步步高2015高考数学人教A理一轮讲义125二项分布及其应用 12页

§12.5 二项分布及其应用 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其公式为 P(B|A)＝PAB PA (P(A)>0)． 在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A)＝nAB nA . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P(B|A)≤1； ②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．相互独立事件 (1)对于事件 A、B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A、B 是相互独立事件． (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立． (4)若 P(AB)＝P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立． 3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一 次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(X ＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，记为 X～B(n，p)，并称 p 为 成功概率． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率． ( × )[来源:z,zs,tep.com] (2)相互独立事件就是互斥事件． ( × ) (3)对于任意两个事件，公式 P(AB)＝P(A)P(B)都成立． ( × ) (4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n 二项展开式的通项公式，其中 a＝p，b＝1－p. ( × ) 2．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 A，“第二次出现正面”为事件 B，则 P(B|A) 等于 ( ) A.1 2 B.1 4 C.1 6 D.1 8 答案 A 解析 P(B|A)＝PAB PA ＝ 1 4 1 2 ＝1 2. 3．某一批花生种子，如果每粒发芽的概率都为4 5 ，那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 ( ) A. 16 625 B. 96 625 C.192 625 D.256 625 答案 B 解析 独立重复试验 B(4，4 5)， P(k＝2)＝C24(4 5)2(1 5)2＝ 96 625. 4．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答 题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则 该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率为________． 答案 0.128 解析 依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了 4 个 问题就晋级下一轮的概率 P＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128. 5. 如图所示的电路，有 a，b，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是1 2 ， 且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_______________________． 答案 1 8 解析 理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件 A，“b 闭合”为事件 B，“c 闭合”为事件 C，则灯 亮应为事件 AC B ，且 A，C， B 之间彼此独立，且 P(A)＝P( B )＝P(C)＝1 2.[来源:中.国教.育出.版网] 所以 P(A B C)＝P(A)P( B )P(C)＝1 8. 题型一 条件概率 例 1 在 100 件产品中有 95 件合格品，5 件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第 一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________． 思维启迪 直接利用条件概率公式进行计算或利用古典概型． 答案 4 99 解析 方法一 设 A＝{第一次取到不合格品}， B＝{第二次取到不合格品}，则 P(AB)＝ C25 C2100 ， 所以 P(B|A)＝PAB PA ＝ 5×4 100×99 5 100 ＝ 4 99. 方法二 第一次取到不合格品后还剩余 99 件产品，其中有 4 件不合格品，故第二次取到不合格品的概 率为 4 99. 思维升华 条件概率的求法： (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝PAB PA .这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包 含的基本事件数，即 n(AB)，得 P(B|A)＝nAB nA . 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B＝“取到 的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)等于 ( ) A.1 8 B.1 4 C.2 5 D.1 2 答案 B 解析 P(A)＝C23＋C22 C25 ＝2 5 ，P(AB)＝C22 C25 ＝ 1 10 ， P(B|A)＝PAB PA ＝1 4. 题型二 相互独立事件的概率 例 2 (2012·重庆)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜 或每人都已投球 3 次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为1 3 ，乙每次投篮投中的概率为1 2 ，且各次 投篮互不影响．[来源:zzstep.com] (1)求乙获胜的概率； (2)求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率． 思维启迪 将所求事件分解为几个彼此互斥的事件之和，再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事 件同时发生的概率公式求解． 解 设 Ak、Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中， 则 P(Ak)＝1 3 ，P(Bk)＝1 2(k＝1,2,3)． (1)记“乙获胜”为事件 C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 P(C)＝P( A1 B1)＋P( A1 B1 A2 B2)＋P( A1 B1 A2 B2 A3 B3) ＝P( A1 )P(B1)＋P( A1 )P( B1 )P( A2 )P(B2)＋P( A1 )·P( B1 )P( A2 )P( B2 )P( A3 )P(B3) ＝2 3 ×1 2 ＋ 2 3 2 1 2 2＋ 2 3 3 1 2 3＝13 27. (2)记“投篮结束时乙只投了 2 个球”为事件 D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时 发生的概率计算公式知 P(D)＝P( A1 B1 A2 B2)＋P( A1 B1 A2 B2 A3) ＝P( A1 )P( B1 )P( A2 )P(B2)＋P( A1 )P( B1 )P( A2 )P( B2 )·P(A3) ＝ 2 3 2 1 2 2＋ 2 3 2 1 2 2×1 3 ＝ 4 27. 