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  • 2021-05-14 发布

高考总复习高中数学高考总复习抛物线习题及详解

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高中数学圆锥曲线——抛物线 一、选择题 1.(2016·湖北黄冈)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆x2 6+y2 2=1 的右焦点重合,则 p 的值为(  ) A.-2 B.2 C.-4 D.4 [答案] D [解析] 椭圆中,a2=6,b2=2,∴c= a2-b2=2, ∴右焦点(2,0),由题意知p 2=2,∴p=4. 2.已知点 M 是抛物线 y2=2px(p>0)上的一点,F 为抛物线的焦点,若以|MF|为直径作圆,则这个圆与 y 轴的关 系是(  ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种情形都有可能 [答案] B [解析] 如图,由 MF 的中点 A 作准线 l 的垂线 AE,交直线 l 于点 E,交 y 轴于点 B;由点 M 作准线 l 的垂线 MD, 垂足为 D,交 y 轴于点 C, 则 MD=MF,ON=OF, ∴AB=OF+CM 2 =ON+CM 2 =DM 2 =MF 2 , ∴这个圆与 y 轴相切. 3.(2016·山东文)已知抛物线 y 2=2px(p>0),过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中 点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为(  ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 [答案] B [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则线段 AB 的中点(x1+x2 2 ,y1+y2 2 ),∴y1+y2 2 =2,∵A、B 在抛物线 y2=2px 上, ∴Error! ①-②得 y12-y22=2p(x1-x2), ∴kAB=y1-y2 x1-x2= 2p y1+y2=p 2,∵kAB=1,∴,p=2 ∴抛物线方程为 y2=4x,∴准线方程为:x=-1,故选 B. 4.双曲线x2 9-y2 4=1 的渐近线上一点 A 到双曲线的右焦点 F 的距离等于 2,抛物线 y2=2px(p>0)过点 A,则该抛 物线的方程为(  ) A.y2=9x B.y2=4x C.y2=4 13 13 x D.y2=2 13 13 x [答案] C [解析] ∵双曲线x2 9-y2 4=1 的渐近线方程为 y=±2 3x,F 点坐标为( 13,0),设 A 点坐标为(x,y),则 y=±2 3x, 由|AF|=2⇒ (x- 13)2+(2 3x )2=2⇒x= 9 13 ,y=± 6 13 ,代入 y2=2px 得 p=2 13 13 ,所以抛物线方程为 y2= 4 13 13 x,所以选 C. 5.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小 值为(  ) A. 17 2 B.3 C. 5 D.9 2 [答案] A [解析] 记抛物线 y2=2x 的焦点为 F(1 2,0 ),准线是 l,由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离,因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点 P 到点(0,2) 的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值,结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点 F 与点(0,2)的距离,因此 所求的最小值等于 (1 2 )2+22= 17 2 ,选 A. 6.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线,垂足为 M,若△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 31,则点 A 的坐标为(  ) A.(2,2 2) B.(2,-2 2) C.(2,± 2) D.(2,±2 2) [答案] D [解析] 如图,由题意可得,|OF|=1,由抛物线定义得,|AF|=|AM|,∵△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点) 的面积之比为 3∶1, ∴S △ AMF S △ AOF= 1 2 × |AF| × |AM| × sin∠MAF 1 2 × |OF| × |AF| × sin(π-∠MAF) =3, ∴|AM|=3,设 A(y02 4 ,y0),∴y02 4 +1=3, 解得 y0=±2 2,∴y02 4 =2, ∴点 A 的坐标是(2,±2 2),故选 D. 7.