高中数学三角函数专题复习内附类型题以及历年高考真题 12页

三角函数知识点与常见习题类型解法 1. 任意角的三角函数：‎ （1） 弧长公式： R为圆弧的半径，为圆心角弧度数，为弧长。‎ （2） 扇形的面积公式： R为圆弧的半径，为弧长。‎ （3） 同角三角函数关系式：‎ ‎ ①倒数关系： ②商数关系：， ‎ ‎③平方关系：‎ （4） 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k·/2+所谓奇偶指的是整数k的奇偶性 函 数 ‎2.两角和与差的三角函数：‎ ‎（1）两角和与差公式：‎ ‎ ‎ ‎ 注：公式的逆用或者变形 ‎（2）二倍角公式：‎ ‎ ‎ ‎ 从二倍角的余弦公式里面可得出 降幂公式： ， ‎ ‎（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：‎ ‎， ，‎ ‎3.三角函数的图像和性质：（其中）‎ 三角函数 定义域 ‎（-∞，+∞）‎ ‎（-∞，+∞）‎ 值域 ‎[-1,1]‎ ‎[-1,1]‎ ‎（-∞，+∞）‎ 最小正周期 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 对称性 零值点 最值点 ‎，‎ ‎；‎ ‎，‎ ‎ 无 ‎4.函数的图像与性质：‎ ‎（本节知识考察一般能化成形如图像及性质）‎ （1） 函数和的周期都是 （2） 函数和的周期都是 （3） 五点法作的简图，设，取0、、、、来求相应的值以及对应的y值再描点作图。‎ （4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函数平移伸缩变换）:‎ 函数的平移变换：‎ ‎ ① 将图像沿轴向左（右）平移个单位 ‎（左加右减）‎ ‎ ② 将图像沿轴向上（下）平移个单位 ‎（上加下减）‎ 函数的伸缩变换： ‎ ‎ ① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短， 伸长）‎ ‎ ② 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（‎ 伸长，缩短）‎ 函数的对称变换：‎ ①) 将图像绕轴翻折180°（整体翻折）‎ ‎（对三角函数来说：图像关于轴对称）‎ ②将图像绕轴翻折180°（整体翻折）‎ ‎（对三角函数来说：图像关于轴对称）‎ ‎③ 将图像在轴右侧保留，并把右侧图像绕轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）‎ ④保留在轴上方图像，轴下方图像绕轴翻折上去（局部翻动）‎ ‎5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。‎ ‎（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。‎ ‎（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。‎ ‎（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。‎ ‎（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。‎ 类题：‎ ‎1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．‎ 解：因为，又sin2x＋cos2x=1，‎ 联立得 解这个方程组得 ‎2．求的值．‎ 解：原式 ‎3．若，求sinxcosx的值．‎ 解：法一：因为 所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，‎ 得到sinx=－3cosx，又sin2x＋cos2x=1，联立方程组，解得 所以 法二：因为 所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，‎ 所以(sinx－cosx)2=4(sinx＋cosx)2，‎ 所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，‎ 所以有 ‎4．求证：tan2x·sin2x=tan2x－sin2x．‎ 证明：法一：右边＝tan2x－sin2x=tan2x－(tan2x·cos2x)=tan2x(1－cos2x)=tan2x·sin2x，问题得证．‎ 法二：左边=tan2x·sin2x=tan2x(1－cos2x)=tan2x－tan2x·cos2x=tan2x－sin2x，问题得证．‎ ‎5．求函数在区间[0，2p ]上的值域．‎ 解：因为0≤x≤2π，所以由正弦函数的图象，‎ 得到 所以y∈[－1，2]．‎ ‎6．求下列函数的值域．‎ ‎(1)y＝sin2x－cosx+2； (2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．‎ 解：(1)y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx)＋3，‎ 令t=cosx，则 利用二次函数的图象得到 ‎(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)2－1－(sinx＋cosx)，令t=sinx＋cosx，，则则，利用二次函数的图象得到 ‎7．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．‎ 解：由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是 个周期，这样求得，T=16，所以 又由，得到可以取 ‎8．已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若求f(x)的最大值、最小值．‎ 数的值域．‎ 解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x 所以最小正周期为π．‎ ‎(Ⅱ)若，则，所以当x=0时，f(x)取最大值为当时，f(x)取最小值为 1． 已知，求（1）；（2）的值.‎ 解：（1）；‎ ‎ (2) ‎ ‎ .‎ 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。‎ 2． 求函数的值域。‎ 解：设，则原函数可化为 ‎，因为，所以 当时，，当时，，‎ 所以，函数的值域为。‎ ‎3．已知函数。‎ ‎（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；‎ ‎（2）证明：函数的图像关于直线对称。‎ 解： ‎ ‎ ‎ ‎(1)所以的最小正周期，因为，‎ 所以，当，即时，最大值为；‎ ‎(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以成立，从而函数的图像关于直线对称。‎ ‎4． 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,‎ ‎（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；‎ ‎（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？‎ 解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1‎ ‎=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+‎ ‎=sin(2x+)+‎ 所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。