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- 2021-05-14 发布
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天津工业大学附中2019届高考数学一轮复习单元精品训练:导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.给出定义:若函数在D上可导,即存在,且导函数在D上也可导,则称ƒ(x)在D上存在二阶导函数,记,若在D上恒成立,则称ƒ(x)在D上为凸函数,以下四个函数在(0,)上不是凸函数的是( )
A. ƒ(x)=sinx+cosx B. ƒ(x)=lnx-2x
C. ƒ(x)= -x3+2x-1 D. ƒ(x)=xex
【答案】D
2.已知函数,则( )
A. B. C. D.[来源:Z*xx*k.Com]
【答案】C
3.曲线在点(—1,—1)处的切线方程为( )
A. y=2x+1 B. y=2x—1 C. y= —2x—3 D. y= —2x—2
【答案】A
4.函数的导数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
5.若函数f(x)=x3+f′(1)x2-x+3,则f(x)在点(0,f(0))处切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
6.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积( )
A. B. C. D.
【答案】D
7.下列说法正确的是( )
A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大.
B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值.
C.对于函数,若,则无极值.
D.函数在区间上一定存在最值.
【答案】C
8.设下列关系式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
9.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
10.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f’(x),且函数f(x)在x=-1处取得极小值,则函数y=x f’(x)的图象可能是( )
【答案】C
11.若函数,则( )
A. B.1 C. D.
【答案】C
12.若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )
A.2 B.3 C.6 D.9
【答案】D[来源:学|科|网Z|X|X|K]
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.已知直线经过点,且与直线垂直,则的方程是____________.[来源:1ZXXK]
【答案】
14.设函数(a≠0),若,x0>0,则x0= .
【答案】
15.已知函数的导函数为偶函数,则 .
【答案】0
16.已知函数,令,则二项式,展开式中常数项是第____________项.
【答案】5
三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知函数()的单调递减区间是,且满足
. (Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)对任意, 关于的不等式在 上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)由已知得,,
函数的单调递减区间是,
的解是
的两个根分别是1和2,且
从且 可得
又 得
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
时,, 在上是增函数
对,当时,
要使在上恒成立,
即 ,
即对任意
即对任意
设, 则
,令
在
时,
18.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交元()的管理费,预计当每件产品的售价为元()时,一年的销售量为万件.
(Ⅰ)求分公司一年的利润(万元)与每件产品的售价的函数关系式;
(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润最大,并求出的最大值.
【答案】(Ⅰ)分公司一年的利润(万元)与售价的函数关系式为:
令得或(不合题意,舍去).
在两侧的值由正变负.
所以(1)当即时,
(2)当即时,
,[来源:1]
所以
答:若,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润最大,最大值(万元);若,则当每件售价为元时,分公司一年的利润最大,最大值(万元).
19.已知函数。[来源:学,科,网Z,X,X,K]
(Ⅰ)设,讨论的单调性;
(Ⅱ)若对任意恒有,求的取值范围
【答案】 (Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e-ax.
(ⅰ)当a=2时, f '(x)= e-2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(-∞,1), (1,+∞).为增函数.
(ⅱ)当00, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数.
(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= - , x2= .
当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:
f(x)在(-∞, -), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(-,)为减函数.
(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1.
(ⅱ)当a>2时, 取x0= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)1且e-ax≥1,得
f(x)= e-ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1
20.已知函数与函数在点处有公共的切线,设
(I) 求的值
(Ⅱ)求在区间上的最小值.
【答案】(I)因为所以在函数的图象上
又,所以
所以
(Ⅱ)因为,其定义域为
当时,,
所以在上单调递增
所以在上最小值为
当时,令,得到(舍)
当时,即时,对恒成立,
所以在上单调递增,其最小值为
当时,即时, 对成立,
所以在上单调递减,
其最小值为
当,即时, 对成立, 对成立
所以在单调递减,在上单调递增
其最小值为
综上,当时, 在上的最小值为
当时,在上的最小值为
当时, 在上的最小值为.
21.已知函数
(1)若在区间[1,+)上是增函数,求实数的取值范围
(2)若是的极值点,求在[1,]上的最大值
(3)在(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数的图象与的图象恰有3个交点?若存在,请求出实数b的取值范围;若不存在,试说明理由.
【答案】(1)
在是增函数,
在上恒有,即
在[1,+)上恒成立,
则必有且
(2)依题意,
即
令,
得.
则当经变化时,与变化情况如下表
在[1,4]上的最大值是.
C.函数的图象与函数的图象恰有3个交点,即方程恰有3个不等实根.
有两个非零不等实根.
是其中一个根,
且.
存在满足条件的b的值,b的取值范围是且.
22.设函数
(1)当时,判断的奇偶性并给予证明;
(2)若上单调递增,求k取值范围。
【答案】(Ⅰ)当时,函数,
定义域为,关于原点对称.
且 ,
所以,
即.
所以当时,函数的奇函数.
(Ⅱ)因为是增函数,
所以由题意,在上是增函数,且在上恒成立.
即对于恒成立及.
所以 ,解得.
所以的取值范围是.