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  • 2021-05-14 发布

高考数学高考必会题型专题8概率与统计第36练概率的两类模型

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第36练 概率的两类模型 题型一 古典概型问题 例1 某班级的某一小组有6位学生,其中4位男生,2位女生,现从中选取2位学生参加班级志愿者小组,求下列事件的概率:‎ ‎(1)选取的2位学生都是男生;‎ ‎(2)选取的2位学生一位是男生,另一位是女生.‎ 破题切入点 先求出任取2位学生的基本事件的总数,然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数,再利用古典概型概率公式求解.‎ 解 (1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种.‎ 从6位学生中任取2位学生,所取的2位全是男生的方法数,即从4位男生中任取2个的方法数,共有6种,即(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).‎ 所以选取的2位学生全是男生的概率为P1==.‎ ‎(2)从6位学生中任取2位,其中一位是男生,而另一位是女生,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8种.‎ 所以选取的2位学生一位是男生,另一位是女生的概率为P2=.‎ 题型二 几何概型问题 例2 (2013·四川改编)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________.‎ 破题切入点 由几何概型的特点,利用数形结合即可求解.‎ 答案  解析 ‎ 设在通电后的4秒钟内,甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y,x、y相互独立,由题意可知,如图所示.∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x-y|≤2)= ‎===.‎ 题型三 古典概型与几何概型的综合问题 例3 已知关于x的一元二次方程9x2+6ax-b2+4=0,a,b∈R.‎ - 6 -‎ ‎ (1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求已知方程有两个不相等实根的概率;‎ ‎(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数,b是从区间[0,2]内任取的一个数,求已知方程有实数根的概率.‎ 破题切入点 本题中含有两个参数,显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件问题.‎ 第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来,再结合题意求解.‎ 第(2)问将a,b满足的不等式转化为可行域——平面区域问题,从而利用几何概型的概率公式求解.‎ 解 设事件A为“方程9x2+6ax-b2+4=0有两个不相等的实数根”;事件B为“方程9x2+6ax-b2+4=0有实数根”.‎ ‎(1)由题意,知基本事件共9个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.‎ 由Δ=‎36a2-36(-b2+4)=‎36a2+36b2-36×4>0,得a2+b2>4.‎ 事件A要求a,b满足条件a2+b2>4,可知包含6个基本事件:(1,2),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),‎ 所以方程有两个不相同实根的概率P(A)==.‎ ‎(2)由题意,方程有实根的区域为图中阴影部分,‎ 故所求概率为:‎ P(B)==1-.‎ 总结提高 (1)求解古典概型问题的三个步骤 ‎①判断本次试验的结果是否是等可能的,设出所求事件A.‎ ‎②分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m.‎ ‎③利用古典概型的概率公式P(A)=求出事件A的概率.若直接求解比较困难,则可以利用间接的方法,如逆向思维,先求其对立事件的概率,进而再求所求事件的概率.‎ ‎(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验,如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果,每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示,而所有基本结果对应于一个区域Ω,这时,与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.‎ ‎(3)几何概型的概率求解,一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转化中,面积问题的求解常常用到线性规划知识,也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域.几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关,而与区域的位置和形状无关.‎ - 6 -‎ ‎1.从标有1,2,3,…,7的7个小球中取出一球,记下它上面的数字,放回后再取出一球,记下它上面的数字,然后把两数相加得和,则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是________.‎ 答案  ‎2.已知实数a,b满足x1,x2是关于x的方程x2-2x+b-a+3=0的两个实根,则不等式00,f(1)<0,即建立平面直角坐标系如图.‎ 满足题意的区域为图中阴影部分,故所求概率P==.‎ ‎3.(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________.‎ 答案  解析 取两个点的所有情况为10种,所有距离不小于正方形边长的情况有6种,概率为=.‎ ‎4.有一底面半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为________.‎ 答案  解析 设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1,由几何概型,则P1===,故点P到点O的距离大于1的概率P=1-=.‎ ‎5.在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P,则△PBC的面积小于的概率是________.‎ 答案  解析 ‎ - 6 -‎ 如图,M,N分别为AB,CD中点,‎ 当点P位于阴影部分时,‎ ‎△PBC的面积小于,根据几何概型,其概率为P==.‎ ‎6.已知点A在坐标原点,点B在直线y=1上,点C(3,4),若AB≤,则△ABC的面积大于5的概率是________.‎ 答案  解析 设B(x,1),根据题意知点D(,1),‎ 若△ABC的面积小于或等于5,则×DB×4≤5,即DB≤,‎ 所以点B的横坐标x∈[-,],而AB≤,‎ 所以点B的横坐标x∈[-3,3],所以△ABC的面积小于或等于5的概率为 P==,‎ 所以△ABC的面积大于5的概率是1-P=.‎ ‎7.(2013·湖北)在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤m的概率为,则m=________.‎ 答案 3‎ 解析 由|x|≤m,得-m≤x≤m.‎ 当m≤2时,由题意得=,解得m=2.5,矛盾,舍去.‎ 当2n.‎ 如图,由题意知,在矩形ABCD内任取一点Q(m,n),点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率,易知直线m=n恰好将矩形平分,‎ ‎∴所求的概率为P=.‎ ‎9.(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为______.‎ 答案  解析 P==.‎ ‎10.平面内有一组平行线,且相邻平行线间的距离为‎3 cm,把一枚半径为‎1 cm的硬币任意投掷在这个平面内,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________.‎ 答案  解析 如图所示,当硬币中心落在阴影区域时,硬币不与任何一条平行线相碰,故所求概率为.‎ ‎11.已知向量a=(-2,1),b=(x,y).‎ ‎(1)若x、y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a·b=-1的概率;‎ ‎(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a·b<0的概率.‎ 解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为6×6=36(个);‎ 由a·b=-1有-2x+y=-1,‎ 所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个;‎ 故满足a·b=-1的概率为=.‎ ‎(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6};‎ 满足a·b<0的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};‎ 画出图形如图,‎ - 6 -‎ 矩形的面积为S矩形=25,‎ 阴影部分的面积为S阴影=25-×2×4=21,‎ 故满足a·b<0的概率为.‎ ‎12.某同学参加省学业水平测试,物理、化学、生物成绩获得等级A和获得等级不是A的机会相等,且三个学科成绩获得等级A的事件分别记为W1,W2,W3,获得等级不是A的事件分别记为,,.‎ ‎(1)试列举该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果(如三科成绩均为A记为(W1,W2,W3));‎ ‎(2)求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率;‎ ‎(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件,使该事件的概率大于85%,并说明理由.‎ 解 (1)该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的可能结果有8种,分别为(W1,W2,W3),(,W2,W3),(W1,,W3),(W1,W2,),(,,W3),(,W2,),(W1,,),(,,).‎ ‎(2)由(1),知有两个A的情况为(,W2,W3),(W1,,W3),(W1,W2,),共3种,从而所求概率为P=.‎ ‎(3)方法一 该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为A的事件概率大于85%.‎ 理由如下:该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为A的事件有如下7种情况:(,W2,W3),(W1,,W3),(W1,W2,),(,,W3),(,W2,),(W1,,),(,,,),‎ 故物理、化学、生物成绩不全为A的概率是P1==0.875>85%.‎ 方法二 该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩至少一个为A的事件概率大于85%.‎ 理由如下:该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩全不为A的事件有1种情况,即(,,),其概率为,则物理、化学、生物成绩至少一个为A的概率为P2=1-=>85%.‎ - 6 -‎