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- 2021-05-14 发布
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2018年高考理科数学模拟试题(全国卷Ⅱ/Ⅲ)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.
1.已知复数z满足(1−i)z=+i(i为虚数单位),则z=
A.−i B.i C.i D.1+i
2.已知集合A={x∈N|−x−6<0},则集合A的子集的个数为
A.3 B.4 C.7 D.8
3.若x>1,y>0,+=2,则−的值为
A. B.−2 C.2 D.2或−2
4.已知[x]表示不超过x的最大整数,比如:[0.4]=0,[−0.6]=−1.执行如图所示的程序框图,若输入x的值为2.4,则输出z的值为
A.1.2 B.0.6 C.0.4 D.−0.4
5.已知双曲线(a>0,b>0)的焦距为4,且一条渐近线与直线平行,则双曲线的方程为
A. B.
C. D.
6.当00,b>0)的右顶点为A,右焦点为F,点A到双曲线渐近线的距离为d,若d=|AF|,则双曲线的离心率为
A. B. C.2 D.
11.已知圆锥的顶点为球心O,母线与底面所成的角为45°,底面圆的圆周在球O
的球面上,圆的内接ABC满足 AB=BC=2,且∠ABC=120°,则球O的体积为
A. B. C.32π D.
12.已知函数=sin(ωx+),其中ω>0,≠0且−<<,且满足f (0)=−f().若将函数的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于原点对称,则的值为
A. B.或 C. D.或
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.假若你是某工厂厂长,在你的办公桌上有各部门提供的以下信息.
人事部:明年工人数不多于600,且每人每年按2 000个工时计算;
市场部:预计明年产品的销售量在9 000~11 000件;
技术部:生产该产品平均每件需要120个工时,且这种产品每件需要安装4个某重要部件;
供应部:某重要部件的库存为2 000个,明年可采购到这种部件34 000个.
由此推算,明年产量最多为 件.
14.已知ABC的面积为24,点D,E分别在边BC,AC上,且满足,,连接AD,BE交于点F,则ABF的面积为 .
15.若=+(x−1)+(x−1)2+…+(x−1)9,则的值为 .
16.已知函数=1−|2x−1|,=若y=−a有4个零点,则实数a的取值范围为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知数列是等比数列,其前n项和是,且=(n∈N*).
(1)求数列的通项公式;
(2)设=(n∈N*),求数列{}的前n项和.
18.(本小题满分12分)
我国女排在2016年里约奥运会上勇夺金牌,激起了国内排球热潮,为此某高校欲组建大学生女子排球队.现有甲、乙、丙等6名同学申请加入,首先进行了笔试(满分100分),其中5名同学的成绩分别为72,76,74,70,73,然后根据每名同学的成绩由高到低依次排出1,2,3,4,5,6的名次.
(1)(i)若这6名同学的平均成绩为75,求没提供成绩的同学的名次;
(ii)从名次为1,2,3,4,5的5名同学中随机抽取1名同学,其名次为a,然后从余下的4名中再随机抽取1名同学,名次为b,求关于x的方程+2ax+=0有实根的概率.
(2)若甲、乙、丙3名同学的名次恰好分别是1,2,3,现从前5名同学中随机抽取3名同学入选,记甲、乙、丙3名同学入选的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图1,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为底AB,CD上的点,且EF⊥AB,EF=EB=FC=2,EA=FD,沿EF将平面AEFD折起至平面AEFD⊥平面EBCF,如图2所示.
图1 图2
(1)求证:平面ABD⊥平面BDF;
(2)若二面角B−AD−F的大小为60°,求EA的长度.
20.(本小题满分12分)
已知圆C:=4与x轴交于,(在原点右侧)两点,动点P到,两点的距离之和为定值2a(a>2),且cos∠P的最小值为−.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)过且斜率不为零的直线与点P的轨迹交于A,B两点,若存在点E,使得是与直线的斜率无关的定值,则称E为“恒点”.问在x轴上是否存在这样的“恒点”?若存在,请求出该点的坐标;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数(a>0且a≠1),=(a>0且a≠1),且函数的图象在(1,0)处的切线方程为x−y−1=0.
(1)若函数=m++1,讨论的单调性;
(2)若函数=−−b的图象恒与x轴有两个不同的交点M(,0),N(,0),求证:.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4─4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线:(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为=2cos θ+2sin θ,直线的极坐标方程为θ=.
(1)分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设直线交曲线于O,M两点,交曲线于O,N两点,求MN的长.
