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- 2021-05-14 发布
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45分钟滚动基础训练卷(一)
(考查范围:第1讲~第3讲 分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.[2013·惠州调研] 集合M={4,5,-3m},N={-9,3},若M∩N≠∅,则实数m的值为( )
A.3或-1 B.3
C.3或-3 D.-1
2.[2013·哈尔滨三中月考] 已知集合A={3,a2},集合B={0,b,1-a},且A∩B={1},则A∪B=( )
A.{0,1,3}
B.{1,2,4}
C.{0,1,2,3}
D.{0,1,2,3,4}
3.[2012·开封二模] 下列命题中的真命题是( )
A.∃x0∈R,使得sinx0+cosx0=
B.∀x∈(0,+∞),ex>x+1
C.∃x0∈(-∞,0),2x0<3x0
D.∀x∈(0,π),sinx>cosx
4.[2012·东北四校一模] 集合中含有的元素个数为( )
A.4 B.6
C.8 D.12
5.[2012·银川一中一模] 有下列命题:
①设集合M={x|00”的否定綈p:“∀x∈R,x2-x-1≤0”.
则上述命题中为真命题的是( )
A.①②③④ B.①③④
C.②④ D.②③④
6.[2012·河北名校俱乐部模拟] “k=1”是“函数y=sin2kx-cos2kx+1的最小正周期为π”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.[2012·鹰潭一模] 关于x的不等式ax2-2x+1<0的解集非空的一个必要不充分条件是( )
A.a<1 B.a≤1
C.00,则綈p:∃x0∈R,x-2x0+3<0
D.若a>b,则an>bn(n∈N*)
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
9.命题:“若x2<1,则-14},N={x|x2+3≤4x},则图中阴影部分所表示的集合是________.
图G1-1
11.[2012·泉州四校二联] 下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分不必要条件的有________个.
①若x∈E或x∈F,则x∈E∪F;
②若关于x的不等式ax2-2ax+a+3>0的解集为R,则a>0;
③若x是有理数,则x是无理数.
三、解答题(本大题共3小题,每小题14分,共42分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
12.[2012·荆州中学月考] 已知集合A=x∈R,集合B={x∈R|y=}.若A∪B=A,求实数m的取值范围.
13.命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根,命题q:方程4x2+4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题,求m的取值范围.
14.已知集合A={x∈R|log2(6x+12)≥log2(x2+3x+2)},B={x|2x2-3<4x,x∈R}.求A∩(∁RB).
45分钟滚动基础训练卷(二)
(考查范围:第4讲~第7讲 分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.[2012·吉林质检] 下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是( )
A.y=logx B.y=
C.y=sinx D.y=x2-x
2.函数y=-的最大值为( )
A.2 B. C.1 D.4
3.[2012·吉林一中二模] 已知定义在R上的函数f(x)关于直线x=1对称,若f(x)=x(1-x)(x≥1),则f(-2)=( )
A.0 B.-2 C.-6 D.-12
4.[2012·银川一中月考] 已知定义域为R的函数f(x)在区间(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+4)为偶函数,则( )
A.f(2)>f(3) B.f(2)>f(5)
C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6)
5.函数y=的值域是{y|y≤0或y≥4},则此函数的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
6.[2012·昆明二模] 已知函数f(x)=x2-|x|,则{x|f(x-1)>0}等于( )
A.{x|x>1或x<-1} B.{x|x>0或x<-2}
C.{x|x>2或x<0} D.{x|x>2或x<-2}
7.[2012·武昌调研] 函数y=f(x)的图象如图G2-1所示,给出以下说法:
图G2-1
①函数y=f(x)的定义域是[-1,5];
②函数y=f(x)的值域是(-∞,0]∪[2,4];
③函数y=f(x)在定义域内是增函数;
④函数y=f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.
其中正确的是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.②④
8.[2012·信阳二调] 已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.f(-25)<f(11)<f(80)
B.f(80)<f(11)<f(-25)
C.f(11)<f(80)<f(-25)
D.f(-25)<f(80)<f(11)
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
9.[2012·哈尔滨三中月考] 函数f(x)=+的定义域为________.
10.已知函数f(x)为R上的偶函数,当x>0时,f(x)=,设a=f,b=f,c=f(),则a,b,c的大小关系为________.
11.[2013·保定摸底] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时f(x)=ex+a,若f(x)在R上是单调函数,则实数a的最小值是________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题14分,共42分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
12.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,满足不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式.
13.[2013·珠海模拟] 对于函数f(x)=a-(a∈R,b>0且b≠1).
(1)判断函数f(x)的单调性并证明;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?并说明理由.
14.已知函数f(x)=ax2-2x+1.
(1)试讨论函数f(x)的单调性;
(2)若≤a≤1,且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的表达式.
45分钟滚动基础训练卷(三)
(考查范围:第4讲~第12讲,以第8讲~第12讲内容为主 分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=3x+x-2的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
2.log318+log2=( )
A.1 B.2
C.4 D.5
3.[2012·天津卷] 已知a=21.2,b=,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( )
A.c<b<a B.c<a<b
C.b<a<c D.b<c<a
4.[2012·正定中学月考] 函数f(x)=loga|x|+1(0-1 AND x<=1 THEN
f(x)=x∧2
ELSE f(x)=-x+2
END IF
END IF
PRINT f(x)
A.m>1 B.00,y1+y2>0
B.x1+x2>0,y1+y2<0
C.x1+x2<0,y1+y2>0
D.x1+x2<0,y1+y2<0
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
9.[2012·江苏卷] 函数f(x)=的定义域为________.
10.[2012·银川一中月考] 函数f(x)在R上是奇函数,当x∈(-∞,0]时,f(x)=2x(x-1),则f(x)=__________________.
11.已知函数f(x)=,对于下列命题:①函数f(x)不是周期函数;②函数f(x)是偶函数;③对任意x∈R,f(x)满足|f(x)|<.其中真命题是________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题14分,共42分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
12.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.
(1)求证:对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;
(2)若0且a≠1).
(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值;
(2)若f(log2x)>f(1)且log2f(x)-a>0,则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域为( )
A.[a,b] B.[-b,-a]
C.[-b,b] D.[a,-a]
4.[2012·银川一中月考] 过点(0,1)且与曲线y=在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( )
A.2x-y+1=0
B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0
D.x-2y+2=0
5.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) D.(0,+∞)
6.[2012·乌鲁木齐押题卷] 设f(x)为可导函数,且满足 =-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A.2 B.-1
C.1 D.-2
7.设f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在x=1和x=-1处有极值,则下列点中一定在x轴上的是( )
A.(a,b) B.(a,c)
C.(b,c) D.(a+b,c)
8.[2012·山西四校联考] 设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点横坐标为xn,则log2 012x1+log2 012x2+…+log2 012x2011的值为( )
A.-log2 0122 011 B.-1
C.-1+log2 0122 011 D.1
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
9.[2012·福州质检] 函数f(x)=x3+ax(x∈R)在x=1处有极值,则曲线y=f(x)
在原点处的切线方程是________.
10.[2012·课程标准卷] 曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________.
11.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题14分,共42分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
12.[2012·双鸭山一中期中] 某商品进货价每件50元,据市场调查,当销售价格(每件x元)为50<x≤80时,每天售出的件数为P=,若要使每天获得的利润最多,销售价格每件应定为多少元?
13.已知函数f(x)=ex(ax2+x+1).
(1)设a>0,讨论f(x)的单调性;
(2)设a=-1,证明:对∀x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<2.
14.已知函数f(x)=ex+.
(1)当a=时,求函数f(x)在x=0处的切线方程;
(2)当a>1时,判断方程f(x)=0实根的个数.
45分钟滚动基础训练卷(五)
(考查范围:第16讲~第19讲 分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.cos-的值等于( )
A. B. C.- D.-
2.[2012·昆明一中一模] 设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cosα=x,则tanα=( )
A. B. C.- D.-
3.[2012·济南三模] 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数:①f(x)=sinxcosx;②f(x)=2sinx+;③f(x)=sinx+cosx;④f(x)=sin2x+1.其中“同簇函数”的是( )
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
4.将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移个单位,再向下平移2个单位,则平移后得到图象的解析式是( )
A.y=2sin2x-2 B.y=2cos2x-2
C.y=2cos2x+2 D.y=2sin2x+2
5.[2012·吉林模拟] 为了得到函数y=sinxcosx+cos2x的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移个长度单位
B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位
D.向右平移个长度单位
6.函数f(x)=|sinπx-cosπx|对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x2-x1|的最小值为( )
A. B.1
C.2 D.
