2011-2018高考数学数列分类汇编理 7页

‎2011-2018新课标数列分类汇编 一、选择题 ‎【2012新课标】5. 已知为等比数列，，，则（ D ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】，或 ‎【2013新课标1】7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝ ( C )‎ A、3 B、4 C、5 D、6‎ ‎【解析】有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，‎ ‎= -=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.‎ ‎【2013新课标2】3. 等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　C　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，∴＝q＋10，整理得q2＝9.∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.‎ ‎【2015新课标2】4. 等比数列｛an｝满足a1=3， =21，则 ( B )‎ ‎（A）21 （B）42 （C）63 （D）84‎ ‎【2016新课标1】3. 已知等差数列前9项的和为27，，则（ C ）‎ ‎（A）100（B）99（C）98（D）97‎ ‎【解析】解法1：， ‎ ‎.‎ 解法2：，即，又，解得 ‎，‎ ‎【2017新课标1】4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ C ）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【2017新课标1】12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ A ）‎ A．440 B．330 C．220 D．110‎ ‎【2017新课标2】3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ B ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎【解析】设顶层灯数为，，，解得．‎ ‎【2017新课标3】9．等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（ A ）‎ A． B． C．3 D．8‎ ‎【解析】∵为等差数列，且成等比数列，设公差为.‎ 则，即 又∵，代入上式可得 又∵，则 ∴，故选A.‎ ‎【2018新课标1】4．记为等差数列的前项和．若，，则（ ）‎ A． B． C． D．12‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎【2012新课标】16. 数列满足，则的前项和为 1830 ‎ ‎【解析】 ‎ ‎ 可证明：‎ ‎ ‎ ‎【2013新课标1】14、若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋‎1‎‎3‎，则数列{an}的通项公式是an=______.‎ ‎【解析】当=1时，==，解得=1，‎ 当≥2时，==－()=，即=，‎ ‎∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.‎ ‎【2013新课标2】16．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为_____-49_____．‎ ‎【解析】设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝＝10a1＋45d＝0，①‎ S15＝＝15a1＋105d＝25.②‎ 联立①②，得a1＝－3，， 所以Sn＝.‎ 令f(n)＝nSn，则，.‎ 令f′(n)＝0，得n＝0或.‎ 当时，f′(n)＞0,时，f′(n)＜0，所以当时，f(n)取最小值，而n∈N＋，则f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.‎ ‎【2015新课标2】16. 设是数列的前n项和，且，，则________．‎ ‎【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．‎ ‎【2016新课标1】15. 设等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则的最大值为 64 ‎ ‎【解析】由a1+a3=10，a2+a4=5解得，，‎ ‎，所以当或4时，有最大值64‎ ‎【2017新课标2】15.等差数列的前项和为，，，则 ．‎ ‎【解析】设首项为，公差为d，则，‎ 求得，，则，‎ ‎【2017新课标3】14．设等比数列满足，，则___-8_____．‎ ‎【解析】为等比数列，设公比为．‎ ‎，即，显然，，得，即，‎ 代入式可得， ．‎ ‎【2018新课标1】14．记为数列的前项和．若，则________．‎ ‎【答案】-63‎ 三、解答题 ‎【2011新课标】等比数列的各项均为正数，且 ‎（1）求数列的通项公式.‎ ‎（2）设求数列的前项和.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设数列{an}的公比为q，由得所以。有条件可知a>0,故。由得，所以。故数列{an}的通项式为an=。‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ 故 ‎，‎ 数列的前n项和为 ‎【2014新课标1】17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（ 1）证明：an+2﹣an=λ （ 2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎【解析】‎ ‎（ 1）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，‎ ‎∴an+1（an+2﹣an）=λan+1∵an+1≠0， ∴an+2﹣an=λ．‎ ‎（ 2）解：‎ ‎①当λ=0时，anan+1=﹣1，假设{an}为等差数列，设公差为d．则an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0，∴an=an+1=1， ∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{an}不为等差数列．‎ ‎②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴．∴，，‎ ‎ ∴λSn=1+=，‎ 根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ=4． 此时可得，an=2n﹣1．‎ 因此存在λ=4，使得{an}为等差数列．　‎ ‎【2014新课标2】17. 已知数列满足=1，.‎ ‎（1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）证明：.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由得 又，所以，{ } 是首项为，公比为3的等比数列。‎ ‎=，因此{}的通项公式为=‎ ‎（2）由（1）知= 因为当n1时，所以，‎ 于是，=所以，‎ ‎【2015新课标1】17. Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0， ‎ ‎（1）求{an}的通项公式，（2）设，求数列的前n项和。‎ ‎【解析】‎ ‎【2016新课标2】17. 为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．‎ ‎（1）求，，； （2）求数列的前项和．‎ ‎【解析】⑴设的公差为，， ∴，∴，∴．‎ ‎∴，，．‎ ‎⑵记的前项和为，则．‎ 当时，； 当时，；‎ 当时，； 当时，．‎ ‎∴．‎ ‎【2016新课标3】17. 已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0，‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝，求λ。‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0…………………………2分 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0 ‎ ‎∴＝ ‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝()n－1………6分 ‎(2)由(1)得Sn＝1－()n，由S5＝得1－()5＝，即()5＝ ‎ 解得λ＝－1………………………………………………12分 ‎【2018新课标2】17. 记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求，并求的最小值．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设的公差为d，由题意得.‎ 由得d=2.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）得.‎ 所以当n=4时,取得最小值,最小值为−16.‎ ‎【2018新课标3】17. 等比数列中，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记为的前项和．若，求．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设的公比为，由题设得．‎ 由已知得，解得（舍去），或．‎ 故或．‎ ‎（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．‎ 若，则．由得，解得．‎ 综上，．‎