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- 2021-05-14 发布
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高中数学圆锥曲线——抛物线
一、选择题
1.(2016·湖北黄冈)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆x2
6+y2
2=1 的右焦点重合,则 p 的值为( )
A.-2 B.2
C.-4 D.4
[答案] D
[解析] 椭圆中,a2=6,b2=2,∴c= a2-b2=2,
∴右焦点(2,0),由题意知p
2=2,∴p=4.
2.已知点 M 是抛物线 y2=2px(p>0)上的一点,F 为抛物线的焦点,若以|MF|为直径作圆,则这个圆与 y 轴的关
系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上三种情形都有可能
[答案] B
[解析] 如图,由 MF 的中点 A 作准线 l 的垂线 AE,交直线 l 于点 E,交 y 轴于点 B;由点 M 作准线 l 的垂线 MD,
垂足为 D,交 y 轴于点 C,
则 MD=MF,ON=OF,
∴AB=OF+CM
2 =ON+CM
2
=DM
2 =MF
2 ,
∴这个圆与 y 轴相切.
3.(2016·山东文)已知抛物线 y 2=2px(p>0),过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中
点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
[答案] B
[解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则线段 AB 的中点(x1+x2
2 ,y1+y2
2 ),∴y1+y2
2 =2,∵A、B 在抛物线 y2=2px 上,
∴Error!
①-②得 y12-y22=2p(x1-x2),
∴kAB=y1-y2
x1-x2= 2p
y1+y2=p
2,∵kAB=1,∴,p=2
∴抛物线方程为 y2=4x,∴准线方程为:x=-1,故选 B.
4.双曲线x2
9-y2
4=1 的渐近线上一点 A 到双曲线的右焦点 F 的距离等于 2,抛物线 y2=2px(p>0)过点 A,则该抛
物线的方程为( )
A.y2=9x B.y2=4x
C.y2=4 13
13 x D.y2=2 13
13 x
[答案] C
[解析] ∵双曲线x2
9-y2
4=1 的渐近线方程为 y=±2
3x,F 点坐标为( 13,0),设 A 点坐标为(x,y),则 y=±2
3x,
由|AF|=2⇒ (x- 13)2+(2
3x )2=2⇒x= 9
13
,y=± 6
13
,代入 y2=2px 得 p=2 13
13 ,所以抛物线方程为 y2=
4 13
13 x,所以选 C.
5.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小
值为( )
A.
17
2 B.3
C. 5 D.9
2
[答案] A
[解析] 记抛物线 y2=2x 的焦点为 F(1
2,0 ),准线是 l,由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线
l 的距离,因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点 P 到点(0,2)
的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值,结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点 F 与点(0,2)的距离,因此
所求的最小值等于 (1
2 )2+22= 17
2 ,选 A.
6.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线,垂足为 M,若△AMF
与△AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 31,则点 A 的坐标为( )
A.(2,2 2) B.(2,-2 2)
C.(2,± 2) D.(2,±2 2)
[答案] D
[解析] 如图,由题意可得,|OF|=1,由抛物线定义得,|AF|=|AM|,∵△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点)
的面积之比为 3∶1,
∴S △ AMF
S △ AOF=
1
2 × |AF| × |AM| × sin∠MAF
1
2 × |OF| × |AF| × sin(π-∠MAF)
=3,
∴|AM|=3,设 A(y02
4 ,y0),∴y02
4 +1=3,
解得 y0=±2 2,∴y02
4 =2,
∴点 A 的坐标是(2,±2 2),故选 D.
7.(2016·河北许昌调研)过点 P(-3,1)且方向向量为 a=(2,-5)的光线经直线 y=-2 反射后通过抛物线 y 2=
mx,(m≠0)的焦点,则抛物线的方程为( )
A.y2=-2x B.y2=-3
2x
C.y2=4x D.y2=-4x
[答案] D
[解析] 设过 P(-3,1),方向向量为 a=(2,-5)的直线上任一点 Q(x,y),则PQ
→
∥a,∴x+3
2 =y-1
-5 ,∴5x+2y
+13=0,此直线关于直线 y=-2 对称的直线方程为 5x+2(-4-y)+13=0,即 5x-2y+5=0,此直线过抛物线 y2
=mx 的焦点 F(m
4,0 ),∴m=-4,故选 D.