7.[2012·商丘三模] 已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为4π,则对该函数的图象与性质判断错误的是( )
A.关于点-,0对称
B.在0,上递增
C.关于直线x=对称
D.在-,0上递增
8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<,x∈R的部分图象如图G5-1,则( )
图G5-1
A.f(x)=-4sinx+
B.f(x)=4sinx-
C.f(x)=-4sinx-
D.f(x)=4sinx+
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
9.[2012·沈阳二模] 已知tanα=2,则的值为________.
10.若g(x)=2sin2x++a在0,上的最大值与最小值之和为7,则a=________.
11.电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I=Asinωt+(A>0,ω≠0)的部分图象如图G5-2所示,则当t= s时,电流强度是________A.
图G5-2
三、解答题(本大题共3小题,每小题14分,共42分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
12.已知函数f(x)=sin2x-2sin2x.
(1)若点P(1,-)在角α的终边上,求f(α)的值;
(2)若x∈-,,求f(x)的值域.
13.[2012·沈阳四校联考] 已知函数f(x)=2cosx·cosx--sin2x+sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)把f(x)的图象向右平移m个单位后,在0,上是增函数,当|m|最小时,求m的值.
14.已知函数f(x)=2sin2-x-2cos2x+.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)若f(x)的最小正整数n.
14.[2012·黄冈模拟] 已知数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn且Sn+1=Sn+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Tn,求满足不等式Tn<的n值.
45分钟滚动基础训练卷(十)
(考查范围:第33讲~第36讲 分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在平面直角坐标系中,若点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,则t的取值范围是
( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-1,+∞) D.(0,1)
2.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知命题p:m<0,命题q:对任意x∈R,x2+mx+1>0成立.若p且q为真命题,则实数m的取值范围是( )
A.m<-2
B.m>2
C.m<-2或m>2
D.-20,b>0,A为a,b的等差中项,正数G为a,b的等比中项,则ab与AG的大小关系是( )
A.ab=AG B.ab≥AG
C.ab≤AG D.不能确定
5.[2012·广东卷] 已知变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为( )
A.3 B.1
C.-5 D.-6
6.[2012·金山一中考前测试] 若“p:≥0”,“p成立”是“q成立”的充要条件,则满足条件的q是( )
A.q:(x-3)(x-2)≤0 B.q:≤0
C.q:lg(x-2)≤0 D.q:|5-2x|≤1
7.[2012·合肥质检] 已知函数f(x)=x+(x>2)的图象过点A(3,7),则此函数的最小值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.[2012·东北师大附中月考] 已知O是坐标原点,点A(-1,-2),若点M(x,y)是平面区域上的任意一点,且使·(-)+≤0恒成立,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,0)∪
B.(-∞,0]∪
C.(-∞,0)∪[3,+∞)
D.(-∞,0]∪[3,+∞)
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
9.[2012·湖南卷] 不等式x2-5x+6≤0的解集为________.
10.[2012·湖北卷] 若变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值是________.
11.[2012·长春三调] 如果直线2ax-by+14=0(a>0,b>0)和函数f(x)=mx+1+1(m>0,m≠1)的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆(x-a+1)2+(y+b-2)2
=25的内部或圆上,那么的取值范围是________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题14分,共42分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
12.已知关于x的不等式<0的解集为M,当3∈M且5∉M时,求实数a的取值范围.
13.某单位投资生产A产品时,每生产1百吨需要资金2百万元,需场地2百平方米,可获利润3百万元;投资生产B产品时,每生产1百吨需要资金3百万元,需场地1百平方米,可获利润2百万元.现该单位有可使用资金14百万元,场地9百平方米.如果利用这些资金和场地用来生产A,B两种产品,那么分别生产A,B两种产品各多少时,可获得最大利润?最大利润是多少?
14.设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0.
求证:(1)a>0且-2<<-1;
(2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
45分钟滚动基础训练卷(十一)
(考查范围:第37讲~第41讲 分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
图G11-1
1.[2012·呼和浩特二模] 如图G11-1,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为( )
A. B.π
C.π D.
2.给出下列四个命题:
①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;
④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.
其中真命题的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件:
①存在平面γ,使得α,β都垂直于γ;②存在平面γ,使得α,β都平行于γ;③α内无数条直线平行于β;④α内任何直线都平行于β.
其中可以判定α与β平行的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.[2012·潍坊模拟] 在空间中,l,m,n是三条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列结论不正确的是( )
A.若α∥β,α∥γ,则β∥γ
B.若l∥α,l∥β,α∩β=m,则l∥m
C.若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=l,则l⊥α
D.若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,l⊥m,l⊥n,则m⊥n
图G11-2
5.[2012·郑州质检] 一个几何体的三视图及其尺寸如图G11-2所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的体积是(单位:cm3)( )
A. B. C. D.π
6.棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面(过棱台的高的中点且与底面平行的截面)分棱台成两部分的体积之比是( )
A.1∶7 B.2∶7
C.7∶19 D.5∶16
7.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
8.一个空间几何体的三视图如图G11-3所示,该几何体的体积为12π+,则正视图中x的值为( )
图G11-3
A.5 B.4
C.3 D.2
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
9.A是△BCD平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.若AC⊥BD,AC=BD,则EF与BD所成的角为________.
10.一个几何体的三视图如图G11-4所示,则这个几何体的表面积为________.
图G11-4
11.[2012·郑州质检] 在三棱锥A-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题14分,共42分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
12.[2012·沈阳、大连联考] 如图G11-5,在底面为长方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AP=AD=2AB,其中E,F分别是PD,PC的中点.
(1)证明:EF∥平面PAB;
(2)在线段AD上是否存在一点O,使得BO⊥平面PAC?若存在,请指出点O的位置并证明BO⊥平面PAC;若不存在,请说明理由.
图G11-5
13.[2012·郑州测试] 如图G11-6,在四棱锥S-ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,平面SAD⊥平面ABCD,E是线段AD上一点,AE=ED=,SE⊥AD.
(1)证明:平面SBE⊥平面SEC;
(2)若SE=1,求三棱锥E-SBC的高.
图G11-6
14.[2012·江西师大附中联考] 如图G11-7(1),在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°.点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFED,如图G11-7(2).
(1)求证:BD⊥平面POA;
(2)当PB取得最小值时,求四棱锥P-BDEF的体积.
图G11-7
45分钟滚动基础训练卷(十二)
(考查范围:第42讲~第45讲 分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若直线l的倾斜角的余弦值为-,则与l垂直的直线l′的斜率为( )
A.- B.-
C. D.
2.[2012·湖北八市联考] 已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( )
A.1或3 B.1或5
C.3或5 D.1或2
3.[2012·枣庄模拟] 已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是( )
A.x-2y+1=0
B.2x-y-1=0
C.x-y+3=0
D.x-y-3=0
4.[2012·北京朝阳区二模] 直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,若|AB|=2,则实数k的值是( )
A.0 B.-
C.-或0 D.2
5.圆x2+y2-2x+4y-4=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上都有可能
6.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB的外接圆方程是( )
A.(x-2)2+(y-1)2=5
B.(x-4)2+(y-2)2=20
C.(x+2)2+(y+1)2=5
D.(x+4)2+(y+2)2=20
7.圆心在函数y=的图象上,半径等于的圆经过原点,这样的圆的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
8.[2012·成都诊断] 直线l:mx+(m-1)y-1=0(m为常数),圆C:(x-1)2+y2=4,则( )
A.当m变化时,直线l恒过定点(-1,1)
B.直线l与圆C有可能无公共点
C.对任意实数m,圆C上都不存在关于直线l对称的两点
D.若直线l与圆C有两个不同交点M,N,则线段MN的长的最小值为2
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
9.[2012·东北三校二联] 直线l:y=k(x+3)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,|AB|=2
,则实数k=________.
10.[2012·南京、盐城三模] 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),直线l:x+y-4=0.点B(x,y)是圆C:x2+y2-2x-1=0上的动点,AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E,则线段DE的最大值是________.
11.设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点A,B在椭圆上,若=5,则点A的坐标是________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题14分,共42分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
12.求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0截得的弦长为2的圆的方程.
13.如图G12-1,已知圆心坐标为(,1)的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A,B两点,另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C,D两点.
(1)求圆M和圆N的方程;
(2)过点A作直线MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.
图G12-1
14.已知圆的方程是x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中a≠1,且a∈R.
(1)求证:a取不为1的实数时,上述圆恒过定点;
(2)求恒与圆相切的直线方程;
(3)求圆心的轨迹方程.