(2016·河北许昌调研)过点 P(-3,1)且方向向量为 a=(2,-5)的光线经直线 y=-2 反射后通过抛物线 y 2= mx,(m≠0)的焦点,则抛物线的方程为(  ) A.y2=-2x B.y2=-3 2x C.y2=4x D.y2=-4x [答案] D [解析] 设过 P(-3,1),方向向量为 a=(2,-5)的直线上任一点 Q(x,y),则PQ → ∥a,∴x+3 2 =y-1 -5 ,∴5x+2y +13=0,此直线关于直线 y=-2 对称的直线方程为 5x+2(-4-y)+13=0,即 5x-2y+5=0,此直线过抛物线 y2 =mx 的焦点 F(m 4,0 ),∴m=-4,故选 D. 8.已知 mn≠0,则方程是 mx2+ny2=1 与 mx+ny2=0 在同一坐标系内的图形可能是(  ) [答案] A [解析] 若 mn>0,则 mx2+ny2=1 应为椭圆,y2=-m nx 应开口向左,故排除 C、D;∴mn<0,此时抛物线 y2=- m nx 应开口向右,排除 B,选 A. 9.(2016·山东聊城模考)已知 A、B 为抛物线 C:y2=4x 上的不同两点,F 为抛物线 C 的焦点,若FA → =-4FB → , 则直线 AB 的斜率为(  ) A.±2 3 B.±3 2 C.±3 4 D.±4 3 [答案] D [解析] ∵FA → =-4FB → ,∴|FA → |=4|FB → |,设|BF|=t,则|AF|=4t,∴|BM|=|AA1|-|BB1|=|AF|-|BF|=3t,又|AB|= |AF|+|BF|=5t,∴|AM|=4t, ∴tan∠ABM=4 3,由对称性可知,这样的直线 AB 有两条,其斜率为±4 3. 10.已知抛物线 C 的方程为 x2=1 2y,过点 A(0,-4)和点 B(t,0)的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值 范围是(  ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,- 2 2 )∪( 2 2 ,+∞) C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) D.(-∞,-2 2)∪( 2,+∞) [答案] B [解析] 由题意知方程组Error!无实数解 由②得 y=4x t -4,代入①整理得, 2x2-4x t +4=0,∴Δ=16 t2 -32<0, ∴t> 2 2 或 t<- 2 2 ,故选 B. [点评] 可用数形结合法求解,设过点 A(0,-4)与抛物线 x2=1 2y 相切的直线与抛物线切点为 M(x0,y0), 则切线方程为 y-y0=4x0(x-x0), ∵过 A 点,∴-4-2x02=4x0(0-x0), ∴x0=± 2,∴y0=4, ∴切线方程为 y-4=±4 2x-8, 令 y=0 得 x=± 2 2 ,即 t=± 2 2 , 由图形易知直线与抛物线无公共点时,t<- 2 2 或 t> 2 2 . 二、填空题 11.已知点 A(2,0)、B(4,0),动点 P 在抛物线 y 2=-4x 上运动,则 AP → ·BP → 取得最小值时的点 P 的坐标是 ______. [答案] (0,0) [解析] 设 P(-y2 4 ,y),则AP → =(-y2 4-2,y),BP → =(-y2 4-4,y),AP → ·BP → =(-y2 4-2)(-y2 4-4)+y2=y4 16+5 2y2 +8≥8,当且仅当 y=0 时取等号,此时点 P 的坐标为(0,0). 12.(文)(2016·泰安市模拟)如图,过抛物线 y 2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线 l,交抛物线于 A、B 两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是________. [答案] y2=3x [解析] 设抛物线准线为 l,作 AA1⊥l,BB1⊥l,FQ⊥l,垂足分别为 A1、B1、Q,作 BM⊥AA1 垂足为 M,BM 交 FQ 于 N,则由条件易知∠ABM=30°,设|BF|=t,则|NF|=t 2,|MA|=t+3 2 ,∵|AM|=|QN|,∴3-t+3 2 =p-t 2,∴p =3 2,∴抛物线方程为 y2=3x. (理)(2016·泰安质检)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A、B、C,若|BC| =2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________. [答案] y2=3x [解析] 解法 1:过 A、B 作准线垂线,垂足分别为 A1,B1,则|AA1|=3,|BB1|=|BF|,∵|BC|=2|BF|,∴|BC|= 2|BB1|,∴|AC|=2|AA1|=2|AF|=6,∴|CF|=3, ∴p=1 2|CF|=3 2,∴抛物线方程为 y2=3x. 