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  • 2021-05-14 发布

高中数学高考总复习复数习题讲解

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高中数学高考总复习复数习题及详解 一、选择题 ‎1.复数=(  )‎ A.i         ‎ B.-i C.12-13i ‎ D.12+13i ‎[答案] A ‎[解析] ===i.‎ ‎2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(  )‎ A.4+8i ‎ B.8+2i C.2+4i ‎ D.4+i ‎[答案] C ‎[解析] 由题意知A(6,5),B(-2,3),AB中点C(x,y),则x==2,y==4,‎ ‎∴点C对应的复数为2+4i,故选C.‎ ‎3.若复数(m2-‎3m-4)+(m2-‎5m-6)i表示的点在虚轴上,则实数m的值是(  )‎ A.-1 ‎ B.4‎ C.-1和4 ‎ D.-1和6‎ ‎[答案] C ‎[解析] 由m2-‎3m-4=0得m=4或-1,故选C.‎ ‎[点评] 复数z=a+bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别.虚轴上包括原点(参见教材104页的定义),切勿错误的以为虚轴不包括原点.‎ ‎4.(文)已知复数z=,则·i在复平面内对应的点位于(  )‎ A.第一象限 ‎ B.第二象限 C.第三象限 ‎ D.第四象限 ‎[答案] B ‎[解析] z=,=+,·i=-+i.实数-,虚部,对应点在第二象限,故选B.‎ ‎(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上,则复数(  )‎ A.是纯虚数 ‎ B.是虚数但不是纯虚数 C.是实数 ‎ D.只能是零 ‎[答案] C ‎[解析] 解法1:∵z的对应点P在单位圆上,‎ ‎∴可设P(cosθ,sinθ),∴z=cosθ+isinθ.‎ 则== ‎=2cosθ为实数.‎ 解法2:设z=a+bi(a、b∈R),‎ ‎∵z的对应点在单位圆上,∴a2+b2=1,‎ ‎∴(a-bi)(a+bi)=a2+b2=1,‎ ‎∴=z+=(a+bi)+(a-bi)=‎2a∈R.‎ ‎5.(2010·广州市)复数(3i-1)i的共轭复数是(  )‎ A.-3+i ‎ B.-3-i C.3+i ‎ D.3-i ‎[答案] A ‎[解析] (3i-1)i=-3-i,其共轭复数为-3+i.‎ ‎6.已知x,y∈R,i是虚数单位,且(x-1)i-y=2+i,则(1+i)x-y的值为(  )‎ A.-4 ‎ B.4‎ C.-1 ‎ D.1‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由(x-1)i-y=2+i得,x=2,y=-2,所以(1+i)x-y=(1+i)4=(2i)2‎ ‎=-4,故选A.‎ ‎7.(文)复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内对应的点位于(  )‎ A.第一象限 ‎ B.第二象限 C.第三象限 ‎ D.第四象限 ‎[答案] D ‎[解析] ∵z=z1z2=(3+i)(1-i)=4-2i,∴选D.‎ ‎(理)现定义:eiθ=cosθ+isinθ,其中i是虚数单位,e为自然对数的底,θ∈R,且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用,若a=C50cos5θ-C52cos3θsin2θ+C54cosθsin4θ,b=C51cos4θsinθ-C53cos2θsin3θ+C55sin5θ,那么复数a+bi等于(  )‎ A.cos5θ+isin5θ ‎ B.cos5θ-isin5θ C.sin5θ+icos5θ ‎ D.sin5θ-icos5θ ‎[答案] A ‎[解析] a+bi=C50cos5θ+iC51cos4θsinθ+i‎2C52cos3θsin2θ+i‎3C53cos2θsin3θ+i‎4C54cosθsin4θ+i‎5C55sin5θ=(cosθ+isinθ)5=(eiθ)5=ei(5θ)=cos5θ+isin5θ,选A.‎ ‎8.(文)已知复数a=3+2i,b=4+xi(其中i为虚数单位),若复数∈R,则实数x的值为(  )‎ A.-6 ‎ B.6‎ C. ‎ D.- ‎[答案] C ‎[解析] == ‎=+ i∈R,∴=0,∴x=.‎ ‎(理)设z=1-i(i是虚数单位),则z2+=(  )‎ A.-1-i ‎ B.-1+i C.1-i ‎ D.1+i ‎[答案] C ‎[解析] ∵z=1-i,∴z2=-2i,==1+i,‎ ‎∴z2+=1-i,选C.‎ ‎9.在复平面内,复数对应的点到直线y=x+1的距离是(  )‎ A. ‎ B. C.2 ‎ D.2 ‎[答案] A ‎[解析] ∵==1+i对应点为(1,1),它到直线x-y+1=0距离d==,故选A.‎ ‎10.(文)设复数z满足关系式z+||=2+i,则z等于(  )‎ A.-+i ‎ B.-i C.+i ‎ D.--i ‎[答案] C ‎[解析] 由z=2-||+i知z的虚部为1,设z=a+i(a∈R),则由条件知a=2-,∴a=,故选C.