45分钟滚动基础训练卷(十三)
(考查范围:第42讲~第49讲,以第46讲~第49讲内容为主 分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.[2012·北京东城区二模] 已知圆x2+y2-2x+my=0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在圆上,则m的值为( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
2.“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2012·南平测试] 椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交椭圆于A,B两点.若△ABF2的周长为20,离心率为,则椭圆方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[-,] B.(-,)
C. D.
5.过点(0,1)与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点的直线条数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为( )
A. B. C. D.
7.若点P是以F1,F2为焦点的双曲线-=1上的一点,且|PF1|=12,则|PF2|=( )
A.2 B.22 C.2或22 D.4或22
8.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
9.[2012·黄冈中学模拟] 已知点P的坐标(x,y)满足过点P的直线l与圆C:x2+y2=14相交于A,B两点,则|AB|的最小值为________.
10.双曲线C的焦点在x轴上,离心率为e=2,且经过点P(,),则双曲线C
的标准方程是________.
11.[2012·成都二诊] 已知A,B为椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a与x轴交于点D,与直线AC交于点P,若∠DBP=,则此椭圆的离心率为________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题14分,共42分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
12.若椭圆C1:+=1(00)的焦点与椭圆C1的上顶点重合.
(1)求抛物线C2的方程;
(2)若过M(-1,0)的直线l与抛物线C2交于E,F两点,又过E,F作抛物线C2的切线l1,l2,当l1⊥l2时,求直线l的方程.
13.已知椭圆C的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),并且经过点M.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆O:x2+y2=1,直线l:mx+ny=1,证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交;并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围.
14.[2012·咸阳三模] 已知抛物线x2=4y,过点A(0,1)任意作一条直线l交抛物线C于M,N两点,O为坐标原点.
(1)求·的值;
(2)过M,N分别作抛物线C的切线l1,l2,试探求l1与l2的交点是否在定直线上,并证明你的结论.
45分钟滚动基础训练卷(十四)
(考查范围:第50讲~第55讲 分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.对总数为m的一批零件抽取一个容量为25的样本,若每个零件被抽取的概率为,则m的值为( )
A.200 B.150 C.120 D.100
2.某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时,采用独立性检验法抽查了3 000人,计算发现K2的观测值k=6.023,则根据这一数据查阅下表,市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是( )
参考数据表:
P(K2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.4550
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A.90% B.95% C.97.5% D.99.5%
3.[2013·信阳一中月考] 某化工厂为预测某产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系,现取了8对观测值,计算得:iyi=1 849,则y与x的回归直线方程是( )
A.=11.47+2.62x B.=-11.47+2.62x
C.=-2.62x-11.47 D.=11.47-2.62x
4.统计某校1 000名学生的数学测试成绩得到样本频率分布直方图如图G14-1所示,若满分为100分,规定不低于60分为及格,则及格率是( )
图G14-1
A.20% B.25% C.6% D.80%
5.图G14-2表示的是甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图,则甲和乙得分的中位数的和是( )
甲
乙
4
0
8
4
4
1
2
5
8
5
4
2
3
6
5
9
5
6
6
2
1
3
2
3
4
7
9
5
4
1
3
图G14-2
A.56分 B.57分 C.58分 D.59分
图G14-3
6.[2012·泉州质检] 甲、乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图G14-3所示.老师在计算甲、乙两人的平均分时,发现乙同学成绩的一个数字无法看清.若从{0,1,2,3,…,9}随机取一个数字代替,则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为( )
A. B. C. D.
7.[2013·常德一中月考] 在区域M=内随机撒一把黄豆,落在区域N=内的概率是( )
A. B.
C. D.
8.[2012·临清模拟] 已知-1≤a≤1,-1≤b≤1,则关于x的方程x2+ax+b2=0有实根的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
9.如图G14-4所示的是某班60名同学参加高中数学毕业会考所得成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图,根据图中可得出的该班及格(60分以上)的同学的人数为________.
图G14-4
10.[2012·苏、锡、常、镇四市调研] 某所学校有小学部、初中部和高中部,在校小学生、初中生和高中生人数之比为5∶2∶3,且已知初中生有800人.现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为80的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的评价,则每个高中生被抽到的概率是________.
11.一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成10组,组号依次为1,2,3,…,10,现用系统抽样抽取一个容量为10的样本,并规定:如果在第一组随机抽取的号码为m,那么在第k(k=2,3,…,10)组中抽取的号码的个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6,则该样本的全部号码是________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题14分,共42分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
12.[2013·湖南师大附中月考] 对甲、乙两名自行车选手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表:
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息?
(2)分别求出甲、乙两名自行车选手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差,并判断选谁参加比赛更合适.
13.某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了长期的调查,得到的统计数据如下表所示:
主动参加
班级工作
不太主动参
加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
合计
24
26
50
(1)如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到主动参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)请问学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?说明理由.
附K2对照表:
P(K2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
14.[2012·江门一模] 某年某省有23万多文科考生参加高考,除去成绩为670分(含670分)以上的6人与成绩为350分(不含350分)以下的38 390人,还有约19.4万文科考生的成绩集中在[350,670)内,其成绩的频率分布如下表所示:
分数段
[350,390)
[390,430)
[430,470)
[470,510)
频率
0.108
0.133
0.161
0.183
分数段
[510,550)
[550,590)
[590,630)
[630,670)
频率
0.193
0.154
0.061
0.007
(1)请估计该次高考成绩在[350,670)内文科考生的平均分(精确到0.1);
(2)考生A填报志愿后,得知另外有4名同分数考生也填报了该志愿.若该志愿计划录取2人,并在同分数考生中随机录取,求考生A被该志愿录取的概率.(参考数据:650×0.007+610×0.061+570×0.154+530×0.193+490×0.183+450×0.161+410×0.133+370×0.108=488.44)
45分钟滚动基础训练卷(十五)
(考查范围:第56讲~第60讲 分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若复数z=1+i,i为虚数单位,则(1+z)·z=( )
A.1+3i B.3+3i
C.3-i D.3
2.如图G15-1所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为-4,则输出y的值为( )
图G15-1
A.0.5 B.1 C.2 D.4
3.设z=1-i(i为虚数单位),则z2+=( )
A.-1-i B.-1+i
C.1+i D.1-i
4.输入x=5,运行下面的程序之后得到y等于( )
INPUT x
IF x<0 THEN
y=(x+1)*(x+1)
ELSE
y=(x-1)*(x-1)
END IF
PRINT y
END
A.16 B.36 C.18 D.38
5.函数f(x)由下表定义:
x
2
5
3
1
4
f(x)
1
2
3
4
5
若a0=5,an+1=f(an),n=0,1,2,…,则a2 012=( )
A.4 B.5
C.1 D.2
6.设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为( )
A.2 B.-2
C.- D.
7.观察式子:1+<,1++<,1+++<,…,则可归纳出式子为( )
A.1+++…+<
B.1+++…+<
C.1+++…+<
D.1+++…+<
8.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):
①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;
②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;
③“若a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”;
④“若x∈R,则|x|<1⇒-14时,f(n)=________.
10.[2012·豫南模拟] 复数的虚部为________.
11.[2012·厦门质检] 二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,观察发现S′=l;三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,观察发现V′=S.则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3,猜想其四维测度W=________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题14分,共42分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
12.根据下面的程序写出相应的算法,并画出相应的程序框图.
S=1
n=1
WHILE S<1 000
S=S*n
n=n+1
WEND
PRINT n
END
13.请你把“若a1,a2是正实数,则有+≥a1+a2”推广到多个正实数的情形,并证明你的结论.
14.若下列方程:x2-4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,至少有一个方程有实根,试求实数a的取值范围.
参考答案
45分钟滚动基础训练卷(一)
1.A [解析] 由M∩N≠∅可知-3m=-9或-3m=3,故选A.
2.C [解析] 依题意a2=1,所以a=1或a=-1.当a=1时,集合B中有重复元素,所以a≠1,所以a=-1,从而b=1.所以A={3,1},B={0,1,2},A∪B={0,1,2,3}.故选C.
3.B [解析] 因为sinx+cosx=sin≤,所以选项A错;当x∈(-∞,0)时,2x>3x,所以选项C错;当x∈时,cosx>sinx,所以选项D错,故选B.
4.B [解析] 当x取1,2,3,4,6,12时,满足题设条件.故选B.
5.C [解析] ①中“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件,所以①错;根据逆否命题的定义知②正确;若p∧q是假命题,则p,q中至少有一个是假命题,所以③错;根据特称命题的否定的概念知④正确.故选C.
6.A [解析] k=1时,y=sin2x-cos2x+1=1-cos2x,周期为π;反之,若函数的最小正周期为π,则k=±1.所以k=1是函数的最小正周期为π的充分不必要条件.故选A.
7.B [解析] 因为ax2-2x+1<0的解集非空,显然a≤0成立.由解得0b>0时,an>bn(n∈N*).故选B.
