限角，则 A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大 幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压 500 份 订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货， 为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者 A．10 名 B．18 名 C．24 名 D．32 名 4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环 绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环 多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石 板(不含天心石) A．3699 块 B．3474 块 C．3402 块 D．3339 块 5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2 3 0xy   的距离为 A． 5 5 B． 25 5 C． 35 5 D． 45 5 6．数列 {}na 中， 1 2a  ， mnmna a a  .若 155 1210 22kkkaaa ，则 k  A．2 B．3 C．4 D．5 7．下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M ，在俯视图中对 应的点为 N ，则该端点在侧视图中对应的点为 A． E B． F C． G D． H 8．设O 为坐标原点，直线 xa 与双曲线 22 22:1(0,0)xyCabab 的两条渐近线分别交于 ,DE两点， 若 ODE△ 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为 A．4 B．8 C．16 D．32 9．设函数 ()ln | 21|ln | 21|fxxx  ，则 f(x) A．是偶函数，且在 1( , )2  单调递增 B．是奇函数，且在 11( , ) 22 单调递减 C．是偶函数，且在 1( , )2  单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 10．已知△ABC 是面积为 93 4 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为 16 π ，则 O 到平面 ABC 的距离为 A． 3 B． 3 2 C．1 D． 3 2 11．若 2x－2y<3−x－3−y，则 A．ln(y-x+1)>0 B．ln(y-x+1)<0 C．ln∣x-y∣>0 D．ln∣x-y∣<0 12．0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 12 na a a 满足 {0,1}( 1,2, )iai ，且存在正整数 m ， 使得 (1,2,)imiaai  成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足 的最小正整数 m 为 这个序列的周期．对于周期为 m 的 0-1 序列 12 na a a ， 1 1()(1,2,,1) m iik i Cka akmm    是描述其性 质的重要指标，下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足 1()(1,2,3,4)5Ckk  的序列是 A． 11010 B． 11011 C． 10001 D． 11001 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________． 14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不 同的安排方法共有__________种． 15．设复数 1z ， 2z 满足 12| | = | | =2zz ， 12 3izz   ，则 12||zz =__________． 16．设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p4：若直线l  平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① 14pp ② 12pp ③ 23pp ④ 34pp  三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） ABC△ 中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC． （1）求 A； （2）若 BC=3，求 周长的最大值． 18．（12 分） 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物 的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区， 调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公 顷 ) 和 这 种 野 生 动 物 的 数 量 ， 并 计 算 得 20 1 60 i ix   ， 20 1 1200 i iy   ， 20 2 1 )8( 0i i x x   ， 20 2 1 )9000( i i yy   ， 20 1 )()800( ii i yyxx   ． （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的 平均数乘以地块数）； （2）求样本(xi，yi) (i=1，2，…，20)的相关系数（精确到 0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野 生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附：相关系数 1 22 11 ) ( () ( ) ( ) ii i n i n i i n i xy r xy xy xy        ， 2 1.414 ． 19．（12 分） 已知椭圆 C1： 22 221xy ab(a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合．过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且 4 3CDAB ． （1）求 C1 的离心率； （2）设 M 是 C1 与 C2 的公共点，若|MF|=5，求 C1 与 C2 的标准方程． 20．（12 分） 如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中 点，P 为 AM 上一点，过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F． （1）证明：AA1∥MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F； （2）设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO∥平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的 正弦值． 21．