金版教程高考文科数学二轮复习训练中档题专练 19页

题型突破练——中档题专练 中档题专练(一)‎ ‎　　建议用时：30分钟 ‎1．[2015·皖北协作区联考(二)]设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b(cosA－3cosC)＝(3c－a)cosB.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若cosB＝，且△ABC的周长为14，求b的值．‎ 解　(1)由正弦定理得，‎ ‎(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)cosB，‎ 化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，‎ 所以sinC＝3sinA，因此＝.‎ ‎(2)由＝得c＝3a，由余弦定理及cosB＝得 b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋9a2－6a2×＝9a2.‎ 所以b＝3a.又a＋b＋c＝14，从而a＝2，因此b＝6.‎ ‎2．[2015·郑州质量预测(一)]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC＝90°，AD＝2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．‎ ‎(1)证明：PA∥平面BMQ；‎ ‎(2)已知PD＝DC＝AD＝2，求点P到平面BMQ的距离．‎ 解　(1)证明：连接AC交BQ于N，连接MN，因为∠ADC＝90°，BC＝AD，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．‎ 又M为PC的中点，即PM＝MC，‎ 则MN为△PAC的中位线，‎ 故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，‎ 所以PA∥平面BMQ.‎ ‎(2)由(1)可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以VP－BMQ＝VA－BMQ＝VM－ABQ，‎ 取CD的中点K，连接MK，所以MK∥PD，MK＝PD＝1，‎ 又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD.‎ 又BC＝AD＝1，PD＝CD＝2，所以AQ＝1，BQ＝2，MQ＝，NQ＝1，‎ 所以VP－BMQ＝VA－BMQ＝VM－ABQ＝··AQ·BQ·MK＝.S△BMQ＝，‎ 则点P到平面BMQ的距离d＝＝.‎ ‎3．[2015·贵州七校联考(一)]从某校高三年级学生中抽取40名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图．‎ ‎(1)若该校高三年级有640人，试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于60分的人数及相应的平均分(平均分保留到百分位)；‎ ‎(2)若从[40,50)与[90,100]这两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率．‎ 解　(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，‎ 所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，‎ 解得a＝0.03.‎ 根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.‎ 由于高三年级共有学生640人，可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.‎ 可估计不低于60分的学生数学成绩的平均分为：‎ ≈77.94.‎ ‎(2)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，‎ 成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，‎ 若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有15种，‎ 如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.‎ 则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法为7种，‎ 所以所求概率P＝.‎ 中档题专练(二)‎ ‎　　建议用时：30分钟 ‎1．若数列{xn}满足：－＝d(d为常数，n∈N*)，则称{xn}为调和数列．已知数列{an}为调和数列，且a1＝1，＋＋＋＋＝15.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an；‎ ‎(2)数列的前n项和为Sn，是否存在正整数n，使得Sn≥2015？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)依题意为等差数列，由＋＋＋＋＝15得＝15，即＝3，∴公差d＝＝1，故＝n即an＝.‎ ‎(2)Sn＝1×21＋2×22＋…＋n×2n①‎ ‎2Sn＝1×22＋…＋(n－1)2n＋n×2n＋1②‎ ‎②－①得Sn＝n×2n＋1－(2＋22＋…＋2n)＝(n－1)2n＋1＋2.‎ 由于Sn是递增的，当n＝7时S7＝6×28＋2<2015；‎ 当n＝8时S8＝7×29＋2>211>2015.‎ 所以存在正整数n，使得Sn≥2015，n的取值集合为{n|n≥8，n∈N*}‎ ‎2．[2015·石家庄一模]某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．‎ ‎(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：件，n∈N)的函数解析式；‎ ‎(2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件)，整理得下表：‎ 日需求量 ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 频数 ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ 若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400,550]内的概率．‎ 解　(1)当日需求量n≥10时，‎ 利润为y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200；‎ 当日需求量n＜10时，利润为y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100.‎ 所以y关于日需求量n的函数关系式为 y＝.‎ ‎(2)50天内有9天获得的利润为380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得的利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元．‎ 若利润在区间[400,550]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为11、15、10.