9.若x≥1或x≤-1,则x2≥1 [解析] “若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”.
10.{x|1≤x≤2} [解析] 阴影部分表示的集合是N∩(∁RM).M={x|x<-2或x>2},∁RM={x|-2≤x≤2},N={x|1≤x≤3},所以N∩(∁RM)={x|1≤x≤2}.
11.0 [解析] ①若x∈E或x∈F,则x∈E∪F,是充要条件;②若关于x的不等式ax2-2ax+a+3>0的解集为R,则a>0,是必要不充分条件;③若x是有理数,则x是无理数,是既不充分又不必要条件.
12.解:由题意得A==(-1,2],
B={x∈R|x2-x+m-m2≤0}={x∈R|(x-m)(x-1+m)≤0}.
由A∪B=A知B⊆A,得解得-1f(2)=f(6).故选D.
5.D [解析] 解≤0得≤x<3;解≥4得30⇔f(|x-1|)>f(1)⇔|x-1|>1,解得x>2或x<0.故选C.
7.A [解析] y=f(x)的定义域中含有x=3,①②正确;函数y=f(x)在定义域内不是增函数,因而③④错误.故选A.
8.D [解析] 由f(x-4)=-f(x)得f(x-8)=-f(x-4)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,所以f(80)=f(0),f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).又f(x)为奇函数,且在区间[0,2]上是增函数,所以函数f(x)在区间[-2,2]上为增函数,所以f(-1)0时,f(x)=ex+a单调递增,又f(x)在R上是单调函数,所以f(x)在R上是增函数,于是e0+a≥-e0-a,解得a≥-1.
12.解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).因为f(x)>-2x,
所以ax2+bx+c>-2x,即ax2+(b+2)x+c>0.
因为该不等式的解集为(1,3),
所以有⇒
由于f(x)+6a=0有两个相等的实根,
故ax2+bx+c+6a=0中Δ=0,
所以b2-4a(c+6a)=0,③
联立①②③,故a=-,b=-,c=-,
所以f(x)=-x2-x-.
13.解:(1)函数f(x)的定义域是R,设x11时,因为x1bx2,得bx1-bx2>0,
得f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2),
故此时函数f(x)在R上是单调减函数.
注:用求导法也可证明.
(2)f(x)的定义域是R,
由f(0)=0,求得a=1.
当a=1时,f(-x)=1-==,
f(x)=1-=,
满足条件f(-x)=-f(x),故a=1时,函数f(x)为奇函数.
14.解:(1)当a=0时,函数f(x)=-2x+1在(-∞,+∞)上为减函数;
当a>0时,抛物线f(x)=ax2-2x+1开口向上,对称轴为x=,
所以函数f(x)在-∞,上为减函数,在,+∞上为增函数;
当a<0时,抛物线f(x)=ax2-2x+1开口向下,对称轴为x=,
所以函数f(x)在-∞,上为增函数,在,+∞上为减函数.
(2)因为f(x)=ax-2+1-,
又≤a≤1,得1≤≤3,
所以N(a)=f=1-.
当1≤<2,即0,所以零点在区间(0,1)上.故选C.
2.B [解析] log318+log2=log318-log32=log39=2.故选B.
3.A [解析] ∵a=21.2>2,1=0时,函数单调递减,排除选项B,C,当x=1时,f(1)=1,排除选项D.故选A.
5.D [解析] 设售价提高x元,则依题意y=(1 000-5x)×(20+x)=-5x2+900x+20 000=-5(x-90)2+60 500.
当x=90时,ymax=60 500,此时售价为每件190元.故选D.
6.C [解析] 由程序得,f(x)=如下图,
由图可知,g(x)=f(x)-m有两个零点,则m=1或m<0.
7.B [解析] 因为a>0,所以g(x)=2-ax是减函数,若y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则a>1,且2-ax>0在[0,1]上恒成立,即ay2,故x1+x2>0,y1+y2<0,故选B.
9.(0,] [解析] 本题考查函数定义域的求解.解题突破口为寻找使函数解析式有意义的限制条件.由解得00时,-x<0,f(x)=-f(-x)=-2(-x)(-x-1)=-2x(x+1).
所以f(x)=
11.①②③ [解析] 函数f(x)的定义域是R,由于y1=4x2+4x+5,y2=x2-4x+5都不是周期函数,所以f(x)不是周期函数;因为f(-x)==f(x),所以f(x)是偶函数;又y1=4x2+4x+5=(2x+1)2+4≥4,y2=4x2-4x+5=(2x-1)2+4≥4,所以y1y2>16,即<(因为两个函数的最小值不在同时取得,所以此处没有“=”号),而|4cosπx|≤4,所以|f(x)|<.
12.证明:(1)由f(x)=1得x2+(2t-1)x+1-2t=1,
即x2+(2t-1)x-2t=0,
显然x=1是方程的根,故方程f(x)=1必有实数根.
(2)当0,
f(0)=1-2t=2-t<0,
f=+(2t-1)+1-2t=-t>0,
所以方程f(x)=0在区间(-1,0)及0,内各有一个实数根.
13.解:(1)因为f(x)=x2-x+b,
所以f(log2a)=(log2a)2-log2a+b=b.
因为log2a≠0,所以log2a=1,所以a=2.
又因为log2f(a)=2,所以f(a)=4.
即a2-a+b=4.
所以b=2.
所以f(x)=x2-x+2.
所以f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=log2x-2+.
所以当log2x=,即x=时,f(log2x)有最小值.
(2)由题意知
所以
所以
解得04时,-2x-2lgx+20≥4,即lgx≤-x+8,可解得4-a>0,所以函数f(-x)的定义域为[-b,-a],所以g(x)=f(x)+f(-x)的定义域为[a,b]∩[-b,-a]=[a,-a].故选D.
4.A [解析] y′==,曲线在点(3,2)处的切线斜率为k=y′|x=3=-,所以与该切线垂直的直线的斜率为2,所以所求直线方程为y-1=2x.故选A.
5.A [解析] 依题意得,g(x)=x2f(x-1)=
所以g(x)的递减区间为(0,1).故选A.
6.B [解析] =lim =-1,即y′|x=1=-1,则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-1,故选B.
7.A [解析] f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知1,-1是方程3ax2+2bx+c=0(a≠0)的两根,∴1-1=-⇒b=0.故选A.
8.B [解析] y′=(n+1)xn,曲线在点(1,1)的切线斜率为(n+1),切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=,即切线与x轴的交点横坐标xn=,所以x1x2…x2 011=××…×=,所以log2 012x1+log2 012x2+…+log2 012x2 011=-1.故选B.
9.3x+y=0 [解析] 因为函数f(x)=x3+ax(x∈R)在x=1处有极值,则f′(1)=3×12+a=0,a=-3,所求切线的斜率为k=a=-3,因此所求切线方程为y=-3x.
10.y=4x-3 [解析] y′=3lnx+1+x·=3lnx+4,故y′|x=1=4.故所求切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.
11.(-∞,-3)∪(0,3) [解析] 由f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0得[f(x)g(x)]′>0,所以F(x)=f(x)g(x)在(-∞,0)上是增函数.又f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以F(x)=f(x)g(x)在R上为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数.因为g(-3)=0,所以F(-3)=0,F(3)=0.当x<0时,
f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3);当x>0时,不等式f(x)g(x)<0的解集为(0,3).
综上,不等式的解集为(-∞,-3)∪(0,3).
12.解:设销售价格定为每件x元,50<x≤80,每天获得的利润为y元,则y=(x-50)·P=,
令x-50=t,y==
=≤=2 500,
所以当且仅当t=10,即x=60时,ymax=2 500.
答:销售价格每件应定为60元.
13.解:(1)因为f′(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1)=ex(x+2)(ax+1).
令f′(x)>0,得(x+2)(ax+1)>0,注意到a>0,
所以当a∈0,时,f(x)在-∞,-上递增,在-,-2上递减,在(-2,+∞)上递增;
当a=时,f(x)在(-∞,+∞)上递增;
当a∈,+∞时,f(x)在(-∞,-2)上递增,在-2,-上递减,在-,+∞上递增.
(2)证明:因为a=-1,由(1),f′(x)=-ex(x+2)(x-1),
所以f(x)在[0,1]上单调递增,
故f(x)在[0,1]的最大值为f(1)=e,最小值为f(0)=1.
从而对任意x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2.
14.解:(1)f(x)=ex+,f′(x)=ex-,f′(0)=1-.
当a=时,f′(0)=-3.又f(0)=-1.
所以f(x)在x=0处的切线方程为y=-3x-1.
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,a)∪(a,+∞).
