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- 2021-05-14 发布
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绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
课标II理科数学
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
【答案】D
2.设集合,.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得,所以,,故选C。
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
【答案】B
14
【解析】塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由可得,故选B。
4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
4.【答案】B
【解析】由题意,该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱,故其体积为,故选B.
5.设,满足约束条件,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
14
6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
【答案】D
【解析】 ,故选D。
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,学 科&网给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
8.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
14
【解析】 ,故选B.
9.若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为( )
A.2 B. C. D.
【答案】A
【解析】圆心到渐近线 距离为 ,所以,故选A.
10.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
11.若是函数的极值点,则的极小值为( )
A. B. C. D.1
【答案】
【解析】由题可得
因为,所以,,故
令,解得或,所以在单调递增,在单调递减
所以极小值,故选A。
12.已知是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是( )
14
A. B. C. D.
【答案】
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则 .
【答案】1.96
【解析】,所以.
14.函数()的最大值是 .
【答案】1
【解析】
,,那么,当时,函数取得最大值1.
15.等差数列的前项和为,,,则 .
【答案】
【解析】设等差数列的首项为,公差为,所以 ,解得 ,所以,那么 ,那么
14
.
16.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则 .
【答案】6
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
的内角所对的边分别为,已知,
(1)求;
(2)若,的面积为,求.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:利用三角形内角和定理可知,再利用诱导公式化简,利用降幂公式化简,结合求出;利用(1)中结论,利用勾股定理和面积公式求出,从而求出.
试题解析:(1)由题设及,故
上式两边平方,整理得
解得
(2)由,故
又
14
由余弦定理及得
所以b=2
【点睛】解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意三者的关系,这样的题目小而活,备受老师和学生的欢迎.
18.(12分)
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)某频率直方图如下:
(1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率;
(2) 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
(3) 根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
14
P()
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
(2)
旧养殖法
新养殖法
有的把握认为箱产量与养殖方法有关。
(3)第50个网箱落入“”这组;
取平均值即为中位数的估计值。
19.(12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD, E是PD的中点.
(1)证明:直线 平面PAB
(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ,求二面角M-AB-D的余弦值
14
(2)取中点,连,由于为正三角形
∴
又∵平面平面,平面平面
∴平面,连,四边形为正方形。
∵平面,∴平面平面
而平面平面
过作,垂足为,∴平面
∴为与平面所成角,
∴
在中,,∴,
设,,,
14
∴,∴
在中,,∴
∴,,
以为坐标原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,,,,
,
设平面的法向量为,,∴
∴,而平面的法向量为
设二面角的大角为(为锐角)
∴。
20. (12分)
设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足.
(1) 求点P的轨迹方程;
设点Q在直线x=-3上,且.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【解析】(1)设,,
14
即
代入椭圆方程,得到
∴点的轨迹方程。
∴过与直线垂直的直线为:
当时,
①代入得
∴过且垂直于的直线过的左焦点。
21.(12分)
已知函数,且。
14
(1)求;
(2)证明:存在唯一的极大值点,且.
【解析】
(1)的定义域为
设,则等价于
因为
若a=1,则.当0<x<1时,单调递减;当x>1时,>0,单调递增.所以x=1是的极小值点,故
综上,a=1
又,所以在有唯一零点x0,在有唯一零点1,且当时,;当时,,当时,.
因为,所以x=x0是f(x)的唯一极大值点
由
由得
因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由得
所以
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
14
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值.
【解析】
(2)设点B的极坐标为,由题设知
,于是△OAB面积
当时,S取得最大值
所以△OAB面积的最大值为
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知,证明:
(1);
(2).
14
【解析】(1)
(2)因为
所以,因此a+b≤2.
14