2015高考数学人教A版本（6-1数列的概念）一轮复习学案 11页

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-1数列的概念课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．给定数列1,2＋3＋4,5＋6＋7＋8＋9,10＋11＋12＋13＋14＋15＋16，…，则这个数列的一个通项公式是(　　)‎ A．an＝2n2＋3n－1‎ B．an＝n2＋5n－5‎ C．an＝2n3－3n2＋3n－1‎ D．an＝2n3－n2＋n－2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　当n＝1时，a1＝1，否定A、D.当n＝3时，a3＝35，否定B，故选C.‎ ‎2．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则{an}的通项公式为(　　)‎ A．an＝2n－1　　　　　　 B．an＝2n＋1‎ C．an＝ D．an＝ ‎[答案]　D ‎[解析]　a1＝S1＝4，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，‎ ‎∴an＝ ‎3．(文)(2013·北京海淀区期末)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)‎ A．6　　　　B．‎7　‎　　　C．8　　　　D．9‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵a1＝19，an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设{an}的前k项和数值最大，则有∴∴≤k<，∵k∈N*，∴k＝7.∴满足条件的n的值为7.‎ ‎(理)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是(　　)‎ A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 ‎[答案]　B ‎[解析]　n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－10n)－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11，‎ 令bn＝nan，则bn＝n(2n－11)＝2(n－)2－，‎ ‎∵n∈N*，∴n＝3时，bn取最小值．‎ ‎4．(文)(2012·西安模拟)在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N＋)，则的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　∵anan－1＝an－1＋(－1)n，‎ ‎∴a‎2a1＝a1＋1，‎ a‎3a2＝a2－1，‎ a‎4a3＝a3＋1，‎ a‎5a4＝a4－1，‎ ‎∵a1＝1，∴a2＝2，a3＝，a4＝3，a5＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎(理)(2013·德州模拟)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝则a2012等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　∵an＋1＝ 又a1＝，‎ ‎∴a2＝2×－1＝，a3＝2×－1＝，a4＝2×＝，a5＝2×＝，‎ ‎∴数列{an}以4为周期，‎ ‎∵＝503，∴a2012＝a4＝.‎ ‎5．(文)(2012·佛山质检)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为(　　)‎ A．5 B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　∵an＋an＋1＝，a2＝2，‎ ‎∴an＝ ‎∴S21＝11×(－)＋10×2＝.‎ ‎(理)(2013·池州一模)数列{an}的通项公式an＝2n·sin(－)＋ncos，前n项和为Sn，则S2013＝(　　)‎ A．1007 B．－1007‎ C．2013 D．－2013‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　an＝2nsin(－)＋ncos ‎＝nsin.‎ 由函数y＝sinx的周期是4，且a1＝1，a2＝2×0＝0，a3＝3×(－1)＝－3，a4＝4×0＝0，归纳可知数列{an}从第一项开始依次每相邻四项之和是一个常数－2，即ai＋ai＋1＋ai＋2＋ai＋3＝－2(i＝4k＋1，k∈N)，‎ 所以S2013＝×(－2)＋2013＝－1007，故选A.‎ ‎6．(文)已知x与函数f(x)的对应关系如下表所示，数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝f(an)，则a2014＝(　　)‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ f(x)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ A.3　　　　B．‎2　‎　　　C．1　　　　D．不确定 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵a1＝3，∴a2＝f(a1)＝f(3)＝1，∴a3＝f(a2)＝f(1)＝2，a4＝f(a3)＝f(2)＝3，∴数列{an}为周期数列，周期T＝3，‎ ‎∴a2014＝a1＝3，故选A.‎ ‎(理)若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，则a2014等于(　　)‎ A．3　　　　B．‎2　‎　　　C.　　　　D. ‎[答案]　C ‎[解析]　a1＝2，a2＝3，a3＝＝，a4＝＝，依次可得a5＝，a6＝，a7＝2，a8＝3，a9＝…，可见{an}是周期为6的周期数列．∴a2014＝a4＝，故选C.‎ ‎[点评]　数列是函数，故可用研究函数的方法加以讨论，由an＝(n≥3，n∈N*)知，an＋1＝＝＝，∴an＋3＝(n∈N*)，∴an＋6＝an，故{an}周期为6.‎ 二、填空题 ‎7．