‎ 则利润在区间[400,550]内的概率为：‎ P＝＝＝.‎ ‎3．[2015·唐山一模]如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2.‎ ‎(1)求证：AB1⊥CC1；‎ ‎(2)若AB1＝，求四棱锥A－BB1C1C的体积．‎ 解　‎ ‎(1)证明：连接AC1，CB1，则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．‎ 取CC1的中点O，连接OA，OB1，‎ 则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，‎ 则CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1.‎ ‎(2)由(1)知，OA＝OB1＝，又AB1＝，‎ 所以OA⊥OB1.又OA⊥CC1，OB1∩CC1＝O，‎ 所以OA⊥平面BB1C1C.‎ S▱BB1C1C＝BC×BB1sin60°＝2，‎ 故VA－BB1C1C＝S▱BB1C1C×OA＝2.‎ 中档题专练(三)‎ ‎　　建议用时：30分钟 ‎1．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanA＝.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)当a＝时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．‎ 解　(1)由已知及余弦定理，得＝，sinA＝，‎ 因为A为锐角，所以A＝60°.‎ ‎(2)解法一：由正弦定理，得＝＝＝＝2，‎ 所以b＝2sinB，c＝2sinC＝2sin(120°－B)．‎ c2＋b2＝4[sin2B＋sin2(120°－B)]‎ ‎＝4 ‎＝4 ‎＝4－cos2B＋sin2B ‎＝4＋2sin(2B－30°)．‎ 由得30°0，a＋2an＝4Sn＋3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．‎ 解　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.‎ 可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即 ‎2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．‎ 由于an>0，可得an＋1－an＝2.‎ 又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3.‎ 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.‎ ‎(2)由an＝2n＋1可知 bn＝＝＝.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝ ‎＝.‎ ‎2．[2015·洛阳统考]有2000名网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费(消费金额不超过1000元)，其中有女士1100名，男士900名．该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析，如下表．(消费金额单位：元)‎ 女士消费情况：‎ 消费金额 ‎(0,200)‎ ‎[200,400)‎ ‎[400,600)‎ ‎[600,800)‎ ‎[800,1000]‎ 人数 ‎10‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎30‎ x 男士消费情况：‎ 消费金额 ‎(0,200)‎ ‎[200,400)‎ ‎[400,600)‎ ‎[600,800)‎ ‎[800,1000]‎ 人数 ‎15‎ ‎30‎ ‎25‎ y ‎5‎ ‎(1)计算x，y的值，在抽出的200名且消费金额在[800,1000](单位：元)的网购者中随机选出2名发放网购红包，求选出的2名网购者都是男士的概率；‎ ‎(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”‎ 女士 男士 总计 网购达人 非网购达人 总计 附：‎ P(K2≥k0)‎ ‎ 0.10‎ ‎ 0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ K2＝，n＝a＋b＋c＋d 解　(1)依题意，女士应抽取110名，男士应抽取90名，‎ 故x＝10，y＝15.‎ 消费金额在[800,1000](单位：元)的网购者共有15名，从中选出2名共有105种选法，若2名网购者都是男士，共有10种选法，所以选出的2名网购者都是男士的概率为＝.‎ ‎(2)列联表如下：‎ 女士 男士 总计 网购达人 ‎ 40‎ ‎20‎ ‎ 60‎ 非网购达人 ‎ 70‎ ‎70‎ ‎140‎ 总计 ‎110‎ ‎90‎ ‎200‎ K2＝≈4.714.‎ 又因为4.714＞3.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”．‎ ‎3．[2015·河北名校联盟质监(一)]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝1，E、F分别为PD、AC上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)．‎ ‎(1)若λ＝，求证：EF∥平面PAB；‎ ‎(2)求三棱锥E－FCD体积的最大值．‎ 解　‎ ‎(1)证明：分别取PA和AB的中点M、N，连接MN、ME、NF、DF，则NF綊AD，ME綊AD，所以NF綊ME，所以四边形MEFN为平行四边形，所以EF∥MN，又EF⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB.‎ ‎(2)在平面PAD内作EH⊥AD于H，‎ 因为侧棱PA⊥底面ABCD，‎ 所以平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，‎ 所以EH⊥平面ADC，所以EH∥PA.‎ ‎(或平面PAD中，PA⊥AD，EH⊥AD，所以EH∥PA亦可)‎ 因为＝λ(0＜λ＜1)，所以＝λ，EH＝λ·PA＝λ.‎ ＝＝1－λ，S△FCD＝(1－λ)S△ADC＝，‎ VE－FCD＝·λ·＝(0＜λ＜1)，‎ 所以VE－FCD的最大值为.‎ 中档题专练(五)‎ ‎　　建议用时：30分钟 ‎1．已知△ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足tanA·tanB－tanA－tanB＝，‎ ‎(1)求∠C大小；‎ ‎(2)若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求a＋b取值范围．‎ 解　(1)tanA·tanB－tanA－tanB＝，‎ 则tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)，‎ ‎∴tan(A＋B)＝－，∴tanC＝，∴C＝.