专题05数列求和和递推数列高考提升之数学考点讲解与真题分析七原卷版 10页

‎2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析 ‎05数列求和和递推数列 ‎【目标要求】‎ 学习目标 目标解读 ‎1‎ 熟练掌握等差、等比数列的求和公式；‎ 求和是数列问题中考查的一个重要方面，而且常与不等式、函数等其他知识综合考查，求和首先掌握等差、等比数列求和公式。‎ ‎2‎ 掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.‎ 此类问题的解答离不开通性通法，只要掌握了数列求和的基本方法，善于观察，合理变形，正确求解就不难.‎ 考情链接 ‎ 考点[来源:学]‎ 考法 命题角度[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ 难度 数列的通项公式和求和 数列的通项公式 在客观题解答题考查数列的通项公式，常见方法是累加法、累乘法、待定系数法以及利用和的关系求解等。‎ 较小 数列的求和 考查数列求和的常见方法：裂项求和、分组求和、错位相减法以及公式法等。‎ 中等 ‎【核心知识点】[来源:学ZXXK]‎ 1. 公式法：（1）直接应用等差、等比数列的求和公式；‎ ‎（2）掌握一些常见的数列的前n项和：，1+3+5+……+=[来源:学ZXXK]‎ ‎2.倒序相加法：如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n项和就是此法推导的。‎ ‎3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如 等比 数列的前n项和就是用此法推导的.‎ ‎4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。常见的拆项公式有： ，，，等.‎ ‎5、分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并，形如：‎ ‎（1），其中；‎ ‎（2）‎ ‎【活动思考，阅读拓展】‎ ‎ 如何正确的作到数列求和？‎ ‎①裂项求和：如果数列的通项公式可转化为f（n＋1）－f（n）的形式，可尝试采用此法。使用此法时必须注意有哪些项被消去，哪些项被保留。‎ ‎②错项相消法：适用于求差比数列的前n项和，其中，为等差数列，为等比数列。‎ ‎③并项求和：即通过对通项结构特点的分析研究，将数列分解、转化为若干个能求和的新数列的和或差，从而求和的一种方法。‎ ‎④倒序相加法求和：若一个数列和的各项系数是“首尾”对称的，则可采用此法。‎ 如：求和。‎ 首先研究最后一项的通项公式，有利于问题的解决 显然可以利用裂项求和法求解，即 ‎ ‎(2018·广东肇庆理科二模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝－1＋2an.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝log2an＋1，且数列{bn}的前n项和为Tn，求＋＋…＋.‎ ‎（2018山东菏泽高三理科一模）已知数列{an}的首项为a1=1,其前n项和为Sn,且数列是公差为2的等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎ (2018江西新余一中模拟)设数列{an}满足a1=2,a2=6,且an+2-2an+1+an=2,若[x]表示不超过x的最大整数,则 ‎=　　　　‎ ‎【2018届上海市长宁、嘉定区高三第一次质量调研】已知数列的前项和为，且,（），若,则数列的前项和_______________. ‎ ‎（2018•四川内江高三一模）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=1，a8=3a3，则+++…+=　　．‎ ‎【2018浙江省温州市普通高中高三一模】已知数列的前项和为,．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设,数列的前项和为,证明：．　‎ ‎（2018•浙江。20）已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n．‎ ‎（Ⅰ）求q的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．‎ ‎（2018•安徽淮南高三一模）已知数列{an}为等差数列，且a3=5，a5=9，数列{bn}的前n项和为Sn=．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=an|bn|，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎（2018•北京海淀区高三二模）已知等差数列{an}满足2an+1﹣an=2n+3．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{an+bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎（2018山东济南高三期中）等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.‎ ‎【重难点突破】‎ 考点一：错位相减 一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法。用错位相减法求和时，应注意：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意；在写出“”与“q”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“”的表达式；应用等比数列求和公式必须注意公比这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查。‎ 例1、（2018山东烟台高三三月模拟考试）已知点（1，2）是函数的图象上一点，数列的前项和． ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ 变式训练题：（2018·杭州模拟）在等差数列中，已知，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ 考点二：裂项相消法 如果数列的通项公式可转化为f（n＋1）－f（n）的形式，常采用裂项求和的方法。特别地，当数列形如，其中是等差数列时，可尝试采用此法。使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；要注意由于数列中每一项均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点。实质上，正负项相消是此法的根源和目的。‎ 例2、（2018广东梅州高三质检）已知数列的相邻两项是函数的两个不同的零点，且。‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）设是数列的前n项和，求。‎ ‎[来源:学ZXXK]‎ 变式训练题：‎ 已知数列的前项和为，点在函数的图象上，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ 考点三：倒序相加法 变式训练题：已知函数f（x）对任意的都有 （1） 求和的值；‎ ‎（2）数列满足，求数列的 通项公式 ‎【课堂巩固，夯实基础】‎ 一．选择题 ‎1．等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15．若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于 ( )‎ ‎ A．30 B．‎45 ‎C．90 D．186‎ ‎2.（如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且(n≥2)，那么这个数列的第10项等于 ( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b1∈N*，则数列 ‎{}前10项的和等于 ( )‎ ‎ A．100 B．‎85 ‎C．70 D．55‎ ‎4.已知等差数列的公差为正数，且，，则为（　　）‎ ‎ ‎ ‎5.设函数的导函数，则数列的前n项和是（　　）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 二．填空题 ‎6.设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .‎ ‎7.用砖砌墙，第一层（低层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下砖块的一半多一块，…依次类推，每一层都去了上次剩下砖块的一半多一块，到第十层恰好把砖用完，则此次砌墙共用去了砖块数为 ‎8.已知等比数列{an}中，a1=3，a4=81，若数列{bn}满足bn=log3 an，‎ 则数列 的前n项和Sn= 。‎ ‎9在数列中，，且则__________。‎ 三．解答题 ‎10.已知函数的图象经过点及，为数列 的前项和.‎ ‎（Ⅰ）求及；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足求数列的前项和.‎ ‎11. 例设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，‎ ‎（Ⅰ）求，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和．‎