北方工业大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习数列 6页

北方工业大学附中 2019 三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：数列 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷(选择题　共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1．等差数列 的公差 ，若 与 的等比中项，则 ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 2．数列 ,已知对任意正整数 ，则 等于( ) A． B． C． D． 【答案】C 3．将所有自然数按如图所示规律排列： 那么从 2019 到 2019 的顺序( ) A． B． C． D． [来源:1] 【答案】D 4．已知数列 的通项公式为 ，设其前 n 项和为 Sn，则使 Sn<-5 成 立的自然数 n 有( ) A．最小值 63 B．最大值 63 C．最小值 31 D．最大值 31 【答案】A 5．1 与 3 两数的等差中项是( ) A．1 B． 3 C．2 D． 【答案】C 6．已知数列 满足 ，则 =( ) A．-6 B．3 C．2 D．1 【答案】D 7．已知方程 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则 ( ) A．1 B． C． D． 【答案】C 8．用数学归纳法证明：“ ”在验证 时，左端计算 所得的项为( ) { }na 10, 9d a d≠ = 1ka a是 2ka k = { }na 1 2 3, 2 1n nn a a a a+ + + + = − 2 2 2 2 1 2 3 na a a a+ + + + 2(2 1)n − 1 (2 1)3 n − 1 (4 1)3 n − 4 1n − → ↑ ↑ → ↓ → → ↓ }{ na )(2 1log 2 +∈+ += Nnn nan 3± { }na 1 1 12, ( )1 n n n aa a n Na ∗ + += = ∈− 1 2 3 2012a a a a⋅⋅⋅    2 2 1 11 ( 1)1 n n aa a a aa + + −+ + + + = ≠− 1n = A．1 B． C． D． 【答案】C[来源:学*科*网] 9．在等差数列 中，若 ， ，则 ( ) A．6 B．8 C．10 D． 7 【答案】B 10．设等差数列 的前 n 项和为 ( ) A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】A 11．已知椭圆 上有三点 （ ， ）（ 1，2，3），它们到同一个焦点的距离 分别是 ， ， ，则 ， ， 成等差数列的充要条件是( ) A． ， ， 成等差数列 B． ， ， 成等差数列 C． 上述（A）、（B）同时成立 D． A．．（B）以外的条件 【答案】B 12．若数列 是等差数列，首项 ，则使前 n 项和 成立的最大自然数 n 是( ) A． 4005 B． 4006 C． 4007 D. 4008[来源:Zxxk.Com] 【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题　共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知数列{ }的通项公式 =3 -26，前 项和为 ，则当 最小时， = 【答案】8 14 ．已知 ，则实数 的值为 ． 【答案】2 15．若等差数列 的前 5 项和 =25 ，且 ，则 =____________ 【答案】 16．设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ， ，则 ____________ 【答案】5 三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤) 17．将函数 在区间 内的全部极值点按从小到 1 a+ 21 a a+ + 2 31 a a a+ + + }{ na 12543 =++ aaa 26 =a =+ 62 aa }{ na =+++== 1413121184 ,20,8, aaaaSSSn 则若 12 2 2 2 2 =+ a y a x iP ix iy =i 1d 2d 3d 1d 2d 3d 1x 2x 3x 1y 2y 3y 1)2)(1(lim =− −− → mx xx mx m { }na 5S 4 3a = 7a 3− nS { }na n 1 1a = 2d = 2 24k kS S+ − = k = 1 1 1( ) sin sin ( 2 ) sin ( 3 )4 4 2f x x x xπ π= ⋅ + ⋅ + (0, )+∞ 大的顺序排成数列 . (Ⅰ）求数列 的通项公式； (Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求 的表达式. 【答案】（Ⅰ）化简 其极值点为 它在 内的全部极值点构成以 为首项， 为公差的等差数列 则 相减，得 18．根据定义在集合 A 上的函数 y= ，构造一个数列发生器，其工作原理如下： ① 输入数据 ，计算出 ； ② 若 ，则数列发生 器结束工作； 若 ，则输出 ， 并将 反馈回输入端，再计算出 。并依此规律继续下去。 现在有 ， 。 (1）求证：对任意 ，此数列发生器都可以产生一个无穷数列 ； (2）若 ，记 ，求数列 的通项公式； (3）在（2）得条件下，证明 。 【答案】（1）当 ，即 时，由 ，可知 ， 又 ，即 故对任意 有 ， { }na *( )n N∈ { }na 2n n nb a= { }nb n nT nT 1 1 1 1( ) sin sin ( 2 ) sin ( 3 ) sin4 4 2 4f x x x x xπ π= ⋅ + ⋅ + = − ( )2x k k Z ππ= + ∈ (0, )+∞ 2 π π 2 3 12 [1 2 3 2 (2 3) 2 (2 1) 2 ]2 n n nT n n π += ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅+ − ⋅ + − ⋅ 2 3 1[1 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2 ]2 n n nT n π +− = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅+ ⋅ − − ⋅ 由 有 ， 有 ； 以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列 (2）由 ，可得 ，[来源:Z|xx|k.Com] 即 。 令 ，则 ， 又 ， 所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列。 ，即 = +1 (3）要证 ，即证 ，只需证 ， 当 时， 有 ， 因为，当 时， 由 。 所以，当 时 <1+1+ 又当 m=1 时， 所以对于任意 ，都有 所以对于任意 ，都有 19．已知 ． (Ⅰ）求 的值； (Ⅱ）设 为数列 的前 项和，求证： ； (Ⅲ）求证： ． 【答案】（Ⅰ） ，所以 (Ⅱ）由 得 即 所以当 时， 于是 所以 (Ⅲ）当 时，结论 成立 当 时，有 所以 20．等差数列 中， ，前 项和 满足条件 ， (Ⅰ）求数列 的通项公式和 ； (Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ,由 1 1 2 2 11, 4, 4 , ,n n n n n n aa a a a a b n Na ∗+ + += = = + = ∈ 1 2 3, ,b b b 1,n n n nc b b S+= { }nc n 17nS n≥ 2 2 1 1 64 17n n nb b −− <   2 3 44, 17, 72a a a= = = 1 2 3 17 724. ,4 17b b b= = = 2 14n n na a a+ += + 2 1 1 4n n n n a a a a + + + = + 1 14n n b b+ = + 2n≥ 4nb > 1 1 2 1, 17, 4 1 17 ( 2)n n n nc b b c b b b n+= = = = + > ≥ 1 2 17n nS c c c n= + + + ≥ 1n = 2 1 1 17 4 64b b− = < 2n≥ 1 1 1 1 1 1 1 1| 4 4 | | | | |17 n n n n n n n n n n b bb b b bb b b b − + − − − −− = + − − = −≤ 2 1 2 1 2 2 1n n n n n n n nb b b b b b b b+ + + −− − + − + + −≤ { }na 1 1a = n nS 2 4, 1,2,n n S nS = =  { }na nS 12n n nb a −= ⋅ { }nb n nT { }na d 2 4n n S S = 得： ，所以 ，且 ，所以 (Ⅱ）由 ，得 所以 ， ① ①- ②得 21．已知数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意的 ，满足关系式 (I）求数列 的通项公式； (Ⅱ）设数列 的通项公式是 ，前 项和为 ，求证：对于任意的 正整数 ，总有 【答案】（I）由已知得 故 即 故数列 为等比数列，且 又当 时， 而 亦适合上式 所以 22．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．[来源:Z#xx#k.Com] (1）求数列 的通项公式； (2）设 ，求数列 中的最小的项. 【答案】（1） ， (2） 当且仅当 ，即 时， 取得最小值 . ∴数列 中的最小的项为 . 1 2 1 4a a a + = 2 13 3a a= = 2 1 2d a a= − = 1 ( 1) 1 2( 1) 2 1na a n d n n= + − = + − = − 12n n nb a −= ⋅ 1(2 1) 2n nb n −= − ⋅ 1 2 11 3 2 5 2 (2 1) 2n nT n −= + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ }{ na n nS 3 11a = 3 24S = }{ na 1 ( 6) 5 n n n a nb a + += − { }nb 3 1 2a a d= + 3 1 1 3 23 3 32S a d a d ×= + = + 2 1 ( 6) 3 20 12 4 20 4 20 3225 3 3 3 3 n n n a n n nb n na n n n+ + + += = = + + ≥ ⋅ + =− 4n n = 2n = nb 32 3 { }nb 32 3