19全国百套高考数学模拟试题分类汇编立体几何解答题d 9页

‎2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编 ‎07立体几何 三、解答题(第四部分)‎ ‎76、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)如图，在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．‎ ‎（1）求直线EC1与FD1所成角的余弦值； ‎ ‎（2）求二面角C-DE-C1的平面角的正切值．‎ 解：以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的 正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0，3，0)、‎ D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)．‎ ‎ 于是，，．‎ ‎（1）设EC1与FD1所成角为b，则． ‎ ‎（2）设向量与平面C1DE垂直，则有 ‎．‎ ‎∴其中z＞0．‎ 取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量．‎ ‎∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，‎ ‎∴n0与所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角．‎ ‎∵，∴．‎ ‎77、(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）.‎ ‎ （Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；‎ ‎ （Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC 把几何体分成的两部分；‎ ‎ （Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线PD 是否平行面AMC.‎ ‎（I）证明：依题意知：‎ ‎ …………2分 ‎ …4分 ‎ （II）由（I）知平面ABCD ‎ ‎ ∴平面PAB⊥平面ABCD. …………5分 ‎ 在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，‎ ‎ 设MN=h ‎ 则 ‎ …………8分 ‎ 要使 ‎ 即M为PB的中点. …………10分 ‎ （Ⅲ）连接BD交AC于O，因为AB//CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD ‎∴O不是BD的中心……………………10分 又∵M为PB的中点 ‎∴在△PBD中，OM与PD不平行 ‎∴OM所以直线与PD所在直线相交 又OM平面AMC ‎∴直线PD与平面AMC不平行.……………………15分 ‎78、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)如图已知在三棱柱ABC——A1B‎1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B‎1C1的中点．‎ ‎（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；‎ ‎（2）求证：PC1∥面MNQ．‎ 主要得分步骤：（1）AB⊥面PCC1； 4′‎ MN∥AB，故MN⊥面MNQ ‎ MN在平面MNQ内，∴面PCC1⊥面MNQ； 7′‎ ‎（2）连AC1、BC1，BC1∥NQ，AB∥MN 面ABC1∥面MNQ 11′‎ PC1在面ABC1内．‎ ‎∴PC1∥面MNQ． 13′‎ ‎79、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.‎ ‎ (Ⅰ)求证：平面； ‎ ‎(Ⅱ)求到平面的距离；‎ ‎ (Ⅲ)求二面角的大小.‎ ‎ 解法：(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,‎ 又,∴平面, 得,又,‎ ‎∴平面.…………………4分 ‎(Ⅱ)∵,四边形为菱形,故,‎ 又为中点,知∴.取中点,则 平面,从而面面,…………6分 过作于,则面,在中,,故,即到平面的距离为.…………………8分 ‎ (Ⅲ)过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,,∴,…………10分 在中,,故二面角的大小为.‎ ‎ …………………12分 ‎ 解法：(Ⅰ)如图,取的中点,则,∵,∴,‎ 又平面,以为轴建立空间坐标系, …………1分 则,,,,,,‎ ‎,,由,知,‎ 又,从而平面.…………………4分 ‎ (Ⅱ)由,得.设平面的法向量 为,,,,‎ 设,则.…………6分 ‎∴点到平面的距离.…………………8分 ‎ (Ⅲ)设面的法向量为,,,‎ ‎∴.…………10分 设,则,故,根据法向量的方向 可知二面角的大小为.…………………12分 ‎80、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M.‎ ‎ （Ⅰ）求PB与平面ABCD所成角的大小；‎ ‎ （Ⅱ）求证：PB⊥平面ADMN；‎ ‎ （Ⅲ）求以AD为棱，PAD与ADMN为面的二面角的大小.‎ ‎（I）解：取AD中点O，连结PO，BO.‎ ‎ △PAD是正三角形，所以PO⊥AD，…………1分 ‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD，‎ ‎ 所以，PO⊥平面ABCD， …………3分 ‎ BO为PB在平面ABCD上的射影， ‎ ‎ 所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角.…………4分 ‎ 由已知△ABD为等边三角形，所以PO=BO=，‎ ‎ 所以PB与平面ABCD所成的角为45°. ………………5分 ‎ （Ⅱ）△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB， ………………6分 ‎ 又，PA=AB=2，N为PB中点，所以AN⊥PB， ………………8分 ‎ 所以PB⊥平面ADMN. ………………9分 ‎ （Ⅲ）连结ON，因为PB⊥平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影，‎ ‎ 因为AD⊥PO，所以AD⊥NO， ………………11分 ‎ 故∠PON为所求二面角的平面角.‎ ‎ 因为△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，所以∠PON=45°……………12分 ‎81、(山东省济南市2008年2月高三统考)如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90‎ ‎°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．‎ ‎（1）证明：EF∥面PAD；‎ ‎（2）证明：面PDC⊥面PAD；‎ ‎（3）求锐二面角B—PD—C的余弦值．