解法 2:由抛物线定义,|BF|等于 B 到准线的距离,由|BC|=2|BF|得∠BCB1=30°,又|AF|=3, 从而 A (p 2+3 2,3 3 2 )在抛物线上,代入抛物线方程 y2=2px,解得 p=3 2. 点评:还可以由|BC|=2|BF|得出∠BCB1=30°,从而求得 A 点的横坐标为|OF|+1 2|AF|=p 2+3 2或 3-p 2,∴p 2+3 2=3 -p 2,∴p=3 2. 13.已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A、B 两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB| 的比值等于________. [答案] 3+2 2 [解析] 分别由 A 和 B 向准线作垂线,垂足分别为 A1,B1,则由条件知, Error!,解得Error!, ∴|AA1| |BB1|=3+2 2,即|FA| |FB|=3+2 2. 14.(文)若点(3,1)是抛物线 y2=2px 的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为 2,则 p=________. [答案] 2 [解析] 设弦两端点 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则Error!,两式相减得,y1-y2 x1-x2= 2p y1+y2=2, ∵y1+y2=2,∴p=2. (理)(2016·衡水市模考)设抛物线 x 2=12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,又知 点 P 恰为 AB 的中点,则|AF|+|BF|=________. [答案] 8 [解析] 过 A、B、P 作准线的垂线 AA1、BB1 与 PP1,垂足 A1、B1、P1,则|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=2|PP1|=2[1 -(-3)]=8. 三、解答题 15.(文)若椭圆 C 1:x2 4+y2 b2=1(00)的焦点在椭圆 C 1 的顶点 上. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)若过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E、F 两点,又过 E、F 作抛物线 C2 的切线 l1、l2,当 l1⊥l2 时,求直 线 l 的方程. [解析] (1)已知椭圆的长半轴长为 a=2,半焦距 c= 4-b2, 由离心率 e=c a= 4-b2 2 = 3 2 得,b2=1. ∴椭圆的上顶点为(0,1),即抛物线的焦点为(0,1), ∴p=2,抛物线的方程为 x2=4y. (2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零,则可设直线 l 的方程为 y=k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2), ∵y=1 4x2,∴y′=1 2x, ∴切线 l1,l2 的斜率分别为 1 2x1,1 2x2, 当 l1⊥l2 时,1 2x1·1 2x2=-1,即 x1·x2=-4, 由Error!得:x2-4kx-4k=0, 由 Δ=(-4k)2-4×(-4k)>0,解得 k<-1 或 k>0. 又 x1·x2=-4k=-4,得 k=1. ∴直线 l 的方程为 x-y+1=0. (理)在△ABC 中,CA → ⊥CB → ,OA → =(0,-2),点 M 在 y 轴上且AM → =1 2(AB → +CD → ),点 C 在 x 轴上移动. (1)求 B 点的轨迹 E 的方程; (2)过点 F (0,-1 4)的直线 l 交轨迹 E 于 H、E 两点,(H 在 F、G 之间),若FH → =1 2HG → ,求直线 l 的方程. [解析] (1)设 B(x,y),C(x0,0),M(0,y0),x0≠0, ∵CA → ⊥CB → ,∴∠ACB=π 2, ∴2 x0· y0 -x0=-1,于是 x02=2y0① M 在 y 轴上且AM → =1 2(AB → +AC → ), 所以 M 是 BC 的中点,可得 Error!,∴Error! 把②③代入①,得 y=x2(x≠0), 所以,点 B 的轨迹 E 的方程为 y=x2(x≠0). (2)点 F(0,-1 4),设满足条件的直线 l 方程为: y=kx-1 4,H(x1,y1),G(x2,y2), 由Error!消去 y 得,x2-kx+1 4=0. Δ=k2-1>0⇒k2>1, ∵FH → =1 2HG → ,即(x1,y1+1 4)=1 2(x2-x1,y2-y1), ∴x1=1 2x2-1 2x1⇒3x1=x2. ∵x1+x2=k,x1x2=1 4,∴k=±2 3 3 , 故满足条件的直线有两条,方程为:8x+4 3y+ 3=0 和 8x-4 3y- 3=0. 