思维升华 相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特 征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)， 再选择相应的公式计算求解． 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是 0.8，计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率． 解 记“甲射击一次，击中目标”为事件 A，“乙射击一次，击中目标”为事件 B.“两人都击中目标” 是事件 AB；“恰有 1 人击中目标”是 A B ∪ A B；“至少有 1 人击中目标”是 AB∪A B ∪ A B. (1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件 AB，又由于事件 A 与 B 相互独立，∴P(AB)＝ P(A)·P(B)＝0.8×0.8＝0.64.[来源:中教网] (2)“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即 A B )，另一 种是甲未击中乙击中(即 A B)．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件 A B 与 A B 是互斥的，所以所求概率为 P＝P(A B )＋P( A B)＝P(A)·P( B )＋P( A )·P(B)＝0.8×(1－0.8) ＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32. (3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为 P＝P(AB)＋[P(A B )＋P( A B)]＝0.64＋0.32＝ 0.96. 题型三 独立重复试验与二项分布 例 3 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获胜，比赛结束)， 假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同． (1)求甲以 4 比 1 获胜的概率； (2)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率； (3)求比赛局数的分布列． 思维启迪 本题主要考查独立重复试验及二项分布，解题关键是正确判断是不是独立重复试验及正确 应用概率计算公式． 解 (1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是1 2. 记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A， 则 P(A)＝C34(1 2)3(1 2)4－3·1 2 ＝1 8. (2)记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B.乙以 4 比 2 获胜的概率为 P1＝C35(1 2)3(1 2)5－3·1 2 ＝ 5 32 ， 乙以 4 比 3 获胜的概率为 P2＝C36(1 2)3(1 2)6－3·1 2 ＝ 5 32 ， 所以 P(B)＝P1＋P2＝ 5 16. (3)设比赛的局数为 X，则 X 的可能取值为 4,5,6,7. P(X＝4)＝2C44(1 2)4＝1 8 ， P(X＝5)＝2C34(1 2)3(1 2)4－3·1 2 ＝1 4 ， P(X＝6)＝2C35(1 2)3(1 2)5－3·1 2 ＝ 5 16 ，[来源:zzstep.com] P(X＝7)＝2C36(1 2)3(1 2)6－3·1 2 ＝ 5 16. 比赛局数的分布列为 X 4 5 6 7 P 1 8 1 4 5 16 5 16 思维升华 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足 公式 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k 的三个条件：①在一次试验中某事件 A 发生的概率是一个常数 p；②n 次试验 不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示 n 次 试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率． (2013·山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除 第五局甲队获胜的概率是1 2 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2 3.假设各局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率； (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3∶2，则胜利方得 2 分， 对方得 1 分．求乙队得分 X 的分布列及数学期望． 解 (1)设“甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利”分别为事件 A，B，C， 则 P(A)＝2 3 ×2 3 ×2 3 ＝ 8 27 ，[来源:中教网] P(B)＝C23 2 3 2× 1－2 3 ×2 3 ＝ 8 27 ， P(C)＝C24 2 3 2× 1－2 3 2×1 2 ＝ 4 27. (2)X 的可能的取值为 0,1,2,3. 则 P(X＝0)＝P(A)＋P(B)＝16 27 ， P(X＝1)＝P(C)＝ 4 27 ， P(X＝2)＝C24× 1－2 3 2× 2 3 2× 1－1 2 ＝ 4 27 ， P(X＝3)＝ 1 3 3＋C23 1 3 2×2 3 ×1 3 ＝1 9. ∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 16 27 4 27 4 27 1 9 ∴E(X)＝0×16 27 ＋1× 4 27 ＋2× 4 27 ＋3×1 9 ＝7 9. 对二项分布理解不准致误 典例：(12 分)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯 的事件是相互独立的，并且概率都是1 3. (1)设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 X 的分布列； (2)设 Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求 Y 的分布列． 易错分析 由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布 模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数 Y”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也 当成1 3 ”． 