高考数学总复习63等比数列但因为测试新人教B版 12页

2013 年高考数学总复习 6-3 等比数列但因为测试 新人教 B 版 1.(2011·北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn 表示{an}的前 n 项的和， 若 a1＝3，a2a4＝144，则 S5 的值是( ) A.69 2 B．69 C．93 D．189 [答案] C [解析] 由 a2a4＝a23＝144 得 a3＝12(a3＝－12 舍去)， 又 a1＝3，各项均为正数，则 q＝2. 所以 S5＝a1 1－q5 1－q ＝3× 1－32 1－2 ＝93. 2．(2011·潍坊一中期末、湖南湘西联考)各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1，且 a2，1 2a3，a1 成等差数列，则a3＋a4 a4＋a5 的值为( ) A.1－ 5 2 B. 5＋1 2 C. 5－1 2 D. 5＋1 2 或 5－1 2 [答案] B [解析] ∵a2，1 2a3，a1 成等差数列， ∴a3＝a2＋a1， ∵{an}是公比为 q 的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1， ∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝ 5－1 2 . ∴a3＋a4 a4＋a5 ＝1 q ＝ 5＋1 2 . 3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{an}中，若 a2＝9，a5＝243，则数列{an}的前 4 项和 为( ) A．81 B．120 C．168 D．192 [答案] B [解析] 设等比数列{an}的公比为 q，根据题意及等比数列的性质可知：a5 a2 ＝27＝q3，所 以 q＝3，所以 a1＝a2 q ＝3，所以 S4＝3 1－34 1－3 ＝120. (理)(2011·吉林长春模拟)已知{an}是首项为 1 的等比数列，Sn 是{an}的前 n 项和，且 9S3 ＝S6，则数列{1 an }的前 5 项和为( ) A.85 32 B.31 16 C.15 8 D.85 2 [答案] B [解析] ∵9S3＝S6，∴8(a1＋a2＋a3)＝a4＋a5＋a6， ∴8＝q3，∴q＝2， ∴an＝2n－1，∴1 an ＝(1 2)n－1， ∴{1 an }的前 5 项和为 1－ 1 2 5 1－1 2 ＝31 16 ，故选 B. 4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S1、S3、S2 成等差数 列，则{an}的公比等于( ) A.1 B.1 2 C.－1 2 D.1＋ 5 2 [答案] C [解析] 2S3＝S1＋S2，即 2(a1＋a1q＋a1q2)＝a1＋a1＋a1q， 得 q＝－1 2 ，故选 C. 5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项 的前 n 项和为( ) A.2n＋1－1 3 B.2n＋1－2 3 C.22n－1 3 D.22n－2 3 [答案] C [解析] 当 n＝1 时，a1＝S1＝1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1. ∴an＝2n－1(n∈N*)， 则数列{an}的奇数项的前 n 项和为1－22n 1－22 ＝22n－1 3 ，故选 C. (理)(2011·泉州市质检)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7 ＋a8＝2，Sn＝15，则项数 n 为( ) A．12 B．14 C．15 D．16 [答案] D [解析] a5＋a6＋a7＋a8 a1＋a2＋a3＋a4 ＝q4＝2，由 a1＋a2＋a3＋a4＝1. 得 a1(1＋q＋q2＋q3)＝1， 即 a1·1－q4 1－q ＝1，∴a1＝q－1， 又 Sn＝15，即a1 1－qn 1－q ＝15， ∴qn＝16， 又∵q4＝2，∴n＝16.故选 D. 6．(2011·安徽皖南八校联考)设{an}是公比为 q 的等比数列，令 bn＝an＋1(n＝1,2，…)， 若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则 q 等于( ) A．－4 3 B．－3 2 C．－2 3 或－ 3 2 D．－3 4 或－4 3 [答案] C [解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去 1 得到集合{－54，－24,18,36,81}， 其中－24，36，－54,81 或 81，－54,36，－24 成等比数列， ∴q＝－3 2 或－2 3. 7．已知 f(x)是一次函数，若 f(3)＝5，且 f(1)、f(2)、f(5)成等比数列，则 f(1)＋f(2)＋… ＋f(100)的值是________． [答案] 10000 [解析] 设 f(x)＝kx＋b，f(3)＝3k＋b＝5，由 f(1)、f(2)、f(5)成等比数列得(2k＋b)2＝(k ＋b)·(5k＋b)，可得 k＝2，b＝－1.