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  • 2021-05-14 发布

高考数学广东卷答案详解理科

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‎2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(理科)‎ 本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. ((B) ‎ A. B. C. D. ‎ 解:(1+i)(1-i)=1-i2=1-(-1)=2。‎ 点评:本题是概念题,没有什么难度,属送分题。‎ ‎2. ,‎ ‎ (C)‎ A. B. C. D. ‎ 解:A为圆,圆心为(0,0),B为直线。显然直线B经过点(0,0)。即直线与圆相交。故选C。‎ 点评:只要理解集合的概念,及其所表示的点的轨迹,就会把问题变得简单。本题还可以用圆心到直线的距离来判断,但要是善于观察就会节省时间。也可以用联立方程来解,过程会相对复杂。‎ ‎3. (D)‎ A. B. C. D. ‎ 解:因为∥,⊥,所以⊥‎ 所以 点评:本题也是概念题没有难度。只要平时基础知识掌握到位,轻而易举。属送分题。‎ ‎4. (A) ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 解:设F(x)=f(x)+|g(x)|‎ 则F(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=F(x)。故选A。‎ ‎5. ‎ ‎(C)‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 如图所示,阴影部分即为区域D。=x+y。即有 ‎ x+y-Z=0,z可以看成是直线在y轴上的截距。当直线经过 ‎ 点H(,2)的时候Z最大。代入点H解之得Z=4。‎ ‎6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.‎ 若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为(C)‎ A. B. C. D.‎ 解:把赢记为1,输记为0‎ 则有 ‎(1,0)甲赢 ‎(0,1),(1,0)甲赢 ‎(0,1),(0,1)乙赢 故甲赢的概率为。‎ ‎7.如图1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 A. B. C. D.‎ 解:从视图可以知道此几何体为直四棱柱。‎ 易知底面的高为:= 故底面积为:3 又高为3。故体积为9。‎ ‎8.设是整数集的非空子集,如果,有,则称关于数的乘法是封闭的.若是的两个不相交的非空子集, ,且,有;,有,则下列结论恒成立的是(A)‎ A. 中至少有一个关于乘法是封闭的 B. 中至多有一个关于乘法是封闭的 C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. 中每一个关于乘法都是封闭的 解:1)设T,V都不封闭。则,有abT,否则若ab∈T,cT,abcT。这与假设T不封闭矛盾。‎ 同理:bcT,acT。故abV,bcV, ,acV。ab·bc T,即abc·bT。这与T不封闭矛盾。‎ ‎ 2)若两个都封闭。则有,abT,abcT;同理,xyV,xyzV。所以T,V封闭时成立。‎ ‎ 3)设一个不封闭,一个封闭。不妨设T不封闭。则有,有abV, bcV,则有ab·bcV 即abc·bV。此时也成立。‎ ‎ 故至少有一个是关于乘法是封闭的。‎ 二、填空题:本大题共7小题.考生作答6小题.每小题5分,满分30分. ‎ ‎(一)必做题(9~13题)‎ ‎9.不等式的解集是[1,+∞)‎ 解:由原式化为 ‎|x+1|≥|x-3|‎ ‎(x+1)2≥(x-3)2‎ x2+2x+1≥x2-6x+9‎ ‎8x≥8‎ x≥1‎ ‎10.的展开式中的系数是 84 (用数字作答).‎ 解:原式=,的项,即为(x-2x-1)7的展开式中x3的项。其展开式项为:。当7-2m=3时,解得m=2。则系数为:‎ ‎11.等差数列的前9项和等于前4项和,若,则 10 .‎ 解:(a1+a2+……a9)-(a1+a2+a3+a4)=a5+a6+a7+a8+a9=5a7=0,所以:a7=0,ak+a4=2a7,所以k=10‎ ‎12.函数在 2 处取得极小值.‎ 解:=3x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2.‎ 如图所示,x<0,>0;‎ ‎02,>0‎ 所以,在x=2时取得极小值。‎ ‎13.某数学老师身高176cm,他爷爷,父亲,儿子的身高分别是173cm,170cm和182cm,因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是185 cm.‎ 解:‎ x ‎173‎ ‎170‎ ‎176‎ ‎182‎ y ‎170‎ ‎176‎ ‎182‎ ‎?‎ 设y=bx+a y=x+3‎ y4=182+3=185‎ ‎(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为(0≤q <p =和 ‎(t∈R),它们的交点坐标为(1, ).‎ 解:由第一组方程知y≥0,由第二组方程组知x≥0.‎ 化为直角坐标系下的方程则有:‎ ‎………… y2=………………………………………… 联立,且x≥0,y≥0解得x=1,y=‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)如图4,过圆外一点P分别做圆的切线和割线交圆于A,B两点,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,则AB= .‎ 解:∠PAB=∠ACB(弦切角定理)‎ 又所以△PAB∽△ACB 所以AB:PB=BC:AB AB2=PB·BC=35‎ AB= 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)设,,,求的值.‎ 解:(1)=。‎ ‎(2)‎ 点评:本题考考察了三角函数的基本公式。没有难度,属送分题。‎ ‎17.