2014高考总复习单元检测 统计与概率 21页

第十章 单元测试 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．将编号为 1,2,3,4,5 的五个球放入编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有 三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为 ( ) A．6 B．10 C．20 D．30 答案 B 解析 从编号为 1,2,3,4,5 的五个球中选出三个与盒子编号相同的球的投放方法有 C3 5＝10 种；另两个 球的投放方法有 1 种，所以共有 10 种不同的投放方法．选择 B. 2．(1＋x)10(1＋1 x )10 展开式中的常数项为 ( ) A．1 B．(C1 10)2 C．C1 20 D．C10 20 答案 D 解析 因为(1＋x)10(1＋1 x )10＝[(1＋x)(1＋1 x )]10＝(2＋x＋1 x )10＝( x＋ 1 x )20(x>0)，所以 Tr＋1＝Cr 20( x)20 －r( 1 x )r＝Cr 20x10－r，由 10－r＝0，得 r＝10，故常数项为 T11＝C10 20，选 D. 3.如图，三行三列的方阵中有 9 个数 aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位 于同行或同列的概率是 ( ) A.3 7 B.4 7 C.13 14 D. 1 14 答案 C 解析 所取三数既不同行也不同列的概率为6 C3 9 ＝ 1 14 ，所求概率为 1－ 1 14 ＝13 14 . 4．设随机变量ξ服从正态分布 N(3,4)，若 P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则 a 的值为 ( ) A.7 3 B.5 3 C．5 D．3 答案 A 解析 由已知 2a－3，与 a＋2 关于 3 对称，故(2a－3)＋(a＋2)＝6，解得 a＝7 3 . 5．在区间[0，π]上随机取一个数 x，则事件“sinx＋ 3cosx≤1”发生的概率为 ( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 答案 C 解析 由题意知，此概率符合几何概型所有基本事件包含的区域长度为π，设 A 表示取出的 x 满足 sinx ＋ 3cosx≤1 这样的事件，对条件变形为 sin(x＋π 3 )≤1 2 ，即事件 A 包含的区域长度为π 2 .∴P(A)＝ π 2 π ＝1 2 . 6．一个坛子里有编号 1,2，…，12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是黑球， 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率为 ( ) A. 1 22 B. 1 11 C. 3 22 D. 2 11 答案 D 解析 分类：一类是两球号均为偶数且红球，有 C 2 3种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有 C1 3C 1 3种取 法， 因此所求的概率为C2 3＋C1 3C1 3 C2 12 ＝ 2 11 . 7．已知实数 x∈[0,8]，执行如下图所示的程序框图，则输出的 x 不小于 55 的概率为 ( ) A.1 4 B.1 2 C.3 4 D.4 5 答案 A 解析 程序框图经过 3 次运行后，得到 2[2(2x＋1)＋1]＋1，即 2[2(2x＋1)＋1]＋1≥55. 所以 x≥6，所以 P＝8－6 8 ＝1 4 . 8．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球 3 次，一旦发球成功，则停止发球，否 则一直发到 3 次为止．设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0)，发球次数为 X，若 X 的数学期望 E(X)>1.75， 则 p 的取值范围是 ( ) A．(0， 7 12 ) B．( 7 12 ，1) C．(0，1 2 ) D．(1 2 ，1) 答案 C 解析 发球次数 X 的分布列如下表， X 1 2 3 P p (1－p)p (1－p)2 所以期望 E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75， 解得 p>5 2 (舍去)或 p<1 2 ，又 p>0，故选 C. 9．连掷两次骰子分别得到点数 m、n，向量 a＝(m，n)，b＝(－1,1)若在△ABC 中， A B → 与 a 同向， C B → 与 b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是 ( ) A. 5 12 B. 7 12 C.3 9 D.4 9 答案 A 解析 要使∠ABC 是钝角，必须满足A B → ·C B → ＜0，即 a·b＝n－m＞0，连掷两次骰子所得点数 m、n 共有 36 种情形，其中 15 种满足条件，故所求概率是 5 12 . 10．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 其中 A 的各 位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现 0 的概率为1 3 ，出现 1 的概率为2 3 .