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- 2021-05-14 发布
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高中数学高考总复习复数习题及详解
一、选择题
1.复数=( )
A.i
B.-i
C.12-13i
D.12+13i
[答案] A
[解析] ===i.
2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )
A.4+8i
B.8+2i
C.2+4i
D.4+i
[答案] C
[解析] 由题意知A(6,5),B(-2,3),AB中点C(x,y),则x==2,y==4,
∴点C对应的复数为2+4i,故选C.
3.若复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i表示的点在虚轴上,则实数m的值是( )
A.-1
B.4
C.-1和4
D.-1和6
[答案] C
[解析] 由m2-3m-4=0得m=4或-1,故选C.
[点评] 复数z=a+bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别.虚轴上包括原点(参见教材104页的定义),切勿错误的以为虚轴不包括原点.
4.(文)已知复数z=,则·i在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
[答案] B
[解析] z=,=+,·i=-+i.实数-,虚部,对应点在第二象限,故选B.
(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上,则复数( )
A.是纯虚数
B.是虚数但不是纯虚数
C.是实数
D.只能是零
[答案] C
[解析] 解法1:∵z的对应点P在单位圆上,
∴可设P(cosθ,sinθ),∴z=cosθ+isinθ.
则==
=2cosθ为实数.
解法2:设z=a+bi(a、b∈R),
∵z的对应点在单位圆上,∴a2+b2=1,
∴(a-bi)(a+bi)=a2+b2=1,
∴=z+=(a+bi)+(a-bi)=2a∈R.
5.(2010·广州市)复数(3i-1)i的共轭复数是( )
A.-3+i
B.-3-i
C.3+i
D.3-i
[答案] A
[解析] (3i-1)i=-3-i,其共轭复数为-3+i.
6.已知x,y∈R,i是虚数单位,且(x-1)i-y=2+i,则(1+i)x-y的值为( )
A.-4
B.4
C.-1
D.1
[答案] A
[解析] 由(x-1)i-y=2+i得,x=2,y=-2,所以(1+i)x-y=(1+i)4=(2i)2
=-4,故选A.
7.(文)复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
[答案] D
[解析] ∵z=z1z2=(3+i)(1-i)=4-2i,∴选D.
(理)现定义:eiθ=cosθ+isinθ,其中i是虚数单位,e为自然对数的底,θ∈R,且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用,若a=C50cos5θ-C52cos3θsin2θ+C54cosθsin4θ,b=C51cos4θsinθ-C53cos2θsin3θ+C55sin5θ,那么复数a+bi等于( )
A.cos5θ+isin5θ
B.cos5θ-isin5θ
C.sin5θ+icos5θ
D.sin5θ-icos5θ
[答案] A
[解析] a+bi=C50cos5θ+iC51cos4θsinθ+i2C52cos3θsin2θ+i3C53cos2θsin3θ+i4C54cosθsin4θ+i5C55sin5θ=(cosθ+isinθ)5=(eiθ)5=ei(5θ)=cos5θ+isin5θ,选A.
8.(文)已知复数a=3+2i,b=4+xi(其中i为虚数单位),若复数∈R,则实数x的值为( )
A.-6
B.6
C.
D.-
[答案] C
[解析] ==
=+ i∈R,∴=0,∴x=.
(理)设z=1-i(i是虚数单位),则z2+=( )
A.-1-i
B.-1+i
C.1-i
D.1+i
[答案] C
[解析] ∵z=1-i,∴z2=-2i,==1+i,
∴z2+=1-i,选C.
9.在复平面内,复数对应的点到直线y=x+1的距离是( )
A.
B.
C.2
D.2
[答案] A
[解析] ∵==1+i对应点为(1,1),它到直线x-y+1=0距离d==,故选A.
10.(文)设复数z满足关系式z+||=2+i,则z等于( )
A.-+i
B.-i
C.+i
D.--i
[答案] C
[解析] 由z=2-||+i知z的虚部为1,设z=a+i(a∈R),则由条件知a=2-,∴a=,故选C.
(理)若复数z=(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则|a+2i|等于( )
A.2
B.2
C.4
D.8
[答案] B
[解析] z===+i是纯虚数,∴,∴a=2,
∴|a+2i|=|2+2i|=2.
二、填空题
11.规定运算=ad-bc,若=1-2i,设i为虚数单位,则复数z=________.
[答案] 1-i
[解析] 由已知可得=2z+i2=2z-1=1-2i,∴z=1-i.
12.若复数z1=a-i,z2=1+i(i为虚数单位),且z1·z2为纯虚数,则实数a的值为________.
[答案] -1
[解析] 因为z1·z2=(a-i)(1+i)=a+1+(a-1)i为纯虚数,所以a=-1.
13.(文)若a是复数z1=的实部,b是复数z2=(1-i)3的虚部,则ab等于________.
[答案] -
[解析] ∵z1===+i,
∴a=.
又z2=(1-i)3=1-3i+3i2-i3=-2-2i,∴b=-2.
于是,ab=-.
(理)如果复数(i是虚数单位)的实数与虚部互为相反数,那么实数b等于________.
[答案] -
[解析] =·=-i,
由复数的实数与虚数互为相反数得,=,
解得b=-.
14.(文)若复数z=sinα-i(1-cosα)是纯虚数,则α=________.
[答案] (2k+1)π (k∈Z)
[解析] 依题意,,即,所以α=(2k+1)π (k∈Z).
[点评] 新课标教材把《复数》这一章进行了精简,不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质;对于复数的模的要求很低,了解概念就行.主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算,这是我们复习的重点,不要超过范围.
(理)设i为虚数单位,复数z=(12+5i)(cosθ+isinθ),若z∈R,则tanθ的值为________.
[答案] -
[解析] z=(12cosθ-5sinθ)+(12sinθ+5cosθ)i∈R,
∴12sinθ+5cosθ=0,∴tanθ=-.
三、解答题
15.已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R).
试求实数a分别为什么值时,z分别为:
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
[解析] (1)当z为实数时,,
∴a=6,∴当a=6时,z为实数.
(2)当z为虚数时,,
∴a≠-1且a≠6,
故当a∈R,a≠-1且a≠6时,z为虚数.
(3)当z为纯虚数时,
∴a=1,故a=1时,z为纯虚数.
16.求满足=1且z+∈R的复数z.
[解析] 设z=a+bi(a、b∈R),
由=1⇒|z+1|=|z-1|,
由|(a+1)+bi|=|(a-1)+bi|,
∴(a+1)2+b2=(a-1)2+b2,得a=0,
∴z=bi,又由bi+∈R得,
b-=0⇒b=±,∴z=±i.
17.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.
(1)设复数z=a+bi(i为虚数单位),求事件“z-3i为实数”的概率;
(2)求点P(a,b)落在不等式组表示的平面区域内(含边界)的概率.
[解析] (1)z=a+bi(i为虚数单位),z-3i为实数,则a+bi-3i=a+(b-3)i为实数,则b=3.
依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6,故b=3的概率为.即事件“z-3i为实数”的概率为.
(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表:
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
由上表知,连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果.
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界).
由图知,点P(a,b)落在四边形ABCD内的结果有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6),共18种.
所以点P(a,b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P==.