（浙江专版）2020年高考数学一轮复习 同角三角函数的基本关系及诱导公式 9页

1 第 02 节 同角三角函数的基本关系及诱导公式 【考纲解读】 考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测 同角三角函 数基本关系 式 理解同角三角函数的 基本关系 2015 浙江理 16 2016 浙江文 16 2017 浙江 14 2018 浙江 18 1.公式的应用. 2. 高考对同角三角函数基本关系式和诱导 公式的考查方式有小题或在大题中应用为 主．应注意两个方面的内容：（1）同角的三 个函数值中 知一求二；（2） 能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运 算和沟通角度之间的联系． 3.备考重点： (1) 掌握诱导公式； (2) 掌握同角三角函数基本关系式. 诱导公式 掌握正弦、余弦、正 切的诱导公式 2015 浙江理 16 2016 浙江文 16 2018 浙江 18 【知识清单】 1．同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝ sin αcos α π，k∈Z. 2．利用诱导公式化简求值 六组诱导公式 角 函数 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin_α －sin_α － sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α － sin_α 正切 tan_α tan_α － tan_α －tan_α 对于角“kπ2 ±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶 2 不变”是指“当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变”．“符 号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” 3．特殊角的三角函数值（熟记） 【重点难点突破】 考点 1 同角三角函数的基本关系式 【1-1】若 为第三象限，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 为第三象限，所以 ．因此 ，故选 择 B． 【1-2】【2017 届浙江杭州地区四校高三上学期联考】已知 ， ， 则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 3 【1-3】【2018 届陕西省咸阳市一模】已知 为第二象限角，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由 ，可得 ， 所以 ， 所以 ， 又因为 为第二象限角，则 ，所以 ， 所以 ，故选 A. 【领悟技法】 1.利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 sin αcos α＝tan α可以实 现角α的弦切互化． 2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 3. 三角函数求值与化简必会的三种方法 4 (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α= ;形如 ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x 等类型可进行弦化切. (2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan 等. (3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ) 2 =1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ) 2 +(sinθ-cosθ) 2 =2 的关系进行变形、转化. 【触类旁通】 【变式一】若 ， ，则 （ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】 ，因此得 ，由于 ， ，因此 ， ，由于 ， ，又由于 ， ，得 ，故答案为 C. 【变式二】【2017 安徽马鞍山二模】已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 5 【变式三】【2018 届贵州省贵阳市 8 月摸底】已知 ，则 __________． 【答案】-3 【解析】 考点 2 利用诱导公式化简求值 【2-1】【2018 届贵州省贵阳市适应性考试（二）】已知 ,且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由题设条件可得 ，再根据同角三角函数关系式可得 ， ，然后 根据诱导公式化简，即可得解. 详解：∵ ∴ ∵ ∴ ，则 . ∵ ∴ 故选 A. 【2-2】【2018 届江西省六校第五次联考】已知 ， ，则 __________. 【答案】 6 【解析】∵ ，∴cosα<0. ∵7sin2α=2cosα,即 14sinαcosα=2cosα,∴ ， 则 . 【2-3】化简 【答案】当 时，原式 当 时，原式 【解析】（1）当 时， 原式 ； （2）当 时， 原式 . 【领悟技法】 1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化 成单角三角函数;(3)整理得最简形式. 2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可 能简单,能求值的要求出值. 3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常 见的互余关系有 -α与 +α, +α与 -α, +α与 -α等,常见的互补关系有 -θ与 + θ, +θ与 -θ, +θ与 -θ等. 4.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值. 【触类旁通】 7 【变式一】若 ， 是第三象限的角，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】由题意 ，因为 是第三象限的角，所以 ， 因此 . 【变式二】【2018 届浙江省名校协作体上学期】已知 ， 且 ，则 _____， _____． 【答案】 【变式三】已知 ，求 【答案】18 【解析】由题有 ， ， 原式 8 【易错试题常警惕】 易错典例： ,那么 ( ) A. B. - C. D. - 易错分析：(1)k 值的正负一撮；（2） 表达式符号易错 正确解析： 温馨提醒：1.本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这 一转化 思想的应用. 2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利 用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 【学科素养提升之思想方法篇】 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事 物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结 合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助 数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具 体化，从而起到优化解题途径的目的. 向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐 标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重 身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想， 将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果. 【典例】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上 一点 P 的位置在(0，0)，圆在 x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为 ________. 【答案】(2－sin2，1－cos2) 9