记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运 行一次时，ξ的数学期望 E(ξ)＝ ( ) A. 8 27 B.16 81 C.11 3 D.65 81 答案 C 解析 ξ＝1 时，P1＝C0 4(1 3 )4(2 3 )0＝1 34， ξ＝2 时，P2＝C1 4(1 3 )3·2 3 ＝8 34， ξ＝3 时，P3＝C2 4·(1 3 )2·(2 3 )2＝24 34 ， ξ＝4 时，P4＝C3 4(1 3 )·(2 3 )3＝32 34 ， ξ＝5 时，P5＝C4 4(2 3 )4＝16 34 ， E(ξ)＝1×1 34＋2×8 34＋3×24 34 ＋4×32 34 ＋5×16 34 ＝11 3 . 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上) 11．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为________． 答案 1 12 解析 将一个骰子连抛三次，共有 n＝63 种不同情形．其中，落地时向上的点数依次成等差数列的有： ①公差 d＝±1 的有 4×2＝8(种)；②公差为±2 的有 2×2＝4(种)；③公差 d＝0 的有 6 种，共有 m＝8＋4 ＋6＝18(种)，故所求概率为 P＝m n ＝18 63 ＝ 1 12 . 12. 用茎叶图记录甲、乙两人在 5 次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，现乙还有一次不小于 90 分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________． 答案 4 5 解析 由题意，得基本事件总数为 10，满足要求的有 8 个，所以所求概率为 8 10 ＝4 5 . 13．(2019·广东)(x2＋1 x )6 的展开式中 x3 的系数为______．(用数字作答) 答案 20 解析 由(x2＋1 x )6 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr 6(x2)6－r(1 x )r＝Cr 6x12－3r.令 12－3r＝3，得 r＝3，所以展开式 中 x3 的系数为 C3 6＝6×5×4 1×2×3 ＝20. 14．(2019·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且 仅有两人选择项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)． 答案 2 3 解析 根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个项目 中选择两个，有(C2 3)3 种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有 C2 3C1 3C 1 2个，故所求 概率为 C2 3C1 3C1 2 C2 3 3＝2 3 . 15．袋中有 3 个黑球，1 个红球．从中任取 2 个，取到一个黑球得 0 分，取到一个红球得 2 分，则所 得分数ξ的数学期望 E(ξ)＝________. 答案 1 解析 由题得ξ所取得的值为 0 或 2，其中ξ＝0 表示取得的球为两个黑球，ξ＝2 表示取得的球为一 黑一红，所以 P(ξ＝0)＝C2 3 C2 4 ＝1 2 ，P(ξ＝2)＝C1 3 C2 4 ＝1 2 ，故 E(ξ)＝0×1 2 ＋2×1 2 ＝1. 16．为落实素质教育，衡水重点中学拟从 4 个重点研究性课题和 6 个一般研究性课题中各选 2 个课题 作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题 A 和一般课题 B 至少有一个被选中的不同选法种数是 k，则 二项式(1＋kx2)6 的展开式中，x4 的系数为________． 答案 54 000 解析 用直接法：k＝C1 3C1 5＋C1 3C2 5＋C2 3C1 5＝15＋30＋15＝60，x4 的系数为 C2 6k2＝15×3 600＝54 000. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)为备战 2019 年天津东亚运动会，射击队努力拼博，科学备战．现对一位射击 选手 100 发子弹的射击结果统计如下： 环数 10 环 9 环 8 环 7 环 6 环 5 环以下 (含 5 环) 频数 20 35 25 13 5 2 试根据以上统计数据估算： (1)该选手一次射击命中 8 环以上(含 8 环)的概率； (2)该选手射击 2 发子弹取得 19 环以上(含 19 环)成绩的概率． 解析 以该选手射击的频率近似估算概率． (1)射击一次击中 8 环以上的概率约为 P＝20＋35＋25 100 ＝0.8. (2)记一次射击命中 10 环为事件 p1，则 p1＝0.2， 一次射击命中 9 环为事件 p2，则 p2＝0.35， 于是两次射击均命中 10 环的概率约为 P(A)＝(p1)2＝0.04. 两次射击一次命中 10 环，一次命中 9 环的概率约为 P(B)＝C1 2p1p2＝0.14， 即该选手射击 2 发子弹取得 19 环以上(含 19 环)成绩的概率约为 0.18. 18．(本小题满分 12 分)甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为1 2 ，乙每次击中目标的 概率为2 3 . (1)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望 E(ξ)； (2)求乙至多击中目标 2 次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率． 