全国1高考三角题 8页

体验高考三角函数 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2，则(　　)‎ A. f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B. f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C. f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D. f(x)的最小正周期为2π，最大值为4‎ 2. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=23，则|a-b|=(　　)‎ A. 15 B. 55 C. 255 D. 1‎ 3. ‎△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0，a=2，c=2，则C=(　　)‎ A. π12 B. π6 C. π4 D. π3‎ 4. ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=5，c=2，cosA=23，则b=(　　)‎ A. 2 B. 3 C. 2 D. 3‎ 5. 将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为(　　)‎ A. y=2sin(2x+π4) B. y=2sin(2x+π3) C. y=2sin(2x-π4) D. y=2sin(2x-π3)‎ 6. 若函数f(x)=x-13sin2x+asinx在(-∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)‎ A. [-1,1] B. [-1,13] C. [-13,13] D. [-1,-13]‎ 7. 函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　) ‎ A. (kπ-14,kπ+34)，k∈z B. (2kπ-14,2kπ+34)，k∈z C. (k-14,k+34)，k∈z D. (2k-14,2k+34)，k∈z 8. 已知角α的终边经过点(-4,3)，则cosα=(　　)‎ A. 45 B. 35 C. -35 D. -45‎ 9. 若tanα>0，则(　　)‎ A. sinα>0 B. cosα>0 C. sin2α>0 D. cos2α>0‎ 10. 函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos(2x+π6)，④y=tan(2x-π4)中，最小正周期为π的函数为(　　)‎ A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③‎ 11. 已知锐角△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2 A+cos2 A=0，a=7，c=6，则b=(　　)．‎ A. 10 B. 9 C. 8 D. 5‎ 12. 若ω>0，0< φ<π，直线和是函数f(x)=sin( ωx+ φ)图像的两条相邻对称轴，则φ=(　　)‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）‎ 13. ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则△ABC的面积为______．‎ 14. 已知α∈(0,π2)，tanα=2，则cos(α-π4)=______．‎ 15. 已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π4)=______．‎ 16. 函数y=cos2x+2sinx的最大值是______ ．‎ 1. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠AMN=60∘，C点的仰角∠CAB=45∘以及∠MAC=75∘；从C点测得∠MCA=60∘，已知山高BC=1000m，则山高MN= ______  m． ‎ 2. 设当x= θ时，函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值，则cos θ=______．‎ 三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）‎ 3. 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． (Ⅰ)若a=b，求cosB； (Ⅱ)设B=90∘，且a=2，求△ABC的面积． ‎ 4. ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=13，求B． ‎ 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. B 2. B 3. B 4. D 5. D 6. C 7. D 8. D 9 C 10 A 11. C 12A ‎ ‎13. 233  ‎ ‎14 31010  ‎ ‎15. -43  ‎ ‎16. 32  ‎ ‎17. 5003  ‎ ‎18.   ‎ ‎19. 解：(I)∵sin2B=2sinAsinC， 由正弦定理可得：asinA=bsinB=csinC=1k>0， 代入可得(bk)2=2ak⋅ck， ∴b2=2ac， ∵a=b，∴a=2c， 由余弦定理可得：cosB=a2+c2-b22ac=a2+14a2-a22a×12a=14． (II)由(I)可得：b2=2ac， ∵B=90∘，且a=2， ∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=2． ∴S△ABC=12ac=1．  ‎ ‎20. 解：∵3acosC=2ccosA， 由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA， ∴3tanA=2tanC， ∵tanA=13， ∴2tanC=3×13=1，解得tanC=12． ∴tanB=tan[π-(A+C)]=-tan(A+C)=-tanA+tanC1-tanAtanC=-13+121-13×12=-1， ∵B∈(0,π)， ∴B=3π4  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：函数f(x)=2cos2x-sin2x+2， =2cos2x-sin2x+2sin2x+2cos2x， =4cos2x+sin2x， =3cos2x+1， =3⋅cos2x+12+1， =3cos2x2+52， 故函数的最小正周期为π， 函数的最大值为32+52=4， 故选：B． 首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用．‎ ‎2. 解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合， 终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=23， ∴cos2α=2cos2α-1=23，解得cos2α=56， ‎ ‎∴|cosα|=306，∴|sinα|=1-3036=66， |tanα|=|b-a2-1|=|a-b|=|sinα||cosα|=66306=55． 故选：B． 推导出cos2α=2cos2α-1=23，从而|cosα|=306，进而|tanα|=|b-a2-1|=|a-b|=55.由此能求出结果． 本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎3. 【分析】‎ 本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可，属于基础题 ‎【解答】‎ 解：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC， ∵sinB+sinA(sinC-cosC)=0， ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=-sinA， ∴tanA=-1， ∵0c， ∴C=π6， 故选B．‎ ‎4. 解：函数y=sin2x1-cosx， 可知函数是奇函数，排除选项B， 当x=π3时，f(π3)=321-12=3，排除A， x=π时，f(π)=0，排除D． 故选：C． 