‎ ‎(理)若复数z=(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则|a+2i|等于(  )‎ A.2 ‎ B.2 C.4 ‎ D.8‎ ‎[答案] B ‎[解析] z===+i是纯虚数,∴,∴a=2,‎ ‎∴|a+2i|=|2+2i|=2.‎ 二、填空题 ‎11.规定运算=ad-bc,若=1-2i,设i为虚数单位,则复数z=________.‎ ‎[答案] 1-i ‎[解析] 由已知可得=2z+i2=2z-1=1-2i,∴z=1-i.‎ ‎12.若复数z1=a-i,z2=1+i(i为虚数单位),且z1·z2为纯虚数,则实数a的值为________.‎ ‎[答案] -1‎ ‎[解析] 因为z1·z2=(a-i)(1+i)=a+1+(a-1)i为纯虚数,所以a=-1.‎ ‎13.(文)若a是复数z1=的实部,b是复数z2=(1-i)3的虚部,则ab等于________.‎ ‎[答案] - ‎[解析] ∵z1===+i,‎ ‎∴a=.‎ 又z2=(1-i)3=1-3i+3i2-i3=-2-2i,∴b=-2.‎ 于是,ab=-.‎ ‎(理)如果复数(i是虚数单位)的实数与虚部互为相反数,那么实数b等于________.‎ ‎[答案] - ‎[解析] =·=-i,‎ 由复数的实数与虚数互为相反数得,=,‎ 解得b=-.‎ ‎14.(文)若复数z=sinα-i(1-cosα)是纯虚数,则α=________.‎ ‎[答案] (2k+1)π (k∈Z)‎ ‎[解析] 依题意,,即,所以α=(2k+1)π (k∈Z).‎ ‎[点评] 新课标教材把《复数》这一章进行了精简,不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质;对于复数的模的要求很低,了解概念就行.主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算,这是我们复习的重点,不要超过范围.‎ ‎(理)设i为虚数单位,复数z=(12+5i)(cosθ+isinθ),若z∈R,则tanθ的值为________.‎ ‎[答案] - ‎[解析] z=(12cosθ-5sinθ)+(12sinθ+5cosθ)i∈R,‎ ‎∴12sinθ+5cosθ=0,∴tanθ=-.‎ 三、解答题 ‎15.已知复数z=+(a2-‎5a-6)i(a∈R).‎ 试求实数a分别为什么值时,z分别为:‎ ‎(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.‎ ‎[解析] (1)当z为实数时,,‎ ‎∴a=6,∴当a=6时,z为实数.‎ ‎(2)当z为虚数时,,‎ ‎∴a≠-1且a≠6,‎ 故当a∈R,a≠-1且a≠6时,z为虚数.‎ ‎(3)当z为纯虚数时, ‎∴a=1,故a=1时,z为纯虚数.‎ ‎16.求满足=1且z+∈R的复数z.‎ ‎[解析] 设z=a+bi(a、b∈R),‎ 由=1⇒|z+1|=|z-1|,‎ 由|(a+1)+bi|=|(a-1)+bi|,‎ ‎∴(a+1)2+b2=(a-1)2+b2,得a=0,‎ ‎∴z=bi,又由bi+∈R得,‎ b-=0⇒b=±,∴z=±i.‎ ‎17.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.‎ ‎(1)设复数z=a+bi(i为虚数单位),求事件“z-3i为实数”的概率;‎ ‎(2)求点P(a,b)落在不等式组表示的平面区域内(含边界)的概率.‎ ‎[解析] (1)z=a+bi(i为虚数单位),z-3i为实数,则a+bi-3i=a+(b-3)i为实数,则b=3.‎ 依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6,故b=3的概率为.即事件“z-3i为实数”的概率为.‎ ‎(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ ‎(1,4)‎ ‎(1,5)‎ ‎(1,6)‎ ‎2‎ ‎(2,1)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,3)‎ ‎(2,4)‎ ‎(2,5)‎ ‎(2,6)‎ ‎3‎ ‎(3,1)‎ ‎(3,2)‎ ‎(3,3)‎ ‎(3,4)‎ ‎(3,5)‎ ‎(3,6)‎ ‎4‎ ‎(4,1)‎ ‎(4,2)‎ ‎(4,3)‎ ‎(4,4)‎ ‎(4,5)‎ ‎(4,6)‎ ‎5‎ ‎(5,1)‎ ‎(5,2)‎ ‎(5,3)‎ ‎(5,4)‎ ‎(5,5)‎ ‎(5,6)‎ ‎6‎ ‎(6,1)‎ ‎(6,2)‎ ‎(6,3)‎ ‎(6,4)‎ ‎(6,5)‎ ‎(6,6)‎ 由上表知,连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果.‎ 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界).‎ 由图知,点P(a,b)落在四边形ABCD内的结果有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6),共18种.‎ 所以点P(a,b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P==.‎