高考数学小题集训——平面向量一含解析 20页

‎2019-2020年高考数学小题集训——平面向量（一）‎ 一、选择题 ‎1.已知向量，，，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知，为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设，，.若，则实数k的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知△ABC中，，，，P为线段AC上任意一点，则的范围是（ ）‎ A．[1,4] B．[0,4] C．[－2,4] D．‎ ‎5.在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个向量，，当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：‎ ‎①若，，，则；‎ ‎②若，，则；‎ ‎③若，则对于任意的，；‎ ‎④对于任意的向量，其中，若，则．‎ 其中正确的命题的个数为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1 ‎ ‎6.如图，在中，A、B分别是OM、ON的中点，若（，），且点P落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.在△ABC中，，， .若， （ ），且，则的值为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎8.设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝， λ2＝，λ3＝,定义f（P）=（, , ）,若G是△ABC的重心，f（Q）＝（，，），则（ ）‎ A．点Q在△GAB内　 B．点Q在△GBC内 ‎ C．点Q在△GCA内　 D．点Q与点G重合 ‎9.在直角梯形ABCD中，，同一平面内的两个动点P，M满足，则的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎10.在△ABC中，，，且，则的取值范围是（ ）‎ A．[－2,1) B． C． D．‎ ‎11.已知向量与的夹角为120°，，，则（ ）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎12.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,（ ）‎ A．2 B．4 C．5 D．10‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且，若点，则的取值范围是（ ）‎ A．[5,6] B．[6,7] C.[6,9] D．[5,7] ‎ ‎14.已知，若，则△ABC是钝角三角形的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎15.生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上。”这就是著名的欧拉线定理，在△ABC中，O，H，G分别是外心、垂心和重心，D为BC边的中点，下列四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）正确的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C. 3 D．4‎ ‎16.若向量满足,,,则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎17.如图，在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则（ ）‎ A．34 B．28 C．-16 D．-22‎ ‎18.在△ABC中，设D为边BC的中点，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎19.平行四边形ABCD中，,若,且，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎20.在△ABC中，若分别BC为边上的三等分点，则 （ ）‎ A． B． C．2 D． ‎ ‎21.函数在上的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于点B、C两点，则（ ）‎ A． B． C．32 D．‎ ‎22.已知，不共线，，，其中mn≠1.设点P是直线BN，CM的交点，则（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎23.平面内三个非零向量满足，规定，则（ ）‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎24.已知、是两个不共线向量，设，，，若A、B、C三点共线，则实数的值等于 （ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）－1 （D）－2‎ ‎25.已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足，则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎26.设，若平面上点P满足对任意的，恒有，则一定正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎27.在△OAB中,已知,,,P是△OAB所在平面内一点,若,满足,且,则在上投影的取值范围是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎28.设D为△ABC所在平面内一点, ,若,则等于( )‎ A．－2 B．－3 C. 2 D．3‎ ‎29.对于任意向量，下列说法正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎30.平行四边形ABCD中，，，，点M在边CD上，则的最大值为（ ）‎ A．2 B． C．5 D．‎ 二、填空题 ‎31.在△ABC中，，且，设P是平面ABC上的一点，则的最小值为_____ .‎ ‎32.设H是△ABC的垂心，且，则cos∠AHB= ．‎ ‎33.如图，在直角三角形ABC中，，点P是斜边AB上一点，且，则 ．‎ ‎34.在边长为1的正三角形ABC中，设，，则 ．‎ ‎35.已知向量，，，则实数 ．‎ ‎36.如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为 ．‎ ‎ ‎ ‎37.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且，则实数m的值为__________.‎ ‎38.