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- 2021-05-14 发布
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七.平面向量
7.1 本章说明
充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份,是数形结合的重要体现,因此,平面向量容易成为中学数学知识的一个交汇点。
7.2基本知识储备:
7.2.1基本概念
1.向量的基本要素:大小和方向.
2.向量的表示:几何表示法 ;字母表示:a;
坐标表示法 a=xi+yj=(x,y).因此向量可以分解为任意不共线的两个方向的向量之和。
3.向量的长度:即向量的大小,记作|a|.
4.特殊的向量:零向量a=O|a|=O.
单位向量aO为单位向量|aO|=1.
5.相等的向量:大小相等,方向相同(x1,y1)=(x2,y2)
6. 相反向量:a=-bb=-aa+b=0
7.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.
(1)平面向量基本定理
e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)两个向量平行的充要条件
a∥ba=λb(b≠0)x1y2-x2y1=O.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥ba·b=Ox1x2+y1y2=O.
7.2.2 向量的运算
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质(坐标+几何)
向量的
加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则
向量的
减法
三角形法则
,
数
乘
向
量
1.是一个向量,满足:
2.>0时, 同向;
<0时, 异向;
=0时, .
向
量
的
数
量
积
是一个数
1.时,
.
2.
说明:1.加减法的几何表示
2.运算性质运用时通常是代数与几何结合使用。
3.向量的数量积:
①a·b=|a||b|cosθ,
夹角公式:;
平行:A||bb=λa ;
垂直:ab(a0)a·b=0。
②||cos称为在的方向上的投影,·的几何意义是:的长度||在的方向上的投影的乘积,是一个实数(可正、可负、也可是零),而不是向量。
4. 向量的数量积与实数的积的相同点:
实数的乘积
向量的数量积
运算的结果是一个实数
运算的结果是一个实数
交换律
分配律
且
|
向量的数量积与实数的积的不同点:
实数的乘积
向量的数量积
结合律
或
7.2.3 向量的运用
1. 线段的定比分点公式
设点P分有向线段所成的比为λ,即,则
=+ (线段的定比分点的向量公式)
(线段定比分点的坐标公式)
当λ=1时,得中点公式:
=(+)或
2. 平移公式
点按向量a=平移后得到点
始终不变的是这个关系式:=+a, 即 ,故有:
m= m=
但向量平移,向量的坐标是不会变化的。
3. 正、余弦定理
正弦定理:
余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,
b2=c2+a2-2cacosB,
c2=a2+b2-2abcosC.
附:三角形的五个“心”设为所在平面上一点,角所对边长分别为:
重心:三角形三条中线交点.
外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心:三角形三边上的高相交于一点.
旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点
三角形面积计算公式:
设△ABC的三边为a,b,c,其高分别为ha,hb,hc,半周长为P,外接圆、内切圆的半径为R,r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= [海伦公式]
⑥S△=1/2(b+c-a)ra=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb
[注]:到三角形三边的距离相等的点有4个,一个是内心,其余3个是旁心.
7.3 考查方式
7.3.1 考题主要特点
特点一:考小题,重在于基础.
有关平面向量的小题,其考查的重点在于基础知识:其中,平面向量数量积、加减运算是考查的重点,向量共线,向量垂直,向量的模,坐标运算等内容的试题都突出了对平面向量基础知识的考查.
特点二:考大题,与其它知识结合.
考查平面向量的大题,经常与三角、圆锥曲线、函数结合,与三角函数相结合的试题难度不大,属中档题,与圆锥曲线、函数相结合的试题,属中等偏难,主要考查学生对基本知识,基本方法,基本技能的理解,掌握和应用情况.
特点三:考方法,常体现数形结合的思想方法.