‎ 所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}‎ ‎（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：‎ ‎（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；‎ ‎（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；‎ ‎（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像； ‎ ‎（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。‎ 综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。‎ 历年高考综合题 一，选择题 ‎1.（08全国一6）是 （ ）‎ A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 ‎2.（08全国一9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（ ）‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎3.(08全国二1)若且是，则是 （ ）‎ A．第一象限角 B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角 ‎4.（08全国二10）．函数的最大值为 （ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎5.（08安徽卷8）函数图像的对称轴方程可能是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为 ( )‎ A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx ‎7.（08广东卷5）已知函数，则是 （ ）‎ A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数 C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数 ‎8.（08海南卷11）函数的最小值和最大值分别为 （ ）‎ A. －3，1 B. －2，‎2 ‎ C. －3， D. －2，‎ ‎9.（08湖北卷7）将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.（08江西卷6）函数是 （ ）‎ A．以为周期的偶函数 B．以为周期的奇函数 C．以为周期的偶函数 D．以为周期的奇函数 ‎11.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为 （ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎12.（08山东卷10）已知，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎13.（08陕西卷1）等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎14.（08四川卷4） ( )‎ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.‎ ‎15.（08天津卷6）把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） ‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎16.（08天津卷9）设，，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎17.（08浙江卷2）函数的最小正周期是 （ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是 （ ）‎ A.0 B‎.1 ‎‎ C.2 D.4‎ 二，填空题 ‎19.（08北京卷9）若角的终边经过点，则的值为 ． ‎ ‎20.（08江苏卷1）的最小正周期为，其中，则= ．‎ ‎21.（08辽宁卷16）设，则函数的最小值为 ． ‎ ‎22.（08浙江卷12）若，则_________。‎ ‎23.（08上海卷6）函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是 ‎ 三，解答题 ‎24. （08四川卷17）求函数的最大值与最小值。‎ ‎25. （08北京卷15）已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．‎ ‎26. （08天津卷17）已知函数（）的最小值正周期是． （Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．‎ ‎27. （08安徽卷17）已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 ‎（Ⅱ）求函数在区间上的值域 ‎28. （08陕西卷17）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；‎ ‎（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．‎ ‎1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A ‎11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C ‎19. 20. 10 21. 22. 23.2‎ ‎24. 解：‎ 由于函数在中的最大值为 ‎ ‎ 最小值为 ‎ ‎ 故当时取得最大值，当时取得最小值 ‎【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；‎ ‎【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；‎ ‎25. 解：（Ⅰ）‎ ‎．‎ 因为函数的最小正周期为，且，‎ 所以，解得．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得．‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因此，即的取值范围为．‎ ‎26. 解： ‎ 由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．‎ 当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为 ‎27. 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 所以 当时，取最大值 1‎ 又 ，当时，取最小值 所以 函数 在区间上的值域为 ‎28. 解：（Ⅰ）．‎ 的最小正周期．‎ 当时，取得最小值；当时，取得最大值2．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．‎ ‎．‎ ‎．‎ 函数是偶函数．‎