∴f(n)＝2n－1， 则 f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝100×1＋100×99 2 ×2＝10000. 8．(文)(2010·安徽皖西四校联考)在公差不为零的等差数列{an}中，a1、a3、a7 依次成等 比数列，前 7 项和为 35，则数列{an}的通项 an＝________. [答案] n＋1 [解析] 设等差数列首项 a1，公差 d，则 ∵a1、a3、a7 成等比，∴a23＝a1a7， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d， 又 S7＝7a1＋7×6 2 d＝35d＝35， ∴d＝1，∴a1＝2，∴an＝n＋1. (理)(2010·浙江金华)如果一个 n 位的非零整数 a1a2…an 的各个数位上的数字 a1，a2，…， an 或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数 a1a2…an 为 n 位“等比数”．如 124,913,333 等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答) [答案] 27 [解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类： (1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有 9 个；第(2)类“等比数”有 3×6 ＝18 个；因此，满足条件的三位“等比数”共有 27 个． 9．(2011·锦州模拟)在等比数列{an}中，若公比 q>1，且 a2a8＝6，a4＋a6＝5，则a5 a7 ＝ ________. [答案] 2 3 [解析] ∵a2a8＝6，∴a4a6＝6， 又∵a4＋a6＝5，且 q>1，∴a4＝2，a6＝3， ∴a5 a7 ＝a4 a6 ＝2 3. 10．(文)(2011·大纲全国文，17)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a2＝6,6a1＋a3＝ 30，求 an 和 Sn. [解析] 设{an}的公比为 q，由已知有： a1q＝6 6a1＋a1q2＝30 .解得 a1＝3 q＝2 或 a1＝2 q＝3 (1)当 a1＝3，q＝2 时，an＝a1·qn－1＝3×2n－1 Sn＝a1 1－qn 1－q ＝3× 1－2n 1－2 ＝3×(2n－1) (2)当 a1＝2，q＝3 时，an＝a1·qn－1＝2×3n－1 Sn＝a1 1－qn 1－q ＝2× 1－3n 1－3 ＝3n－1. 综上，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)或 an＝2×3n－1，Sn＝3n－1. (理)(2011·山东临沂一模)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且 a1＋a2＝2(1 a1 ＋1 a2 )，a3 ＋a4＝32(1 a3 ＋1 a4 )． (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝a2n＋log2an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， 由已知得 a1＋a1q＝2(1 a1 ＋ 1 a1q)， a1q2＋a1q3＝32( 1 a1q2 ＋ 1 a1q3)． 化简得 a21q q＋1 ＝2 q＋1 ， a21q5 q＋1 ＝32 q＋1 ， 即 a21q＝2， a21q5＝32. 又∵a1>0，q>0，解得 a1＝1， q＝2. ∴an＝2n－1. (2)由(1)知 bn＝a2n＋log2an＝4n－1＋(n－1)， ∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n－1) ＝4n－1 4－1 ＋n n－1 2 ＝4n－1 3 ＋n n－1 2 . 11.(文)(2011·辽宁六校模考)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 8a2＋a5＝0，则下列式 子中数值不能确定的是( ) A.a5 a3 B.S5 S3 C.an＋1 an D.Sn＋1 Sn [答案] D [解析] 数列{an}为等比数列，由 8a2＋a5＝0，知 8a2＋a2q3＝0，因为 a2≠0，所以 q＝－ 2，a5 a3 ＝q2＝4；S5 S3 ＝1－q5 1－q3 ＝11 3 ；an＋1 an ＝q＝－2；Sn＋1 Sn ＝1－qn＋1 1－qn ，其值与 n 有关，故选 D. (理)(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦 值为( ) A. 5－1 2 B.1 2 C. 5－1 4 D. 5＋1 4 [答案] A [解析] 设三内角 A0，∴a c ＝ 5－1 2 ＝sinA，故选 A. [点评] 在△ABC 中，由正弦定理 a＝2RsinA、b＝2RsinB 可知，a0，∴数列{an}是公比等于 3 的等比数列， ∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝35， ∴log1 3 (a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5. (理)已知等比数列{an}的公比 q>0，其前 n 项的和为 Sn，则 S4a5 与 S5a4 的大小关系是( ) A．