向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,使向量之间的运算代数化,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此,许多平面几何问题中较难解决的问题,都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中,赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标, 体现了数形结合的思想。
7.3.2 主要考查内容:
1.考查向量的基本概念和几何意义,这部分以小题为主:
A组
题型1:平面向量的概念
例1.(1)给出下列命题:
①若||=||,则=;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若=,=,则=;
④=的充要条件是||=||且//;
⑤ 若//,//,则//;
其中正确的序号是 。
(2)设为单位向量,(1)若为平面内的某个向量,则=||·;(2)若与a0
平行,则=||·;(3)若与平行且||=1,则=。上述命题中,假命题个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同;
②正确;∵ ,∴ 且,
又 A,B,C,D是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则,且,
因此,。
③正确;∵ =,∴ ,的长度相等且方向相同;
又=,∴ ,的长度相等且方向相同,
∴ ,的长度相等且方向相同,故=。
④不正确;当//且方向相反时,即使||=||,也不能得到=,故||=||且//不是=的充要条件,而是必要不充分条件;
⑤不正确;考虑=这种特殊情况;
综上所述,正确命题的序号是②③。
点评:本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多,因而容易遗忘。为此,复习时一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。
(2)向量是既有大小又有方向的量,与||模相同,但方向不一定相同,故(1)是假命题;若与平行,则与方向有两种情况:一是同向二是反向,反向时=-||,故(2)、(3)也是假命题。综上所述,答案选D。
点评:向量的概念较多,且容易混淆,故在学习中要分清,理解各概念的实质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。
题型2:平面向量的运算法则
例2.(1)如图所示,已知正六边形ABCDEF,O是它的中心,若=,=,试用,将向量,,, 表示出来。
(2)(06上海理,13)如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是( )
A.= B.+= C.-= D.+=
(3)(06广东,4)如图1所示,D是△ABC的边AB
上的中点,则向量( )
A. B.
C. D.
(1)解析:根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则,用向量,来表示其他向量,只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。
因为六边形ABCDEF是正六边形,所以它的中心O及顶点A,B,C四点构成平行四边形ABCO,
所以,=+,= =+,
由于A,B,O,F四点也构成平行四边形ABOF,所以=+=+=++=2+,
同样在平行四边形 BCDO中,===+(+)=+2,==-。
点评:其实在以A,B,C,D,E,F及O七点中,任两点为起点和终点,均可用 ,表示,且可用规定其中任两个向量为,,另外任取两点为起点和终点,也可用,表示。
(2)C.
(3),故选A。
例3.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点,试化简:
①,②,③。
解析:①原式= ;
②原式= ;
③原式= 。
例4.设为未知向量,、为已知向量,解方程2-(5+3-4)+ -3=0
解析:原方程可化为:(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0,
∴ =+ 。
点评:平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则,求解时兼顾到向量的性质。
题型3:平面向量的坐标及运算
例5.已知中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,1),BC边上的高为AD,求。
解析:设D(x,y),则
∵
得
所以。
例6.已知点,试用向量方法求直线和(为坐标原点)交点的坐标。
解析:设,则
因为是与的交点,所以在直线上,也在直线上。
即得,由点得,。
得方程组,解之得。
故直线与的交点的坐标为。
题型4:平面向量的性质
例7.平面内给定三个向量,回答下列问题:
(1)求满足的实数m,n;
(2)若,求实数k;
(3)若满足,且,求。
解析:(1)由题意得,所以,得。
(2),
;
(3)
由题意得,得或。
例8.已知
(1)求;
(2)当为何实数时,与平行, 平行时它们是同向还是反向?
解析:(1)因为
所以
则
(2),
因为与平行,所以即得。
此时,,则,即此时向量与方向相反。
点评:上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现,重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。
题型5:共线向量定理及平面向量基本定理
例9.(2002天津文12,理10)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )
A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5
C.2x-y=0 D.x+2y-5=0
解法一:设,则。
由得,
于是,先消去,由得。
再消去得,所以选取D。
解法二:由平面向量共线定理,
当,时,A、B、C共线。
因此,点C的轨迹为直线AB,由两点式直线方程得即选D。
点评:熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算;两个向量平行的坐标表示;运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合。
例10.(1)(06福建理,11)已知︱︱=1,︱︱=,=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m、n∈R),则等于( )
A. B.3 C. D.
A
B
O
M
图
(2)(06湖南文,10)如图:OM∥AB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且,则实数对(x,y)可以是( )
A. B.
C. D.
解析:(1)B;(2)C。
练习:
例1、(07北京)已知是所在平面内一点,为边中点,且,那么( A )
A. B.
C. D.
例2(07浙江)若非零向量满足,则( C )
A. B.
C. D.
例3(07山东) 在直角中,是斜边上的高,则下列等式不成立的是( C )
(A) (B)
(C) (D)
例4(08全国)在中,,.若点满足,则( A )
A. B. C. D.
例5、(2007陕西)如图,平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,
|| =,若=λ+μ(λ,μ∈R),
则λ+μ的值为 6 .