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为 .‎ ‎39.如图，在平面四边形ABCD中，，则 ▲ .‎ ‎40.已知四面体P-ABC，，，，，则 ．‎ ‎41.非零向量的夹角为，且满足，向量组由一个和两个排列而成，向量组由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为，则 ． ‎ ‎42.如图，在△ABC中，已知，，，，，则 ．‎ ‎43.已知平面向量满足，则的最小值是________‎ ‎44.若点C在以P为圆心，6为半径的弧（包括A、B两点）上，，且，则的取值范围为 ．‎ ‎45.已知，动点M满足，且，则在方向上的投影的取值范围是 ．‎ ‎46.已知向量及向量序列: 满足如下条件: ,‎ 且,当且时, 的最大值为 ．‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎1.A 2.D 3.C 4. D 以为坐标原点，为轴、为轴建系，则,‎ ‎，设,‎ 所以，‎ 故选D.‎ ‎5.B ‎①是正确的；②中，满足已知，则，只要有一个没有等号，则一定，若，则，都满足，正确；③∵，∴命题正确，④中若，则，但，错误，因此有①②③正确，‎ 故选B. ‎ ‎6.C 由题意，当在线段上时，，当点在线段上时，，∴当在四边形内（含边界）时，（＊），又，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，‎ 表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，，即，∴，，‎ 故选C.‎ ‎7.A 由题意可得：‎ ‎，‎ 则：‎ ‎,‎ 其中：，，，‎ 据此可得：，‎ 求解关于的方程可得：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎8.A ‎9.B 由于，则点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，‎ 点是的中点，取的中点，连接，‎ 如图所示，则，‎ 当三点共线时，点在之间时，取最小值，；‎ 当点在之间时，取最大值，，‎ 从而的的取值范围是，故选B.‎ ‎10.D 11.B ‎12.D 由题意，以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，‎ 因为是直角的斜边，所以以为直径的圆必过点，‎ 设，则，‎ 因为点为线段的中点，所以，‎ 所以 ‎，‎ 所以 由因为点为线段的中点，且,‎ 所以，所以，故选D.‎ ‎13.D 设，则，所以，‎ 所以，所以，‎ 令，则 ‎，当时，的取得最大值；‎ 当时，的取得最小大值，故选D．‎ ‎14.D ‎∵， ‎ ‎ ， 若 即，解得 ‎， 若 ，即，解得-， 若 ，即，解得舍去， ∴是钝角三角形的概率 ‎ 故选：D．‎ ‎15.D 中，分别是外心、垂心和重心，， 画出图形，如图所示； 对于（1），根据欧拉线定理得，选项（1）正确； 对于（2），根据三角形的重心性质得，选项（2）正确； 对于（3）， ‎ 选项（3）正确； 对于（4），过点作，垂足为，则 ‎ 的面积为 ‎ 同理 ‎ 选项（4）正确． 故选D．‎ ‎16.B 17.C 18.D ‎19.A ‎,,所以：，即,‎ 整理得：，得：‎ ‎20.A 若两边平方得 ，E，F为BC边的三等分点，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选A ‎21.C ‎22.A 根据题中所给的条件，‎ 可知,‎ ‎，‎ 根据一个向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的，‎ 得到，解得，‎ 代入可得 ，故选A.‎ ‎23.C 设 △ABC是边长为 的等边三角形，‎ M在以AB为直径的圆上，以AB为x轴,以AB的中垂线为y轴建立平面坐标系,则 设 ，则 ‎ ‎ ∴的最大值为,最小值为.由图形的对称性可知的最大值为,最小值为.，‎ ‎∴,.故选：C.‎ ‎24.C ‎ ,故选C.‎ ‎25.A 是单位向量,且的夹角为π3，设 ，‎ 故向量的终点在以C(0,−)为圆心，半径等于2的圆上，‎ ‎∴的最大值为|OA|=|OC|+r=+2.‎ 本题选择A选项.‎ ‎26.C 以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系 A，B，设P，C ‎，‎ ‎，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵距离大于等于4，‎ ‎∴P 对于A来说，，错误；‎ 对于B来说，，错误；‎ 对于C来说，，正确；‎ 对于D来说，当P时，，即，∴‎ 即，错误.‎ 故选：C ‎27.A ‎28.C 若，，‎ 化为，‎ 又因为，‎ 所以可得，‎ 解得，故选C.‎ ‎29.A 由题意，根据向量加法的三角形法则，且三角形两边之差小于第三边，则，同理，所以，故正确答案为A.‎ ‎30.A 平行四边形ABCD中，，点P在边CD上，‎ ‎，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立坐标系，,设 ‎,则，‎ ‎，设，因为 ，所以当时有最大值2，故答案为2.‎ ‎31. 32. 33.4 34. ‎ ‎35.‎ 解析： 由，则，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 又由，所以，解得，故答案为.‎ ‎36.‎ 以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,‎ 设P ，，‎ 所以PQ的中点，‎ 由题得 所以=‎ 设，‎ 所以，‎ 所以=，‎ 所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.‎ 故答案为：‎ ‎37.‎ ‎，由系数和为1得.‎ ‎38. ‎ ‎39.－7‎ 所以 ‎40.5‎ ‎∵四面体，，，，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎41.‎ ‎，，‎ 向量组共有三种情况，即，‎ 向量组共有三种情况，即，‎ 所以所有可能值有2种情况，即 ‎，，‎ 所以所有可能值中的最小值为，‎ 所以或 解得.‎ ‎42. 43.‎ ‎44.‎ 以点P为圆心建立如图所示的平面直角坐标系．‎ ‎ ‎ 由题意得 ，设 ，则点C的坐标为．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，解得 ，‎ ‎∴，‎ 其中 ，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ 的取值范围为 ．‎ ‎45.‎ ‎46.28‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 根据二次函数的性质可得，当，有最大值28.‎