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- 2021-05-14 发布
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第十四章 复数
一.基础题组
1. 【2017高考上海,5】已知复数 满足 ,则 = .
【答案】
【解析】由题意可得: ,即: 或 ,
据此有: .
2. 【2014 上海,理2】若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则=___________.
【答案】6
【解析】由题意
【考点】复数的运算.
3. 【2013上海,理2】设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=______.
【答案】-2
【解析】 m=-2.
4. 【2012上海,理1】计算:__________(i为虚数单位).
【答案】1-2i
【解析】
5. 【2012上海,理15】若是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则( )
A.b=2,c=3 B.b=-2,c=3
C.b=-2,c=-1 D.b=2,c=-1
【答案】B
6. 【2010上海,理2】若复数(为虚数单位),则_____________;
【答案】
【解析】∵,∴,故答案为:
【点评】本题考查复数的基本概念与运算,属基础概念题.
7. (2009上海,理1)若复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复数=____________.
【答案】i
【解析】∵,
∴z的共轭复数=i.
8. 【2008上海,理3】若复数z满足z=i(2-z)(i是虚数单位),则z= .
9. 【2008上海,文7】若是实系数方程的一个虚根,且,则 .
【答案】4
10. 【2007上海,理12】已知是实系数一元二次方程的两根,则的值为
A、 B、 C、 D、
11. 【2007上海,文12】已知,且(是虚数单位)是一个实系数一元二次方程的两个根,那么的值分别是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
12. 【2006上海,理5】若复数同时满足-=2,=(为虚数单位),则= .
【答案】-1+i
13. 【2006上海,文5】若复数满足(为虚数单位)为纯虚数,其中则.
【答案】3
【解析】若复数满足(为虚数单位)为纯虚数,其中,则m=2,z=3i,.
二.能力题组
14.【2016高考上海理数】设,其中为虚数单位,则=_____________.
【答案】−3
【解析】
试题分析:
【考点】复数的运算、复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念,是一道基础题目.从历年高考题目看,复数题目往往不难,有时运算与概念、复数的几何意义综合考查,也是考生必得分的题目之一.
15.【2015高考上海理数】若复数满足,其中为虚数单位,则 .
【答案】
【解析】设,则
【考点定位】复数相等,共轭复数
【名师点睛】研究复数问题一般将其设为形式,利用复数相等充要条件:实部与实部,虚部与虚部分别对应相等,将复数相等问题转化为实数问题:解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中,需明确概念,如的共轭复数为,复数加法为实部与实部,虚部与虚部分别对应相加.
16. 【2011上海,理19】已知复数z1满足(z1-2)·(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.
【答案】4+2i
17. (本题满分14分)(2009上海,文19)已知复数z=a+bi.(a、b∈R+
,i是虚数单位)是方程x2-4x+5=0的根.复数w=u+3i(u∈R)满足|w-z|<,求u的取值范围.
【答案】-2<u<6
【解析】原方程的根为x1,2=2±i,
∵a、b∈R+,∴z=2+i.
∵|w-z|=|(u+3i)-(2+i)|=,
∴-2<u<6.
18. 【2005上海,理18】(本题满分12分)
证明:在复数范围内,方程(为虚数单位)无解.
【答案】参参考解析
【解析】原方程化简为
设 、,代入上述方程得
将(2)代入(1),整理得
无实数解,∴原方程在复数范围内无解.
19. 【2005上海,文18】(本题满分12分)在复数范围内解方程(为虚数单位).
【答案】z=-±i
【解析】原方程化简为,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.