(本小题满分13分)‎ 为了解甲,乙两厂的产品质量,采取分层抽样的方法从甲,乙两厂的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ (1) 已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;‎ (2) 当产品中微量元素满足且时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;‎ (3) 从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽出的2件产品中优等品数的分布列及其均值(即数学期望).‎ 解:(1)设乙厂的产品有m个,依题意98:14=m:5,解得:m=35。即乙厂的产品数为35个。‎ ‎(2)从表中可以5件产品中只有第2和第5个产品满足且。‎ ‎ 故优等产品的概率P=2/5=0.4。‎ ‎ 故乙厂的优等品的数量:35×0.4=14(个)‎ ‎(3)随机抽二件,出现优等品数可能为0,1,2。5件产品中取2件的取法有:‎ P(=0)=;P(=1)= ;P(=2)= ‎ 其分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 均值:E()=0×+1×+2×=1.4‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ 如图5,在锥体P-ABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且,,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.‎ (1) 证明:AD⊥平面DEF;‎ (1) 求二面角P-AD-B的平面角的余弦值。‎ ‎(1)证明:如图取AD的中点H,连结PH,BH。‎ ‎∵PA=PD,∴PH⊥AD…………………………… ‎∵ABCD是边长为1的菱形,且 ‎∴AB=BD ‎∴BH⊥AD…………………………………………… ‎∴由得AD⊥面PBH…………………………… ‎∴AD⊥PB………………………………………… 又E,F是BC,PC的中点 ‎∴EF∥PB………………………………………… 由得 AD⊥EF………………………………………… 又E是BC的中点,DC=DB ‎∴DE⊥BC ,AC∥BC ‎∴AD⊥DE……………………………………… 由得 AD⊥面DEF 证毕。‎ ‎(2)解:∵PH⊥AD,BH⊥AD ‎∴二面角P-AD-B的平面角为∠PHB,设为角H 则有PB2=PH2+BH2-2PH·BH·cosH PB=2‎ PH==‎ BH==‎ 代入解得:cosH=‎ 即二面角P-AD-B的平面角的余弦值为。‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 设圆C与两圆,中的一个内切,另一个外切.‎ (1) 求C的圆心轨迹L的方程;‎ (2) 已知点M(,),F(,0),且P为L上的动点,求的最大值及此时点P的坐标.‎ 解:(1)设圆C的半径为r,圆心为K(x,y),‎ 圆心H(-,0), ‎ 圆心为T(,0)‎ 则依题意有|KH|=r+2,|KT|=r-2; 或|KH|=r-2, |KT|=r+2。从而||KH|-|KT||=4。‎ 即到两定之间的距离之差为常数。即L的轨迹为双曲线。‎ 设 c2=5‎ a=2,所以a2=4。‎ b2=c2-a2=5-4=1‎ 即L的轨迹方程为:‎ ‎(2)‎ 如图所示:连结MF,且延长MF交双曲线于点F的另则的点P。则此时=|MF|值最大。‎ 因为,如若不然,在其它,如点P’,则根据三角形的性质则<|MF|。‎ ‎|MF|=。即|的最大值为2。‎ 过M,P两点的直线方程为:‎ 化简得:‎ 联立方程: ‎ ‎ ‎ 解得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即取得最大值时的P的坐标为(,)。 ‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ ‎ 设b>0,数列满足,.‎ (1) 求数列的通项公式;‎ (2) 证明:对于一切正整数,.‎ ‎(1)解:‎ ‎∵,a1=b>0。∴an>0‎ 整理得 设cn=,则有:cn=‎ 设cn+t=‎ ‎ 即cn=‎ ‎ 令。解得t=‎ 设dn=cn+‎ 即{dn}以公比为的等比数列。d1=C1+=‎ 所以dn=‎ 所以an=‎ ‎ (2)证明: ‎ ‎ ‎ 以上式式相加,并整理可得:‎ 证毕。‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系上,给定抛物线,实数满足,是方程的两根,记.‎ (1) 过点作L的切线交轴于点B.证明:对线段AB上的任一点,有;‎ (2) 设是定点,其中满足.过作L的两条切线,切点分别为,‎ 与轴分别交于.线段EF上异于两端点的点集记为X,‎ 证明:;‎ (1) 设,当点取遍D时,求的最小值(记为)和最大值(记为).‎ ‎(1)证明:对抛物线L的方程求导: 。又点在抛物线上。故过点A的切线斜率为:P0。‎ 即此切线方程为:。‎ 则其与y轴的交点坐标为(0,)。‎ 对AB上的任一点,‎ ‎1)若p0<0,则p00,则00,即0由(1)知过点(,),和点(,)L的方程分别为 l1:‎ l2:‎ 又点M(a,b)是两条切线的交点。‎ 于是有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 整理得:‎ ‎ ‎ ‎ 又因为4a2-4b>0。‎ ‎ 所以,p1,p2是一元二次方程x2-2ax+4b=0的两根。‎ 解得x1,2=‎ 若p1<0,则直线的斜率,又M(a,b)∈X 所以p1||‎ 若p1>0,则直线的斜率,又M(a,b)∈X 所以0||‎ 综上所述,若M(a,b)∈X||>||‎ ‎<二>若||>||‎ 若a<0,则,故有p10,则,故有0||M(a,b)∈X 综合<一>、<二>得 M(a,b)∈X||>||‎ ‎<三>由<一>易知 ‎,即 ‎,是方程:x2-ax+b=0的两实根。‎ 又知M(a,b)∈X||>||。‎ 证毕。‎ ‎(3)由解得0| p- 所以 q≥‎ 化简整理得p2-4q≤4-2p 即m1= p+≤p+ 设t=,在为0≤p≤2,所以0≤t≤2‎ 则m1=p+化为m1=-+t+2=‎ 当t=1时,m1=,此时m1最大。‎ 当t=0时,m1=2,此时m1最小。‎ 即 ‎ ‎ QQ:2816878. 水平有限,有宝贵意见欢迎指点。‎ 博客:http://blog.sina.com.cn/kukialee