解析 (1)P(ξ＝0)＝C0 3(1 2 )3＝1 8 ；P(ξ＝1)＝C1 3(1 2 )3＝3 8 ；P(ξ＝2)＝C2 3(1 2 )3＝3 8 ；P(ξ＝3)＝C3 3(1 2 )3＝1 8 . ξ的概率分布如下表 ξ 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 E(ξ)＝0×1 8 ＋1×3 8 ＋2×3 8 ＋3×1 8 ＝1.5. (2)乙至多击中目标 2 次的概率为 1－C3 3(2 3 )3＝19 27 . (3)设“甲恰比乙多击中目标 2 次”为事件 A，“甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次”为事件 B1， “甲恰击中目标 3 次且乙恰击中目标 1 次”为事件 B2，则 A＝B1＋B2，B1，B2 为互斥事件． P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝3 8 × 1 27 ＋1 8 ×2 9 ＝ 1 24 . 所以，甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为 1 24 . 19．(本小题满分 12 分)某位收藏爱好者鉴定一件物品时，将正品错误地鉴定为赝品的概率为1 3 ，将赝 品错误地鉴定为正品的概率为1 2 .已知一批物品共有 4 件，其中正品 3 件、赝品 1 件． (1)求该收藏爱好者的鉴定结果为正品 2 件、赝品 2 件的概率； (2)求该收藏爱好者的鉴定结果中正品数 X 的分布列及数学期望． 解析 (1)有两种可能使得该收藏爱好者的鉴定结果为正品 2 件、赝品 2 件：其一是错误地把一件正 品鉴定为赝品，其他鉴定正确；其二是错误地把两件正品鉴定为赝品，把一件赝品鉴定为正品，其他鉴定 正确． 则所求的概率为 C1 3×1 3 ×(2 3 )2×1 2 ＋C2 3×(1 3 )2×2 3 ×1 2 ＝1 3 . (2)由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4. P(X＝0)＝(1 3 )3×1 2 ＝ 1 54 ； P(X＝1)＝C2 3×(1 3 )2×2 3 ×1 2 ＋(1 3 )3×1 2 ＝ 7 54 ； P(X＝2)＝1 3 ； P(X＝3)＝(2 3 )3×1 2 ＋C1 3×(2 3 )2×1 3 ×1 2 ＝10 27 ； P(X＝4)＝(2 3 )3×1 2 ＝ 4 27 . 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 54 7 54 1 3 10 27 4 27 所以 X 的数学期望 E(X)＝0× 1 54 ＋1× 7 54 ＋2×1 3 ＋3×10 27 ＋4× 4 27 ＝5 2 . 20．(本小题满分 12 分)已知 A1，A2，A3，…，A6 共 6 所高校举行自主招生考试，某同学参加这 6 所高 校的考试获得通过的概率均为1 2 . (1)若这 6 所高校的考试该同学都参加，试求该同学恰好通过 2 所高校自主招生考试的概率； (2)假设该同学参加每所高校考试所需的报名费用均为 200 元，该同学决定按 A1，A2，A3，…，A6 的顺 序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，试求该同学参加考试所需报名费用 ξ的分布列及数学期望． 解析 (1)因为该同学通过各校考试的概率均为1 2 ，所以该同学恰好通过 2 所高校自主招生考试的概率 为 P＝C2 6(1 2 )2(1－1 2 )4＝15 64 . (2)设该同学共参加了 i 次考试的概率为 Pi(1≤i≤6，i∈Z)，则 Pi＝ 1 2i，1≤i≤5，i∈Z， 1 25，i＝6， 所以该同学参加考试所需报名费用ξ的分布列为 ξ 200 400 600 800 1 000 1 200 P 1 2 1 22 1 23 1 24 1 25 1 25 E(ξ)＝(1 2 ×1＋1 22×2＋1 23×3＋1 24×4＋1 25×5＋1 25×6)×200＝64 25 ×200＝1 575 4 . 21．(本小题满分 12 分)李先生家在 H 小区，他在 C 科技园区工作，从家开车到公司上班有 L1，L2 两条 路线(如图)，路线 L1 上有 A1，A2，A3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1 2 ；路线 L2 上有 B1，B2 两个路口， 各路口遇到红灯的概率依次为3 4 ，3 5 . (1)若走路线 L1，求最多遇到 1 次红灯的概率； (2)若走路线 L2，求遇到红灯次数 X 的数学期望； (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线 上班更好些，并说明理由． 解析 (1)设“走路线 L1 最多遇到 1 次红灯”为事件 A，则 P(A)＝C0 3×(1 2 )3＋C1 3×1 2 ×(1 2 )2＝1 2 . 所以走路线 L1 最多遇到 1 次红灯的概率为1 2 . (2)依题意，X 的可能取值为 0,1,2. P(X＝0)＝(1－3 4 )×(1－3 5 )＝ 1 10 ， P(X＝1)＝3 4 ×(1－3 5 )＋(1－3 4 )×3 5 ＝ 9 20 ， P(X＝2)＝3 4 ×3 5 ＝ 9 20 . 随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 10 9 20 9 20 所以 E(X)＝ 1 10 ×0＋ 9 20 ×1＋ 9 20 ×2＝27 20 . (3)设选择路线 L1 遇到红灯的次数为 Y，随机变量 Y 服从二项分布，即 Y～B(3，1 2 )， 所以 E(Y)＝3×1 2 ＝3 2 . 