当x∈(a,+∞)时,ex>0,>0,所以f(x)=ex+>0.
即f(x)在区间(a,+∞)上没有实数根.
当x∈(-∞,a)时,f(x)=ex+=,
令g(x)=ex(x-a)+1.
只要讨论g(x)=0根的个数即可.
g′(x)=ex(x-a+1),g′(a-1)=0.
当x∈(-∞,a-1)时,g′(x)<0,g(x)是减函数;
当x∈(a-1,a)时,g′(x)>0,g(x)是增函数.
所以g(x)在区间(-∞,a)上的最小值为g(a-1)=1-ea-1.
因为a>1时,g(a-1)=1-ea-1<0,所以g(x)=0有两个实根,即f(x)=0有两个实根.
45分钟滚动基础训练卷(五)
1.C [解析] cos-=cos=cos6π+=cos=-,选C.
2.D [解析] 因为α是第二象限角,所以x<0.由三角函数的定义,有cosα==x,解得x=-3(x<0).所以tanα==-.
3.C [解析] 若为“同簇函数”,则振幅相同且最小正周期也相同,将函数进行化简:①f(x)=sinxcosx=sin2x,③f(x)=sinx+cosx=2sinx+,所以②③振幅相同,周期相同,所以选C.
4.A [解析] y=2cos2xy=2cos2x-=2cos2x-=2sin2xy=2sin2x-2,故选A.
5.A [解析] y=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin2x+=sin2x+,
∴需将函数y=sin2x的图象向左平移个长度单位.
6.D [解析] f(x)=|sinπx-cosπx|=)sin),它的周期为1,函数对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,所以f(x2)为f(x)的最大值,f(x1)为f(x)的最小值,∴|x2-x1|的最小值是f(x)的半个周期,是.
7.C [解析] 由f(x)=sinωx+cosωx=2sinωx+,最小正周期为4π,得ω=.
f=2sin=2sinπ=0,所以图象关于直线x=对称错误.
8.A [解析] 通过观察图象可知函数图象过(-2,0)和(2,-4)两个固定点,且T==16,得ω=.由图象过(-2,0)可知-2×+φ=kπ|φ|<,得φ=.由图象过(2,-4)可知,A=-4.从而f(x)=-4sinx+.故选A.
9.-3 [解析] tanα=2,原式====-3.
10.2 [解析] ∵x∈0,,∴≤2x+<,g(x)=2sin2x++a在x=时取最大值2+a,在x=0时取最小值1+a,∴2+a+1+a=7,∴a=2.
11.5 [解析] 由图象得A=10,T=2=,ω==100π,所以I=10sin100πt+,则当t=时,电流强度I=10sin100π×+=5.
12.解:(1)因为点P(1,-)在角α的终边上,
所以sinα=-,cosα=,
所以f(α)=sin2α-2sin2α=2sinαcosα-2sin2α
=2×-×-2×-2=-3.
(2)f(x)=sin2x-2sin2x=sin2x+cos2x-1
=2sin2x+-1.
因为x∈-,,所以-≤2x+≤,
所以-≤sin2x+≤1,
所以f(x)的值域是[-2,1].
13.解:(1)f(x)=2cosxcosx--sin2x+sinxcosx
=2cosx-sin2x+sinxcosx
=cos2x+sinxcosx-sin2x+sinxcosx
=(cos2x-sin2x)+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=2sin,
∴最小正周期T==π.
(2)函数f(x)图象向右平移m个单位后的函数为g(x)=2sin2x-2m+,
单调递增区间为-+m+kπ,+m+kπ,k∈Z.
函数g(x)最小正周期为π,则-+m+kπ=0,m=-kπ,
当|m|最小时,m=.
14.解:(1)f(x)=1-cos-2x-(2cos2x-1)
=1-(sin2x+cos2x)
=-2sin2x++1,
∴最小正周期T=π.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
∴f(x)的单调递减区间为kπ-,kπ+(k∈Z).
(2)∵x∈0,,∴2x+∈,,
∴-2sin2x+∈[-2,-],
即有-2sin2x++1∈[-1,1-],
∴f(x)∈[-1,1-],x∈0,.
∵f(x)1-,
即m>-1-,
∴m的取值范围是(-1-,+∞).
45分钟滚动基础训练卷(六)
1.C [解析] 因为sin(α+45°)=,45°<α<135°,所以cos(α+45°)=-,
则sinα=sinα+45°-=sinα+45°cos45°-cosα+45°sin45°=×-×=,选C.
2.A [解析] 由5cos(B+C)+3=0得5cosA=3,cosA=,所以sinA=.因为a>b,所以A>B,即B为锐角.由正弦定理=,所以sinB===,所以B=,选A.
3.D [解析] 不妨设三边长a,b,c依次构成公差为2的等差数列,则角C为最大角.所以由已知得sinC=.所以cosC=-C为最大角,不可能cosC=,否则C=60°
,不符合题意.由cosC==-,及b=a+2,c=a+4,解得a=3,b=5,c=7.所以周长为a+b+c=15.
4.B [解析] 由余弦定理得7=AB2+22-2×2AB×cos60°,解得AB=3,故h=AB×sinB=3×=,故选B.
5.B [解析] ∵=,∴sinB==.又0°<知B<180°且B>A,∴B=60°或120°.
6.A [解析] y=sin,周期是π,又y=sin在0,上为减函数,所以选A.
7.A [解析] y=cos=sin,将函数y=cos的图象横坐标缩短为原来的(纵坐标保持不变)得到函数y=sin=sin,然后将函数y=sin2x+的图象向右平移个单位得y=sin2x-的图象.
8.D [解析] 由sin2B+sin2C-sin2A+sinBsinC=0结合正弦定理得b2+c2-a2+bc=0,进而有b2+c2-a2=-bc,
又据余弦定理得cosA===-,∴A=,
∴tanA=-,∴选D.
9.-3 [解析] +tan2α==
==-3.
10. [解析] 由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2,即sin2B=1,因为00,∴sinA==,
∴sinC=sin(A+B)=sinA+=sinA+cosA=.
13.解:(1)证明:若m∥n,则asinA=bsinB,
即a·=b·,其中R是△ABC外接圆半径,∴a=b,
故△ABC为等腰三角形.
(2)由题意可知m·p=0,
即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.
由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4或ab=-1(舍去),
∴S=absinC=×4×sin=.
14.解:(1)由m·n=-得cos2A-sin2A=-,
即cos2A=-.
∵00,∴k=t+≥2(t=1时取等号).
∴k的最小值为2.
14.解:(1)∵sin2x+=sin2x+cos2x=1,
∴m=(1,sinx),
∴f(x)=m·n=cos2x-sin2x+2sin2x=1-cos2x-sin2x=1-sin2x+,
∴f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由(1)知f(x)=1-sin2x+,
∵x∈0,,∴2x+∈,,
∴sin2x+∈-,1,
所以函数f(x)的值域为0,.
45分钟滚动基础训练卷(八)
1.A [解析] 由已知d=2,所以偶数项的和为80+5d=90.故选A.
2.C [解析] 由已知得a=32,所以a7=2.故选C.
3.A [解析] 由已知得a5=,而a2+a8=2a5=,所以cos(a2+a8)=-.故选A.
4.B [解析] q3==8,所以q=2,通项公式为an=a2qn-2=2n,所以anan+1=22n+1=2·4n.数列{anan+1}的前n项和为Sn==.故选B.
5.B [解析] 由题意7a1+21d=21,11a1+55d=121,解得a1=-9,d=4,故选B.
6.A [解析] 因为a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列,公比为,所以a7a8a9=(a1a2a3)q2=10,故选A.
7.D [解析] 由8a2+a5=0知,公比q=-2,所以=q2=4,==,=q=-2,=,根据n的奇偶性可知,该式的结果不定.故选D.
8.B [解析] lga1+lga2+lga3=3lga2=6lg3,得a2=9,又lga2-lga1=lg3,所以a1=a2=3,所以公比q=3,通项公式为an=3n.故选B.
9.-25 [解析] S50=1-2+3-4+…+49-50=(-1)×25=-25.
10.3∶5 [解析] 设公差为d,则==,解得a1=2d,所以==.
11.1 342 [解析] 因为a1=1,a2=1,所以根据an+1=|an-an-1|(n≥2),得a3=|a2-a1|=0,a4=1,a5=1,a6=0,…,故数列{an}是周期为3的数列.又2 013=671×3,所以该数列前2 013项和等于671×2=1 342.
12.解:(1)由题意得2a5=4a1-2a3.
∵{an}是等比数列且a1=4,公比q≠1,
∴2a1q4=4a1-2a1q2,∴q4+q2-2=0,
解得q2=-2(舍去)或q2=1,∴q=-1.