判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可． 本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函数的图象的常用方法．‎ ‎5. 【分析】 由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc，利用已知整理可得3b2-8b-3=0，从而解得b的值． 本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 【解答】 解：∵a=5，c=2，cosA=23， ∴由余弦定理可得：cosA=23=b2+c2-a22bc=b2+4-52×b×2，整理可得：3b2-8b-3=0， ∴解得：b=3或-13(舍去)． 故选D．‎ ‎6. 解：函数y=2sin(2x+π6)的周期为T=2π2=π， 由题意即为函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π4个单位， 可得图象对应的函数为y=2sin[2(x-π4)+π6]， 即有y=2sin(2x-π3). 故选：D． 求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2(x-π4)+π6]，化简整理即可得到所求函数式． 本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．‎ ‎7. 解：函数f(x)=x-13sin2x+asinx的导数为f'(x)=1-23cos2x+acosx， 由题意可得f'(x)≥0恒成立， 即为1-23cos2x+acosx≥0， 即有53-43cos2x+acosx≥0， 设t=cosx(-1≤t≤1)，即有5-4t2+3at≥0， 当t=0时，不等式显然成立； 当00， ∴sinαcosα>0， 则sin2α=2sinαcosα>0． 故选：C． 化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案． 本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．‎ ‎11. 解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为2π2=π， ②y=丨cosx丨的最小正周期为12⋅2π1=π， ③y=cos(2x+π6)的最小正周期为2π2=π， ④y=tan(2x-π4)的最小正周期为π2‎ ‎， 故选：A． 根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论． 本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．‎ ‎12. 由23cos2 A+cos2 A=0，得cos2 A=． ∵ A∈，∴cos A=． ∵cos A=，∴ b=5或(舍)． 故选D．‎ ‎13. 解：由f(x)=(1-cosx)sinx知其为奇函数.可排除B.当x∈(0 ,  π2]时，f(x)>0，排除A． 当x∈(0,π)时，f'(x)=sin2x+cosx(1-cosx)=-2cos2x+cosx+1． 令f'(x)=0，得x=2π3． 故极值点为x=2π3，可排除D． 故选C．‎ ‎14. 由题意可知函数f(x)的周期，故ω=1， ∴ f(x)=sin( x+ φ).令x+ φ= kπ+， 将代入可得φ= kπ+， ∵0< φ<π，∴．‎ ‎15. 解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． bsinC+csinB=4asinBsinC， 利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC， 由于sinBsinC≠0， 所以sinA=12， 则A=π6或5π6 由于b2+c2-a2=8， 则：cosA=b2+c2-a22bc， ①当A=π6时，32=82bc， 解得：bc=833‎ ‎， 所以：S△ABC=12bcsinA=233． ②当A=5π6时，-32=82bc， 解得：bc=-833(不合题意)，舍去． 故：S△ABC=233． 故答案为：233． 直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三角形的面积． 本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用．‎ ‎16. 解：∵α∈(0,π2)，tanα=2， ∴sinα=2cosα， ∵sin2α+cos2α=1， 解得sinα=255，cosα=55， ∴cos(α-π4)=cosαcosπ4+sinαsinπ4=55×22+255×22=31010， 故答案为：31010 根据同角的三角函数的关系求出sinα=255，cosα=55，再根据两角差的余弦公式即可求出． 本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．‎ ‎17. 解：∵θ是第四象限角， ∴-π2+2kπ<θ<2kπ，则-π4+2kπ<θ+π4<π4+2kπ,k∈Z， 又sin(θ+π4)=35， ∴cos(θ+π4)=1-sin2(θ+π4)=1-(35)2=45． ∴cos(π4-θ)=sin(θ+π4)=35，sin(π4-θ)=cos(θ+π4)=45． 则tan(θ-π4)=-tan(π4-θ)=-sin(π4-θ)cos(π4-θ)=-4535=-43． 故答案为：-43． 由θ得范围求得θ+π4的范围，结合已知求得cos(θ+π4)，再由诱导公式求得sin(π4-θ)及cos(π4-θ)，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan(θ-π4)的值． 本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．‎ ‎18. 解：∵y=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2(sinx-12)2+32 又∵-1≤sinx≤1 当sinx=12时，函数有最大值32 故答案为：32 利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2(sinx-12)2+32，结合-1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值 本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意-1≤sinx≤1的条件．‎ ‎19. 解：△ABC中，∵∠BAC=45∘，∠ABC=90∘，BC=1000， ∴AC=1000sin45∘=10002． △AMC中，∵∠MAC=75∘，∠MCA=60∘， ∴∠AMC=45∘，由正弦定理可得AMsin60∘=10002sin45∘，解得AM=10003． Rt△AMN中，MN=AM⋅sin∠MAN=10003×sin30∘=5003(m)， 故答案为：5003． △ABC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC；△AMC中，由条件利用正弦定理求得AM；Rt△AMN中，根据MN=AM⋅sin∠MAN，计算求得结果． 本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．‎ ‎20. ∵ f(x)=sin x-2cos x=sin(x- φ)， 其中sin φ=，cos φ=‎ ‎． 当x- φ=2 kπ+(k∈Z)时，f(x)取最大值． 即θ- φ=2 kπ+(k∈Z)，θ=2 kπ++ φ(k∈Z)． ∴cos θ==-sin φ=．‎ ‎21. (I)sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出． (II)利用(I)及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出． 本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎22. 由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)即可得出． 本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