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  • 2021-05-14 发布

2015数列高考真题总结及答案

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‎2015《数列》高考真题总结 ‎1.(2015·新课标I卷13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.‎ ‎1.【答案】6【解析】∵,∴数列是首项为2,公比为2的等比数列,‎ ‎∴,∴,∴n=6.‎ ‎2.(2015·浙江卷10)已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=__________________,d=__________________.‎ ‎2.【答案】【解析】由题可得,,故有,又因为,即,所以.‎ ‎3.(2015·安徽卷13)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),则数列{an}的前9项和等于________.‎ ‎3.【答案】27【解析】∵时,‎ ‎∴为首项,为公差的等差数列 ‎∴‎ ‎4.(2015·新课标I卷7)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=(  )‎ A. B. C.10 D.12‎ 4. ‎【答案】B【解析】∵公差,,∴,解得=‎ ‎,∴,故选B.‎ ‎5.(2015·新课标Ⅱ卷5)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=(  )‎ A.5 B.7 C.9 D.11‎ ‎5.【答案】A ‎6.(2015·北京卷16)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎ (2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{an}的第几项相等?‎ ‎6.【答案】(I);(II)与数列的第项相等.‎ 试题解析:(Ⅰ)设等差数列的公差为.因为,所以.‎ 又因为,所以,故.所以 .‎ ‎(Ⅱ)设等比数列的公比为.因为,,所以,.‎ 所以.由,得.所以与数列的第项相等.‎ ‎7.(2015四川文科16)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn. ‎ ‎7.【解析】(Ⅰ) 由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2)‎ 即an=2an-1(n≥2),从而a2=2a1,a3=2a2=4a1,又因为a1,a2+1,a3成等差数列 即a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2‎ 所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列。故an=2n.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得所以Tn=‎ ‎8.(2015·重庆卷16)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=.‎ ‎ (1)求{an}的通项公式;‎ ‎ (2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎8.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ).‎ 试题解析: (1)设的公差为,则由已知条件得 化简得,解得。,故通项公式,即.‎ ‎(2)由(1)得。设的公比为q,则,从而.‎ 故的前n项和 ‎ ‎.‎ ‎9.(2015·浙江卷17)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N*).‎ ‎(1)求an与bn;‎ ‎ (2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.‎ ‎9.【答案】(1);(2)‎ 试题解析:(1)由,得.‎ 当时,,故.‎ 当时,,整理得,所以.‎ ‎(2)由(1)知,。所以 所以。所以.‎ ‎10.(2015·福建卷17)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎ (2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.‎ ‎10.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】(I)设等差数列的公差为.由已知得,‎ 解得.所以.‎ ‎(II)由(I)可得.‎ 所以 ‎.‎ ‎11.(2015·安徽卷18)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎ (2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎11.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) ‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题设可知,又, 可解的或(舍去)‎ 由得公比,故.‎ ‎(Ⅱ),又 所以.‎ ‎12.(2015·天津卷18)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.‎ ‎(1)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎ (2)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.‎ ‎12.【答案】(I),;(II)‎ 试题解析:(I)设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为.‎ ‎(II)由(I)有 ,设的前n项和为 ,则 ‎ ‎ 两式相减得 所以 .‎ ‎13.(2015·广东卷19)设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.‎ (1) 求a4的值;‎ ‎ (2)证明:为等比数列;‎ ‎ ‎ ‎(3)求数列{an}的通项公式.‎ ‎13.【答案】(1);(2)证明见解析;(3).‎ ‎【解析】试题分析:(1)令可得的值;(2)先将()转化为,再利用等比数列的定义可证是等比数列;(3)先由(2)可得数列的通项公式,再将数列的通项公式转化为数列是等差数列,进而可得数列的通项公式.‎ (2) 试题解析:(1)当时,,即,解得:‎ (3) ‎(2)因为(),所以(),即(),因为,所以,因为,所以数列是以 为首项,公比为的等比数列 (1) ‎(3)由(2)知:数列是以为首项,公比为的等比数列,所以 (2) 即,所以数列是以为首项,公差为的等差数列,所以,即,所以数列的通项公式是 ‎14.(2015·湖北卷19)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎ (2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎14. .【答案】(Ⅰ)或;(Ⅱ).‎ ‎15.(2015·湖南卷19)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*.‎ ‎(1)证明:an+2=3an;‎ ‎ (2)求Sn.‎ ‎15.【答案】(I)略;(II) ‎ ‎【解析】试题分析:(I)当时,由题可得,,两式子相减可得,即,然后验证当n=1时,命题成立即可; (II)通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n项和的通项公式.‎ 试题解析:(I)由条件,对任意,有,‎ 因而对任意,有,‎ 两式相减,得,即,‎ 又,所以,‎ 故对一切,。‎ ‎(II)由(I)知,,所以,于是数列是首项,公比为3的等比数列,数列是首项,公比为3的等比数列,所以,‎ 于是 ‎ ‎ ‎ 从而,‎ 综上所述,‎ ‎16.(2015·山东卷19)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列{}的前n项和为.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎ (2)设bn=(an+1)·2an,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎16.【答案】(I) (II) ‎ ‎【解析】(I)设数列的公差为,‎ 令得,所以.‎ 令得,所以.‎ 解得,所以 ‎(II)由(I)知所以 所以 两式相减,得 所以 ‎17.(2015·新课标Ⅱ卷9)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=(  )‎ A.2 B.1 C. D. ‎17.【答案】C