8.已知 mn≠0,则方程是 mx2+ny2=1 与 mx+ny2=0 在同一坐标系内的图形可能是( )
[答案] A
[解析] 若 mn>0,则 mx2+ny2=1 应为椭圆,y2=-m
nx 应开口向左,故排除 C、D;∴mn<0,此时抛物线 y2=-
m
nx 应开口向右,排除 B,选 A.
9.(2016·山东聊城模考)已知 A、B 为抛物线 C:y2=4x 上的不同两点,F 为抛物线 C 的焦点,若FA
→
=-4FB
→
,
则直线 AB 的斜率为( )
A.±2
3 B.±3
2
C.±3
4 D.±4
3
[答案] D
[解析] ∵FA
→
=-4FB
→
,∴|FA
→
|=4|FB
→
|,设|BF|=t,则|AF|=4t,∴|BM|=|AA1|-|BB1|=|AF|-|BF|=3t,又|AB|=
|AF|+|BF|=5t,∴|AM|=4t,
∴tan∠ABM=4
3,由对称性可知,这样的直线 AB 有两条,其斜率为±4
3.
10.已知抛物线 C 的方程为 x2=1
2y,过点 A(0,-4)和点 B(t,0)的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值
范围是( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(-∞,- 2
2 )∪( 2
2 ,+∞)
C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞)
D.(-∞,-2 2)∪( 2,+∞)
[答案] B
[解析] 由题意知方程组Error!无实数解
由②得 y=4x
t -4,代入①整理得,
2x2-4x
t +4=0,∴Δ=16
t2 -32<0,
∴t>
2
2 或 t<- 2
2 ,故选 B.
[点评] 可用数形结合法求解,设过点 A(0,-4)与抛物线 x2=1
2y 相切的直线与抛物线切点为 M(x0,y0),
则切线方程为 y-y0=4x0(x-x0),
∵过 A 点,∴-4-2x02=4x0(0-x0),
∴x0=± 2,∴y0=4,
∴切线方程为 y-4=±4 2x-8,
令 y=0 得 x=±
2
2 ,即 t=±
2
2 ,
由图形易知直线与抛物线无公共点时,t<- 2
2 或 t>
2
2 .
二、填空题
11.已知点 A(2,0)、B(4,0),动点 P 在抛物线 y 2=-4x 上运动,则 AP
→
·BP
→
取得最小值时的点 P 的坐标是
______.
[答案] (0,0)
[解析] 设 P(-y2
4 ,y),则AP
→
=(-y2
4-2,y),BP
→
=(-y2
4-4,y),AP
→
·BP
→
=(-y2
4-2)(-y2
4-4)+y2=y4
16+5
2y2
+8≥8,当且仅当 y=0 时取等号,此时点 P 的坐标为(0,0).
12.(文)(2016·泰安市模拟)如图,过抛物线 y 2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线 l,交抛物线于 A、B
两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是________.
[答案] y2=3x
[解析] 设抛物线准线为 l,作 AA1⊥l,BB1⊥l,FQ⊥l,垂足分别为 A1、B1、Q,作 BM⊥AA1 垂足为 M,BM
交 FQ 于 N,则由条件易知∠ABM=30°,设|BF|=t,则|NF|=t
2,|MA|=t+3
2 ,∵|AM|=|QN|,∴3-t+3
2 =p-t
2,∴p
=3
2,∴抛物线方程为 y2=3x.
(理)(2016·泰安质检)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A、B、C,若|BC|
=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.
[答案] y2=3x
[解析] 解法 1:过 A、B 作准线垂线,垂足分别为 A1,B1,则|AA1|=3,|BB1|=|BF|,∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=
2|BB1|,∴|AC|=2|AA1|=2|AF|=6,∴|CF|=3,
∴p=1
2|CF|=3
2,∴抛物线方程为 y2=3x.
