高考数学考点归纳之 空间点、直线、平面之间的位置关系 9页

高考数学考点归纳之 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、基础知识 1．平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理 2：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面. (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 共面直线 平行 相交 异面直线：不同在任何一个 平面内 (2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线， 经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的 锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成 的角(或夹角)． ②范围： 0，π 2 . (3)公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况. 直线 l 和平面α相交、直线 l 和平面α平行统称为直线 l 在平面α外，记作 l ⊄α. (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 二、常用结论 1．公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 3．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 考点一 平面的基本性质及应用 [典例] 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点．求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点． [证明] (1)如图，连接 EF，CD1，A1B. ∵E，F 分别是 AB，AA1 的中点， ∴EF∥A1B. 又 A1B∥D1C， ∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F 四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF＜CD1， ∴CE 与 D1F 必相交， 设交点为 P，如图所示． 则由 P∈CE，CE⊂平面 ABCD，得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， ∴P∈DA， ∴CE，D1F，DA 三线共点． [变透练清] 1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的 一个图是( ) 解析：选 D A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面． 2.变结论若本例中平面 BB1D1D 与 A1C 交于点 M，求证：B，M，D1 共线． 证明：连接 BD1(图略)，因为 BD1 与 A1C 均为正方体 ABCDA1B1C1D1 的对角线，故 BD1 与 A1C 相交， 则令 BD1 与 A1C 的交点为 O，则 B，O，D1 共线，因为 BD1⊂平面 BB1D1D， 故 A1C 与平面 BB1D1D 的交点为 O，与 M 重合，故 B，M，D1 共线． 考点二 空间两直线的位置关系 [典例] (1)(2019·郑州模拟)已知直线 a 和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且 a 在α，β 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( ) A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 (2)G，N，M，H 分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形的是________．(填序号) [解析] (1)如图，取平面 ABCD 为α，平面 ABFE 为β.若直线 CH 为 a， 则 a 在α，β内的射影分别为 CD，BE，此时 CD，BE 异面，即 b，c 异面， 排除 A；若直线 GH 为 a，则 a 在α，β内的射影分别为 CD，EF，此时 CD， EF 平行，即 b，c 平行，排除 B；若直线 BH 为 a，则 a 在α，β内的射影 分别为 BD，BE，此时 BD，BE 相交，即 b，c 相交，排除 C.综上所述选 D. (2)图①中，直线 GH∥MN；图②中，G，H，N 三点共面，但 M∉平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图③中，连接 MG，GM∥HN，因此 GH 与 MN 共面；图④中，G，M，N 共面，但 H∉平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面．所以在图②④中，GH 与 MN 异面． [答案] (1)D (2)②④ [题组训练] 1．下列结论中正确的是( ) ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内； ③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交； ④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，那么 b∥c. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 解析：选 B ①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③ 错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面； ④由平行直线的传递性可知正确．故选 B. 2.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的 中点，有以下四个结论： ①直线 AM 与 CC1 是相交直线； ②直线 AM 与 BN 是平行直线； ③直线 BN 与 MB1 是异面直线； ④直线 AM 与 DD1 是异面直线． 其中正确结论的序号为________． 解析：直线 AM 与 CC1 是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，所以①②错误．点 B，B1，N 在平面 BB1C1C 中，点 M 在此平面外，所以 BN，MB1 是异面直线．同理 AM，DD1 也是异面直线． 答案：③④ [课时跟踪检测] 1．(2019·衡阳模拟)若直线 l 与平面α相交，则( ) A．平面α内存在直线与 l 异面 B．平面α内存在唯一一条直线与 l 平行 C．平面α内存在唯一一条直线与 l 垂直 D．平面α内的直线与 l 都相交 解析：选 A 当直线 l 与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线 均为异面直线，故 A 正确；该平面内不存在与直线 l 平行的直线，故 B 错误；该平面内有 无数条直线与直线 l 垂直，所以 C 错误，平面α内的直线与 l 可能异面，故 D 错误，故选 A. 2．