（12 分） 已知函数 2() sinsin2fxxx  ． （1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性； （2）证明： 33() 8fx  ； （3）设 *nN ，证明： 2 2 2 2sin sin 2 sin 4 sin 2 3 4 n n nx x x x  ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错 涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1： 2 2 4co s 4s i n x y      ，（θ 为参数），C2： 1 , 1 xt t ytt     （t 为参数）． （1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上， 且经过极点和 P 的圆的极坐标方程． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f(x)= |x-a2|+|x-2a+1|． （1）当 a=2 时，求不等式 f(x)≥4 的解集； （2）若 f(x)≥4，求 a 的取值范围． 参考答案 1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D 10．C 11．A 12．C 13． 2 2 14．36 15． 23 16．①③④ 17．解：（1）由正弦定理和已知条件得 222BCACABAC AB ，① 由余弦定理得 222 2cosBCACABAC ABA ，② 由①，②得 1cos 2A  . 因为0 πA，所以 2π 3A  . （2）由正弦定理及（1）得 23sinsinsin ACABBC BCA ， 从而 2 3s i nA C B ， 23sin( π )3cos3sinABABBB . 故 π3 3sin 3cos 3 2 3sin( )3BC AC AB B B B        . 又 π0 3B ，所以当 π 6B  时， ABC△ 周长取得最大值 3 2 3 . 18．解：（1）由 已知得样本平均数 20 1 601 20 i iyy    ，从而该地区这种野生动物数量的估计值为 60×200=12000． （2）样本 ( , )iixy ( 1 ,2 , ,2 0 )i  的相关系数 20 1 2020 22 11 )() 80022 0.94380900( 0)) ( ( i i i i ii i xyy x x r xyy        ． （3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对 200 个地块进行分层抽样． 理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物 覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了 样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确 的估计． 19．解：（1）由已知可设 2C 的方程为 2 4ycx ，其中 22cab. 不妨设 ,AC在第一象限，由题设得 ,AB的纵坐标分别为 2b a ， 2b a ； ,CD的纵坐标分别为 2c ， 2c ， 故 22||bAB a ， ||4CDc . 由 4| | | |3CD AB 得 284 3 bc a ，即 23 2 2( )cc aa   ，解得 2c a  （舍去）， 1 2 c a  . 所以 1C 的离心率为 1 2 . （2）由（1）知 2ac ， 3bc ，故 22 1 22:143 xyC cc， 设 00( , )M x y ，则 22 00 22143 xy cc， 2 004y cx ，故 2 00 2 4 143 xx cc.① 由于 2C 的准线为 xc ，所以 0||M F x c，而 | | 5MF  ，故 0 5xc，代入①得 2 2 (5)4(5) 143 cc cc ，即 2 2 3 0cc   ，解得 1c  （舍去）， 3c  . 所以 1C 的标准方程为 22 136 27 xy， 的标准方程为 2 12yx . 20．解：（1）因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以 1MN CC∥ ．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN． 因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN． 所以平面A1AMN⊥平面 11E BC F ． （2）由已知得AM⊥BC．以M为坐标原点， MA 的方向为x轴正方向， MB 为单位长，建立如图所示的 空间直角坐标系M-xyz，则AB=2，AM= 3 ． 连接 NP，则四边形 AONP 为平行四边形，故 23231,(,,0)333PME ．由（ 1）知平面 A1AMN⊥平面 ABC， 作 NQ⊥AM，垂足为 Q，则 NQ⊥平面 ABC． 设 (,0,0)Qa ，则 22 1 2 32 34() ,( ,1,4() )33NQaB aa ， 故 2 11 2 322 32 10(,,4() ),||3333B EaaB E ． 又 (0, 1,0)n 是平面 A1AMN 的法向量，故 1 11 1 π 10sin(,)cos,210 || BEB EB E BE   nnn | n | ． 所以直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值为 10 10 ． 21．解：（1） ( ) cos (sin sin 2 ) sin (sin sin 2 )f x x x x x x x '  22sin cos sin 2 2sin cos2x x x x x 2sin sin 3xx ． 当 (0,)(,)33x 时， ( ) 0fx  ；当 ( , )33x    时， ( ) 0fx  ． 所以 ()fx在区间 (0, ),( , )33    单调递增，在区间( , )33   单调递减． （2）因为 (0) ( ) 0ff   ，由（1）知， 在区间 [0 , ] 的最大值为 33()38f   ， 最小值为 33()38f   ．而 ()fx是周期为  的周期函数，故 33| ( ) | 8fx  ． （3）由于 3 222 2(sinsin2sin2) nxxx 333| sinsin2sin2| nxxx 23312| sin|| sinsin2sin2sin 2|| sin2| nnnxxxxxx  12| sin||()(2)(2) || sin2| nnxfxfxfxx  1|()(2)(2) | nfxfxfx  ， 所以 2 222 3333sinsin 2sin 2() 84 n n n nxxx ． 22．解：（1） 1C 的普通方程为 4(0 4)x y x    ． 由 2C 的参数方程得 22 2 1 2xtt ， 22 2 1 2ytt ，所以 224xy． 故 的普通方程为 ． （2）由 22 4, 4 xy xy    得 5 ,2 3 ,2 x y     所以 P 的直角坐标为 53( , )22 ． 设所求圆的圆心的直角坐标为 0( ,0)x ，由题意得 22 00 59()24xx ， 解得 0 17 10x  ． 因此，所求圆的极坐标方程为 17 cos5 ． 23．解：（1）当 2a  时， 7 2 , 3, ( ) 1,3 4, 2 7, 4, xx f x x xx       因此，不等式 ( ) 4fx 的解集为 3 11{ | }22x x x或 ． （2）因为 222()|||21||21|(1)fxxaxaaaa ，故当 2( 1 ) 4a ，即 | 1| 2a  时， ( ) 4fx ．所 以当 a≥3 或 a≤-1 时， ． 当-1