‎ 解：（1）如图，连接AC，‎ ‎∵ABCD为矩形且F是BD的中点，‎ ‎∴AC必经过F 1分 又E是PC的中点，‎ 所以，EF∥AP 2分 ‎∵EF在面PAD外，PA在面内，‎ ‎∴EF∥面PAD 4分 ‎（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，‎ 又AP面PAD，∴AP⊥CD 6分 又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD 7分 又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD 8分 ‎（3）由P作PO⊥AD于O，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，则 A（1，0，0），P（0，0，1） 9分 由（2）知是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），‎ ‎， 10分 设面BPD的法向量，‎ 由得 取，则，‎ 向量和的夹角的余弦 11分 所以，锐二面角B—PD—C的余弦值 12分 ‎82、(山东省聊城市2008届第一期末统考)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.‎ ‎ （1）求证：AM//平面BDE；‎ ‎ （2）求二面角A—DF—B的大小.‎ ‎（1）解：记AC与BD的交点为O，连接OE………………1分 ‎∵O，M分别是AC、EF的中点，且四边形ACEF是矩形，‎ ‎∴四边形AOEM是平行四边形，‎ ‎∴AM//OE，‎ 又OE平面BDE，AM平面BDE，‎ ‎∴AM//平面BDE.……………………4分 ‎ （2）在平面AFD中过A作AS⊥DF，垂足为S，连接BS，‎ ‎∵AB⊥AF，AB⊥AD，ADAF=A，‎ ‎∴AB⊥平面ADF.…………………………6分 又DF平面ADF，‎ ‎∴DF⊥AB，又DF⊥AS，ABAS=A，‎ ‎∴DF⊥平面ABS.‎ 又BS平面ABS，‎ ‎∴DF⊥SB.‎ ‎∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角.……………………8分 在Rt△ASB中，AS ‎∴‎ ‎∴∠ASB=60°.……………………………………10分 ‎（本题若利用向量求解可参考给分）‎ ‎83、(山东省实验中学2008届高三第三次诊断性测试)如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）求直线与平面所成的角的大小；‎ ‎ （3）求二面角的大小．‎ 解法一：(Ⅰ)∵四边形是正方形， ‎ ‎． ………………………1分 ‎∵平面平面，又∵，‎ 平面． ……………………2分 平面，．……………3分 平面． ………………4分 ‎ (Ⅱ)连结，‎ 平面，‎ 是直线与平面所成的角． ………5分 设，则 ‎，， ………………………6分 ‎， ． ‎ 即直线与平面所成的角为…8分 ‎（Ⅲ）过作于，连结． ……………………9分 平面，．平面．‎ 是二面角的平面角． ……10分 ‎∵平面平面，平面．‎ ‎．‎ 在中， ，有．‎ 由(Ⅱ)所设可得 ‎，，‎ ‎． ………………10分 ‎．．‎ ‎∴二面角等于． ……………………12分 解法二: ∵四边形是正方形 ，，‎ ‎∵平面平面，平面， ………2分 ‎∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，‎ 分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空 间直角坐标系．‎ 设，则 ‎，‎ ‎ 是正方形的对角线的交点，‎ ‎．……………4分 ‎（Ⅰ），，‎ ‎，‎ ‎， ……………………………………4分 平面． ………………5分 ‎（Ⅱ） 平面，为平面的一个法向量，…………6分 ‎，．……………7分 ‎．∴直线与平面所成的角为． ……8分 ‎(Ⅲ) 设平面的法向量为，则且，‎ 且．‎ ‎ 即 取，则， 则．………………10分 又∵为平面的一个法向量，且，‎ ‎，设二面角的平面角为，则，．∴二面角等于．…12分 ‎84、 (山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE.‎ ‎ （Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角B—AC—E的余弦值；‎ ‎ （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.‎ ‎ （Ⅳ）求证：平面BDF⊥平面ABCD 解法一：（Ⅰ）平面ACE. ‎ ‎∵二面角D—AB—E为直二面角，且， 平面ABE.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，‎ ‎∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，‎ 平面ACE，‎ ‎（Ⅲ）过点E作交AB于点O. OE=1.‎ ‎∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.‎ 设D到平面ACE的距离为h， ‎ 平面BCE， ‎ ‎∴点D到平面ACE的距离为 解法二：（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直 线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行 于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系 O—xyz，如图.‎ 面BCE，BE面BCE， ，‎ 在的中点，‎ ‎ 设平面AEC的一个法向量为，‎ 则解得 ‎ 令得是平面AEC的一个法向量.‎ ‎ 又平面BAC的一个法向量为，‎ ‎ ∴二面角B—AC—E的大小为 ‎（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，‎ ‎∴点D到平面ACE的距离 ‎85、(山西大学附中2008届二月月考)如图，正三棱柱所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点 ‎ （1）求证：；‎ ‎ （2）求二面角的大小（用反三角函数表示）；‎ ‎ （3）求点到平面的距离.‎ ‎（1）证明：建立如图所示， ‎ ‎ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 即AE⊥A1D， AE⊥BD ∴AE⊥面A1BD ‎（2）设面DA1B的法向量为 由 ∴取 设面AA1B的法向量为 ， ‎ 由图可知二面角D—BA1—A为锐角，∴它的大小为arcos ‎ ‎（3），平面A1BD的法向量取 则B1到平面A1BD的距离d= ‎ ‎86、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)在长方体中（如图），==1，，点E是AB上的动点 ‎(1)若直线，请你确定点的位置，并求出此时异面直线与所成的角 ‎(2) 在（1）的条件下求二面角的大小 ‎[解]解法1：由DE与CE垂直-----1分 ‎ 设AE=x,在直角三角形DEC中求得-----2分 ‎ 所以点是AB的中点--------------3分 取CD的中点Q，则AQ平行与EC，所以是所求的角------4分 求解得=-------------5分 异面直线与EC所成的角为-------6分 解法2：利用向量法 ‎ 分别以DA，DC，D所在的直线为X轴建立坐标系---------------------------------1分 ‎ 设AE=x， 根据直线-----2分 所以点是AB的中点--------------3分 ‎ 写出A（1，0，0） E（1，1，0 ） C （0，2，0） （0，0，1）---------4分 设的夹角为 cos=----------------5分 异面直线与所成的角为-----------6分 ‎（2）解法1：由DE与CE垂直，‎ 所以是所求的平面角---8分 ‎ -------11分 二面角是--------12分 解法2：利用向量法求得二面角是 ‎87、‎