在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是线段 BC，CD1 的中点，则直线 A1B 与直 线 EF 的位置关系是( ) A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 解析：选 A 由 BC 綊 AD，AD 綊 A1D1，知 BC 綊 A1D1， 从而四边形 A1BCD1 是平行四边形， 所以 A1B∥CD1， 又 EF⊂平面 A1BCD1，EF∩D1C＝F， 故 A1B 与 EF 相交． 3．已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α和平面β相交”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 B 直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线 a 和直线 b 相交” 可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β 相交”的充分不必要条件．故选 B. 4.设四棱锥 PABCD 的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱 锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( ) A．不存在 B．只有 1 个 C．恰有 4 个 D．有无数多个 解析：选 D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m，n，直线 m，n 确定了一个平 面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这 样的平面α有无数多个． 5．在空间四边形 ABCD 各边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F，G，H 四点，如果 EF， GH 相交于点 P，那么( ) A．点 P 必在直线 AC 上 B．点 P 必在直线 BD 上 C．点 P 必在平面 DBC 内 D．点 P 必在平面 ABC 外 解析：选 A 如图，因为 EF⊂平面 ABC，而 GH⊂平面 ADC，且 EF 和 GH 相交于点 P， 所以点 P 在两平面的交线上，因为 AC 是两平面的交线，所以点 P 必在直线 AC 上． 6.如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，既与 AB 共面又与 CC1 共面的棱有________条． 解析：依题意，与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC；与 AB 相交且与 CC1 平行有棱 AA1，BB1；与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD，C1D1.故符合条 件的有 5 条． 答案：5 7．在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E，F 分别为侧棱 PC，PB 的中 点，则 EF 与平面 PAD 的位置关系为________，平面 AEF 与平面 ABCD 的交线是________． 解析：由题易知 EF∥BC，BC∥AD，所以 EF∥AD，故 EF∥平面 PAD，因为 EF∥AD， 所以 E，F，A，D 四点共面，所以 AD 为平面 AEF 与平面 ABCD 的交线． 答案：平行 AD 8.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E，H 分别是边 AB，AD 的中点，点 F，G 分别是边 BC，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝2 3 ，有以下四 个结论． ①EF 与 GH 平行； ②EF 与 GH 异面； ③EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上； ④EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上． 其中正确结论的序号为________． 解析：如图所示．连接 EH，FG， 依题意，可得 EH∥BD，FG∥BD， 故 EH∥FG，所以 E，F，G，H 共面． 因为 EH＝1 2BD，FG＝2 3BD，故 EH≠FG， 所以 EFGH 是梯形，EF 与 GH 必相交，设交点为 M.因为点 M 在 EF 上， 故点 M 在平面 ACB 上．同理，点 M 在平面 ACD 上， 所以点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点， 又 AC 是这两个平面的交线， 所以点 M 一定在直线 AC 上． 答案：④ 9.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 A1B1， B1C1 的中点． (1)AM 和 CN 是否共面？说明理由； (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由． 解：(1)AM 和 CN 共面，理由如下： 连接 MN，A1C1，AC. ∵M，N 分别是 A1B1，B1C1 的中点， ∴MN∥A1C1. 又∵A1A 綊 C1C， ∴四边形 A1ACC1 为平行四边形， ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC， ∴AM 和 CN 在同一平面内． (2)D1B 和 CC1 是异面直线． 理由如下： 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线， 则存在平面α，使 D1B⊂平面α，CC1⊂平面α， ∴D1，B，C，C1∈α，与 ABCDA1B1C1D1 是正方体矛盾， ∴假设不成立，∴D1B 与 CC1 是异面直线． 10.如图所示，四边形 ABEF 和四边形 ABCD 都是梯形，BC 綊 1 2AD， BE 綊 1 2FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点． (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C，D，F，E 四点是否共面？说明理由． 解：(1)证明：因为 FG＝GA，FH＝HD，所以 GH 綊 1 2AD， 又因为 BC 綊 1 2AD，所以 GH 綊 BC， 所以四边形 BCHG 是平行四边形． (2)C，D，F，E 四点共面，理由如下： 法一：由 BE 綊 1 2AF，G 为 FA 中点知 BE 綊 GF， 所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH，所以 EF∥CH， 所以 EF 与 CH 共面． 又 D∈FH，所以 C，D，F，E 四点共面． 法二：延长 FE，DC 分别与 AB 交于点 M，M′(图略)． 因为 BE 綊 1 2AF，所以 B 为 MA 的中点． 因为 BC 綊 1 2AD，所以 B 为 M′A 的中点． 所以 M 与 M′重合，即 FE 与 DC 交于点 M(M′)， 所以 C，D，F，E 四点共面．