S4a5S5a4 C．S4a5＝S5a4 D．不确定 [答案] A [解析] (1)当 q＝1 时，S4a5－S5a4＝4a21－5a21＝－a21<0. (2)当 q≠1 且 q>0 时， S4a5－S5a4＝ a21 1－q(q4－q8－q3＋q8)＝ a21q3 1－q(q－1) ＝－a21q3<0. [点评] 作差，依据前 n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法， 应注意对公比分类讨论，请再做下题： 已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前 n 项和为 Sn，试比较S3 a3 与S5 a5 的大小． [解析] 当 q＝1 时，S3 a3 ＝3，S5 a5 ＝5，所以S3 a3 0 且 q≠1 时， S3 a3 －S5 a5 ＝ a1 1－q3 a1q2 1－q － a1 1－q5 a1q4 1－q ＝q2 1－q3 － 1－q5 q4 1－q ＝－q－1 q4 <0， 所以有S3 a3 Tn，则数列{an}的公比 q 的取值范围是( ) A．01 C．q> 2 D．1Tn，且 Tn>0，所以 q2＝Sn Tn >1.因为 an>0 对任意 n∈N*都成 立，所以 q>0，因此公比 q 的取值范围是 q>1. (理)(2011·榆林模拟)在等比数列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比 q∈(0,1)，且 a1a5＋2a3a5＋a2a8 ＝25，又 a3 与 a5 的等比中项为 2，bn＝log2an，数列{bn }的前 n 项和为 Sn，则当S1 1 ＋S2 2 ＋… ＋Sn n 最大时，n 的值等于( ) A．8 B．9 C．8 或 9 D．17 [答案] C [解析] ∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25， ∴a23＋2a3a5＋a25＝25， 又 an>0，∴a3＋a5＝5， 又 q∈(0,1)，∴a3>a5， ∵a3a5＝4，∴a3＝4，a5＝1， ∴q＝1 2 ，a1＝16，an＝16×(1 2)n－1＝25－n， bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1， ∴{bn}是以 b1＝4 为首项，－1 为公差的等差数列， ∴Sn＝n 9－n 2 ，∴Sn n ＝9－n 2 ， ∴当 n≤8 时，Sn n >0；当 n＝9 时，Sn n ＝0；当 n>9 时，Sn n <0， ∴当 n＝8 或 9 时，S1 1 ＋S2 2 ＋…＋Sn n 最大． 14．(2011·新课标全国文，17)已知等比数列{an}中，a1＝1 3 ，公比 q＝1 3. (1)Sn 为{an}的前 n 项和，证明：Sn＝1－an 2 ； (2)设 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式． [解析] (1)因为 an＝1 3× 1 3 n－1＝ 1 3n ， Sn＝ 1 3 1－ 1 3n 1－1 3 ＝ 1－ 1 3n 2 ， 所以 Sn＝1－an 2 . (2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝－(1＋2＋…＋n) ＝－n n＋1 2 . 所以{bn}的通项公式为 bn＝－n n＋1 2 . 15．(文)(2011·山东淄博一模)设{an}是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项 和．已知 S3＝7，且 a1＋3,3a2，a3＋4 构成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)设数列{an}的公比为 q(q>1)， 由已知，得 a1＋a2＋a3＝7， a1＋3 ＋ a3＋4 2 ＝3a2， 即 a1＋a2＋a3＝7， a1－6a2＋a3＝－7， a1 1＋q＋q2 ＝7， a1 1－6q＋q2 ＝－7， 解得 a1＝1， q＝2. 故数列{an}的通项为 an＝2n－1 (2)由(1)得 a3n＋1＝23n，∴bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2， 又 bn＋1－bn＝3ln2， ∴{bn}是以 b1＝3ln2 为首项，以 3ln2 为公差的等差数列． ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝n b1＋bn 2 ＝n 3ln2＋3nln2 2 ＝3n n＋1 ln2 2 即 Tn＝3n n＋1 2 ln2. (理)(2011·安 庆模拟)已知数列{an}中，a1＝1 2 ，点(n,2an＋1－an)在直线 y＝x 上，其中 n＝ 1,2,3…. (1)令 bn＝an＋1－an－1，求证数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项． [解析] (1)由已知得 2an＋1＝an＋n，又 a1＝1 2 ， ∴a2＝3 4 ，b1＝a2－a1－1＝3 4 －1 2 －1＝－3 4 ， 又∵bn＝an＋1－an－1，∴bn＋1＝an＋2－an＋1－1， ∴bn＋1 bn ＝an＋2－an＋1－1 an＋1－an－1 ＝ an＋1＋ n＋1 2 －an＋n 2 －1 an＋1－an－1 ＝ an＋1－an－1 2 an＋1－an－1 ＝1 2. ∴{bn}是以－3 4 为首项，以1 2 为公比的等比数列． (2)由(1)知，bn＝－3 4×(1 2)n－1＝－3×(1 2)n＋1 ∴an＋1－an＝1－3×(1 2)n＋1， ∴a2－a1＝1－3×(1 2)2 a3－a2＝1－3×(1 2)3 …… an－an－1＝1－3×(1 2)n 各式相加得 an＝n－1－3×[(1 2)2＋(1 2)3＋…＋(1 2)n]＋1 2 ＝n－1 2 －3× 1 4×[1－ 1 2 n－1] 1－1 2 ＝ 3 2n ＋n－2. 1．(2010·常德市检测)已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 满足 Sn＝2n－1(n∈N*)，则数列{a2n} 的前 n 项的和为( ) A．4n－1 B.1 3(4n－1) C.4 3(4n－1) D．(2n－1)2 [答案] B [解析] n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1， 又 a1＝S1＝21－1＝1 也满足，∴an＝2n－1(n∈N*)． 设 bn＝a2n，则 bn＝(2n－1)2＝4n－1， ∴数列{bn}是首项 b1＝1，公比为 4 的等比数列，故{bn}的前 n 项和 Tn＝1× 4n－1 4－1 ＝ 1 3(4n－1)． 2．(2010·宁波市模拟)等比数列的首项为 1，项数是偶数，所有的奇数项之和为 85，所 有的偶数项之和为 170，则这个等比数列的项数为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 [答案] C [解析] 由题意知，85q＝170，∴q＝2， ∴85＋170＝1×2n－1 2－1 ，∴n＝8. 3．(2011·山东济南模拟)已知各项不为 0 的等差数列{an}，满足 2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn} 是等比数列，且 b7＝a7，则 b6b8 等于( ) A．2 B．4 C．8 D．16 [答案] D [解析] 由题意可知，a27＝2(a3＋a11)＝4a7. ∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝b27＝a27＝16. 4．已知 a、b、c 成等比数列，如果 a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列，则a x ＋c y ＝________. [答案] 2 [解析] 由条件知 x＝a＋b 2 ，y＝b＋c 2 ，c＝bq，a＝b q ， ∴a x ＋c y ＝ 2a a＋b ＋ 2c b＋c ＝ 2b q b q ＋b ＋ 2bq b＋bq ＝ 2 1＋q ＋ 2q 1＋q ＝2. 5．已知{an}是首项为 a1、公比 q(q≠1)为正数的等比数列，其前 n 项和为 Sn，且有 5S2 ＝4S4，设 bn＝q＋Sn. (1)求 q 的值； (2)数列{bn}能否是等比数列？若是，求出 a1 的值；若不是，请说明理由． [解析] (1)由题意知 5S2＝4S4， S2＝a1 1－q2 1－q ，S4＝a1 1－q4 1－q ， ∴5(1－q2)＝4(1－q4)，又 q>0，∴q＝1 2. (2)∵Sn＝a1 1－qn 1－q ＝2a1－a1 1 2 n－1， 于是 bn＝q＋Sn＝1 2 ＋2a1－a1 1 2 n－1， 若{bn}是等比数列，则1 2 ＋2a1＝0， ∴a1＝－1 4.此时，bn＝ 1 2 n＋1. ∵bn＋1 bn ＝ 1 2 n＋2 1 2 n＋1 ＝1 2 ，∴数列{bn}是等比数列． 所以存在实数 a1＝－1 4 ，使数列{bn}为等比数列． 6．(2010·福建龙岩一模)已知数列{an}和{bn}，数列{an}的 前 n 项和记为 Sn.若点(n，Sn) 在函数 y＝－x2＋4x 的图象上，点(n，bn)在函数 y＝2x 的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)由已知得 Sn＝－n2＋4n， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5， 又当 n＝1 时，a1＝S1＝3，符合上式．∴an＝－2n＋5. (2)由已知得 bn＝2n，anbn＝(－2n＋5)2n. Tn＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)×2n， 2Tn＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1， 两式相减可得 Tn＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋( －2n＋5)×2n＋1 ＝23 1－2n－1 1－2 ＋(－2n＋5)×2n＋1－6 ＝(7－2n)×2n＋1－14.