23.(本小题满分10分)选修4─5:不等式选讲
已知函数=2−,=|x−a|.
(1)若a=1,解不等式+≥3;
(2)若不等式>至少有一个负数解,求实数a的取值范围.
详细解答
1.C【解析】解法一 z=,故选C.
解法二 z==,故选C.
2.D【解析】不等式−x−6<0的解集为{x|−21,y>0,∴>1,0<<1,则−>0.
4.D【解析】输入x=2.4,则y=2.4,x=[2.4]−1=1>0,∴x==1.2;y=1.2,x=[1.2]−1=0,
∴x==0.6;y=0.6, x=[0.6]−1=−1<0,则z=x+y=−1+0.6=−0.4,故选D.
5.A【解析】依题意,c=2,∵一条渐近线与直线平行,
∴,结合,解得,,
∴双曲线的方程为,故选A.
6.C【解析】当00.又2−=2xln x−x2ln =2xln x−2ln x
=2x(1−x)ln x<0,所以 2<<[]2.故选C.
7.A【解析】由三视图知该几何体是一个组合体,右边是半个圆柱(底面半径为2,高为3),左边是一个四棱锥(底面是长和宽分别为4和3的长方形,高为2).
则该几何体的体积V=×π×22×3+×3×4×2=6π+8,
侧面积S侧=π×2×3+×2×3×2+×4×=6π+6+2.
8.B【解析】由acos B=bcos A及正弦定理得sin Acos B=sin Bcos A,所以sin(A−B)=0,故B=A=,c=a,由余弦定理得16=+−2c·cos,得a=,c=,
S=acsin B=.
9.C【解析】由+=2,x≥0,y≥0,知围成的区域D为半径为的四分之一圆面,
因而其面积S=×π×()2=.作出图形如图所示,y=与+=2的交点为
M(1,1),过点M作MB⊥x轴于点B,连接OM,
则S阴影=dx+S扇形OAM−SOBM=+×()2−×1×1=.
由几何概型概率公式知所求概率P=,故选C.
10.C【解析】解法一 由题意得双曲线的渐近线方程为y=±x,右顶点A(a,0),右焦点F(c,0),则点A到渐近线的距离d=,|AF|=c−a.
由已知得=(c−a),即2ab=c(c−a),4=3(c−a)2,
由于=−,因而4(−)=3 (c−a)2,∴3e4−6e3−e2+4=0,
3e3(e−2)−(e+2)(e−2)=0,(e−2)(e−1)(3e2+3e+2)=0,得e=2,故选C.
解法二 如图,过A作渐近线的垂线,垂足为B,由已知得d=|AF|=(c−a),
即|AB|=(c−a).又|AB|=|OA|sin∠BOA=a×=,∴= (c−a),
∴2ab=c(c−a),4=3(c−a)2,由于=−,
因而4(−)=3(c−a)2,
∴3e4−6e3−e2+4=0,3e3(e−2)−(e+ 2)(e−2)=0,
(e−2)(e−1)(3e2+3e+2)=0,得e=2,故选C.
11.D【解析】如图,在ABC中,由已知得AC2=AB2+BC2−2AB·BCcos ∠ABC
=4+4−2×2×2×(−)=12,因而AC=2.设圆的半径为r,则2r==4,
∴r=2.连接OO1,O1B,又圆锥母线与底面所成的角为45°,
因而在OO1B中,OO1=O1B=r=2,则球O的半径R=OB=2,
球O的体积V=,故选D.
12.D【解析】将函数的图象向左平移
个单位长度后所得的图象对应的函数解析式为
=sin[ω(x+)+]=sin(ωx+ω+),又的图象关于原点对称,
则ω+=kπ,k∈Z,ω=6kπ−6,且sin=−sin(6kπ−5),k∈Z,
即sin=sin 5,所以5=2nπ+或5=2nπ+π−,n∈Z,
又≠0且−<<,因而=−或=,故选D.
13.9 000【解析】设工人数为n,由已知最多为600人,则劳动力的年生产能力为
n× 2 000 =2 000n.由生产该产品平均每件需要120个工时,
得产量为 2 000n÷120=n≤×600=10 000(件),而这10 000件产品需要某重要部件的数量40 000>2 000+34 000=36 000,因此从供应部提供的信息知年生产量为
36 000÷4=9 000,刚好达到预计销售量的最低限,
由此可见,明年产量最多为9 000件.
14.4【解析】通解 如图,连接CF,由于B,F,E三点共线,
因而可设,则.