例6(2008湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且则与( A )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
例7(2008安徽)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若,,则( B )
A. (-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)
例8(2009上海)直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量.在直角三角形中,若,则的可能值个数是( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
例9(2008广东)在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则( B )
A. B. C. D.
2. 考查向量的数量积和相关运算
平面向量本身的综合,特别是平面向量的坐标表示,线性运算,基本定理以及内积的应用,以及课本例题的教学价值,例如2002年的选择题
(2002—文(12),理(10))
平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点,,若点满足,其中,且,则点的轨迹方程为( ).
(A) (B)
(C) (D)
这道题可以用向量的坐标表示计算。
设,由题意.
于是
①+②×2得
.
于是点的轨迹方程为.
但是如果利用平面向量基本定理一节中课本的一道例题例5,已知不共线,,,则有 ,
如果用表示,表示,则有.
这里给出了共线的一个条件.而2002年选择题恰恰就是这个例题的变化,因此点在两点确定的直线上,利用两点式直线方程公式立即有
,即 .
从这道试题可以启发我们,在教学中一定要落实课本,落实课本的例题,挖掘课本例题在培养数学能力上的作用.
题型1:数量积的概念
例1.判断下列各命题正确与否:
(1);
(2);
(3)若,则;
(4)若,则当且仅当时成立;
(5)对任意向量都成立;
(6)对任意向量,有。
解析:(1)错;(2)对;(3)错;(4)错;(5)错;(6)对。
点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清楚为零向量,而为零。
例2.(1)(2002上海春,13)若、、为任意向量,m∈R,则下列等式不一定
成立的是( )
A. B.
C.m()=m+m D.
(2)(2000江西、山西、天津理,4)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①(·)-(·)= ②||-||<|-| ③(·)-(·)不与垂直
④(3+2)(3-2)=9||2-4||2中,是真命题的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
解析:(1)答案:D;因为,而;而方向与方向不一定同向。
(2)答案:D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假;②由向量的减法运算可知||、||、|-|恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故②真;③因为[(·)-(·)]·=(·)·-(·)·=0,所以垂直.故③假;④(3+2)(3-2)=9··-4·=9||2-4||2成立。故④真。
点评:本题考查平面向量的数量积及运算律,向量的数量积运算不满足结合律。
题型2:向量的夹角
例3.(1)(06全国1文,1)已知向量、满足、,且,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
(2)(06北京文,12)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且,那么与的夹角的大小是 。
(3)已知两单位向量与的夹角为,若,试求与的夹角。
(4)(2005北京3)| |=1,| |=2,= + ,且⊥,则向量与的夹角为
( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:(1)C;(2);
(3)由题意,,且与的夹角为,
所以,,
,
,
同理可得。
而,
设为与的夹角,
则。
(4)C;设所求两向量的夹角为
即:
所以
点评:解决向量的夹角问题时要借助于公式,要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握。
例4.(1)(06全国1理,9)设平面向量、、的和。如果向量、、,满足,且顺时针旋转后与同向,其中,则( )
A.-++= B.-+=
C.+-= D.++=
(2)(06湖南理,5)已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析:(1)D;(2)B;
点评:对于平面向量的数量积要学会技巧性应用,解决好实际问题。
题型3:向量的模
例5.(1)(06福建文,9)已知向量与的夹角为,则等于( )
A.5 B.4 C.3 D.1
(2)(06浙江文,5)设向量满足,,则( )
A.1 B.2 C.4 D.5
解析:(1)B;(2)D;
点评:掌握向量数量积的逆运算,以及。
例6.已知=(3,4),=(4,3),求x,y的值使(x+y)⊥,且|x+y|=1。
解析:由=(3,4),=(4,3),有x+y=(3x+4y,4x+3y);
又(x+y)⊥(x+y)·=03(3x+4y)+4(4x+3y)=0;
即25x+24y=0 ①;
又|x+y|=1|x+y|2=1;
(3x+4y)2+(4x+3y)2=1;
整理得25x2+48xy+25y2=1即x(25x+24y)+24xy+25y2=1 ②;
由①②有24xy+25y2=1 ③;
将①变形代入③可得:y=±;
再代回①得:。
点评:这里两个条件互相制约,注意体现方程组思想。
题型4:向量垂直、平行的判定
例7.(2005广东12)已知向量,,且,则 。
解析:∵,∴,∴,∴。
例8.已知,,,按下列条件求实数的值。(1);(2);。
解析:
(1);
(2);
。
点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。
3. 考查平面向量与其它知识的结合。
A.与平面几何的结合:
①在平行四边形中,
若,则,即菱形模型。
若,则,即矩形模型。
②在中,
,是的外心;
一定过的中点;通过的重心;
,是的重心;
,是的垂心;
通过的内心;
则是的内心;
.