(文)设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝sin，则S2014＝________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　依题意得，数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1＝1，a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a1＋a2＋a3＋a4＝0，注意到2014＝4×503＋2，因此S2014＝0×503＋a1＋a2＝1.‎ ‎(理)(2012·湖北文，17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：‎ 将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：b2012是数列{an}中的第________项．‎ ‎[答案]　5030‎ ‎[解析]　由前四组可以推知an＝，b1＝a4＝10，b2＝a5＝15，b3＝a9＝45，b4＝a10＝55，依次可知，当n＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，an能被5整除，由此可得，b2k＝a5k(k∈N*)，∴b2012＝a5×1006＝a5030.‎ ‎8．(文)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a2014＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由题可知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列是以3为周期的周期数列，‎ ‎∴a2014＝a1＝.‎ ‎(理)在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项an＝________.‎ ‎[答案]　2n＋1－3‎ ‎[解析]　依题意得，an＋1＋3＝2(an＋3)，a1＋3＝4，因此数列{an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，于是有an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，则an＝2n＋1－3.‎ ‎9．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于________．‎ ‎[答案]　2010‎ ‎[解析]　由题意an＋1＋an－1＝an(n≥2)，an＋an＋2＝an＋1，两式相加得an＋2＝－an－1，‎ ‎∴an＋3＝－an，∴an＋6＝an，‎ 即{an}是以6为周期的数列．‎ ‎∵2014＝335×6＋4，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋a2014＝335×0＋a2011＋a2012＋a2013＋a2014＝a1＋a2＋a3＋a4＝2010.‎ 三、解答题 ‎10．(文)(2013·江西)正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解析]　(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.‎ 由于{an}是正项数列，所以an＝2n.‎ ‎(2)an＝2n，bn＝，则bn＝＝(－)．‎ Tn＝(1－＋－＋…＋－＋－)＝(1－)＝.‎ ‎(理)(2013·广州调研)各项都为正数的数列{an}，满足a1＝1，a－a＝2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{}的前n项和Sn.‎ ‎[解析]　(1)因为a－a＝2，a＝1，‎ 所以数列{a}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ 所以a＝1＋(n－1)×2＝2n－1，‎ 因为an>0，所以an＝(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)知，an＝，所以＝，‎ 于是Sn＝＋＋＋…＋＋，①‎ Sn＝＋＋＋…＋＋，②‎ ‎①－②得，Sn＝＋＋＋＋…＋－ ‎＝＋2(＋＋＋…＋)－ ‎＝＋2×－ ‎＝－，‎ 所以Sn＝3－.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖的块数为(用含n的代数式表示)(　　)‎ A．4n B．4n＋1‎ C．4n－3 D．4n＋8‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　第(1)，(2)，(3)个图案黑色瓷砖数依次为3×5－3＝12；4×6－2×4＝16；5×7－3×5＝20，代入选项验证可得答案为D.‎ ‎12．(文)(2012·东城模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝log3(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－4成立的最小自然数n等于(　　)‎ A．83 B．82‎ C．81 D．80‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵an＝log3＝log3n－log3(n＋1)，‎ ‎∵Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)<－4，解得n>34－1＝80.‎ ‎(理)设数列{an}满足a1＋‎2a2＝3，且对任意的n∈N*，点列{Pn(n，an)}恒满足PnPn＋1‎ ‎＝(1,2)，则数列{an}的前n项和Sn为(　　)‎ A．n(n－) B．n(n－)‎ C．n(n－) D．n(n－)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设Pn＋1(n＋1，an＋1)，则PnPn＋1＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，即an＋1－an＝2，所以数列{an}是以2为公差的等差数列．又a1＋‎2a2＝3，所以a1＝－，所以Sn＝n(n－)，选A.