又A,F,D三点共线,
∴+(1−λ)=1, 得λ=,
∴=,
,
,即F为AD的中点,
因而===4.
优解 如图,过D作AC的平行线,交BE于H,则由已知,
得DHCE,又,因而DHEA,AEF≌△DHF,
则F为AD的中点,因而===4.
15.【解析】令x=2,则=+++…+,
令x=0,则0=−+ +…−,
因而 =,
而=[1+(x−1)]9,其中 (x−1)7,因而==36,
则==.
16.(1,)【解析】作出函数的图象如图1所示,作出函数的图象如图2所示.
y=−a有4个零点,等价于方程=a有4个不同的实数解,
设=,则≤1,g(1)=,=a,数形结合可知,当=a,=各有2个不同的解时,方程=a才能有4个不同的实数解,又≤1,要使=a有2个不同的实数解,则a∈[1,].当a=时,=a有2个不同的实数根,,且满足0<<,=1,对于=1,=仅有1解,即方程=a有3个不同的实数解,不符合题意;当a=1时,=a=1有2个实根=0,=,又=0仅有1解,=有2个不同的解,即方程=1有3个不同的实数解,不符合题意.综上所述,a∈(1,).
图1 图2
17.【解析】(1)当n=1时,==t·3−2t+1=t+1.(1分)
当n≥2时,=−=t·−t·=2t·.
∵数列是等比数列,∴=3(n≥2),
∴=3,∴t=1,=2,
∴=2·(n∈N*).(5分)
(2)由(1)知,,∴1+=,∴,==n,
∴=2n×,(7分)
=2+4×3+6×32+…+2n×, ①
3=2×3+4×32+6×33+…+2n×,②
①−②得,−2=2+2(3+32+33+…+)−2n×=2+2×−2n×,
∴=(12分)
【备注】高考对数列的考查主要涉及:(1)等差、等比数列的有关知识,数列通项公式的求解,数列求和的方法(如裂项相消法、错位相减法、分组求和法等);(2)通过数列的递推关系式求通项公式的各种方法,考查考生的逻辑推理能力,用转化与化归思想(配凑、变形)将一般数列转化为等差或等比数列;(3)利用函数与不等式处理取值范围和最值问题,凸显数列的函数特性和工具性.
18.【解析】(1)(i)由题意得,所求同学的成绩为6×75 +(72+76+74+70+73)=85,因而排名第一.(2分)
(ii)根据分步乘法计数原理知(a,b)的取值共有5×4=20种情况,若+2ax+=0有实根,则(2a)2−4b2≥0,即a≥b,而满足a≥b的情况有10种,因而由古典概型的概率计算公式得所求概率P==.(6分)
(2)随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)= =,
P(ξ=3)= =.
因而ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
E(ξ)=×1+×2+×3= .(12分)
【备注】(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验,每一次试验只能有两种结果(即要么发生,要么不发生),且任何一次试验中发生的概率都是一样的,在相同条件下重复地做n次试验称为n次独立重复试验;(2)在n次独立重复试验中,若事件A每次发生的概率为p,则A发生的次数为k的概率为pk(1−p)n−k,事件A发生的次数是一个随机变量X,其分布列称为二项分布,记为X~B(n,p).
19.【解析】(1)由题意知EAFD,EBFC,所以AB∥CD,即A,B,C,D四点共面.由EF=EB=FC=2,EF⊥AB,得FB=BC=2,则BC⊥FB,又翻折后平面AEFD⊥平面EBCF,平面AEFD∩平面EBCF=EF,DF⊥EF,所以DF⊥平面EBCF,因而BC⊥DF,又DF∩FB=F,所以BC⊥平面BDF,由于BC平面BCD,则平面BCD⊥平面BDF,又平面ABD即平面BCD,所以平面ABD⊥平面BDF.(5分)
(2)向量法 以F为坐标原点,FE,FC,FD所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则F(0,0,0),B (2,2,0),设EA=t(t>0),则A (2,0,t),D(0,0,2t),
=(0,2,−t),=(−2,0,t).(8分)
设平面ABD的法向量为m=(x,y,z),则即,
取x=t,则y=t,z=2,所以m=(t,t,2)为平面ABD的一个法向量.
又平面FAD的一个法向量为n=(0,1,0),
则|cos|==,
所以t=,即EA的长度为.(12分)
传统法 由(1)知,平面ABD即平面ABCD,因而二面角B−AD−F即二面角C−AD−F.因为平面AEFD⊥平面EBCF,平面AEFD∩平面EBCF=EF,CF平面EBCF,CF⊥EF,所以CF⊥平面AEFD.(7分)
如图,作FH⊥AD于H,连接CH,则CH⊥AD,∠CHF为二面角C−AD−F的平面角.