例11.(2002年高考题)已知两点,且点P(x,y)使得,成公差小于零的等差数列。
(1)求证;
(2)若点P的坐标为,记与的夹角为,求。
解析:(1)略解:,由直接法得
(2)当P不在x轴上时,
而
所以,当P在x轴上时,,上式仍成立。
图1
点评:由正弦面积公式得到了三角形面积与数量积之间的关系,由面积相等法建立等量关系。
例12.用向量法证明:直径所对的圆周角是直角。
已知:如图,AB是⊙O的直径,点P是⊙O上任一点(不与A、B重合),求证:∠APB=90°。
证明:联结OP,设向量,则且,
,即∠APB=90°。
点评:平面向量是一个解决数学问题的很好工具,它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。
题型7:平面向量在物理中的应用
例13.如图所示,正六边形PABCDE的边长为b,有五个力、作用于同一点P,求五个力的合力。
解析:所求五个力的合力为,如图3所示,以PA、PE为边作平行四边形PAOE,则,由正六边形的性质可知,且O点在PC上,以PB、PD为边作平行四边形PBFD,则,由正六边形的性质可知,且F点在PC的延长线上。
由正六边形的性质还可求得
故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为,方向与的方向相同。
B.与代数的结合
弄清实数乘积与平面向量数量积的异同点:
代数不等式:由, ,可得
。
例9.已知。
分析:,可以看作向量的模的平方,而则是、的数量积,从而运用数量积的性质证出该不等式。
证明:设
则。
点评:在向量这部分内容的学习过程中,我们接触了不少含不等式结构的式子,如等。
例10.已知,其中。
(1)求证:与互相垂直;
(2)若与()的长度相等,求。
解析:(1)因为
所以与互相垂直。
(2),
,
所以,
,
因为,
所以,
有,
因为,故,
又因为,
所以。
点评:平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题,其形式多样,解法灵活,极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化,从而提高解题的速度。
C.与解析几何结合
①定比分点公式
若,则是的定比分点,为定比,满足。
②点向式直线方程
已知点及方向向量,可确定过,以为方向向量的直线方程为
(3)精选典型例题及练习题扩大学生的解题视野。
例1、已知a=,b,c=a+b,是否存在实数,使a 与c的夹角为锐角,若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由。(考查数量积的应用及严密的推理能力)
例2、在坐标平面上有两个向量a,b,其中。
(Ⅰ)证明(a+b)(a- b);
(Ⅱ) ka+b = a-kb ,求的值,其中为非零常数。(考查数量积与三角函数综合)
例3、已知的面积为,且。
(Ⅰ)若,求向量与的夹角的取值范围;
(Ⅱ)记,(),,若以为中心,为焦点的椭圆经过点,当取得最小值时,求此椭圆方程。(考查平面向量的数量积,三角函数的值,解析几何,函数最值的综合)
例4、已知,,,若,,()。
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若点在曲线上运动,求在时的最小值;
(Ⅲ)把的图像按向量a平移得到曲线,过坐标原点作交于两点,直线交轴于点,当为锐角时,求的取值范围。(考查平面向量数量积的坐标表示,函数的最值,图像的平移,解不等式,解析几何的有关知识)
例5、是否存在4个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量的和与其余两个向量之和垂直。(存在性问题,向量的基本运算与平面几何综合)
例6、一条河的两岸平行,河宽,一小船从处出发航行到对岸,小船速
度为v1,且 v1 /秒,水流速度为v2, v2 /秒。
(Ⅰ)当v1,v2夹角为多大时,船才能到达对岸处,此时位移的大小,方向怎样?时间是多少?
(Ⅱ) 当v1,v2夹角为多大时,小船航行的时间最少?此时位移的大小方向怎样?时间是多少?
7.4 本章历年真题
08
1. 已知数列|an|对任意的p,q∈Nm满足ap+q=ap+aq,且aP=-6,那么ap+q等于
(A)-165 (B)-33 (C)-30 (D)-21
2. 已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,那么b·(2a+b)的值为 。
07
1. 已知是所在平面内一点,为边中点,且,那么( )
A. B.
C. D.
06
1. 若 a 与 b-c 都是非零向量,则“a·b=a·c”是“a⊥(b-c)”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
05
1. 若,且,则向量与的夹角为
(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
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