(2)∵a2,a4,a6,…,a2n是首项为a2=4×(-1)=-4,公比为q2=1的等比数列,∴Tn=na2=-4n.
13.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,
∵a4=6,a6=10,∴
解得
∴数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=2n-2.
(2)设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q(q>1).
由an=2n-2,得a3=2×3-2=4.
∵a3=b2+2,∴b2=2,
∴
解得或 (舍)
∴Tn===2n-1.
14.解:(1)2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11,
2a3=a2+a6-4,即2(a1+2d)=a1+d+a1+5d-4,
得d=2,a1=1,
an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)∵Sn=na1+n(n-1)d=n2,
∴bn====-,
∴Tn=-+-+…+-=1-=.
45分钟滚动基础训练卷(九)
1.A [解析] 设等比数列的公比为q,那么a1a3a11=8⇒aq12=8⇒a1q4=2,则a2a8=aq8=(a1q4)2=4,故选A.
2.B [解析] 由已知可得a1=1,n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,所以an=2an-1,所以{an}是等比数列,公比为2,所以a5=a1·24=16.故选B.
3.D [解析] 若Sn是关于n的二次函数,则设为Sn=an2+bn+c(a≠0),则当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=2an+b-a,当n=1时,S1=a+b+c,只有当c=0时,数列才是等差数列.若数列{an}为等差数列,则Sn=na1+=d+a1-n,当d≠0时为二次函数,当d=0时,为一次函数,所以“Sn是关于n的二次函数”是“数列{an}为等差数列”的既不充分也不必要条件,选D.
4.B [解析] 由等差数列的性质知3a2=9,所以a2=3,又a=(a2-d)(a2+3d),解得d=2.故选B.
5.D [解析] 依题意,a1+a2 012=1,所以S2 012==1 006,故选D.
6.B [解析] 因为a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=20,所以log2(2a1·2a2·…·2a10)=log22a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10=20.故选B.
7.B [解析] 从第一天起,每一天归巢后,蜂巢中的蜜蜂数依次为:6,62,63,…,这是一个等比数列,首项为6,公比为6,所以第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂66只.故选B.
8.D [解析] 由已知得,数列{an}是以1为首项,公差为2的等差数列,数列{bn}是以1为首项,公比为2的等比数列,所以数列{ban}是以1为首项,公比为4的等比数列,因此,数列{ban}前10项的和为=(410-1).故选D.
9. [解析] 由S10=S11-29得a11=S11-S10=29,a1=a11q1-11=29·(-2)-10=.
10.673 [解析] an=a1+(n-1)d=-3+3(n-1)=2 013,解得n=673.
11.9 -3 [解析] 由等比中项得b2=ac=9,当b
=3时,则这五个数不成等比数列,当b=-3时,a,c同为正号,则这五个数成等比数列,所以ac=9,b=-3.
12.解:(1)a1=S1=(81-1)=2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(8n-1)-(8n-1-1)=23n-2.
当n=1时上式也成立,所以an=23n-2(n∈N*).
(2)由(1)知,bn=log223n-2=3n-2,
所以++…+
=++…+
=1-+-+…+-
=1-=.
13.解:(1)=1,因为an+1=,所以-=2,
∴数列是首项为1,公差为2的等差数列,∴=2n-1,
从而an=.
(2)因为anan+1==-,
所以Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1
=1-+-+…-=.
由Tn=>,得n>,即最小正整数n为91.
14.解:(1)由Sn+1=Sn+1(n∈N*)知,
当n≥2时,Sn=Sn-1+1,
∴Sn+1-Sn=(Sn-Sn-1),即an+1=an,∴=.
又a1=1,得S2=a1+1=a1+a2,∴a2=,=.
∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,
∴an=n-1(n∈N*).
(2)∵数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,
∴数列是首项为1,公比为的等比数列,
∴其前n项和Tn==31-n.
又∵Sn=2·n-2,
∴由不等式Tn<,
得n>,
解得n=1或n=2.
45分钟滚动基础训练卷(十)
1.B [解析] ∵点O(0,0)使x-2y+4>0成立,且点O在直线下方,故点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方⇔-2-2t+4<0,
∴t>1.
2.C [解析] 作出可行域如图,可知直线y=x与3x+2y=5的交点(1,1)为最优解点,∴当x=1,y=1时,zmax=3.
3.D [解析] q真时,-22)的图象过点A(3,7),则a=4.于是,f(x)=x+=(x-2)++2≥2+2=6当且仅当x-2=,即x=4时取等号.故选C.
8.A [解析] ·(-)=·(--)=·=(-1,-2)·(x,y)=-x-2y,所以原不等式变为≤x+2y,若要原不等式恒成立,只需≤(x+2y)min.如图,不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分,当直线z=x+2y经过点(1,1),时,zmin=3,所以≤3,解得m<0或m≥.故选A.
9.{x|2≤x≤3} [解析] 解不等式得 (x-2)(x-3)≤0,即2≤x≤3,所以不等式的解集是{x|2≤x≤3}.
10.2 [解析] 作出不等式组 所表示的可行域,如下图阴影部分所示(含边界).
可知当直线z=2x+3y经过直线x+y=1与直线3x-y=3的交点M(1,0)时,z=2x+3y取得最小值,且zmin=2.
11. [解析] 根据指数函数的性质,可知函数f(x)=mx+1+1(m>0,m≠1)恒过定点(-1,2).将点(-1,2)代入2ax-by+14=0,可得a+b=7.由于(-1,2)始终落在所给圆的内部或圆上,所以a2+b2≤25.由解得或这说明点(a,b)在以A(3,4)和B(4,3)为端点的线段上运动,所以的取值范围是.
12.解:由3∈M,得<0,即(3a-5)(a-9)>0,
∴a<或a>9.
当5∈M时,有<0,即(5a-5)(a-25)>0,
∴a<1或a>25.所以,当5∉M时,1≤a≤25.
联立得1≤a<或90,f(1)>0,
所以c>0,3a+2b+c>0.
由条件a+b+c=0,消去b,得a>c>0;
由条件a+b+c=0,消去c,得a+b<0,2a+b>0.
故-2<<-1.
(2)抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为,
在-2<<-1的两边乘以-,得<-<.
又因为f(0)>0,f(1)>0,而f=-<0,所以方程f(x)=0在区间与内分别有一个实根.
故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
45分钟滚动基础训练卷(十一)
1.D [解析] 由三视图可知该几何体为圆锥,其中圆锥母线和底面圆的直径均为1,因此侧面积S=×π×1=.
2.A [解析] ①中,两个平面有三个公共点,这三个公共点可能共线,则①不正确;②中,这两条直线可能是异面直线,则②不正确;③中,若M∈α,M∈β,M是α和β的公共点,则M必在交线l上;④中三条直线可能不共面.
3.B [解析] 无论平面α与β相交还是平行,均可存在平面γ,使α,β都垂直于γ,即①不可判断α∥β;若平面α与β相交,则不存在平面γ,使α,β都平行于γ,即②可判断α∥β;无论平面α与β是相交还是平行,平面α内均可存在无数条直线平行于β,即③不可判断α∥β;当且仅当平面α与β平行时,平面α内任何直线都平行于β,即④可判断α∥β.综上可得,能够判断α∥β的条件有2个,故应选B.
4.D [解析] A正确,平面的平行具有传递性;B正确,一直线若平行于两相交平面,故此直线必与两平面的交线平行;C正确,若两相交平面同时垂直于第三个平面,则两相交平面的交线必与第三个平面垂直;D错误,可用直三棱柱为模型来判断直线m,n的关系不确定,故选D.
5.A [解析] 据三视图可知几何体为圆锥的一半,其中底面半径为1,高为3,故其体积V=×=.
6.C [解析] 设棱台上底面面积为k,下底面面积为9k,则中截面面积为4k,所以棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比==.
7.A [解析] 设正三棱锥的侧棱长为b,则由条件知b2=a2,
∴S表=a2+3××a2=a2,故选A.
8.C [解析] 由三视图可知,该几何体上部为正四棱锥,四棱锥的高为=,底面正方形的边长为2;下部为圆柱,圆柱的高为x,底面圆的直径为4.
V四棱锥=×(2)2×=,V圆柱=π×22×x=4πx,V四棱锥+V圆柱=+4πx=+12π,解得x=3,故选C.
9.45° [解析] 如图,取CD的中点G,连接EG,FG,则EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角.由AC⊥BD得FG⊥EG,故在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.
10.72 [解析] 根据题目所给的三视图可知该几何体为一个直三棱柱,且底面是一直角三角形,两直角边长度分别为3,4,斜边长度为5,直三棱柱的高为5,所以表面积为3×4+3×5+4×5+5×5=72.