16.(文)已知 P(x,y)为平面上的动点且 x≥0,若 P 到 y 轴的距离比到点(1,0)的距离小 1. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 M(m,0)的直线交曲线 C 于 A、B 两点,问是否存在这样的实数 m,使得以线段 AB 为直径的圆恒过原 点. [解析] (1)由题意得: (x-1)2+y2-x=1,化简得:y2=4x (x≥0). ∴点 P 的轨迹方程为 y2=4x(x≥0). (2)设直线 AB 为 y=k(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2), 由Error!,得 ky2-4y-4km=0, ∴y1+y2=4 k,y1·y2=-4m.∴x1·x2=m2, ∵以线段 AB 为直径的圆恒过原点, ∴OA⊥OB,∴x1·x2+y1·y2=0. 即 m2-4m=0⇒m=0 或 4.当 k 不存在时,m=0 或 4. ∴存在 m=0 或 4,使得以线段 AB 为直径的圆恒过原点. [点评] (1)点 P 到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1,即点 P 到定点 F(1,0)的距离与到定直线 l:x=-1 的 距离相等.∴P 点轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线,∴p=2,∴方程为 y2=4x. (理)已知抛物线 y2=4x,过点(0,-2)的直线交抛物线于 A、B 两点,O 为坐标原点. (1)若OA → ·OB → =4,求直线 AB 的方程. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点(n,0),求 n 的取值范围. [解析] (1)设直线 AB 的方程为 y=kx-2 (k≠0),代入 y2=4x 中得,k2x2-(4k+4)x+4=0① 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k+4 k2 ,x1x2=4 k2. y1y2=(kx1-2)·(kx2-2)=k2x1x2-2k(x1+x2)+4=-8 k. ∵OA → ·OB → =(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=4 k2-8 k=4,∴k2+2k-1=0,解得 k=-1± 2. 又由方程①的判别式 Δ=(4k+4)2-16k2=32k+16>0 得 k>-1 2,∴k=-1+ 2, ∴直线 AB 的方程为( 2-1)x-y-2=0. (2)设线段 AB 的中点的坐标为(x0,y0),则由(1)知 x0=x1+x2 2 =2k+2 k2 ,y0=kx0-2=2 k, ∴线段 AB 的垂直平分线的方程是 y-2 k=-1 k(x-2k+2 k2 ). 令 y=0,得 n=2+2k+2 k2 =2 k2+2 k+2 =2(1 k+1 2 )2+3 2. 又由 k>-1 2且 k≠0 得1 k<-2,或1 k>0, ∴n>2(0+1 2 )2+3 2=2.∴n 的取值范围为(2,+∞). 17.(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点 K(-1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D. (1)证明:点 F 在直线 BD 上; (2)设FA → ·FB → =8 9,求△BDK 的内切圆 M 的方程. [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l 的方程为 x=my-1(m≠0) (1)将 x=my-1(m≠0)代入 y2=4x 并整理得 y2-4my+4=0,从而 y1+y2=4m,y1y2=4① 直线 BD 的方程为 y-y2=y2+y1 x2-x1(x-x2) 即 y-y2= 4 y2-y1(x-y22 4 ) 令 y=0,得 x=y1y2 4 =1,所以点 F(1,0)在直线 BD 上. (2)由(1)知, x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2, x1x2=(my1-1)(my2-1)=1 因为FA → =(x1-1,y1),FB → =(x2-1,y2),FA → ·FB → =(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2, 故 8-4m2=8 9,解得 m=±4 3, 直线 l 的方程为 3x+4y+3=0,3x-4y+3=0. 从而 y2-y1=± (4m)2-4 × 4=±4 3 7, 故 4 y2-y1=± 3 7 因而直线 BD 的方程为 3x+ 7y-3=0,3x- 7y-3=0. 因为 KF 为∠BKD 的角平分线,故可设圆心 M(t,0),(-1