规范解答 解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为1 3 ，且每次试验结果是相互独立的， 故 X～B 6，1 3 . [2 分] 所以 X 的分布列为 P(X＝k)＝Ck6 1 3 k· 2 3 6－k，k＝0,1,2,3,4,5,6. [5 分] (2)由于 Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然 Y 是随机变量，其取值为 0,1,2,3,4,5,6.其中： {Y＝k}(k＝0,1,2,3,4,5)表示前 k 个路口没有遇上红灯，但在第 k＋1 个路口遇上红灯，故各概率应按独立 事件同时发生计算． [7 分] P(Y＝k)＝(2 3)k·1 3(k＝0,1,2,3,4,5)，而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯．故其概率为 P(Y＝6)＝(2 3)6， [9 分] 因此 Y 的分布列为 Y 0 1 2 3 4 5 6 P 1 3 1 3·2 3 1 3·(2 3)2 1 3·(2 3)3 1 3·(2 3)4 1 3·(2 3)5 (2 3)6 [12 分] 温馨提醒 (1)二项分布是高中概率部分最重要的概率分布模型，是近几年高考非常注重的一个考点．二 项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事 件又在相同的条件之下重复发生． (2)独立重复试验中的概率公式 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k 表示的是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概 率，p 与(1－p)的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件 A 有 k 次不发生的概 率了. 方法与技巧 1．古典概型中，A 发生的条件下 B 发生的条件概率公式为 P(B|A)＝PAB PA ＝nAB nA ，其中，在实际应用中 P(B|A)＝nAB nA 是一种重要的求条件概率的方法． 2．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试 验中，两个事件不会同时发生，计算公式为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 3．n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次可看做是 C kn个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是 k 个 A 事件与 n－k 个 A 事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是 pk(1－p)n－k.因此 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Cknpk(1－p)n－k. 失误与防范 1．运用公式 P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件 A、B 相互独立时，公式才成立． 2．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中 某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件. A 组 专项基础训练 一、选择题 1．已知 A，B 是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则 1－P(A)P(B)是下列哪个事 件的概率 ( ) A．事件 A，B 同时发生 B．事件 A，B 至少有一个发生 C．事件 A，B 至多有一个发生 D．事件 A，B 都不发生 答案 C 解析 P(A)P(B)是指 A，B 同时发生的概率，1－P(A)·P(B)是 A，B 不同时发生的概率，即至多有一个发 生的概率． 2．设随机变量 X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若 P(X≥1)＝5 9 ，则 P(Y≥2)的值为 ( ) A.32 81 B.11 27 C.65 81 D.16 81 答案 B 解析 P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝C12p(1－p)＋C22p2＝5 9 ，解得 p＝1 3.(0≤p≤1，故 p＝5 3 舍去)． 故 P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1－C04×(2 3)4－C14×1 3 ×(2 3)3＝11 27. 3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得 冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.1 2 B.3 5 C.2 3 D.3 4 答案 D 解析 甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为1 2 ，也可以乙队先胜一局， 甲队再胜一局，概率为1 2 ×1 2 ＝1 4 ，故甲队获得冠军的概率为1 4 ＋1 2 ＝3 4. 4．位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并 且向上、向右移动的概率都是1 2.质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( ) A. 1 2 5 B．C25 1 2 5 C．C35 1 2 3 D．C25C35 1 2 5 答案 B 5．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为2 3 和3 4 ，两个零件是否加工为一等品相互独 立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( ) A.1 2 B. 5 12 C.1 4 D.1 6 答案 B 解析 设事件 A：甲实习生加工的零件为一等品； 事件 B：乙实习生加工的零件为一等品， 则 P(A)＝2 3 ，P(B)＝3 4 ， 所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P(A B )＋P( A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B) ＝2 3 ×(1－3 4)＋(1－2 3)×3 4 ＝ 5 12. 二、填空题 6．明天上午李明要参加校运动会，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的 概率为 0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________． 答案 0.98 解析 1－0.20×0.10＝1－0.02＝0.98. 7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16 25 ，则该队员每 次罚球的命中率为________． 答案 3 5 解析 设该队员每次罚球的命中率为 p(其中 0