11.43π [解析] 构造一个长方体,因为对棱AB,CD垂直,故底面可看成一个正方形,不妨设长宽高为a,a,c,则a=3,c=,三棱锥的外接球即为长方体的外接球,其直径为体对角线,即2r==,所求表面积为S=4πr2=43π.
12.解:(1)证明:∵E,F分别为PD,PC的中点,
∴EF∥CD.又CD∥AB,∴EF∥AB.
∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,
∴EF∥平面PAB.
(2)在线段AD上存在一点O,使得BO⊥平面PAC,
此时点O为线段AD的四等分点,且AO=AD.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BO,
又∵长方形ABCD中,△ABO∽△DAC,∴AC⊥BO.
又∵PA∩AC=A,∴BO⊥平面PAC.
13.解:(1)证明:∵平面SAD⊥平面ABCD,
平面SAD∩平面ABCD=AD,
SE⊂平面SAD,SE⊥AD,
∴SE⊥平面ABCD.
∵BE⊂平面ABCD,∴SE⊥BE.
∵AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,AE=ED=.
∴∠AEB=30°,∠CED=60°.
所以∠BEC=90°,即BE⊥CE.
又SE∩CE=E,∴BE⊥平面SEC,
∵BE⊂平面SBE,∴平面SBE⊥平面SEC.
(2)如图,作EF⊥BC于F,连接SF.由BC⊥SE,SE∩EF=E得,BC⊥平面SEF.由BC⊂平面SBC,得平面SEF⊥平面SBC.
作EG⊥SF于G,则EG⊥平面SBC.
即线段EG的长即为三棱锥E-SBC的高.
由SE=1,BE=2,CE=2得BC=4,EF=,SF=2.
在Rt△SEF中,EG==,
所以三棱锥E-SBC的高为.
14.解:(1)证明:因为菱形ABCD的对角线互相垂直,
所以BD⊥AC,所以BD⊥AO.
因为EF⊥AC,所以PO⊥EF.
因为平面PEF⊥平面ABFED,平面PEF∩平面ABFED=EF,且PO⊂平面PEF,
所以PO⊥平面ABFED.
因为BD⊂平面ABFED,所以PO⊥BD.
又AO∩PO=O,所以BD⊥平面POA.
(2)如图,设AO∩BD=H,连接BO.
因为∠DAB=60°,所以△BDC为等边三角形,
故BD=4,HB=2,HC=2.
又设PO=x,则OH=2-x,OA=4-x.
由OH⊥BD,则|OB|2=(2-x)2+22.
又由(1)知,PO⊥平面BFED,则PO⊥OB,
所以|PB|==,
当x=时,|PB|min=.此时PO=,
所以V四棱锥P-BFED=××=3.
45分钟滚动基础训练卷(十二)
1.C [解析] 设直线l的倾斜角为θ,则有cosθ=-,sinθ=,所以tanθ=-,所以直线l′的斜率为.故选C.
2.C [解析] 将k=3代入两直线方程,知两直线平行,排除B和D;将k=1代入两直线方程,则l1:-2x+3y+1=0,l2:4x+2y-3=0,斜率不等,两直线不平行,排除A,故选C.
3.D [解析] 两圆关于直线l对称,则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线.圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),圆x2+y2-6x+6y+14=0的圆心为P(3,-3),则线段OP的中点为Q,-,
其斜率kOP==-1,则直线l的斜率为k=1,故直线l的方程为y--=x-,即x-y-3=0.
4.C [解析] 圆心为C(3,2),半径为r=2,弦长|AB|=2,根据垂径定理,得圆心到弦AB的距离为d==1.又圆心C(3,2)到直线kx-y+3=0的距离为d==,所以=1,解得k=-或0.
5.C [解析] 将直线方程整理为t(2x-2)-(y+2)=0,知该直线恒过定点(1,-2),而(1,-2)是已知圆的圆心,所以直线与圆相交.故选C.
6.A [解析] 由条件知O,A,B,P四点共圆,从而OP的中点(2,1)为所求圆的圆心,半径为r=|OP|=.故选A.
7.D [解析] 设圆心坐标为(a,b),依题意有消去b得a4-5a2+4=0,解得a=±2或a=±1,所以圆心有4个,从而圆有4个.故选D.
8.D [解析] 直线l方程化为m(x+y)-(y+1)=0,该直线恒过点A(1,-1),且点A(1,-1)与圆心C(1,0)间的距离为|AC|=1<2,因此点A(1,-1)位于圆内,过点A(1,-1)的最短弦长等于2=2,即若直线l与圆C有两个不同的交点M,N,则线段MN的长度的最小值为2.结合各选项知D正确.
9.± [解析] 圆心到直线的距离为d=,圆半径为r=2,依题意有r2=d2+|AB|2,所以4=+2,解得k=±.
10. [解析] 结合图形,可知线段DE的最大值等于圆心(1,0)到直线AD:x-y+2=0的距离加上半径,可解得最大值为.
11.(0,±1) [解析] 根据题意设A点坐标为(m,n),B点坐标为(c,d).F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,其坐标分别为(-,0),(,0),可得=(m+,n),=(c-,d).∵=5,∴c=,d=.∵点A,B都在椭圆上,∴+n2=1,+2=1.解得m=0,n=±1,故点A坐标为(0,±1).
12.解:方法一:设所求的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为,∴r2=2+()2,即2r2=(a-b)2+14,①
由于所求的圆与x轴相切,∴r2=b2.②
又因为所求圆心在直线3x-y=0上,∴3a-b=0.③
联立①②③,解得a=1,b=3,r2=9或a=-1,b=-3,r2=9.
故所求的圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.
方法二:设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,
圆心为-,-,半径为.
令y=0,得x2+Dx+F=0,
由圆与x轴相切,得Δ=0,即D2=4F.
又圆心-,-到直线x-y=0的距离为.
由已知,得2+()2=r2,
即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F),⑤
又圆心-,-在直线3x-y=0上,∴3D-E=0.⑥
联立④⑤⑥,解得D=-2,E=-6,F=1或D=2,E=6,F=1.
故所求圆的方程是x2+y2-2x-6y+1=0或x2+y2+2x+6y+1=0.
13.解:(1)由于⊙M与∠BOA的两边均相切,故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径,则M在∠BOA的平分线上.同理,N也在∠BOA的平分线上,即O,M,N三点共线,且直线OMN为∠BOA的平分线.
因为M的坐标为(,1),所以M到x轴的距离为1,
即⊙M的半径为1,
则⊙M的方程为(x-)2+(y-1)2=1.
设⊙N的半径为r,其与x轴的切点为C,连接MA,NC,
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知,
|OM|∶|ON|=|MA|∶|NC|,
即=⇒r=3,
则OC=3,则⊙N的方程为(x-3)2+(y-3)2=9.
(2)由题知直线l的方程是y=(x-),
即x-y-=0,圆心N到该直线l的距离d=,
则弦长为2=.
14.解:(1)证明:当a=1时,该方程表示点(1,1).
当a≠1时,将圆的方程整理为x2+y2-4y+2-a(2x-2y)=0,
令解得
所以定点为(1,1).
(2)易得已知圆的圆心坐标为(a,2-a),半径为|a-1|.
设所求切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,
则圆心到直线的距离应等于圆的半径,
即=|a-1|恒成立.
整理得2(1+k2)a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(k+1)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2)2恒成立.
比较系数可得
得k=1,b=0.所以,所求的切线方程是y=x.
(3)圆心坐标为(a,2-a),又设圆心坐标为(x,y),则有
消去参数得x+y=2,为所求的圆心的轨迹方程.
45分钟滚动基础训练卷(十三)
1.D [解析] 由已知得圆心1,-在直线x+y=0上,即1-=0,解得m=2.
2.A [解析] 当k=1时,圆心到直线的距离d==<1
,此时直线与圆相交,所以充分性成立.反之,当直线与圆相交时,d=<1,|k|<,不一定有k=1,所以必要性不成立.
3.B [解析] 由椭圆的定义知4a=20,所以a=5,又=,所以c=3,从而b2=a2-c2=16.所以椭圆方程为+=1.故选B.
4.C [解析] 依题意,直线l的斜率k存在,故设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.由已知得直线l和圆有公共点,则圆心到直线l的距离小于或等于半径,即d=≤1,解得k2≤,所以-≤k≤.
5.D [解析] 作图可以看出,过点(0,1)可作抛物线的两条切线,另有一条与抛物线对称轴平行的直线,这三条直线都与抛物线只有一个公共点.故选D.