解法 2:由抛物线定义,|BF|等于 B 到准线的距离,由|BC|=2|BF|得∠BCB1=30°,又|AF|=3,
从而 A (p
2+3
2,3 3
2 )在抛物线上,代入抛物线方程 y2=2px,解得 p=3
2.
点评:还可以由|BC|=2|BF|得出∠BCB1=30°,从而求得 A 点的横坐标为|OF|+1
2|AF|=p
2+3
2或 3-p
2,∴p
2+3
2=3
-p
2,∴p=3
2.
13.已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A、B 两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|
的比值等于________.
[答案] 3+2 2
[解析] 分别由 A 和 B 向准线作垂线,垂足分别为 A1,B1,则由条件知,
Error!,解得Error!,
∴|AA1|
|BB1|=3+2 2,即|FA|
|FB|=3+2 2.
14.(文)若点(3,1)是抛物线 y2=2px 的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为 2,则 p=________.
[答案] 2
[解析] 设弦两端点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则Error!,两式相减得,y1-y2
x1-x2= 2p
y1+y2=2,
∵y1+y2=2,∴p=2.
(理)(2016·衡水市模考)设抛物线 x 2=12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,又知
点 P 恰为 AB 的中点,则|AF|+|BF|=________.
[答案] 8
[解析] 过 A、B、P 作准线的垂线 AA1、BB1 与 PP1,垂足 A1、B1、P1,则|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=2|PP1|=2[1
-(-3)]=8.
三、解答题
15.(文)若椭圆 C 1:x2
4+y2
b2=1(00)的焦点在椭圆 C 1 的顶点
上.
(1)求抛物线 C2 的方程;
(2)若过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E、F 两点,又过 E、F 作抛物线 C2 的切线 l1、l2,当 l1⊥l2 时,求直
线 l 的方程.
[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为 a=2,半焦距 c= 4-b2,
由离心率 e=c
a= 4-b2
2 = 3
2 得,b2=1.
∴椭圆的上顶点为(0,1),即抛物线的焦点为(0,1),
∴p=2,抛物线的方程为 x2=4y.
(2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零,则可设直线 l 的方程为 y=k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2),
∵y=1
4x2,∴y′=1
2x,
∴切线 l1,l2 的斜率分别为 1
2x1,1
2x2,
当 l1⊥l2 时,1
2x1·1
2x2=-1,即 x1·x2=-4,
由Error!得:x2-4kx-4k=0,
由 Δ=(-4k)2-4×(-4k)>0,解得 k<-1 或 k>0.
又 x1·x2=-4k=-4,得 k=1.
∴直线 l 的方程为 x-y+1=0.
(理)在△ABC 中,CA
→
⊥CB
→
,OA
→
=(0,-2),点 M 在 y 轴上且AM
→
=1
2(AB
→
+CD
→
),点 C 在 x 轴上移动.
(1)求 B 点的轨迹 E 的方程;
(2)过点 F (0,-1
4)的直线 l 交轨迹 E 于 H、E 两点,(H 在 F、G 之间),若FH
→
=1
2HG
→
,求直线 l 的方程.
[解析] (1)设 B(x,y),C(x0,0),M(0,y0),x0≠0,
∵CA
→
⊥CB
→
,∴∠ACB=π
2,
∴2
x0· y0
-x0=-1,于是 x02=2y0①
M 在 y 轴上且AM
→
=1
2(AB
→
+AC
→
),
所以 M 是 BC 的中点,可得
Error!,∴Error!
把②③代入①,得 y=x2(x≠0),
所以,点 B 的轨迹 E 的方程为 y=x2(x≠0).
(2)点 F(0,-1
4),设满足条件的直线 l 方程为:
y=kx-1
4,H(x1,y1),G(x2,y2),
由Error!消去 y 得,x2-kx+1
4=0.
Δ=k2-1>0⇒k2>1,
∵FH
→
=1
2HG
→
,即(x1,y1+1
4)=1
2(x2-x1,y2-y1),
∴x1=1
2x2-1
2x1⇒3x1=x2.
∵x1+x2=k,x1x2=1
4,∴k=±2 3
3 ,
故满足条件的直线有两条,方程为:8x+4 3y+ 3=0 和 8x-4 3y- 3=0.