设EA=t(t>0),则FD=2t,在三角形ADF中,AD=,
由=×2t×2=××HF,得HF=.
在直角三角形CFH中,tan∠CHF=,
因而+4=3,解得t=,即EA的长度为.(12分)
20.【解析】(1)由已知,=4与x轴交于 (−2,0), (2,0),则|| =4,
由题意知|P|+|P|=2a,cos ∠P=
=−1=−1≥−1=1−=−,当且仅当|P|=|P|=a时等号成立,因而=6,由椭圆的定义知,P的轨迹为椭圆,且,分别为其左、右焦点,=−=2,
所以所求轨迹方程为+=1.(6分)
(2)如图,设直线的方程为x= my+2,A(,),B(,),
由,得(m2+3)y2+4my−2=0,
则+=−,=−.(8分)
假设存在这样的“恒点”E(t,0),
则==(−t,)·(−t,)
=(m+2−t,)·(m+2−t,)
=(m2+1) +(2−t)m(+)+(2−t)2
=+(2−t)2
=.
若是与直线的斜率无关的定值,则其为与m无关的定值,
则3−18=3−12t+10,得t=,
此时定值为()2−6=−,“恒点”为(,0).(12分)
21.【解析】(1)∵=的图象在(1,0)处的切线方程为x−y−1=0,
,∴ =1,∴a=e,=ln x.
∴= m++1,
∴=+(m+1)x=,x∈(0,+∞).(3分)
①当m+1≤0,即m≤−1时,<0,在区间(0,+∞)上单调递减;
②当m≥0时,>0,在区间(0,+∞)上单调递增;
③当−10,函数在区间(0,1)上单调递增;
当x>1时,<0,函数在区间(1,+∞)上单调递减,
∴当x=1时,max=−1−b.(8分)
∵函数的图象恒与x轴有两个不同的交点M(,0),N(,0),
且当x趋近于0时,趋近于−∞,当x趋近于+∞时,趋近于−∞,
∴−1−b>0,b<−1,且≠,(9分)
故不妨设<,则0<<1<.
要证()<0,需证>1,即+>2,
当≥2时,显然成立.
当1<<2时,令F(x)=−(2−x),x∈(1,2),
∵=ln x−x−b,∴(x)=ln x−ln(2−x)−2x+2,
=+−2=>0,x∈(1,2),
∴(x)在(1,2)上单调递增,∴()>(1)=0,即()>(2−),(10分)
又由题意知()=(),∴()>(2−).
∵在(0,1)上单调递增,∈(0,1),2−∈(0,1),
∴>2−,即+>2.
综上可得,+>2,即证.(12分)
22.【解析】(1)曲线的普通方程为+=1,即+−2y=0,
曲线的极坐标方程为−2sin θ=0,即=2sin θ.
因为曲线的极坐标方程为=2cos θ+2sin θ,
即=2cos θ+2sin θ,
故曲线的直角坐标方程为+=2x+2y,
即(x−1)2+(y−)2=4.(5分)
(2)解法一 直线的极坐标方程θ=化为直角坐标方程得y=x,
由得,或
则|OM|=,
由得 或
则|ON|==4.
故|MN|=|ON|−|OM|=4−.
解法二 直线的极坐标方程为θ=,
曲线的极坐标方程为=2sin θ,
所以|OM|=2sin=.
曲线的极坐标方程为=2cos θ+2sin θ,
所以|ON|=2cos+2sin=4.
故|MN|=|ON|−|OM|=4−.(10分)
23.【解析】(1)若a=1,则不等式+≥3化为2−+|x−1|≥3.
当x≥1时,2−+x−1≥3,即−x+2≤0,(x−)2+≤0不成立;
当x<1时,2−−x+1≥3,即+x≤0,解得−1≤x≤0.
综上,不等式+≥3的解集为{x|−1≤x≤0}.(5分)
(2)作出y=的图象如图所示,当a<0时,的图象如折线①所示,
由,得+x−a−2=0,若相切,则Δ=1+4(a+2)=0,得a=−,
数形结合知,当a≤−时,不等式无负数解,则−至少有一个负数解.
当a>0时,的图象如折线②所示,
此时当a=2时恰好无负数解,数形结合知,
当a≥2时,不等式无负数解,则0至少有一个负数解,
则实数a的取值范围是(−,2).(10分)
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