6.A [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=1-x代入椭圆方程,消去y得(a+b)x2-2bx+b-1=0,则=,即线段AB中点的横坐标为,代入直线方程y=1-x得纵坐标为,所以过原点与线段AB中点的直线的斜率为=.故选A.
7.C [解析] 由双曲线定义知||PF1|-|PF2||=2×5=10,所以|PF2|=|PF1|±10,即|PF2|=22或|PF2|=2,检验知都符合题意.故选C.
8.A [解析] 由已知可得|AB|=2,要使S△ABC=2,则点C到直线AB的距离必须为.设C(x,x2),而lAB:x+y-2=0,所以有=,
所以x2+x-2=±2,
当x2+x-2=2时,有两个不同的C点;
当x2+x-2=-2时,亦有两个不同的C点.
因此满足条件的C点有4个,故应选A.
9.4 [解析] 要使过点P的直线l与圆C的相交弦长最小,则需圆心C到直线l的距离最大,
当CP⊥l时,圆心C到直线l的距离最大,而当点P取直线x+y=4与x=1的交点(1,3)时,|CP|取得最大值,此时|AB|取最小值,且|AB|min=2=4(如图).
10.x2-=1 [解析] 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则=e2=4,所以b2=3a2,又点P(,)在双曲线上,所以-=1,解得a2=1,b2=3.
11. [解析] 依题意得知,点A(-a,0),B(a,0),C(0,b),直线AC的方程是+=1.由得即点P(2a,3b),kBP==tan=,a=b,c2=a2-b2=2b2,因此该椭圆的离心率等于==.
12.解:(1)已知椭圆的长半轴长为a=2,半焦距c=,
由离心率e===,得b2=1.
所以椭圆的上顶点为(0,1),即抛物线的焦点为(0,1),
所以p=2,抛物线的方程为x2=4y.
(2)由题知直线l的斜率存在且不为零,则可设直线l的方程为y=k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2).
因为y=x2,所以y′=x,
所以切线l1,l2的斜率分别为x1,x2,
当l1⊥l2时,x1·x2=-1,即x1·x2=-4.
由得x2-4kx-4k=0,
由Δ=(-4k)2-4×(-4k)>0,解得k<-1或k>0.
又x1·x2=-4k=-4,得k=1.
所以直线l的方程为x-y+1=0.
13.解:(1)方法一:设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),
由椭圆的定义知
2a=+=4,得a=2.由c=1,b2=a2-c2=3,得b=.
故椭圆C的方程为+=1.
方法二:设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),
依题意,a2-b2=1,①
将点M1,坐标代入得+=1.②
由①②解得a2=4,b2=3,故C的方程为+=1.
(2)因为点P(m,n)在椭圆C上运动,所以+=1,则m2+n2>+=1,
从而圆心O到直线l:mx+ny=1的距离d=<1=r,
所以直线l与圆O相交.
直线l被圆O所截的弦长为
L=2=2=2=2.
因为0≤m2≤4,所以3≤m2+3≤4,
≤≤,所以≤L≤.
14.解:(1)依题意直线l的斜率存在,设直线l方程为y=kx+1,
M(x1,y1),N(x2,y2),
联立方程组消去y得x2-4kx-4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4,
y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=-4k2+4k2+1=1,
故·=x1x2+y1y2=-4+1=-3.
(2)因为x2=4y,所以y′=x,
l1方程为y-=x1(x-x1),整理得y=x1x-,
同理得l2方程为y=x2x-.
联立方程
x2×①-x1×②得(x2-x1)y=,y==-1,
故l1与l2的交点的纵坐标等于-1,
即l1与l2的交点在直线y=-1上.
45分钟滚动基础训练卷(十四)
1.D [解析] 随机抽样中每个个体被抽取的可能性相同,所以有=,得m=100.故选D.
2.C [解析] ∵k=6.023>5.024,∴可断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度为97.5%.
3.A [解析] 由题意知,x=6.5,y=28.5,
则==≈2.62,
=y- x=28.5-2.62×6.5=11.47.
4.D [解析] 及格的频率是1-(0.005+0.015)×10=0.8,以这个0.8估计及格率,即80%.
5.C [解析] 甲的中位数是32,乙的中位数是26,故中位数之和是58分.故选C.
6.A [解析] 甲的平均分为=90,设看不清的数字为x,则乙的平均分为,依题意有>90,解得x>8,所以x=9.所求概率为P=.故选A.
7.D [解析] 画出区域M、N,如图,区域M为矩形OABC,区域N为图中阴影部分.
S阴影=×4×2=4,
故所求概率P==.故选D.
8.A [解析] 方程x2+ax+b2=0有实根,则Δ=a2-4b2≥0,即|b|≤|a|.在坐标平面aOb中,实数(a,b)组成以(1,1),(1,-1),(-1,-1),(-1,1)为顶点的正方形区域,其面积是4,区域|b|≤|a|是以点(0,0),1,,1,-和以点(0,0),-1,,-1,-为顶点的两个三角形区域,其面积之和为1,故所求的概率是.
9.45 [解析] 直方图中后四个小矩形对应的频率依次为0.15,0.3,0.25,0.05,所以及格人数为(0.15+0.3+0.25+0.05)×60=45.
10. [解析] 设这所学校在校学生人数为x人,则=,解得x=4 000.
由于分层抽样每个学生被抽到的可能性相等,故每个高中生被抽到的概率是=.
11.6,18,29,30,41,52,63,74,85,96 [解析] 由规则,第2小组m+k为8,抽取号码为18;第3小组m+k为9,抽取号码为29,第4小组m+k为10,抽取号码为30;第5小组m+k为11,抽取号码为41;第6小组m+k为12,抽取号码为52;…,故该样本的全部号码是6,18,29,30,41,52,63,74,85,96.
12.解:(1)画茎叶图,中间数为数据的十位数.
从这个茎叶图上可以看出,甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更好一些;乙的中位数是33.5,甲的中位数是33.
(2)计算可得:x甲=33,x乙=33;s甲≈3.96,s乙≈3.56;甲的中位数是33,乙的中位数是33.5.综合比较选乙参加比赛较为合适.
13.解:(1)设“抽到主动参加班级工作的学生”的概率为P1,
则P1==.
设“抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生”的概率为P2,则P2=.
(2)由K2=得
K2=≈11.538>10.828,
所以,我们有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关.
14.解:(1)由所给的数据估计该年该省文科考生成绩在[350,670)内的平均分为
650×0.007+610×0.061+570×0.154+530×0.193+490×0.183+450×0.161+410×0.133+370×0.108=488.44≈488.4.
(2)设另外4名考生分别为b,c,d,e,则基本事件有:(A,b),(A,c),(A,d),(A,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种,考生A被录取的事件有(A,b),(A,c),(A,d),(A,e),共4种,所以考生A被录取的概率是P==0.4.
45分钟滚动基础训练卷(十五)
1.A [解析] ∵z=1+i,∴(1+z)·z=(2+i)(1+i)=1+3i.
2.C [解析] 当x=-4时,x=|x-3|=7;当x=7时,x=|x-3|=4;当x=4时,x=|x
-3|=1<3,∴y=2.
3.D [解析] z2=(1-i)2=-2i,所以z2+=-2i+=-2i+=1-i.故选D.
4.A [解析] ∵5>0,∴y=(5-1)×(5-1)=16.故选A.
5.B [解析] a0=5,a1=2,a2=1,a3=4,a4=5,…,∴an+4=an,a2 012=a0=5.
6.A [解析] 法一:==为纯虚数,所以解得a=2.
法二:=为纯虚数,所以a=2.答案为A.
7.C [解析] 用n=2代入选项判断.
8.B [解析] 由复数和有理数、无理数的有关知识得,类比结论正确的为①②,故选B.
9.5 (n+1)(n-2) [解析] 画图可得f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,f(6)=14,所以f(n)-f(n-1)=n-1.
∴f(n)=2+3+4+…+(n-1)=
=(n+1)(n-2).
10.-1 [解析] ===1-i,所以虚部为-1.
11.2πr4 [解析] 因为(2πr4)′=8πr3,所以W=2πr4.
12.解:第一步,对S,n赋予初始值1;
第二步,判断S<1 000是否成立,若成立,执行第三步;否则执行第五步;
第三步,S=S×n;
第四步,n=n+1,返回第二步;
第五步,跳出循环,输出n值;
程序框图如下图所示.
13.解:推广的结论:若a1,a2,…,an都是正实数,
则有++…++≥a1+a2+…+an.
证明:∵a1,a2,…,an都是正实数,
∴+a2≥2a1,+a3≥2a2,…
+an≥2an-1,+a1≥2an,
∴++…++≥a1+a2+…+an.
14.解:设三个方程均无实根,
则有
解得即-