16.(文)已知 P(x,y)为平面上的动点且 x≥0,若 P 到 y 轴的距离比到点(1,0)的距离小 1.
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程;
(2)设过点 M(m,0)的直线交曲线 C 于 A、B 两点,问是否存在这样的实数 m,使得以线段 AB 为直径的圆恒过原
点.
[解析] (1)由题意得: (x-1)2+y2-x=1,化简得:y2=4x (x≥0).
∴点 P 的轨迹方程为 y2=4x(x≥0).
(2)设直线 AB 为 y=k(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2),
由Error!,得 ky2-4y-4km=0,
∴y1+y2=4
k,y1·y2=-4m.∴x1·x2=m2,
∵以线段 AB 为直径的圆恒过原点,
∴OA⊥OB,∴x1·x2+y1·y2=0.
即 m2-4m=0⇒m=0 或 4.当 k 不存在时,m=0 或 4.
∴存在 m=0 或 4,使得以线段 AB 为直径的圆恒过原点.
[点评] (1)点 P 到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1,即点 P 到定点 F(1,0)的距离与到定直线 l:x=-1 的
距离相等.∴P 点轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线,∴p=2,∴方程为 y2=4x.
(理)已知抛物线 y2=4x,过点(0,-2)的直线交抛物线于 A、B 两点,O 为坐标原点.
(1)若OA
→
·OB
→
=4,求直线 AB 的方程.
(2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点(n,0),求 n 的取值范围.
[解析] (1)设直线 AB 的方程为 y=kx-2 (k≠0),代入 y2=4x 中得,k2x2-(4k+4)x+4=0①
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k+4
k2 ,x1x2=4
k2.
y1y2=(kx1-2)·(kx2-2)=k2x1x2-2k(x1+x2)+4=-8
k.
∵OA
→
·OB
→
=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=4
k2-8
k=4,∴k2+2k-1=0,解得 k=-1± 2.
又由方程①的判别式 Δ=(4k+4)2-16k2=32k+16>0 得 k>-1
2,∴k=-1+ 2,
∴直线 AB 的方程为( 2-1)x-y-2=0.
(2)设线段 AB 的中点的坐标为(x0,y0),则由(1)知 x0=x1+x2
2 =2k+2
k2 ,y0=kx0-2=2
k,
∴线段 AB 的垂直平分线的方程是
y-2
k=-1
k(x-2k+2
k2 ).
令 y=0,得 n=2+2k+2
k2 =2
k2+2
k+2
=2(1
k+1
2 )2+3
2.
又由 k>-1
2且 k≠0 得1
k<-2,或1
k>0,
∴n>2(0+1
2 )2+3
2=2.∴n 的取值范围为(2,+∞).
17.(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点 K(-1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,点 A 关于
x 轴的对称点为 D.
(1)证明:点 F 在直线 BD 上;
(2)设FA
→
·FB
→
=8
9,求△BDK 的内切圆 M 的方程.
[解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l 的方程为 x=my-1(m≠0)
(1)将 x=my-1(m≠0)代入 y2=4x 并整理得
y2-4my+4=0,从而 y1+y2=4m,y1y2=4①
直线 BD 的方程为 y-y2=y2+y1
x2-x1(x-x2)
即 y-y2= 4
y2-y1(x-y22
4 )
令 y=0,得 x=y1y2
4 =1,所以点 F(1,0)在直线 BD 上.
(2)由(1)知,
x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,
x1x2=(my1-1)(my2-1)=1
因为FA
→
=(x1-1,y1),FB
→
=(x2-1,y2),FA
→
·FB
→
=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,
故 8-4m2=8
9,解得 m=±4
3,
直线 l 的方程为 3x+4y+3=0,3x-4y+3=0.
从而 y2-y1=± (4m)2-4 × 4=±4
3 7,
故 4
y2-y1=± 3
7
因而直线 BD 的方程为 3x+ 7y-3=0,3x- 7y-3=0.
因为 KF 为∠BKD 的角平分线,故可设圆心 M(t,0),(-1