‎ ‎(2)∵＝＝＝，‎ ‎∴a＋b＝(sinA＋sinB)＝＝＝4sin，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴∴0，∴ω＝，‎ ‎∴×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，‎ 又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝Msin，‎ 又∵f(0)＝Msin＝M＝，∴M＝2，‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ ‎2．[2015·兰州双基过关]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.‎ ‎(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；‎ ‎(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．‎ 解　(1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为：‎ ‎(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，‎ 则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，‎ 所以P(A)＝＝，‎ 因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.‎ ‎(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，‎ 则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，‎ 所以P(B)＝1－P()＝1－＝，‎ 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.‎ ‎3．[2015·洛阳统考]‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB＝2，∠BAD＝60°.‎ ‎(1)求证：OM∥平面PAB；‎ ‎(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；‎ ‎(3)当三棱锥M－BCD的体积等于时，求PB的长．‎ 解　(1)证明：∵在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，‎ ‎∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，‎ 又OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，‎ ‎∴OM∥平面PAB.‎ ‎(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.‎ ‎∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，‎ 又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，‎ ‎∴BD⊥平面PAC.‎ ‎∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.‎ ‎(3)∵底面ABCD是菱形，M是PD的中点，‎ ‎∴VM－BCD＝VM－ABCD＝VP－ABCD，从而VP－ABCD＝.‎ 又AB＝2，∠BAD＝60°，∴S四边形ABCD＝2.‎ ‎∵四棱锥P－ABCD的高为PA，‎ ‎∴×2×PA＝，得PA＝，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.‎ 在Rt△PAB中，PB＝＝＝.‎ 中档题专练(八)‎ ‎　　建议用时：30分钟 ‎1．已知数列{an}与{bn}，若a1＝3且对任意正整数n满足an＋1－an＝2，数列{bn}的前n项和Sn＝n2＋an.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ 解　(1)由题意知数列{an}是公差为2的等差数列，又因为a1＝3，所以an＝2n＋1.‎ 当n＝1时，b1＝S1＝4；‎ 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n＋1)－[(n－1)2＋2(n－1)＋1]＝2n＋1，对b1＝4不成立．‎ 所以，数列{bn}的通项公式：bn＝ ‎(2)n＝1时，T1＝＝，‎ n≥2时，＝＝，‎ 所以Tn＝＋ ‎＝＋＝.‎ n＝1仍然适合上式．‎ 综上，Tn＝＋＝.‎ ‎2．[2015·北京高考]某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．‎ 商品 顾客人数　　　‎ 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；‎ ‎(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；‎ ‎(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？‎ 解　(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.‎ ‎(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.‎ ‎(3)与(1)同理，可得：‎ 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，‎ 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，‎ 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.‎ 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．‎ ‎3．[2015·九江一模]如图，直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝5，AA′＝AB＝6，D、E分别为AB和BB′上的点，且＝＝λ.‎ ‎(1)求证：当λ＝1时，A′B⊥CE；‎ ‎(2)当λ为何值时，三棱锥A′－CDE的体积最小，并求出最小体积．‎ 解　(1)证明：∵λ＝1，∴D、E分别为AB和BB′的中点，‎ 又AA′＝AB，且三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，‎ ‎∴平行四边形ABB′A′为正方形，∴DE⊥A′B，‎ ‎∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，‎ ‎∵三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，‎ ‎∴CD⊥平面ABB′A′，∴CD⊥A′B，‎ 又CD∩DE＝D，∴A′B⊥平面CDE，‎ ‎∵CE⊂平面CDE，∴A′B⊥CE.‎ ‎(2)设BE＝x，则AD＝x，DB＝6－x，B′E＝6－x.由已知可得C到平面A′DE的距离即为△ABC的边AB所对应的高h＝＝4，‎ ‎∴VA′－CDE＝VC－A′DE＝(S四边形ABB′A′－S△AA′D－S△DBE－S△A′B′E)·h＝[36－3x－(6－x)x－3(6－x)]·h＝(x2－6x＋36)＝[(x－3)2＋27](0＜x＜6)，‎ ‎∴当x＝3，即λ＝1时，VA′－CDE有最小值18.‎