因为 E(X)0， 即 16－4η－1<0， 36－6η－1>0， 解得15 4 <η<35 6 ，所以，η＝4 或η＝5. 当η＝4 时，P1＝C2 20＋C1 10C1 15 C2 50 ＝ 68 245 ， 当η＝5 时，P2＝C1 20C1 15 C2 50 ＝12 49 ， η＝4 与η＝5 为互斥事件，所以有一个发生的概率公式 P＝P1＋P2＝ 68 245 ＋12 49 ＝128 245 . (2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是 0,1,2,3. 于是 P(ξ＝0)＝C2 5＋C2 10＋C2 20＋C2 15 C2 50 ＝2 7 ， P(ξ＝1)＝C1 5C1 10＋C1 10C1 20＋C1 15C1 20 C2 50 ＝22 49 ， P(ξ＝2)＝C1 5C1 20＋C1 10C1 15 C2 50 ＝10 49 ， P(ξ＝3)＝C1 5C1 15 C2 50 ＝ 3 49 . 从而ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 2 7 22 49 10 49 3 49 ξ的数学期望 E(ξ)＝0×2 7 ＋1×22 49 ＋2×10 49 ＋3× 3 49 ＝51 49 . 11．在上海世博会期间中国馆和美国馆异常火爆，10 月 1 日中国馆内有 2 个广东旅游团和 2 个湖南旅 游团，美国馆内有 2 个广东旅游团和 3 个湖南旅游团．现从中国馆中的 4 个旅游团选出其中一个旅游团， 与从美国馆中的 5 个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换． (1)求互换后中国馆恰有 2 个广东旅游团的概率； (2)求互换后中国馆内广东旅游团数的期望． 解析 (1)记 A＝{互换后中国馆恰有 2 个广东旅游团}， ①互换的都是广东旅游团，则此时中国馆恰有 2 个广东旅游团为事件 A1 的概率为 P(A1)＝C1 2C1 2 C1 4C1 5 ＝1 5 . ②互换的都是湖南旅游团，则此时中国馆恰有 2 个广东旅游团事件 A2 的概率为 P(A2)＝C1 2C1 3 C1 4C1 5 ＝ 3 10 . 又 A＝A1∪A2，且 A1，A2 互斥事件，则 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝1 5 ＋ 3 10 ＝1 2 . ∴互换后中国馆恰有 2 个广东旅游团的概率为1 2 . (2)设互换后中国馆内广东旅游团数为ξ，则ξ的取值为 1,2,3. P(ξ＝1)＝C1 2C1 3 C1 4C1 5 ＝ 3 10 ，P(ξ＝2)＝1 2 ，P(ξ＝3)＝C1 2C1 2 C1 4C1 5 ＝1 5 ， ∴ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 3 10 1 2 1 5 ∴E(ξ)＝ 3 10 ×1＋1 2 ×2＋1 5 ×3＝19 10 . ∴互换后中国馆内广东旅游团的期望为19 10 . 12．某 班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否 符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统 计表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率[来源:学& 科&网] 第一组 [25,30) 120 0.6 第二组 [30,35) 195 p 第三组 [35,40) 100 0.5 第四组 [40,45) a 0.4 第五组 [45,50) 30 0.3 第六组 [50,55] 15 0.3 (1)补全频率分布直方图，并求 n、a、p 的值； (2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验活动，其中选取 3 人作为领队，记选取的 3 名领队中年龄在[40,45)岁的人数为 X，求 X 的分布列和期望 E(X)． 解析 (1)第二组的频率为 1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，∴高为0.3 5 ＝0.06.频率直 方图如下： 第一组的人数为120 0.6 ＝200，频率为 0.04×5＝0.2， ∴n＝200 0.2 ＝1 000.由题可知，第二组的频率为 0.06×5＝0.3， ∴第二组的人数为 1 000×0.3＝300，∴p＝195 300 ＝0.65. 第四组的频率为 0.03×5＝0.15，∴第四组的人数为 1 000×0.15＝150，∴a＝150×0.4＝60.[来源:Zxxk.Com] (2)∵[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 60∶30＝2∶1，∴采 用分层抽样法抽取 18 人，[40,45)岁中有 12 人，[45,50)岁中有 6 人． ∵随机变量 X 服从超几何分布， ∴P(X＝0)＝C0 12C3 6 C3 18 ＝ 5 204 ，P(X＝1)＝C1 12C2 6 C3 18 ＝15 68 ， P(X＝2)＝C2 12C1 6 C3 18 ＝33 68 ，P(X＝3)＝C3 12C0 6 C3 18 ＝ 55 204 . ∴随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 5 204 15 68 33 68 55 204 ∴E(X)＝0× 5 204 ＋1×15 68 ＋2×33 68 ＋3× 55 204 ＝2. 13．四个纪念币 A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示(0