‎ ‎13．(文)由1开始的奇数列，按下列方法分组：(1)，(3,5)，(7,9,11)，…，第n组有n个数，则第n组的首项为(　　)‎ A．n2－n B．n2－n＋1‎ C．n2＋n D．n2＋n＋1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　前n－1组共有1＋2＋…＋(n－1)＝＝个奇数，故第n组的首项为2×＋1＝n2－n＋1.‎ ‎[点评]　可直接验证，第2组的首项为3，将n＝2代入可知A、C、D都不对，故选B.‎ ‎(理)已知整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第2014个数对是(　　)‎ A．(3,61) B．(3,60)‎ C．(61,3) D．(61,2)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　根据题中规律知，(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，整数对和为n＋1的有n项，由≤2014得n≤62，且n＝63时，＝2016，故第2014个数对是和为64的倒数第3项，即(61,3)．‎ 二、填空题 ‎14．(文)(2013·北京东城区综合练习)若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.‎ ‎[答案]　20‎ ‎[解析]　由题意，若{an}为调和数列，则{}为等差数列，∵{}为调和数列，∴数列{xn ‎}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝＝20.‎ ‎(理)(2013·大连测试)数列{an}满足：a1＋‎3a2＋‎5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ ‎[答案]　3n ‎[解析]　a1＋‎3a2＋‎5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，把n换成n－1得，a1＋‎3a2＋‎5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，两式相减得an＝3n.‎ ‎15．(2013·江苏调研)对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.‎ ‎[答案]　2n＋1－2‎ ‎[解析]　由已知an＋1－an＝2n，a1＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝22，…，an－an－1＝2n－1，由累加法得an＝2＋2＋22＋…＋2n－1＝2n，从而Sn＝＝2n＋1－2.‎ 三、解答题 ‎16．(文)(2013·河北质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)在数列{bn}中，b1＝5，bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎[解析]　(1)当n＝1时，S1＝a1＝a1－1，所以a1＝2.‎ ‎∵Sn＝an－1，①‎ ‎∴当n≥2时，Sn－1＝an－1－1，②‎ ‎①－②，得an＝(an－1)－(an－1－1)，‎ 所以an＝3an－1，又a1≠0，故an－1≠0，‎ 所以＝3，‎ 故数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，‎ 所以an＝2·3n－1.‎ ‎(2)由(1)知bn＋1＝bn＋2·3n－1.‎ 当n≥2时，bn＝bn－1＋2·3n－2，‎ ‎…‎ b3＝b2＋2·31，‎ b2＝b1＋2·30，‎ 将以上n－1个式子相加并整理，得bn＝b1＋2×(3n－2＋…＋31＋30)＝5＋2×＝3‎ n－1＋4.‎ 当n＝1时，31－1＋4＝5＝b1，‎ 所以bn＝3n－1＋4(n∈N*)．‎ ‎(理)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且3an＋1＋2Sn＝3(n为正整数)．‎ ‎(1)求出数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若对任意正整数n，k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．‎ ‎[解析]　(1)∵3an＋1＋2Sn＝3，①‎ ‎∴当n≥2时，3an＋2Sn－1＝3，②‎ 由①－②得，3an＋1－3an＋2an＝0.‎ ‎∴＝　(n≥2)．‎ 又∵a1＝1,‎3a2＋‎2a1＝3，解得a2＝.‎ ‎∴数列{an}是首项为1，公比q＝的等比数列．‎ ‎∴an＝a1qn－1＝n－1(n为正整数)．‎ ‎(2)由(1)知，∴Sn＝，‎ 由题意可知，对于任意的正整数n，恒有 k≤，‎ ‎∵数列单调递增，当n＝1时，数列取最小项为，∴必有k≤1，即实数k的最大值为1.‎ 考纲要求 了解数列的概念，了解数列是自变量为正整数的一类函数．‎ 了解数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)．‎ 补充说明 ‎1．求数列的通项公式常见的有以下三种类型 ‎(1)已知数列的前几项，写出一个通项公式．‎ 依据数列前几项的特点归纳出通项公式：方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：①定符号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规律，④综合写出项与项数的关系．‎ 要特别注意以下数列特点：‎ ‎①自然数列，自然数的平方列．‎ ‎②奇数列，偶数列．‎ ‎③an＝(－1)n，an＝[1＋(－1)n]．‎ ‎④an＝sin，an＝cos.‎ ‎⑤an＝(10n－1)(k＝1,2，…，9)．‎ 要注意理顺其大小规律 如：2，－，4，－，…先变化为：，－，，－，….‎ ‎(2)已知数列的递推关系求其通项公式：一般是采用“归纳—猜想—证明”，有时也通过变形转化为等差、等比数列进行处理．‎ ‎(3)已知数列的前n项和求通项公式，用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解．‎ ‎2．注意数列的两个性质 ‎(1)单调性——若an＋1>an，则{an}为递增数列；若an＋1